BÀI TOÁN SO SÁNH MỞ RỘNG

Chia sẻ: Nguyen Thanh Phat | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

271
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trước chúng ta đã xét bài toán so sánh tỷ lệ cá thể có đặc tính A trong hai tập hợp chính. bấy giờ chúng ta sẽ mở rộng bài toán này bằng cách xét bài toán so sánh đồng thời tỷ lệ cá thể có đặc tính A giữa nhiều tập hợp chính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI TOÁN SO SÁNH MỞ RỘNG

BAØI TOAÙN SO SAÙNH MÔÛ ROÄNG § 1. SO SAÙNH NHIEÀU TYÛ LEÄ Trong chöông tröôùc chuùng ta ñaõ xeùt baøi toaùn so saùnh tyû leä caù theå coù ñaëc tính A trong hai taäp hôïp chính. baáy giôø chuùng ta seõ môû roäng baøi toaùn naøy baèng caùch xeùt baøi toaùn so saùnh ñoàng thôøi tyû leä caù theå coù ñaëc tính A giöõa nhieàu taäp hôïp chính. Giaû söû ta coù k taäp hôïp chính H1, H2,... Hk. Moãi caù theå cuûa chuùng coù theå mang hay khoâng mang ñaëc tính A. Goïi p1 laø tyû leä coù theå mang ñaëc tính A trong taäp hôïp chính H i (i = 1, 2, ...k). Caùc tyû leä naøy ñöôïc goïi laø caùc tyû leä lyù thuyeát maø chuùng ta chöa bieát. Ta muoán kieåm ñònh giaû thieát sau: Ho: p1 = p2 = ... = pk (taát caû caùc tyû leä naøy baèng nhau). Töø moãi taäp hôïp chính Hi ta ruùt ra moät ngaãu nhieân coù kích thöôùc ni, trong ñoù chuùng ta thaáy coù mi caù theå mang ñaëc tính A. caùc döõ lieäu naøy ñöôïc trình baøy trong baûng sau ñaây: Maãu 1 2 ... k Toång Coù A m1 m2 ... mk m Khoâng l1 l2 ... lk l A Toång n1 n2 ... nk N=m+l= ∑ni Neáu giaû thieát Ho: p1 = p2 = ... = pk = p laø ñuùng thì tyû leä chung p ñöôïc öôùc löôïng baèng tyû soá giöõa soá caù theå ñaëc tính A cuûa toaøn boä k maãu goäp laïi treân toång soá caù theå cuûa k maãu goäp laïi. $ m p= N Tyû leä caù theå khoâng coù ñaëc tính A ñöôïc öôùc löôïng bôûi $ $ l q = 1− p = N
Khi ñoù soá caù theå coù ñaëc tính A trong maãu thöù i (maãu ruùt töø taäp hôïp chính H i) seõ xaáp xæ baèng µ $ nm mi = ni p = i N vaø soá caù theå khoâng coù ñaëc tính A trong maãu thöù i seõ xaáp xæ baèng $i = n q = n l i $ i i N µ Caùc soá mi vaø $ i ñöôïc goïi laø caùc taàn soá lyù thuyeát (TSLT), coøn i caùc soá mi, li ñöôïc goïi laø caùc taàn soá quan saùt (TSQS). Ta quyeát ñònh baùc boû Ho khi TSLT caùch xa TSQS moät caùch “baát thöôøng”. Khoaûng caùch giöõa TSQS vaø TSLT ñöôïc ño baèng test thoáng keâ sau ñaây: (m −m ) (l ) 2 2 k µ i k − $i l i i T= ∑ µ mi + ∑ $i l i =1 i =1 Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng neáu H o ñuùng vaø caùc taàn soá lyù thuyeát khoâng nhoû thua 5 thì T seõ coù phaân boá xaáp xæ phaân boá χ2 vôùi k – 1 baäc töï do. Thaønh thöû mieàn baùc boû H o coù daïng {T > c}, ôû ñoù c ñöôïc tìm töø ñieàu kieän P{T > c} = α. Vaäy c chính laø phaân vò möùc α cuûa phaân boá χ2 vôùi k – 1 baäc töï do. Chuù yù. TestthoángkeâT coù theåbieánñoåi nhösau. Ta coù: (l ) ( ) ( ) =(m −m ) 2 2 2 2 i − $i l = n i − mi − ni 1 − p  = mi − ni p $ $ µ i i   Do ñoù ∑ ( mi − mi ) 1 1 2 T= µ µ +$ ÷  m1 l i  µ 2 1 + 1  = ∑( mi − mi  n p $ )$ ÷ ÷  i 1 ni q  (m −m ) 2 k µ µ µ2 i i m2 mi mi mo = ∑ $ ni pq = ∑ i n pq $ −2 ∑ n pq$ + ∑ $ n pq i =1 i i i Chuùyù raèng µ mi mi 1 m µ2 m1 1 m ∑ $ = n i pq q $ ∑ mi = ; $ q ∑ = n pq $ $ q ∑ mi = q µ $ i Vaäy
1 m2 m 1 m2 $ p N2 m2 m T= pq$ ∑ i ni − = $ $ q pq ∑ i ni −N = $ q ml ∑ i ni −N l Neáu söû duïng coâng thöùc naøy ta seõ khoângcaàn tính caùc taàn soá lyù thuyeát, do ñoùnoùñöôïc duøngtrongthöïc haønh. Ví duï 1. So saùnhtaùc duïng cuûa 6 maãuthuoácthöû nghieämtreân6 loâ chuoät,keát quaûthuñöôïc nhösau: Maãu 1 2 3 4 5 6 Toång thuoác Soá soáng 79 82 77 83 76 81 478 Soá cheát 21 18 23 17 24 19 122 Toång 100 100 100 100 100 100 600 Ta muoánkieåmñònhgiaûthieát Ho: Tyû leä cheát trong 6 maãu thuoác laø nhö nhau Ñoái thieát H1: Tyû leä cheát trong 6 maãu thuoác laø khaùc nhau Giaûi 6002  792 822 812  (600)(478) Ta coù T=  + +L + − (478)(122)  100 100 100 122 = 2353,24 − 2350,81= 2,42 Vôùi möùcyù nghóaα =5%,trabaûngphaânboá χ vôùi 5 baäctöï dotacoù 2 χ2 = 11 0,05 ,07 Vì T < c neân ta chaáp nhaän H o. J Ví duï 2. Coù 4 thaàygiaùoA, B, C, D cuøngdaïy moätgiaùotrình thoángkeâ.Ban chuû nhieämkhoa muoántìm hieåu chaátlöôïng daïy cuûa 4 thaày naøy neânñaõ laøm moät cuoäc khaûosaùt.Keátquaûnhösau: Thaày A B C D Toång Keát quaû Ñaït 60 75 150 125 410 Khoâng ñaït 40 75 50 75 240 Toång 100 150 200 200 650 Vôùi möùc yù nghóa α = 0,01 coù theå cho raèngtyû leä hoïc sinh ñoã trong caùc hoïc sinhñaõhoïc caùcthaàytreânlaø nhönhauhaykhoâng? Giaûi. Ta coù
(650)2  602 752 1502 1252  (650)(410) T=  + + + − (410)(240)  100 150 200 200  240 = 1134,07− 1110,41= 23,65 Soá baäc töï do laø 3 vaø χ 0,01 = 11 2 ,343 . Vì T > c neân ta baùc boû giaû thuyeát Ho. Tyø leä hoïc sinh ñoã cuûa caùc thaày A, B, C, D nhö nhau. § 2. SO SAÙNH CAÙC PHAÂN SOÁ Xeùt moät boä A goàm r tính traïng, A = (A1, A2, ...Ar), trong ñoù moãi caù theå cuûa taäp hôïp chính H coù vaø chæ coù moät trong caùc tính traïng (hay phaïm truø) Ai. Goïi pi (i = 1, 2, ... r) laø tyû leä caù theå tính traïng A i trong taäp hôïp chính H . Khi ñoù veùctô π = (p1, p2, ...pr) ñöôïc goïi laø phaân boá cuûa A trong taäp hôïp chính H. Chaúng haïn, moïi ngöôøi ñi laøm coù theå söû duïng moät trong caùc phöông tieän sau: ñi boä, ñi xe ñaïp, ñi xe maùy, ñi xe buyùt. Trong thaønh phoá X coù 18% ñi boä, 32% ñi xe ñaïp, 40% ñi xe maùy vaø 10% ñi xe buyùt. Nhö vaäy π = (0,18; 0,32; 0,4; 0,1) laø phaân boá cuûa caùch ñi laøm (A ) trong taäp hôïp caùc daân cö cuûa thaønh phoá X. Töông töï moãi ngöôøi coù theå ñöôïc xeáp vaøo 1 trong 3 phaïm truø sau: raát haïnh phuùc, baát haïnh, hoaëc coù theå ñöôïc xeáp vaøo 1 trong 3 lôùp sau: döôùi 25 tuoåi, trong khoaûng töø 25 ñeán 45 tuoåi, treân 45 tuoåi... coù theå daãn ra raát nhieàu ví duï töông töï nhö vaäy. Giaû söû (p 1, p2,...pr) laø phaân boá cuûa (A 1, A2,...Ar) trong taäp hôïp chính X vaø (q 1, q2,...qr) laø phaân boá cuûa A = (A1, A2,...Ar) trong taäp hôïp chính Y. Ta noùi (A 1, A2...Ar) coù phaân boá nhö nhau trong X vaø Y neáu (p1, p2,...pr) = (q1, q2,...rr) ⇔ p1 = q1,...pr = qr. Chuùng ta muoán kieåm ñònh xem A = (A1, A2,...Ar) coù cuøng phaân boá trong X vaø Y hay khoâng döïa treân caùc maãu ngaãu nhieân ruùt töø X vaø Y. Toång quaùt hôn, giaû söû ta coù k taäp hôïp chính H1, H2,...Hk. Goïi i i ( π = p1,p2,K pir i ) laø phaân boá cuûa A = (A1, A2,...Ar) trong taäp hôïp chính H i. Ta muoán kieåm ñònh giaû thuyeát sau Ho: π1 = π2 = K = π k (Caùc phaân boá naøy laø nhö nhau treân caùc taäp hôïp chính H i). Chuù yù raèng H o töông ñöông vôùi heä ñaúng thöùc sau:
 p1 = p1 = K = p1 1 2 k  1  p2 = p2 = K = p2 2 k  1  pi = pi = K = pi 2 k  p1 = p2 = K = pk  r r r Töø moãi taäp hôïp chính chuùng ta choïn ra moät maãu ngaãu nhieân. Maãu ngaãu nhieân choïn töø taäp hôïp chính Hi ñöôïc goïi laø maãu ngaãu nhieân thöù i (i = 1, 2,... k). Giaû söû trong maãu ngaãu nhieân thöù i Coù n1i caù theå coù tính traïng A 1 n2i caù theå coù tính traïng A 2 .............................. nri caù theå coù tính traïng A r Ta xaép xeáp cacù soá lieäu ñoù thaønh baûng sau ñaây. Maãu Toång 1 2 J K Tính traïng soá A1 n 11 n 12 ... n 1j ... n 1k n 10 A2 n 21 n 22 ... n 2j ... n 2k n 20 ... ... ... ... ... ... ... ... Ai n i1 n i2 ... n ij ... n ik n i0 ... ... ... ... ... ... ... ... Ar n r1 n r2 ... n rj ... n rk n r0 Toång soá n o1 n o2 ... n oj ... n ok n k Kyù hieäu nio = ∑ nij j=1 r noj = ∑ nij i =1 Nhö vaäy n oj laø kích thöôùc cuûa maãu thöù j, coøn n io laø toång soá caù theå coù tính traïng A i trong toaøn boä k maãu ñang xeùt r k n = ∑ nio = ∑ noj i =1 j=1 Laø toång soá taát caû caùc caù theå cuûa k maãu ñang xeùt. Neáu giaû thieát H o laø ñuùng nghóa laø
 p1 = p1 = K = p1 = p1 1 2 k   p1 = p2 = K = p2 = p2 2 k  2  1  pi = pi = K = pi = pi 2 k  1  pr = pr = K = pr = pr 2 k  thì caùc tyû leä chung p 1, p2,...pr ñöôïc öôùc löôïng bôûi: $ n pi = io n Ñoù öôùc löôïng cho xaùc suaát ñeå moät caù theå coù mang tính traïng Ai. khi ñoù soá caù theå coù tính traïng Ai trong maãu thöù j seõ xaáp xæ baèng $ $ n n nij = noj pi = oj io n $ Caùc soá nij (i = 1,2,...r; j = 1,2,...k) ñöôïc goïi laø caùc taàn soá lyù thuyeát (TSLT), caùc soá n ij ñöôïc goïi laø caùc taàn soá quan saùt (TSQS). Ta quyeát ñònh baùc boû H o khi caùc TSLT caùch xa TSQS moät caùch baát thöôøng. Khoaûng caùch giöõa TSQS vaø TSLT ñöôïc ño baèng test thoáng keâ sau ñaây (n −n ) 2 $ k r ij (TSQS − TSLT)2 T = ∑∑ =∑ ij f =1 i =1 $ nij TSLT Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng neáu H o ñuùng vaø caùc TSLT khoâng nhoû hôn 5 thì T seõ coù phaân boá xaáp xæ phaân boá χ 2 vôùi (k- 1)(r-1) baäc töï do. Thaønh thöû mieàn baùc boû coù daïng {T > c} ôû ñoù c ñöôïc tìm töø ñieàu kieän P{T > c} = α. Vaäy c laø phaân vò möùc α cuûa phaân boá χ2 vôùi (k-1)(r-1) baäc töï do. Chuù yù. T coù theåbieánñoåi thaønhcaùc daïng sau ñaây. ( n −n ) 2 $ Ta coù ij ij n2 $ = ij − 2nij + nij $ nij $ nij Ñeå yù raèng: ∑∑ n = ∑∑ n $ ij ij =n n2 n2 n2   n2   Vaäy T = ∑ − 2n + n = ∑ = n∑ − n = n ∑ ij − 1 ij ij ij (1) $ ij n $ ij n nionoj  nionoj    $ Vôùi coâng thöùc naøy ta khoâng phaûi tính caùc TSLT nij , do ñoù thöôøng ñöôïc
söû duïng trong thöïc haønh. Ví duï 3. Ngöôøi ta muoán so saùnh soá baêng treân voû cuûa ba loaøi oác seân röøngI, II vaø III. Soá lieäu nghieâncöùu ñöôïc cho ôû baûngsau: Loaøi I II III Toång soá Soá baêng treân voû 0 49 31 126 206 1 hoaëc 2 33 20 56 109 3 hoaëc 4 52 20 83 155 5 trôû leân 35 29 109 173 Toång soá 169 100 374 643 Hoûi coù theåcho raèngsoá baêngtreânvoû coù phaânphoái nhö nhau treâncaû ba loaøi oác seânnaøy khoâng?Choïn möùc yù nghóalaø 5%. Giaûi. Ta tính thoángkeâ T theocoângthöùc (1)  492 312 1262 T = 643 + + +  (169)(206) (100)(206) (374)(206) 332 202 562 + + + + (169)(109) (109)(100) (109)(374) 292 1092  +L + + − 1 ≈ 10,4 (100)(173) (374)(173)  Tra baûngphaânboá χ2 vôùi baäctöï do(3 – 1)(4– 1) =6, tatìmñöôïc c = χ2 = 12,592 0,05 Giaù trò naøy lôùn hôn T. vaäy chuùngta chaápnhaänHo: Soá baêng treân voû coù phaân boá nhö nhau ñoái vôùi caû 3 loaøi oác seân röøng. Ví duï 4. ñaøi truyeàn hình vieät nam muoán thaêm doø yù kieán khaùn giaû veà thôøi löôïng phaùtsoùngphim truyeänVieät Nam haøngtuaàn.Phieáuthaêmdoù ñaëtra 4 möùc. A 1: Taêng thôøi löôïng phaùt soùng A2: Giöõ nhö cuõ A3: Giaûm A4: Khoâng yù kieán Ñaøi ñaõ tieán haønh thaêm doø ba nhoùm xaõ hoäi khaùc nhau: coâng nhaân, noâng daân, trí thöùc. Keát quaû cuoäc thaêm doø nhö sau: Taàng lôùp Coâng nhaân Noâng daân Trí thöùc Toång soá YÙù kieán Taêng 100 300 20 420
Nhö cuõ 200 400 30 630 Giaûm 50 80 5 135 Khoâng yù 30 70 5 105 kieán Toång soá 380 850 60 1290 Vôùi möùc yù nghóa α = 5%, coù söï khaùc nhau veà yù kieán trong caùc taàng lôùp xaõ hoäi treân hay khoâng? Giaûi. Taàn soá lyù thuyeát cuûa oâ “trí thöùc khoâng yù kieán” laø (60)(105) = 4,88, beù hôn 5 do ñoù ñieàu kieän cho pheùp aùp duïng tieâu chuaån “khi 1290 bình phöông” khoâng ñöôïc thoaû maõn. Ñeå khaéc phuïc khoù khaênnaøy coù hai caùch. Hoaëclaø gheùpdoøngcuoái cuøngvôùi moätdoøngnaøo ñoù, hoaëclaø gheùpcoät cuoái cuøngvôùi moätcoät naøo ñoù. Tuy nhieân raát khoù gheùpdoøng cuoái cuøng “khoângyù kieán” vôùi moät doøng naøo ñoù cho hôïp lyù. “Khoâng yù kieán” khaùc raát nhieàu vôùi vieäc “coù baøy toû yù kieán cuûa mình”. Hôïp lyù hôn ta gheùp coät cuoái cuøng “trí thöùc” vôùi coät “coâng nhaân” vì trí thöùc coù veõ gaàn vôùi coâng nhaânhôn laø noâng daân (ñeàu ôû khu vöïc thaønhthò). Nhö vaäy ta coù baûngmôùi sau: Taàng lôùp Coâng nhaân Noâng daân Toång soá YÙù kieán Vaø trí thöùc Taêng 120 300 420 Nhö cuõ 230 400 630 Giaûm 55 80 135 Khoâng yù kieán 35 70 105 Toång soá 440 850 1290 Söû duïng coângthöùc tìm ñöôïc  1202 702  T = 1290 +L + − 1 ≈ 10,059  (440)(220) (850)(105)  Tra baûngphaânboá χ2 ôû möùc5% vôùi baäctöï do laø(2 – 1)(4– 1) =3, ta tìm ñöôïc χ2 = 7,815 0,05 Soá naøy beù hôn T. vaây ta keát luaän raèng veà thôøi löôïng phaùt soùng phim Vieät Nam coù moät söï khaùc nhau veà yù kieán giöõa hai taàng lôùp xaõ hoäi: noâng daânvaø coângnhaânvieânchöùc. Chuù thích söû duïng Minitab Ñeå söû duïng Minitab thöïc hieän tieâu chuaån χ2 ta caàn laøm nhö sau. Caùc taàn soá quan saùt ñöôïc nhaäpvaøo döôùi daïng caùc coät soá lieäu, chaúng haïn caùc coät C 1 , C2 , C 3 vaø C4 baèng leänh READ. Sau ñoù
chuùng ta ñaùnh leänh CHIQUARE C1 – C4 Minitab seõ cho ta treân maøn hình caùc TSQS, TSLT, giaù trò cuûa test thoáng keâ “Khi bình phöông” T vaø soá baäc töï do. Ta chæ caàn tra baûng phaân boá χ2 ñeå tìm haèng soá c vaø so saùnh noù vôùi giaù trò cuûa T. Sau ñaây laø ví duï veà moät baûng maø Minitab cho ta treân maøn hình: MTB > READ C1 – C4 3 ROWS READ MTB > END MTB > MTB > CHISQUARE C1 – C4 C1 C2 C3 C4 Total 1 34 47 63 68 182 36.79 42.64 66.42 36.14 2 26 36 57 42 161 32.55 37.73 58.75 31.97 3 53 48 84 31 216 43.66 50.62 78.83 42.89 Total 113 131 204 111 559 Chisq = 11.299 DF = 6 MTB > § 2. PHAÂN TÍCH PHÖÔNG SAI MOÄT NHAÂN TOÁ Trong chöông 5 chuùng ta xeùt baøi toaùn so saùnh giaù trò trung bình cuûa hai taäp hôïp chính. Trong muïc naøy chuùng ta xeùt baøi toaùn toång quaùt; so saùnh ñoàng thôøi caùc giaù trò trung bình cuûa nhieàu taäp hôïp chính. Giaû söû ta coù k ÑLNN coù phaân boá chuaån X 1, X2, ... X k, trong ñoù ( ) X i : N µ i , σ2 . i Caùc giaù trò trung bình µi vaø phöông sai σ i ñeàu chöa bieát. Tuy 2 nhieân chuùng ta giaû thieát raèng caùc phöông sai baèng nhau: σ1 = σ2 = L = σ2 2 2 k Chuùng ta muoán kieåm ñònh xem lieäu caùc giaù trò trung bình µ i naøy coù nhö nhau hay khoâng: µ1 = µ 2 = L = µ k Trong thoán gkeâ vaán ñeà treân thöôøng ñöôïc xem xeùt döôùi goùc ñoä sau ñaây. Giaû söû chuùng ta quan taân ñeán moät nhaân toá X (factor) naøo ñoù. Nhaân toá X coù theå xem xeùt ôû k möùc khaùc nhau. Kyù hieäu X i
laø hieäu quaû cuûa vieäc taùc ñoäng nhaân toá X ôû möùc i ñoái vôùi caù theå. Nhö vaäy µi laø hieäu quaû trung bình cuûa nhaân toá X ôû möùc i. chuùng ta muoán bieát khi cho nhaân toá X thay ñoåi caùc möùc khaùc nhau thì ñieàu ñoù coù aûnh höôûng hay khoâng tôùi hieäu quaû trung bình. Ví duï. a) Chuùng ta muoán nghieân cöùu aûnh höôûng cuûa gioáng tôùi naêng suaát caây troàng.Nhaântoá ñaâylaø gioáng.Caùc loaïi gioángkhaùcnhaulaø caùc möùc cuûanhaân toá. Hieäu quaûcuûa gioángleân naêngsuaátcaây troàngñöôïc ño baèngsaûn löôïng cuûa caây troàng. Nhö vaäy X i chính laø saûn löôïng cuûa gioáng i vaø µi laø saûn löôïng trung bình cuûa gioáng i. b) Giaû söû raèng coù 4 giaùo sö Toaùn A, B, C, D ñang daïy moät giaùo trình xaùc suaát cho naêm thöù nhaát. Nhaø tröôøng muoán tìm hieåu xem ñieåm thi trung bình cuûa caùc sinh vieân thuï giaùo caùc giaùo sö naøy coù khaùc nhau hay khoâng. Trong boái caûnh naøy, nhaân toá laø giaùo sö. Moãi giaùo sö cuï theå laø moät möùc cuûa nhaân toá. Hieäu quaû cuûa giaùo sö A ñoái vôùi caù theå (sinh vieân) ñöôïc ño baèng ñieåm thi cuûa sinh vieân ñoù. Nhö vaäy X A laø ñieåm thi trung bình cuûa taát caû caùc sinh vieân naøy. Nhaø tröôøng muoán kieåm ñònh giaû thieát. µA = µB = µC = µD Giả sử {x11, x21,...xn11} laø moät maãu coù kích thöôùc n 1 ruùt ra töø 12 22 n2 2{x , x ,...x } taäp hôïp chính caùc giaù trò cuûa X 1; laø moät maãu kích thöôùc ruùt ra töø taäp hôïp chính caùc giaù trò cuûa X 2,..., {x1k , x2k ,...xnkk} laø moät maãu kích thöôùc n k ruùt ra töø taäp hôïp chính caùc giaù trò cuûa Xk. Caùc soá lieäu thu ñöôïc trình baøy thaønh baûng ôû daïng sau ñaây: Caùc möùc nhaân toá 1 2 ... k x 11 x 12 ... x 1k k x 21 x 22 ... x2k n= ∑n i=1 1 ... ... ... ... xn11 xn2 2 ... xnkk k Toång soá T1 T2 ... Tk T= ∑T i=1 k Trung bình T x1 x2 ... x= n Ta ñöa ra moät soá kí hieäu sau *) Trung bình cuûa maãu thöù i (töùc laø maãu ôû coät thöù i trong baûng treân):
ni xji ∑ Ti j=1 xi = = ni ni *) Trung bình chung k nj ∑∑ xij T x= = ∑∑ xij = i=1 j=1 n n n ôû ñoù n = n1 + n2 + ... + nk; T = T1 + T2 + ... + Tk. *) Toång bình phöông chung kyù hieäu laø SST (vieát taét laø chöõ Total Sum of Squares) ñöôïc tính theo coâng thöùc sau: n1 n2 nk ∑ ( xi1 − x) + ∑ ( xi2 − x) + L + ∑ ( xik − x) 2 2 2 SST = i =1 i =1 i =1 nk n j ∑∑ ( xij − x) 2 = j=1 i =1 coù theå chöùng minh raèng n1 n2 nk T2 STT = ∑ x2 + i1 ∑ x2 + L + i2 ∑ x2 − ik n i =1 i =1 i =1 2 T = ∑ x2 − ij n i, j +) Toång bình phöông do nhaân toá kyù hieäu laø SSF (vieát taét cuûa chöõ Sum of Squares for Factor) ñöôïc tính theo coâng thöùc sau: k ∑ ni ( xi − x) 2 SSF = i =1 2 2 T1 T2 T2 T2 = + +L + k − n1 n2 nk n +) Toång bình phöông do sai soá kyù hieäu laø SSE (vieát taét cuûa chöõ Sum of Squares for the Error) ñöôïc tính theo coâng thöùc:
n1 n2 nk ∑ ( xi1 − x) + ∑ ( xi2 − x2 ) + L + ∑ ( xik − xk ) 2 2 2 SSE = i =1 i =1 i =1 n1 2 n2 2 nk 2 T1 T2 Tk = ∑ x2 − i1 n1 + ∑ x2 − i2 n2 +L + ∑ x2 − ik nk i =1 i =1 i =1  T2 T2  = ∑∑ x2 −  n1 + L + nk ÷ ij  ÷ 1  k  Töø coâng thöùc treân ta thaáy SST = SSF + SSE + Trung bình bình phöông cuûa nhaân toá, kyù hieäu laø MSF (vieát taét cuûa chöõ Mean Square for Factor) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: SSF MSF = k −1 + k – 1 ñöôïc goïi laø baäc töï do cuûa nhaân toá. Trung bình bình phöông cuûa sai soá, kyù hieäu laø MSS (vieát taét cuûa chöõ Mean Square for Error) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: SSE MSE = n−k n – k ñöôïc goïi laø baäc töï do cuûa sai soá. + Tyû soá F ñöôïc tính bôûi coâng thöùc MSF F= MSE Caùc keát quaû noùi treân ñöôïc trình baøy trong baûng sau ñaây goïi laø ANOVA (vieát taét cuûa chuõ Analysis of Variance: phaân tích phöông sai) Baûng ANOVA Toång bình Trung bình Nguoàn Baäc töï do Tyû soá F phöông bình phöông Nhaân toá SSF k–1 MSF MSF/MSE Sai soá SSE n–k MSE Toång soá SST n–1 Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng neáu giaû ñuùng H tyû soá F o thieát thì MSF F= MSE seõ coù phaân boá Fisher vôùi baäc töï do laø (k – 1, n – k)
Thaønh thöû giaû thieát Ho seõ bò baùc boû ôû möùc yù nghóa α cuûa phaân boá Fisher vôùi baäc töï do laø (k – 1, n – k). Trong baûng IV, k – 1 ñöôïc goïi laø baäc töï do ôû maãu soá. Phöông phaùp kieåm ñònh noùi treân ñöôïc goïi laø phaân tích phöông sai moät nhaân toá. Caûm töôûng ban ñaàu cuûa ta laø ANOVA laø moät quaù trình raát phöùc taïp. Nhöng thöïc ra noù khaù ñôn giaûn ngay caû khi ta chæ coù maùy tính boû tuùi. Caùc böôùc trong ANOVA ñöôïc tieán haønh theo trình töï sau ñaây: Böôùc 1: Tính SSF Böôùc 2: Tính SST Böôùc 3: Tính SSE =SST – SSF SSF Böôùc 4: Tính MSF = k −1 SSE Böôùc 5: Tính MSE = n −1 MSF Böôùc 6: Tính F = MSE Böôùc 7: Tra baûngphaânboáF ñeåtìm c roài so saùnhvôùi F vaøruùtra keátluaän. Ví duï 5. thöïchieänphaântíchphöôngsai chobaûngsoálieäusauñaây. Caùc möùc nhaân toá Toång Nguoàn 1 2 3 4 soá 12 12 9 12 10 16 7 8 7 15 16 8 8 9 11 10 9 7 14 ni 6 4 5 4 n = 19 Ti 60 52 40 38 T = 190 Böôùc 1. 602 522 402 382 1902 SSF = + + + − 6 4 5 4 19 = 1957 − 1900 = 57 Böôùc 2.
1902 SST = 122 + 102 + 72 + L + 122 + 82 + 82 + 102 − 19 = 148 − 57 = 91 Böôùc 4. SSF 57 MSF = = = 19 k −1 3 Böôùc 5. SSE 148 148 MSE = = = = 6, 04 n − k 19 − 4 15 Böôùc 6. MSF 19 F= = = 3,13 MSE 6, 07 Ta trình baøy caùc keátquaûtính toaùntreântrong baûngANOVA. Toång bình Trung bình Baäc töï do Tyû soá F Nguoàn phöông bình phöông Nhaân toá 57 3 19 F = 3,13 Sai soá 91 15 6,04 Toång soá 148 18 Vôùi möùc yù nghóa5%, tra baûngphaânboá Fisher vôùi baäctöï do (3,15) ta ñöôïc: c =3,29. Ta coù F < c do ñoù ta chaáp nhaän H o . Ví duï 6. Ñieåm thi cuûa 12 sinh vieân hoïc caùc giaùo sö A, B, C ñöôïc cho trong baûngsau (thangñieåm100): Giaùo sö A Giaùo sö B Giaùo sö C 79 71 82 86 77 68 94 81 70 89 83 76 Vôùi möùcyù nghóa5%, kieåmñònhxemlieäuñieåmthi trungbình cuûacaùcsinh vieân theohoïc caùcgiaùosö A, B, C coù gioángnhauhaykhoâng. Giaûi. Keátquaûtính toaùncho ta baûngANOVA nhösau: Toång bình Trung bình Baäc töï do Tyû soá F Nguoàn phöông bình phöông Nhaân toá 354,67 2 177,34 4,96
Sai soá 322 9 35,78 Toång soá 676,67 11 Vôùi möùc yù nghóa α = 5%, tra baûng phaânboá Fisher vôùi baäc töï do (2,9), ta tìm ñöôïc c =4,26. Vì F > c neân ta baùc boû H o, nghóa laø ñieåm thi trung bình cuûa caùc sinh vieân theo hoïc caùc giaùo sö A, B, C laø khaùc nhau ôû möùc yù nghóa 5%. Chuù yù veà söû duïng Minitab. Ñeå tieán haønh phaân tích phöông sai treân maùy vi tính vôùi phaàn meàm Minitab, ñaàu tieân ta nhaäp caùc soá lieäu vaøo döôùi daïng caùc coät chaúng haïn caùc coat C1, C2, C3, C4. Sau ñoù chæ caàn goõ leänh AOVONEWAY C1 – C4 laø Minitab seõ cho hieän leân maøn hình baûng ANOVA tính treân döõ lieäu ñaõ ñöa vaøo. Ví duï 7. Tieán haønhphaântích phöôngsai baèngmaùytính (söû duïng Minitab) baûng soálieäusau: Ñieåm cuûa caùc giaùo sö An Vaân Ba Bình 56 61 58 68 64 66 60 74 67 52 65 59 61 48 49 54 70 47 75 66 56 64 Giaûi MTB >MameC1 “An” MTB >MameC2 “Van” MTB >MameC3 “Ba” MTB >MameC4 “Binh” MTB >SetC1 DATA >56, 64, 67, 61, 70 DATA >End MTB >SetC2 DATA >61, 66, 52, 48, 47, 56 DATA >End MTB >SetC3
DATA >58, 60, 65, 79, 75 DATA >End MTB >SetC4 DATA >68, 74, 59, 54, 66, 64 DATA >End MTB >AOVONEWAY C1 – C4 ANALYSIS OF VARIANCE SOURCE DF SS MS F P FACTOR 3 310,6 103,5 1,85 0,174 ERROR 18 1007,2 56,0 TOTAL 21 1317,8 α (3,18), Coâng vieäc coøn laïi laø tra baûng phaân boá Fisher vôùi baäc töï do = 5% möùc ñeå tìm ñöôïc c = 3, 16 soá naøy nhoû hôn F = 1,85. vaäy ta o. chaáp nhaän H Giaû söû vieäc phaân tích phöông sai daãn tôùi baùc boû Ho, nghóa laø coù söï khaùc nhau giöõa caùc trung bình. Nhö vaäy toàn taïi ít nhaát moät caëp µi, µj sao cho µi ≠ µj. Ñoâi khi ta caàn bieát cuï theå caëp µi ≠ µj ñoù laø caëp naøo. Caùc nhaø thoáng keâ ñaõ xaây döïng ñöôïc moät soá phöông phaùp ñeå so saùnh töøng caëp giaù trò trung bình hay so saùnh nhöõng toå hôïp phöùc taïp hôn cuûa caùc trung bình nhö phöông phaùp Dumcan, phöông phaùp Tukey, phöông phaùp Scheffe... Tuy nhieân trong giaùo trình naøy ta khoâng coù ñieàu kieän trình baøy nhöõng phöông phaùp ñoù. § 4. PHAÂN TÍCH PHÖÔNG SAI HAI NHAÂN TOÁ Treân thöïc te moät bieán löôïng chòu taùc ñoäng khoâng chæ moät nhaân toá maø coù theå hai (hay nhieàu nhaân toá). Chaúng haïn naêng suaát caây troàng chòu aûnh höôûng cuûa nhaân toá gioáng vaø cuûa nhaân toá ñaát. Keát quaû hoïc taäp cuûa moät sinh vieân chòu aûnh höôûng khoâng nhöõng bôûi nhaân toá giaûng vieân maø coøn bôûi nhaân toá só soá cuûa lôùp hoïc... Trong muïc naøy ta seõ trình baøy moät caùch vaén taét kyõ thuaät phaân tích phöông sai hai nhaân toá nhaèm phaùt hieän aûnh höôûng cuûa moãi nhaân toá cuõng nhö taùc ñoäng qua laïi cuûa hai nhaân toá ñoù ñeán bieán löôïng ñang xeùt. Giaû söû chuùng ta quan taâm tôùi nhaân toá A vaø B. Nhaân toá A ñöôïc xem xeùt ôû caùc möùc A1, A2, ...Ar, vaø nhaân toá B ñöôïc xem xeùt ôû caùc nöôùc B1, B2,...Bc. Goïi Xjk laø ÑLNN ño löôøng hieäu quaû vieäc taùc ñoäng cuûa möùc A j vaø Bk leân caù theå. Giaû söû x1jk, x2jk, ..., xnjk laø maãu kích thöôùc njk ruùt ra töø taäp hôïp chính caùc giaù trò cuûa Xjk. Ta goïi ñoù laø maãu (j, k). Ta ñöa ra moät soá kyù hieäu sau:
x jk : trung bình cuûa maãu (j, k) c n jo = ∑ n jk k =1 r nok = ∑ n jk j=1 n= ∑ n jo = ∑ nok j k ∑ n jk x jk ∑∑ xijk x jo = k = i k = trung bình cuûa möùc Aj n jo n jo ∑ n jk x jk ∑∑ xijk = trung bình cuûa möùc Bk j i j xok = = nok nok x = trung bình chung = ∑∑∑ xijk n Ta coù baûng sau ñaây ghi caùc keát quaû tính toaùn treân: A Trung bình B1 B2 ... Bk ... Bc B doøng Aj A1 x11 x12 ... x1k ... x1c x10 A2 x21 x22 ... x2k ... x2c x20 ... ... ... ... ... ... ... ... Aj xj1 xj2 ... xjk ... xjc xj0 ... ... ... ... ... ... ... ... Ar xr1 xr2 ... xrk ... xrc xro Trung bình x o1 x o2 x oc ... ... x coät Bk + Toång bình phöông chung, kyù hieäu laø SST, ñöôïc tính theo coâng thöùc sau: c r n jk ∑∑∑ ( xijk − x) 2 SST = k =1 j=1 i =1 + Toång bình phöông cho nhaân toá A, kyù hieäu laø SSFA ñöôïc tính theo coâng thöùc sau: c ∑ nok ( xok − x) 2 SSFB = k =1 + Toång bình phöông do sai soá, kyù hieäu laø SSE, ñöôïc tính theo coâng
thöùc c r n jk SSF = ∑∑∑ ( xijk − x−2 ) jk k =1 j=1 i =1 + Toång bình phöông do töông taùc (Sum of Squares for Interaction) kyù hieäu laø SSI, ñöôïc tính theo coâng thöùc. C r ∑∑ ( x jk − x jo − xko + x) 2 SSI = k =1 j=1 + Trung bình bình phöông cuûa nhaân toá A, kyù hieäu laø MSF A’ ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: SSFA MSFA = r −1 r – 1 goïi laø baäc töï do cuûa A baèng soá möùc cuûa A tröø 1. + Trung bình bình phöông cuûa nhaân toá B, kyù hieäu laø MSF B’ ñöôïc tính bôûi coâng thöùc. SSFB MSFB = c−1 c – 1 goïi laø baäc töï do cuûa B baèng soá möùc cuûa B tröø 1. + Trung bình bình phöông cuûa sai soá, kyù hieäu laø MSE, ñöôïc tính bôûi SSE MSE = n − cr n – cr goïi laø baäc töï do cuûa sai soá. + Trung bình bình phöông cuûa töông taùc, kyù hieäu laø MSI, ñöôïc tính bôûi SSI MSI = (c − 1)(r − 1) (c – 1) (r – 1) goïi laø baäc töï do cuûa töông taùc. Chuù yù raèng: (r – 1) + (c – 1) + (c – 1) (r – 1) + n – rc = n – 1 = baäc töï do toång coäng. + Tyû soá F cho nhaân toá A, kyù hieäu bôûi FA ñöôïc tính nhö sau. MSFA FA = MSE Töông töï tyû soá F cho nhaân toá B, FB ñöôïc tính bôûi MSFB FB = MSE
vaø tyû soá F cho töông taùc giöõa A vaø B, kyù hieäu laø FAB ñöôïc tính bôûi: M SI FAB = M SE Vôùi möùc yù nghóa α ñaõ cho ta kyù hieäu f (u, v) laø phaân vò möùc α cuûa phaân boá Fisher vôùi baäc töï do (u, v). Ta coù quy taéc quyeát ñònh nhö sau: + Neáu FA > f (r – 1, n – cr) thì ta baùc boû giaû thieát. A H o : “Caùc möùc A1,... Ar coù hieäu quaû trung bình nhö nhau” + Neáu FB > f (c – 1, n – cr) thì ta baùc boû giaû thieát: H B : “Caùc möùc B1, B2, ... Bc coù hieäu quaû trung bình nhö nhau” o Neáu FAB > f ((r – 1)(c – 1), n – rc) thì ta baùc boû giaû thieát: AB H o : “Coù söï töông taùc giöõa A vaø B”. Treân thöïc haønh tính toaùn chuùng ta thöïc hieän nhö sau: Giaû söû Tjk laø toång caùc giaù trò trong maãu (j, k). Kyù hieäu  c r  T jo =  ∑ T jk , Tok = T jk∑ k =1 j=1  c r   n jo =∑ n jk , nok = n jk∑  k =1 j=1 T =   ∑ Tjo = ∑ Tok = ∑∑∑ xijk n =  ∑ n jo = ∑ nok A= ∑∑∑ x2 ijk (3) Ta coù caùc ñaúng thöùc sau: T2 SST = A − (4) n r 2 T jo T2 SSFA = ∑ n jo − n (5) j=1 c 2 Tok T 2 SSFB = ∑ n − n (6) k =1 ok
c r 2 T jk SSE = A − ∑∑ n jk (7) k =1 j=1 SSI = SST − SSF A − SSFB − SSE (8) Ñaëc bieät neáu taát caû caùc maãu baèng nhau njk = m vôùi moïi j, k thì: n jo = cm, nok = rm r do ñoù ∑ Tjo 2 T2 (5’) j=1 SSFA = − cm n r ∑ Tok 2 T2 (6’) k =1 SSFB = − rm n ∑∑ Tjk 2 (7’) k j SSE = A − m Tröôùc heát ta caàn tính caùc ñaïi löôïng Tjk. Tieáp theo tính caùc giaù trò Tjo, njo, nok, Tok, n, T vaø A theo caùc coâng thöùc (1), (2), (3). Töø ñoù tính SST, SSFA, SSFB, SSE vaø SSI theo caùc coâng thöùc (4), (5), (6), (7) (hoaëc (5’), (6’), (7’) neáu njk = m). Ví duï 8. Moät nhaø nghieân cöùu muoán khaûo saùt thôøi gian phaûn öùng cuûa nam giôùi vaø nöõ giôùi ñoái vôùi caùc loaïi tín hieäu khaùc nhau. Caùc ñoái töôïng tham gia thí nghieäm ñöôïc yeâu caàu nhaán nuùt ENTER treân baøn phím maùy tính ngay khi nhaän bieát tín hieäu thôøi gian (ño baèng giaây) giöõa luùc tín hieäu phaùt ra vaø luùc ñoái töôïng nhaän bieát ñöôïc ghi laïi. Sau ñaây laø keát quaû treân 15 nam vaø 15 nöõ. AÂm thanh AÙnh saùng Xung 10,0 6,0 9,1 7,2 3,7 5,8 Nam 6,8 5,1 6,0 6,0 4,0 4,0 5,0 3,2 5,1 10,5 6,6 7,3 8,8 4,9 6,1 Nöõ 9,2 2,5 5,2 8,1 4,2 2,5 13,4 1,8 3,9 Böôùc 1. Tính caùc Tjk = toång caùc soá lieäu trong moãi maãu. Ta ñöôïc keát quaû sau: AÂm thanh AÙnh saùng Xung Toång