BÀI TẬP CHUONG III
1. Cho
2 2
2
,
2
xy
f x y
x y
. Tính
2
2,1 ; 1,3 ; , 2 ; ,
.
2. Cho
2
, , ln sin
g x y z x y z
. Tính
2
1, , ; , , ; , ,
4
g e g t t t g x y x x y
.
3. Tìm miền xác định của các ham số sau
a)
2 2 2
, ln 4 4
f x y x x y
b)
, 1 1
f x y x y
c)
, ln
f x y x x y
d)
2 2
9
,
x y
f x y x y
e)
, cos
x
f x y arc
y
f)
2 2 2 2
, 1 ln 4
f x y x y x y
g)
2 2 2
, , 1
f x y z x y z
h)
, , ln 1
1 2 3
x y z
f x y z
4. Tìm giới hạn khi
, 0,0
x y của các hàm số sau
a)
2 2
2
, sin
2
x y
f x y y
y
b)
2
2 2
,
x y
f x y
x y
c)
2 2
2 2
,
1 1
x y
f x y
x y
5. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau
a)
2 2
, ln
f x y y x y
b)
2
3
, 4
f x y y x x y
c)
2 2
2
,
x xy y
f x y e
d)
3
3
,
x y
f x y
y x
e)
2
, arctan
1
y
f x y
x
f)
2 2
, ln
f x y x x y
g)
, tan 2
xy
f x y e x y
h)
2
, 0
y
f x y x x
i)
, , sin
xyz
y
f x y z e
x
j)
, , sin
y
f x y z z
x z
6. Tính vi phân toàn phần của các hàm số
a)
,
xy
f x y ye
b)
2 2
, ln 3 1
f x y x y
c)
, sin
x y
f x y e x y
d)
2 3
, ,
f x y z x y z
e)
2 2 2
, , ln
f x y z x y z
f)
, ,
y z x
f x y z xe ye ze
7. Tính gần đúng các số sau
a)
1,99
1,04 ln 1,02
b)
2
0,02
5 2,03
e
c)
2
3
3 4
1,03
0,98. 1,05
d)
2 2 2
3, 02 1, 99 5, 98
8. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau
a)
3 2
, 2
f x y x y x y
b)
2
, cos 2 3
f x y x y
c)
3
2 2
2
,
f x y x y
d)
, sin cos
f x y x y x y
9. Tính các đạo hàm riêng cấp cao của các hàm số sau
a)
, cos
y
f x y ax e
, tính
xyy
f
b)
, ,
xyz
f x y z e
, tính
yzy
f
c)
, , sin
xy
f x y z e z
, tính
zyx
f
d)
2 2 2
, , ln 2 3
f x y z x y z
, tính
xyz
f
10. Trong các hàm số sau, hàm số nào thỏa mãn phương trình
0
xx yy
u u
?
a)
2 2
,
u x y x y
b)
2 2
,
u x y x y
c)
3 2
, 3
u x y x xy
d)
3 2
, 3
u x y x xy
e)
2 2
, ln
u x y x y
f)
, cos cos
x y
u x y e y e x
11. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình 2
tt xx
u a u
a)
, sin .sin
u x t kx akt
b)
4 4
,
u x t x at x at
c)
, sin ln
u x t x at x at
12. a) Tìm hàm số
,
u x y
thỏa mãn phương trình
0
x
u
.
b) Tìm hàm số
,
u x y
thỏa mãn phương trình
0
xy
u
.
13. Dùng quy tắc lấy đạo ham của hàm số hợp, tính
dz
dx
.
a)
3 3
z u v
, trong đó 2, 1
x
u x v e
b)
2
1
z u v
, trong đó
, cos
x
u xe v x
14. Dùng quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp tính
,
z z
x y
a)
2 2 3
3
z u u v
, trong đó ,
y y
u xe v xe
b)
tan
z arc uv
, trong đó 2,
y
u x v xe
c)
3
u v
z e
, trong đó
2 2
,
u x y v xy
15. a) Chứng minh rằng hàm số
2 2 2
u x y z
thỏa mãn phương trình
2
xx yy zz
u u u
u
.
b) Chứng minh rằng hàm số
2 2
ln
z y x y
thỏa mãn phương trình
2
1 1
x y
z
z z
x y y
c) Chứng minh rằng hàm số
u xf x y yg x y
, trong đó
,
f g
là hai hàm số khả
vi thỏa mãn phương trình
2 0
xx xy yy
u u u
.
16. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn
a) 2 2
ln arctan
y
x y
x
, tính
', ''
y y
b)
cos cos 1
x y y x
, tính
'
y
c)
1 0
y x
xe ye
, tính
'
y
d)
2
sin 0
xy x y y
, tính
'
y
e)
0
xy yz xz

, tính
,
x y
z z
f)
2 2 2 2
x y z x y z
, tính
,
x y
z z
g) 4 2 3
xyz
yx x y e
, tính
,
x y
z z
h)
0
y x
xe yz ze
, tính
,
x y
z z
17. Tìm cực trị của các hàm số
a)
2 2
, 2 2 2 2
f x y x y xy x y
b)
, sin
f x y x y
c)
1
, 47
2 3 3
x y
f x y xy x y
d)
4 4
, 4 1
f x y x y xy
f)
2 3 2 2
, 3 3 3 2
f x y x y y x y
f)
2 3
,
f x y x y x y
g)
, 1
f x y xy x y
h)
2
2
, ln
f x y x x y
i)
, sin sin cos ,0 ,
4
f x y x y x y x y
j)
,
xy
f x y x y e
18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a)
,
f x y xy
với điều kiện
2 3 5 0
x y
b)
2
,
f x y x y
với điều kiện 2 2
1
x y
ĐÁP SỐ
1.
2
2
2 6 4
2,1 , 1,3 , , 2
3 19 1 8
x
f f f x x
x
,
2 2 2 2
2 2 2
,
2 2 4 2
xy kx hy hk
f x h y k
x y hx ky h k
.
2. 2
1, , 2
4
g e
,
2
, , ln sin
g t t t t t t
,
2
, , ln sin
g x y x x y x y x x y
3. a)
, 1 0
x y x y
b)
2
,
x y y x
c)
2 2
, 4 4
x y x y
d)
, 1 , 1
x y x x y y
e)
, 0 , 0
x y x x y x y
f)
2 2
, 9 , 0
x y x y x y x y
g)
, 0 , 1
x
x y x x y y
h)
2 2
, 1 4
x y x y
i)
2 2 2
, , 1
x y z x y z
j)
, , 1
1 2 3
x y z
x y z
4. a) 1 b) Không tồn tại giới hạn
c) 1 d) Không tồn tại giới hạn
e) 2
5. a)
4 2 5
5 2
x
f x y xy
5 2 4
2 5
y
f x y x y
b)
2
3
2 2
2
x
y
f
x y
3
2 2
2
y
xy
f
x y
c)
2 2
2
x
xy
f
x y
2
2 2
2 2
2
ln
y
y
f x y
x y
d)
2
3
4
2
x
y
f y
x
3
8
3
y
x
f x
y
e)
2 2
2
4
x xy y
x
f x y e
2 2
2 2
2
x xy y
y
f x y e
f)
2
3 2
3
x
x y
f
y x
3
4
3 1
y
x
f
y x
g)
2
2 2
2
1
x
xy
f
x y
2
2
2 2
1
1
y
x
f
x y
h)
2 2
1
x
f
x y
2 2 2 2
y
y
f
x y x x y
i)
2
1
tan 2
cos 2
xy xy
x
f ye x y e
x y
2
1
tan 2 2 cos
xy xy
y
f xe x y e
x y
j) 2
2 1
y
x
f y x
2
2 ln
y
y
f x y x
k) 2
sin cos
xyz xyz
x
y y y
f e yz e
x x x
1
sin cos
xyz xyz
y
y y
f e xz e
x x x
sin
xyz
z
y
f e xy
x
l)
2cos
x
zy y
f
x z
x z
cos
y
z y
f
x y x z
2
sin cos
z
y zy y
f
x z x z
x z
6. a)
2 2
3 3
df x y dx y x dy
b)
2 2
2
2 2
2
x y dx xydy
df
x y
c)
21
xy
df e y dx xy dy
d) 2 2
2 6
3 1
xdx ydy
df x y
e)
sin cos sin cos
x y
df e x y x y dx x y x y dy
f)
2
2 3
2 2 2 3
3
2
xy xz
df y z dx dy dz
y z y z
g) 2 2 2
xdx ydy zdz
df
x y z
h)
y x y z z x
df e ze dx xe e dy ye e dz
7. a) 9.99 b)
0.03
c) 1.05 d) 3.037 e) 1.027 f) 6.989
8. a)
2
6
xx
f xy
, 2
1
6
xy
f x y
y
, 3
3
2
2
yy
x
f x
y
b)
8cos 4 6
xx
f x y
,
12 cos 4 6
xy
f x y
,
18
cos 4 6
2
yy
f x y
c)
2 2
2 2
3. 2
xx
x y
f
x y
,
2 2
3
xy
xy
f
x y
,
2 2
2 2
3 2
yy
x y
f
x y