Bài tập giới hạn - Thầy Khánh

Chia sẻ: Phạm Văn Chúc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

463
lượt xem 151
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Bài tập giới hạn - Thầy Khánh giúp các bạn học sinh ôn tập tốt môn toán học và đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giới hạn - Thầy Khánh

GIA SƯ ỨC KHÁNH ‘‘Th p sáng ng n l a thành công’’ • Chuyên luy n thi ð i H c Kh i A - B • Nh n d y kèm t t c các l p 22A - Ph m Ng c Th ch – TP.Quy Nhơn Liên h : Th y Khánh – 0975.120.189 BÀI T P GI I H N D NG I: TÌM GI I H N DÃY S Phương pháp g i: Dùng ñ nh nghĩa , tính ch t và các ñ nh lý v gi i h n c a dãy s 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n − 3n n2 Gi¶i: 2 lim 3 8n − 3n = lim 3 8 − 3 = 3 8 = 2 n2 n 2 VÝ dô 2: T×m: lim 2n − 3n −1 −n 2 + 2 Gi¶i: 2 − 3n −1 2− 3 − 1 n n2 2 lim 2n = lim = = −2 −n 2 + 2 −1 + 2 −1 n 2   VÝ dô 3: T×m: lim  n −1 − n 2 +1      Gi¶i:  lim  n −1 −  n 2 + 1  = lim −2n = lim −2 = −1 .     n −1 + n 2 +1 1− 1 + 1+ 1 n n2 D NG II: CH NG MINH limu n = 0 Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý | u |≤ v n n • Cho hai dãy s u n , vn :   ⇒ limu n = 0 (1)  lim ( vn ) = 0   vn ≤ u n ≤ w n , ∀n •  ⇒ lim u n = L (2)  lim vn = lim w n = L ( L ∈ℝ )  GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
n VÝ dô: Chøng minh: lim ( −1) cosn =0 n Gi¶i: n n Ta cã: ( −1) cos n ≤ 1 vµ lim 1 = 0 nªn lim ( −1) cos n = 0 n n n n D NG III: CH NG MINH limu n T N T I Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý • Dãy (un) tăng và b ch n trên thì có gi i h n ; • Dãy (vn) gi m và b ch n dư i thì có gi i h n VÝ dô: Chøng minh d·y sè ( u n ) cho bëi u n = 1 cã giíi h¹n. n ( n + 1) Gi¶i: u n ( n +1) Ta cã n +1 = 1 . = n < 1, ∀n. Do ®ã d·y ( u n ) gi¶m. Ngoµi ra, un ( n +1)( n + 2 ) 1 n+2 ∀n ∈ ℕ* : u n = 1 > 0, nªu d·y ( u n ) bÞ chÆn d−íi. VËy d·y ( u n ) cã giíi h¹n. n ( n +1) D NG IV: TÍNH T NG C A C P S NHÂN LÙI VÔ H N u Phương pháp gi i: S d ng công th c S = 1 ,| q |< 1 1− q VÝ dô: TÝnh tæng S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + .... 2 22 2n Gi¶i: u §©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q = 1 < 1 vµ u = 1 . VËy: S = 1 = 1 = 2 2 1 1− q 1− 1 2 D NG V: TÌM GI I H N VÔ C C Phương pháp gi i: S d ng quy t c tìm gi i h n vô c c 3 VÝ dô 1: T×m: lim −2n + 4n − 3 1: 3n 2 + 1 Gi¶i: C¸ch 1: 3 + 4n − 3 −2 + 4 − 3 Ta cã: lim −2n = lim n 2 n3 3n 2 +1 3+ 1 n n3     L¹i cã lim  −2 + 4 − 3  = −2 < 0,lim  3 + 1  = 0 vµ 3 + 1 > 0  ∀n ∈ ℕ*  nªn suy ra:   n     n 2 n3   n2  n n3   3 + 4n − 3 −2 + 4 − 3 lim −2n = lim n 2 n3 = −∞ 3n 2 + 1 3+ 1 n n3 C¸ch 2: GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
   4 − 3  3 + 4n − 3 n3  −2 + 4 − 3     −2 +  Ta cã: lim −2n 2 n3  n 2 n3  = lim  n = lim  n.   3n 2 + 1   n2  3 + 1   3+ 1    n  2   n2    4 − 3  −2 + 4 − 3 3  −2 +  L¹i cã lim n = +∞; lim n 2 n3 = − 2 < 0 ⇒ lim −2n + 4n − 3 = lim  n. n 2 n3  = −∞   3+ 1 3 3n 2 + 1  3+ 1  n2   n2   VÝ dô 2: TÝnh lim 2: 4x 2 −1 x→−∞ Gi¶i:   lim 4x 2 −1 = lim x 2  4 − 1  = lim | x |. 4 − 1 x→−∞ x→−∞   x 2  x→−∞  x2 V× lim | x |= +∞ vµ lim 4 − 1 = 2 > 0 ⇒ lim 4x 2 −1 = +∞ x→−∞ x→−∞ x 2 x→−∞ D NG VI: TÌM GI I H N C A HÀM S Phương pháp gi i: S d ng các ñ nh lý và quy t c   VÝ dô 1: TÝnh: lim  x.sin 1  . x→0  x Gi¶i: XÐt d·y ( x n ) mµ x n ≠ 0, ∀n vµ lim x n = 0 . Ta cã: f ( x n ) = x n sin 1 ≤| x n | xn   V× lim | x n |= 0 ⇒ limf ( x n ) = 0. Do ®ã lim  x.sin 1  = 0 . x→0  x   VÝ dô 2: TÝnh: lim  x 2 + x + 1 − x  x→+∞     Gi¶i: Ta cã:   x 2 + x + 1 − x 2 = lim x +1 1+ 1 lim  x 2 + x + 1 − x  = lim = lim x =1 x→+∞   x →+∞  x→+∞ 2 x→+∞ 2  x 2 + x +1 + x x + x +1 + x 1+ 1 + 1 +1 x x2   VÝ dô 3: TÝnh: lim  x 2 + 3x + 1 + x  x→−∞     Gi¶i: Ta cã:   3x + 1 3+ 1 3+ 1 lim  x 2 + 3x + 1 + x  = lim = lim x = lim x =−3 x→−∞   x →−∞  x→−∞ 2 x→−∞ 2  x 2 + 3x + 1 − x x + 3x + 1 −1 − 1 + 3 + 1 −1 x x x2 (Chó ý: khi x → −∞ lµ ta xÐt x < 0, nªn x = − x 2 ) lim f x = 0 (Ho c b ng L) x→x ( ) D NG VII: CH NG MINH 0 Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý gi i h n k p GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
Gi s J là m t kho ng ch a x0 và f, g, h là ba hàm s xác ñ nh trên t p h p J \ x { 0 } khi ñó:  { }  ∀x ∈ J \ x 0 :g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )   ⇒ lim f ( x ) = L  lim g ( x ) = lim h ( x ) = L x →x  x →x x →x 0  0 0 2 VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x = 0 x→+∞ 1 + x 4 Gi¶i: 2 2 2 2 Ta lu«n cã: | f ( x ) |= x sin x ≤ x ⇒ − x ≤ f ( x ) ≤ x 1+ x4 1+ x4 1+ x4 1+ x 4 1 1 2 2 2 lim x = lim x = 0; lim x = lim x2 = 0 x→+∞ 1 + x 4 x→+∞ 1 + 1 x→−∞ 1 + x 4 x→−∞ 1 +1 . x4 x4 2 2 2 ⇒ lim x = lim x = 0 ⇒ lim x sin x = 0 x→+∞ 1 + x 4 x →−∞ 1 + x 4 x→+∞ 1 + x 4 D NG VIII: GI I H N M T BÊN Phương pháp gi i: S d ng ñ nh nghĩa gi i h n m t bên • Gi s hàm s f xác ñ nh trên kho ng (x0;b) . Ta nói hàm s f có gi i h n bên ph i là L khi x d n ñ n x0 (ho c t i ñi m x0 ),n u v i m i dãy (xn ) trong kho ng (x0;b) mà limxn = x0 ,ta ñ u có limf(xn ) = L . ð nh nghĩa tương t cho lim− f(x) = L . x→x 0 Hàm s có gi i h n t i x0 và lim f(x) = L t n t i lim f(x) , lim− f(x) = L x→x 0 x→x+ x→x 0 0 và lim f(x) = lim− = L . x→x+ x→x 0 0  3 x víi x < −1 VÝ dô 1: Cho hµm sè f (x) =  . T×m lim f ( x )  2x 2 − 3 víi x ≥ −1 x→−1  Gi¶i: 2  2x − 3  = 2.( −1) − 3 = −1 (1)  2  Ta cã: lim f ( x ) = lim + + x→ −1 x→ −1       lim − f ( x ) = lim − x3 = −1 (2) x→ −1 x→ −1     Tõ (1) vµ (2) suy ra lim f ( x ) = −1 x→−1  1  khi x > 1 x +1 VÝ dô 2: Cho hµm sè f ( x ) =    −1 khi x < 1  x +1  a) T×m lim f ( x ) x→2 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
b) T×m lim f ( x ) x→1 Gi¶i: a) lim f ( x ) = lim 1 =1 x→2 x→2 x + 1 3 b) lim f ( x ) x→1 Ta cã: lim f ( x ) = lim 1 = 1 ; lim f ( x ) = lim −1 = − 1 ⇒ lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) suy ra x→1+ x→1+ 1+ x 2 x→1− x→1− 1 + x 2 x→1+ x→1− kh«ng tån t¹i lim f ( x ) x→1 (Chó ý: lim f ( x ) tån t¹i khi vµ chØ khi lim f ( x ) = lim − f ( x ) = L th× lim f ( x ) = L ) x→x x →x + x →x x →x 0 0 0 0 D NG IX: KH D NG VÔ NH Phương pháp gi i: P(x) 1) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , víi lim P ( x ) = lim Q ( x ) = 0 : x →x Q ( x ) x →x x →x 0 0 0 • Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x − x 0 • NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l−îng liªn hiÖp. 2 VÝ dô 1: T×m: lim x − 9x + 14 x→2 x−2 Gi¶i: 2 lim x − 9x + 14 = lim ( x − 2 ) ( x − 7 ) = lim x − 7 = −5 x−2 x −2 ( ) x→2 x→2 x→2 VÝ dô 2: T×m: lim 4 + x − 2 x→0 4x Gi¶i: lim 4 + x − 2 = lim ( 4+ x −2 4+ x + 2 )( = lim ) 4+ x −4 = lim 1 = 1 x→0 4x x→0 4x 4 + x + 2 ( ) ( x→0 4x 4 + x + 2 x→0 4 4 + x + 2 16 ) ( ) 3 VÝ dô 3: T×m: lim x + 7 − 2 x→1 x −1 Gi¶i:  2  3  x + 7 − 2   3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4   3 x+7 −2    x + 7 − 23 lim = lim   = lim x→1 x −1 x→1  2  x→1  2   ( ) x −1  3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4   ( x −1)  3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4        = lim 1 = 1 x→1  3 2  12   ( x + 7) + 2.3 x + 7 + 4     VÝ dô 4: T×m: lim 2x + 5 − 3 x→2 x + 2 − 2 Gi¶i: lim 2x + 5 − 3 = lim ( 2x + 5 − 3 )( )( 2x + 5 + 3 x + 2 + 2 ) = lim ( 2x + 5 − 9 ) ( x + 2 + 2) = lim 2 ( x + 2 x→2 x + 2 − 2 x→2 ( x + 2 − 2 )( x + 2 + 2 )( 2x + 5 + 3) x→2 ( x + 2 − 4 ) ( 2x + 5 + 3) x→2 2x + 5 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
3 VÝ dô 5: T×m: lim x − 3x − 2 x→1 x −1 Gi¶i: 3  lim x − 3x − 2 = lim   x3 −1  −   ( 3x − 2 −1 ) = lim  x3 −1 − 3x − 2 −1  =  x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x −1      = lim  x 2 + x +1 − 3x − 2 −1   2 3  3 3  = lim  x + x + 1 −  = 3− = ( )  x→1 ( x −1) 3x − 2 +1  x→1  3x − 2 +1   2 2  4 x + 2 −1 VÝ dô 6: T×m: lim x→−1 3 x + 2 −1 Gi¶i: §Æt t = 12 x + 2 ⇒ x + 2 = t12 ⇔ x = t12 − 2, khi ®ã x → −1 th× t → 1 . Do ®ã: t3 −1 = lim ( 4 x + 2 −1 t −1)  t 2 + t +1   lim = lim   = lim t 2 + t +1 = 3 x→−1 3 x + 2 −1 t→1 t 4 −1 t→1 ( t −1)( t +1)  t 2 + 1 t →1 ( t + 1)  t 2 +1 4         3 VÝ dô 7: T×m: lim x + 7 − x + 3 x→1 x −1 Gi¶i: 3 lim x + 7 − x + 3 = lim 3    x + 7 − 2 −  ( x +3 −2 ) = lim  3 x + 7 − 2 − x +3 − 2  x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x −1          = lim  x + 7 − 23 − x + 3− 4  x→1   (  2  (  x −1)  3 x + 7  + 2.3 x + 7 + 4    x −1) x + 3 + 2 ( )                 1 1  1 −1 = −1 = lim  − = x→1 3 2 x +3 +2  12 4 6  ( x + 7) + 23 x + 7 + 4    P(x) 2) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , ta l−u ý: x→±∞ Q ( x ) • §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x) • Sö dông kÕt qu¶: lim 1 = 0 ( víi α > 0 ) x→∞ xα 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3x − 4x +1 x→+∞ −2x 2 + x +1 Gi¶i: 2 − 4x + 1 3− 4 + 1 x x2 lim 3x = lim =−3 x→+∞ −2x 2 + x + 1 x→+∞ −2 + 1 + 1 2 x x2 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
VÝ dô 2: T×m: lim x 2 + x + 1 − 3x x→−∞ 2 − 3x Gi¶i: 2 + x + 1 − 3x − 1+ 1 + 1 − 3 = −1 − 3 = 4 x x x2 lim = lim x→−∞ 2 − 3x x→−∞ 2 −3 −3 3 x 3 3 2 8x + 3x +1 − x VÝ dô 3: T×m: lim x →−∞ 4x 2 − x + 2 + 3x Gi¶i: 3 3 2 +1 − x 3 8 + 3 + 1 −1 3 lim 8x + 3x = lim x x3 = 8 −1 = 1 x→−∞ x→−∞ 4x 2 − x + 2 + 3x − 4− 1 + 2 +3 − 4 +3 x x2 3) D ng ∞ − ∞ và d ng 0.∞ • Nhân và chia v i bi u th c liên h p • N u có bi u th c ch a bi n x dư i d u căn ho c quy ñ ng m u ñ ñưa v cùng m t phân th c. VÝ dô : lim ( x2 + 2 x + 3 − x) x→+∞ Gi¶i: lim ( x2 + 2 x + 3 − x) = lim ( x + 2 x + 3 − x)( x + 2 x + 3 + x) 2 2 x→+∞ x→+∞ ( x2 + 2 x + 3 + x) 2x + 3 2+ 3 = lim = lim x =1 x→+∞ 2 + 2 x + 3 + x) x→+∞ 2 + 3 + 1) ( x ( 1+ x x2 GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN