Báo cáo khoa học: "Giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng ph-ơng pháp phân ly biến số"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo trình bày ph-ơng phân ly biến số để giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định dạng tổng quát.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng ph-ơng pháp phân ly biến số"

Gi¶i bμi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh tæng qu¸t b»ng ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè ThS. NguyÔn ®øc huy Bé m«n Kü thuËt nhiÖt - §H GTVT Tãm t¾t: Bμi b¸o tr×nh bμy ph−¬ng ph©n ly biÕn sè ®Ó gi¶i bμi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh d¹ng tæng qu¸t. Summary: The article presents the separation-of-variables method of solving the problem of unsteady conduction in general form. Nh− ®· biÕt, ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña hiÖn t−îng dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n Fourier: ∂t = a ∇2t (1) ∂τ λ - hÖ sè khuÕch t¸n nhiÖt, (m2/s); ë ®©y: a= cρ ∇2t - to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, trong hÖ to¹ ®é Descartes b»ng: ∂2t ∂2t ∂2t + + ∂y 2 ∂x 2 ∂z 2 HiÖn nay, trong c¸c tµi liÖu vµ gi¸o tr×nh TruyÒn nhiÖt, viÖc gi¶i (1) chØ ®−îc thùc hiÖn trong tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt: nhiÖt ®é chØ phô thuéc mét biÕn kh«ng gian, cã nghÜa: t = f(x, τ) (2) Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: ∂2t 1 ∂t = (3) a ∂τ ∂x 2 B»ng ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè, coi t cã thÓ ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng tÝch cña 2 hµm sè ®éc lËp: X = X(x) vµ T = T(τ) tøc lµ: t(x, τ) = X(x).T(τ) (4) ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t = (C1 cos kx + C2 sin kx) exp(- k2aτ) (5) NÕu nhiÖt ®é phô thuéc vµo 2 hay 3 biÕn kh«ng gian, cho ®Õn nay vÉn ph¶i sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng (sai ph©n h÷u h¹n, phÇn tö h÷u h¹n…) ®Ó t×m ph−¬ng tr×nh tr−êng nhiÖt ®é. Thùc ra, ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè vÉn cã thÓ ®−îc sö dông ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n Fourier trong tr−êng hîp tæng qu¸t, khi mµ nhiÖt ®é phô thuéc c¶ 3 biÕn kh«ng gian: t = f (x, y, z, τ) (6)
NhiÒu t¸c gi¶ nh− Frank Kreith & Mark S. Bohn [1], AndrÐ B. De Vriendt [2]… ®· chøng minh r»ng t cã thÓ ®−îc coi lµ tÝch cña 3 hµm: X τ = X(x, τ); Y τ = Y(y, τ); Z τ = Z(z, τ) tøc lµ: t(x, y, z, τ) = X(x, τ).Y(y, τ).Z(z, τ) (7) θ t − tL Θ= NÕu thay biÕn t b»ng nhiÖt ®é kh«ng thø nguyªn = (ë ®©y t0 vµ tL t−¬ng t0 − tL θ0 øng lµ nhiÖt ®é ®Çu vµ nhiÖt ®é m«i tr−êng láng bao quanh vËt, tL = const) th× (7) ®−îc viÕt l¹i thµnh: θ( x, y, z, τ) θ( x, τ) θ(y, τ) θ(z, τ) Θ= Θ τ .Θ τ .Θ = = (8) Z, τ X, Y, θ0 θ0 θ0 θ0 θ( x, τ) θ(y, τ) θ(z, τ) Θ Θ Θ ë ®©y: = , = , = X, τ Y, τ Z, τ θ0 θ0 θ0 t−¬ng øng lµ biÕn thiªn nhiÖt ®é theo ph−¬ng x, ph−¬ng y, ph−¬ng z ë nh÷ng thêi ®iÓm kh¸c nhau. XÐt vËt thÓ ®ång chÊt, ®¼ng h−íng, cã d¹ng h×nh hép ch÷ nhËt kÝch th−íc 2Lx, 2Ly, 2Lz trong hÖ to¹ ®é Descartes. ë thêi ®iÓm ®Çu, nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm trong vËt ®Òu b»ng t0, sau ®ã vËt ®−îc lµm nguéi trong m«i tr−êng chÊt láng cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi tL (tL< t0). HÖ sè to¶ nhiÖt gi÷a m«i tr−êng vµ bÒ mÆt vËt lµ α (W/m2.®é). CÇn x¸c ®Þnh ph©n bè nhiÖt ®é trong vËt t¹i thêi ®iÓm τ tuú ý, nãi c¸ch kh¸c, cÇn t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) ë d¹ng (6). Víi ®iÒu kiÖn nh− trªn cña bµi to¸n, tr−êng nhiÖt ®é sÏ ®èi xøng qua t©m h×nh hép, v× thÕ cã thÓ chän t©m h×nh hép lµm gèc to¹ ®é. Ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: ∂t ∂θ = a∇2t hoÆc = a.∇2θ (1') ∂τ ∂τ * §iÒu kiÖn ®Çu: τ = 0 → t (x, y, z) = t0 → θ = t0 - tL θ → =1 θ0 2Lz * §iÒu kiÖn biªn: τ > 0 2Ly ⎡ ∂θ( x, y, z, τ) ⎤ ± λ⎢ = αθ(x, y, z, τ) x = mL ⎥ ∂x ⎣ ⎦ x =mLx x 2Lx ⎡ ∂θ( x, y, z, τ) ⎤ ± λ⎢ = αθ(x, y, z, τ) ⎥ y = mL y ∂y ⎣ ⎦ y =mLy ⎡ ∂θ( x, y, z, τ) ⎤ ± λ⎢ = αθ(x, y, z, τ) z = mL ⎥ ∂z ⎣ ⎦ z =m Lz z
Do tÝnh ®èi xøng cña tr−êng nhiÖt ®é qua t©m h×nh hép ch÷ nhËt (gèc to¹ ®é) nªn ta còng cã: ⎡ ∂θ( x, y, z, τ) ⎤ = 0; ⎥ ⎢ ∂x ⎦ x =0 ⎣ ⎡ ∂θ( x, y, z, τ) ⎤ ⎥ ⎢ = 0; ∂y ⎦ y =0 ⎣ ⎡ ∂θ( x, y, z, τ) ⎤ =0 ⎢ ⎥ ∂z ⎣ ⎦ z =0 Theo kÕt qu¶ nhËn ®−îc khi gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n Fourier: ∂2t 1 ∂t = a ∂τ ∂x 2 nh− ®· ®−îc tr×nh bµy trong [4]: ∞ 2 sin δ i δ aτ θ Θ= ∑δ cos i x.exp(- δi2 2 ) = θ0 + sin δ i cos δ i b b i=1 i ∞ aτ δi ∑ Ai x. exp(- δi2 2 ) = cos b b i =1 2 sin δ i Ai = víi δ i + sin δ i . cos δ i nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1') ®−îc viÕt ë d¹ng t−¬ng tù nh− sau: δ j, y δ i,x ∞ ∞ ∞ δ k,z θ Θ= ∑ ∑ ∑ A i,x .A j,y .A k,z . cos L y cos = x. cos z. θ0 Ly Lz i=1 j =1 k =1 x 2 2 2 δ k ,z δ i,x δ j, y .exp[-( )aτ] + + 2 2 2 Ly Lx Lz NÕu chØ lÊy c¸c hÖ sè ®Çu tiªn cña tæng nãi trªn, ta cã thÓ viÕt nghiÖm ë d¹ng gän h¬n: δ1,y 2 2 2 δ1,y δ1,x δ1,z δ1,x δ θ Θ= y cos 1,z z .exp[-( )aτ] = A1,x.A1,y.A1, z.cos x cos + + θ0 2 2 2 Ly Lx Lz Lx Lz Ly C¸c hÖ sè A1,x, A1, y, A1, z vµ c¸c ®¹i l−îng δ1, x, δ1, y, δ1, z cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c ®å thÞ m« t¶ quan hÖ A1 = f(Bi); δ1 = ψ(Bi) ®−îc x©y dùng s½n trong c¸c tµi liÖu [1], [2], [3], tuú thuéc gi¸ trÞ cña tiªu chuÈn Biot tÝnh theo tõng trôc to¹ ®é t−¬ng øng, cô thÓ theo: α Bix = Lx λ
α Biy = Ly λ α Biz = Lz λ HiÖn nay, c¸c b¶ng tÝnh s½n hoÆc c¸c ®å thÞ cho tr−íc trong [2], [3] cã thÓ gióp ta ®¬n gi¶n hãa rÊt nhiÒu c¸c b−íc gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh tæng qu¸t b»ng c¸ch cho phÐp t×m θ( x, τ) θ(y, τ) θ(z, τ) Θ Θ Θ ®−îc ngay gi¸ trÞ cña = , = , = theo c¸c gi¸ trÞ t−¬ng øng X, τ Y, τ Z, τ θ0 θ0 θ0 cña c¸c cÆp sè (Bix, Fox), (Biy, Foy), (Biz, Foz). §Ó minh häa ph−¬ng ph¸p nãi trªn, ta xÐt mét thÝ dô cô thÓ sau: Cho mét khèi n−íc ®¸ h×nh hép ch÷ nhËt kÝch th−íc 0,2 × 0,06 × 0,1 m, cã nhiÖt ®é trong toµn khèi ë 2Lz= 0, 1 m thêi ®iÓm ®Çu t0 = -150C, hÖ sè dÉn nhiÖt λ = 2,2 W/m.®é, nhiÖt dung c = 1930 J/kg.®é, khèi l−îng riªng 2Ly= 0, 06 m ρ = 913 kg/m3. Khèi n−íc ®¸ tiÕp xóc víi m«i tr−êng 2Lx= 0, 2 m kh«ng khÝ cã nhiÖt ®é 220C, hÖ sè to¶ nhiÖt gi÷a kh«ng khÝ vµ bÒ mÆt khèi n−íc ®¸ α = 30 W/m2®é. CÇn tÝnh nhiÖt ®é t¹i bÒ mÆt khèi n−íc ®¸ sau 1 phót. Θ = Θ τ.Θ τ.Θ Ta cã quan hÖ: Z, τ X, Y, • X¸c ®Þnh ΘX, τ: α.L x 30.0,1 - TÝnh Bix = = = 1, 36 λ 2,2 - TÝnh Fox: Tr−íc hÕt tÝnh hÖ sè khuÕch t¸n nhiÖt a λ 2,2 = 1,25.10-6 m2/ s a= = cρ 1930 .913 1,25.10 −6.60 a.τ Fox = = = 0,0075 2 0,12 Lx - Tra b¶ng: ®−îc ΘX,τ = 0,885 • X¸c ®Þnh Θy,τ: α.L y 30.0,03 - TÝnh Biy = = = 0,41 λ 2,2 1,25.10 −6.60 a.τ - TÝnh Foy = = = 0,083 2 0,03 2 Ly
- Tra b¶ng: ®−îc Θy,τ = 0,88 • X¸c ®Þnh Θz,τ: α.L z 30.0,05 - TÝnh Biz = = = 0,68 λ 2,2 1,25.10 −6.60 a.τ - TÝnh Foz = = = 0,03 2 0,05 2 Lz - Tra b¶ng: ®−îc Θz,τ = 0,88 • TÝnh tÝch Θ = ΘX,τ.ΘY,τ.ΘZ,τ = 0,85.0,88.0,88 = 0,685 • TÝnh nhiÖt ®é t: t − tL t − 22 Θ= = 0,685 → t = - 3,30C = t0 − tL − 15 − 22 B»ng ph−¬ng ph¸p trªn, cã thÓ tÝnh ®−îc nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm cña khèi n−íc ®¸ t¹i thêi ®iÓm bÊt kú b»ng c¸ch thay c¸c gi¸ trÞ to¹ ®é vµ thêi gian t−¬ng øng. Còng cã thÓ gi¶i bµi to¸n ng−îc (cho tr−íc nhiÖt ®é, yªu cÇu tÝnh thêi gian) b»ng c¸ch tÝnh hoµn toµn t−¬ng tù. CÇn l−u ý r»ng víi d÷ kiÖn nh− tr−êng hîp trªn, ta kh«ng thÓ dïng ph−¬ng ph¸p nhiÖt ®é ®ång nhÊt (ph−¬ng ph¸p quy tô) ®Ó tÝnh nhiÖt ®é cña khèi n−íc ®¸ bëi lý do nh− sau: V Do chiÒu dµi quy −íc L cña khèi n−íc ®¸ b»ng: L = = 0,015 m nªn tiªu chuÈn Biot cña S α.L 30.0,015 nã cã gi¸ trÞ: Bi = = = 0,2 . Gi¸ trÞ nµy kh«ng ®¸p øng ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng ph¸p λ 2,2 nhiÖt ®é ®ång nhÊt (Bi ≤ 0,1) nªn kh«ng ®−îc phÐp ¸p dông ph−¬ng ph¸p ®ã. Ph−¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè kÕt hîp víi viÖc sö dông c¸c b¶ng tÝnh vµ ®å thÞ cho s½n sÏ gióp cho viÖc gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh d¹ng tæng qu¸t trë nªn ®¬n gi¶n vµ chÝnh x¸c h¬n nhiÒu so víi c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng ®· biÕt. Tµi liÖu tham kh¶o [1]. Frank Kreith & Mark S. Bohn, "Principles of heat transfer", West Publishing Company, 1993. [2]. AndrÐ B. De Vriendt, "La transmission de la chaleur", Gaetan Morin Ðditeur, 1990. [3]. D. Sivoukhine, "TÐplopÐrÐdatra", V−shaia Skola, 1988. [4]. NguyÔn §øc Huy, "Bµi gi¶ng m«n häc Kü thuËt nhiÖt", 2002