ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
BÀI T
Ậ
P L
Ớ
N
XÂY D
Ự
NG CÂU H
Ỏ
I TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M KHÁCH QUAN
T
Ừ
BÀI TOÁN T
Ự
LU
Ậ
N
CH
Ủ
ĐỀ
: C
Ầ
U H
Ỏ
I PH
Ụ
KH
Ả
O SÁT HÀM S
Ố
Họ tên sinh viên : NGUYỄN THỊ KIM THOA
Giảng viên hướng dẫn: THẦY NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Lớp : Toán 4T
Mã sinh viên : 13S1011145
Huế, 04/2017
2
TOÁN 4T
NGUYỄN THỊ KIM THOA
CH
Ủ
ĐỀ
: C
Ầ
U H
Ỏ
I PH
Ụ
KH
Ả
O SÁT HÀM S
Ố
Bài toán 1: Cho hàm số
𝒚=𝒙𝟒+𝟐𝒎𝒙𝟐+𝒎𝟐+𝒎
có đồ thị là
'(𝑪𝒎)
. Với những giá
trị nào của
𝒎
thì đồ thị
(𝑪𝒎)
có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có một góc bằng
𝟏𝟐𝟎𝟎
?
Bài giải:
Ta có
𝑦′=4𝑥$+4𝑚𝑥;
𝑦%=0⇔4𝑥
(
𝑥&+𝑚
)
=0⇔
5
𝑥=0
𝑥&=−𝑚
Hàm số đã cho có ba cực trị
⇔𝑦%=0
có ba nghiệm phân biệt
⇔
𝑥&=−𝑚
có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔𝑚<0
.
Khi đó các điểm cực trị của
(𝐶𝑚)
là:
𝐴
(
0;𝑚&+𝑚
)
,𝐵
<√
−𝑚;𝑚
>
,𝐶(−
√
−𝑚;𝑚)
.
𝐴𝐵
?
?
?
?
?
@
=
<√
−𝑚;−𝑚&
>
,𝐴𝐶
?
?
?
?
?
@
=(−
√
−𝑚;−𝑚&)
.
Tam giác ABC cân tại A nên góc
120'
chính là góc A.
⇔𝑚+𝑚(
𝑚(−𝑚=−1
2⇒2𝑚+2𝑚(=𝑚−𝑚(⇔3𝑚(+𝑚=0⇔
E
𝑚=0'(𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑚=− 1
√
3
!
Vậy giá trị
𝑚
thoả yêu cầu bài toán là .
!
4
0
4
1. 1 . 1
120
22 2
.
AB AC m m m
AcosA
mm
AB AC
-- - +
=Û=-Û =-Û =-
-
"""# """#
"""# """#
3
TOÁN 4T
NGUYỄN THỊ KIM THOA
Phân tích:
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải hiểu được cực trị của hàm số trùng phương, từ
đó tìm được
𝑦%
, bước này liên quan đến kiến thức về cực trị của hàm số trùng phương.
Sau đó học sinh nhận ra rằng các em có đủ thông tin để tìm được giá trị của
𝑚
sao cho
đồ thị
(𝐶𝑚)
có ba điểm cực trị, nghĩa là phương trình
𝑦%=0
có ba nghiệm phân biệt.
Tiếp theo, học sinh cần phải tìm được toạ độ của các điểm cực trị.
Tiếp theo, học sinh nhận ra rằng tam giác ABC cân tại A nên góc
120'
chính là góc A,
nhiệm vụ bây giờ của học sinh là phải tìm
𝑚
để
𝐴
J
=120'
, học sinh phải nhận ra rằng em
có đủ thông tin để tìm
𝑚
và thông tin có được là công thức tính cosin góc giữa hai vectơ
𝐴𝐵
?
?
?
?
?
@
,𝐴𝐶
?
?
?
?
?
@
là công cụ phù hợp để sử dụng. Cuối cùng là tiến hành quá trình tính toán…
Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng rằng câu hỏi đang cố gắng để làm nhiều
thứ cùng một lúc.
Nếu các em thất bại ở bước đầu, là học sinh không biết được muốn tìm m để hàm số có
ba cực trị thì đầu tiên ta phải tính
𝑦%
, thì câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về
khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi như: tính
𝑦%
để tìm m sao cho
hàm số có ba cực trị, tìm toạ độ các điểm cực trị, công thức tính cosin góc giữa hai vectơ,....
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của câu hỏi thì học
sinh có thể trả lời được.
Sau đây là các câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra một số khía cạnh xuất hiện trong bài
toán trên:
Với khái niệm cực trị, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức
như sau:
Câu 1: Cho hàm số
𝑦=−𝑥(+2𝑥&+3
. Hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã
cho là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.
−4𝑥$+𝑥=0
B.
4𝑥$+𝑥=0
C.
𝑥$−𝑥=0
D.
𝑥$+𝑥=0
Muốn làm được câu này, học sinh phải biết được rằng hoành độ các điểm cực trị của
hàm số trùng phương là nghiệm của phương trình
𝑦%=0⇔−4𝑥$+4𝑥=0
⇔𝑥$−𝑥=0.
Đáp án là C.
4
TOÁN 4T
NGUYỄN THỊ KIM THOA
Các đáp án nhiễu là A, B rất dễ gây nhầm lẫn cho học sinh vì học sinh thường đạo hàm
ra biểu thức có chứa
−4𝑥$
.
Bước thứ hai của bài toán là tìm
𝑚
để đồ thị
(𝐶𝑚)
có ba điểm cực trị, một câu hỏi để
kiểm tra kiến thức đó là:
Câu 2: Cho hàm số
𝑦=𝑥(+2𝑚𝑥&+2
. Giá trị của
𝑚
để hàm số đã cho có ba cực trị là:
A.
𝑚<0
B.
𝑚=0
C.
𝑚>0
D.
𝑚≠0
Đầu tiên ta tính:
𝑦′=4𝑥$+4𝑚𝑥
;
Ở câu hỏi 1, ta đã biết rằng hoành độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương là
nghiệm của phương trình
𝑦%=0
, nên ở câu hỏi 2, học sinh phải hiểu được rằng: Hàm số
đã cho có ba cực trị
⇔𝑦%=0
có ba nghiệm phân biệt
⇔
𝑥&=−𝑚
có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔𝑚<0
.
Đáp án là A.
Bước tiếp theo của bài toán là tìm toạ độ các điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra khả năng
đó là:
Câu 3: Cho hàm số
𝑦=𝑥(−2𝑥&+5
. Toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
là:
A. (
0;5
)
,
(
1;−4
)
,(−1;4)
B. (
0;−5
)
,
(
1;4
)
,(−1;−4)
C. (
0;−5
)
,
(
1;−4
)
,(−1;4)
D. (
0;5
)
,
(
1;4
)
,(−1;4)
Ta cần tìm nghiệm của phương trình
𝑦%=0
, rồi thay các giá trị x tìm được vào
𝑦=
𝑥(−2𝑥&+5
ta tìm được y.
Đáp án là D.
Việc nhận ra dạng của tam giác tạo bởi ba điểm cực trị trong trường hợp này rất quan
trọng, giúp ta biết được góc
120'
là góc nào. Lúc này bài toán trở nên dễ dàng hơn. Một
cầu hỏi để kiểm tra khía cạnh này là:
Câu 4: Cho hàm số
𝑦=𝑎𝑥(+𝑏𝑥&+𝑐'(𝑚≠0)
có ba cực trị. Tam giác tạo bởi ba điểm
cực trị M, N, P của đồ thị hàm số đã cho có đặc điểm gì?
A. MNP là tam giác vuông. B. MNP là tam giác đều.
C. MNP là tam giác cân. D. MNP là tam giác có một góc tù.
( )
2
2
0
04 0 x
yxxmxm
=
é
=Û+ =Û
ê=-
ë
¢
5
TOÁN 4T
NGUYỄN THỊ KIM THOA
Đối với học sinh có lực học trung bình, đây là một câu hỏi khó. Học sinh có thể nhận ra
đặc điểm của tam giác dựa vào toạ độ các đỉnh, cụ thể ở đây là có một đỉnh thuộc trục tung,
hai đỉnh còn lại đối xứng nhau qua trục tung. Hoặc có thể nhận ra rằng tam giác đó là tam
giác cân dựa vào các bài toán khảo sát hàm số của hàm số trùng phương (nếu học sinh đã
được học).
Đáp án là C.
Bước cuối cùng của bài toán là xác định góc nào bằng
120'
, từ đó áp dụng công thức
tính cosin góc giữa hai vectơ để tìm
𝑚
.
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại
𝐴
với
𝐴
(
0;𝑚&+𝑚
)
,𝐵
(
𝑚;𝑚
)
,𝐶
(
−𝑚;𝑚
)
'
với
𝑚≠0
.
Giá trị
𝑚
để tam giác ABC có một góc bằng
120'
là:
A.
𝑚=±
√
3;𝑚=±
√
$
$
B.
𝑚=±
√
$
$
C.
𝑚=
√
3
D.
𝑚=±
√
3
Tam giác ABC cân tại
𝐴
nên góc
120'
chính là góc
𝐴
.
𝐴𝐵
?
?
?
?
?
@
=
(
𝑚;−𝑚&
)
,𝐴𝐶
?
?
?
?
?
@
=(−𝑚;−𝑚&)
.
⇒−2𝑚&+2𝑚(=−𝑚&−𝑚(⇔3𝑚(−𝑚&=0⇔
E
𝑚=0'(𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑚=±
√
3
3
Đáp án là B.
Bài toán 2: Cho hàm số
𝒚=𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐+𝟒'
có đồ thị
(𝑪)
. Gọi
𝒅𝒌
là đường thẳng đi qua
điểm
𝑨(−𝟏;𝟎)
với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng
𝒅𝒌
cắt đồ thị
(𝑪)
tại ba điểm
phân biệt A, B, C và hai giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác
có diện tích bằng 1.
Bài giải:
Ta có:
𝑑,:𝑦=𝑘𝑥+𝑘⇔𝑘𝑥−𝑦+𝑘=0
.
24
0
24
1. 1 1
120
22
.
ˆ
2
AB AC m m
AcosA
mm
AB AC
-+
=Û=-Û =-Û =-
+
!!!" !!!"
!!!" !!!"