Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian Menger và không gian metric xác suất"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả: 10. Nguyễn Chí Thắng, Liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian Menger và không gian metric xác suất...Khoa học (trong tiếng Latin scientia, có nghĩa là "kiến thức" hoặc "hiểu biết") là các nỗ lực thực hiện phát minh, và tăng lượng tri thức hiểu biết của con người về cách thức hoạt động của thế giới vật chất xung quanh. Thông qua các phương pháp kiểm soát, nhà khoa học sử dụng cách quan sát các...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Liên hệ giữa không gian metric mờ với không gian Menger và không gian metric xác suất"

liªn hÖ gi÷a kh«ng gian metric mê víi kh«ng gian Menger vµ kh«ng gian metric x¸c suÊt NguyÔn ChÝ Th¾ng(a) α-møc, Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè tÝnh chÊt cña sè mê, tËp mèi liªn hÖ gi÷a chóng vµ ®a ra c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó kh«ng gian mªtric mê lµ kh«ng gian mªtric x¸c suÊt, hoÆc lµ kh«ng gian Menger vµ ngîc l¹i. α Kh¸i niÖm sè mê, tËp -møc vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã ®· ®îc c¸c t¸c gi¶ O. Kaleva vµ S. Seikkala giíi thiÖu trong [3]. Dùa vµo c¸c kh¸i niÖm nµy, c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra kh¸i niÖm vµ c¸c tÝnh chÊt cña kh«ng gian mªtric mê. Trong [2] c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra kh¸i niÖm kh«ng gian mªtric x¸c suÊt vµ kh«ng gian Menger. Mét vÊn ®Ò ®îc ®Æt ra lµ c¸c kh«ng gian mªtric mê cã mèi liªn hÖ g× víi kh«ng gian mªtric x¸c suÊt vµ kh«ng gian Menger?. Gi¶i quyÕt c©u hái nµy trong phÇn ®Çu cña bµi b¸o chóng t«i chøng minh α mét sè liªn hÖ gi÷a sè mê vµ tËp -møc. PhÇn tiÕp theo cña bµi b¸o chóng t«i nªu ra c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét kh«ng gian mªtric mê trë thµnh mét trong c¸c kh«ng gian nªu trªn vµ ngîc l¹i. 1. Më ®Çu µA : X → X A X tËp mê §Þnh nghÜa 1.1. ([1]) Cho tËp hîp . Mét trªn lµ mét ¸nh x¹ A = {(a, µA (a))|a ∈ X } [0, 1] X [0, 1] µA tõ vµo ®o¹n vµ ký hiÖu lµ . Hµm ®îc gäi lµ µA (a) ∈ [0, 1] a hµm liªn thuéc, møc ®é liªn thuéc gi¸ trÞ chØ cña phÇn tö vµo tËp mê A µA [0, 1] 0 møc . MiÒn gi¸ trÞ cña hµm chøa trong ®o¹n , trong ®ã gi¸ trÞ ®îc gäi lµ 1 ®é kh«ng liªn thuéc hoµn toµn, møc ®é liªn thuéc hoµn toµn cßn gi¸ trÞ chØ . A = {(a, µA (a))|a ∈ X } µA Ta còng ký hiÖu tËp mê ®¬n gi¶n lµ . A µA (a) = 0 rçng §Þnh nghÜa 1.2. ([1]) TËp mê ®îc gäi lµ nÕu hµm liªn thuéc , víi a ∈ X. A µA (a) = 1, toµn phÇn mäi TËp mê ®îc gäi lµ nÕu hµm liªn thuéc víi mäi a ∈ X. µ ν X µ ν §Þnh nghÜa 1.3. ([1]) Gi¶ sö vµ lµ c¸c tËp mê trªn . Ta ®Þnh nghÜa , µ ν µ=ν vµ nh sau x ∈ X, (1.0.1) µν µ(x) ν (x), khi vµ chØ khi víi mäi x ∈ X, (1.0.2) µν µ(x) ν (x), khi vµ chØ khi víi mäi x ∈ X. (1.0.3) µ=ν µ(x) = ν (x), khi vµ chØ khi víi mäi 1 - NhËn bµi ngµy 29/02/2008. Söa ch÷a xong ngµy 09/04/2008.
sè mê §Þnh nghÜa 1.4. ([3]) Mét lµ tËp mê trªn trôc sè thùc. Nãi c¸ch kh¸c, sè mê lµ x : R−→[0, 1] t∈R x(t) mét ¸nh x¹ ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc víi phÇn tö thuéc ®o¹n [0,1]. x : R → [0, 1], x t nöa liªn tôc trªn t¹i 0 Ta nãi sè mê lµ nÕu ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn t0 t¹i . x s t r låi Sè mê ®îc gäi lµ nÕu víi bÊt kú , th× ta cã min{x(s), x(r)}. (1.0.4) x(t) t0 ∈ R x x(t0 ) = 1 x NÕu tån t¹i sao cho sè mê tháa m·n ®iÒu kiÖn , th× ®îc gäi lµ sè mê chuÈn t¾c. x x(t) = 0 t
x∈R t∈R Chøng minh. ThËt vËy, gi¶ sö . Khi ®ã víi bÊt kú , ta cã t − x = 0, 1 1 x = t, nÕu nÕu 0(t − x) = = = x(t) . t − x = 0. 0 0 x = t. nÕu nÕu x x gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña §Þnh nghÜa 1.9. ([3]) Gi¶ sö lµ sè mê. Khi ®ã, ta nãi , ký |x| hiÖu lµ ®îc ®Þnh nghÜa nh sau max{x(t), x(−t))} t 0, nÕu |x|(t) = (1.0.9) 0 t < 0. nÕu y∈E 0−y ∈E −y §Þnh nghÜa 1.10. ([3]) Gi¶ sö , ta ký hiÖu phÇn tö lµ . α ∈ (0, 1] x α-møc (α-level set) §Þnh nghÜa 1.11. ([3]) Gi¶ sö lµ sè mê. Víi mçi , tËp x [x]α cña , ký hiÖu lµ ®îc x¸c ®Þnh nh sau [x]α = {t ∈ R|x(t) α}. (1.0.10) α NhËn xÐt 1.12. TËp -møc cña sè mê låi, chuÈn t¾c vµ nöa liªn tôc trªn lµ ®o¹n α α [x]α = aα , bα aα bα ∞ ∞ a ,b , nghÜa lµ , trong ®ã cã thÓ lµ - vµ cã thÓ lµ + . Khi ®ã − ∞, bα aα , +∞ ta ký hiÖu hoÆc lµ . ∅ λα : X × X → R X × X X §Þnh nghÜa 1.13. ([3]) Cho tËp hîp kh¸c . C¸c hµm tõ α ∈ (0, 1] α1 , α2 ∈ (0, 1] α1 < α2 kh«ng gi¶m theo R vµo ®îc gäi lµ , nÕu víi mäi , th× (x, y ) ∈ X × X λα1 (x, y ) λα2 (x, y ) ta cã , víi mäi . ∅ ρα : X × X → R X × X X §Þnh nghÜa 1.14. ([3]) Cho tËp hîp kh¸c . C¸c hµm tõ α ∈ (0, 1] α1 , α2 ∈ (0, 1] α1 < α2 kh«ng t¨ng theo R vµo ®îc gäi lµ , nÕu víi mäi , th× ta (x, y ) ∈ X × X ρα1 (x, y ) ρα2 (x, y ) cã , víi mäi . ∅ d:X ×X →G X ×X X §Þnh nghÜa 1.15. ([3]) Cho tËp hîp kh¸c , hµm tõ vµo L, R : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] G x vµ c¸c hµm lµ ®èi xøng, kh«ng gi¶m theo c¶ hai biÕn y L(0, 0) = 0 R(1, 1) = 1 vµ , ®ång thêi tho¶ m·n , . Gi¶ sö r»ng (1.0.11) d(x, y ) = λα (x, y ), ρα (x, y ) , α x, y ∈ X λ ρ (X, d, L, R) víi ; vµ nãi trong c¸c ®Þnh nghÜa 1.14 vµ 1.15. Khi ®ã ta nãi bé kh«ng gian mªtric mê (fuzzy metric space) vµ d lµ mªtric mê (fuzzy metric ), lµ nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y (i.) d(x, y ) = 0 x = y, khi vµ chØ khi x, y ∈ X, (ii.) d(x, y ) = d(y, x) , víi mäi x, y, z ∈ X (iii.) Víi mäi , th×
(1.) d(x, y )(s + t) L d(x, z )(s), d(z, y )(t) s λ1 (x, z ) t λ1 (z, y ) s + t λ1 (x, y ) víi , vµ , (2.) d(x, y )(s + t) R d(x, z )(s), d(z, y )(t) s λ1 (x, z ) t λ1 (z, y ) s + t λ1 (x, y ) víi , vµ . λα , ρα λα NhËn xÐt 1.16. a. Trong §Þnh nghÜa 1.15 c¸c hµm cã c¸c tÝnh chÊt lµ kh«ng α ρα α gi¶m theo , kh«ng t¨ng theo . b. Kh«ng gian mªtric th«ng thêng lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña kh«ng gian d mªtric mê. ThËt vËy, v× c¸c sè thùc ®îc xem lµ c¸c sè mê vµ mªtric trong kh«ng (X, d) L R gian mªtric tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña kh«ng gian mªtric mê víi vµ cho 0 a = b = 0, nÕu a, b ∈ [0, 1] L(a, b) = 0 R(a, b) = bëi víi mäi vµ 1 . trong c¸c trêng hîp cßn l¹i ∆ [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] ∆ t-chuÈn, §Þnh nghÜa 1.17. ([2]) Mét hµm : ®îc gäi lµ nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y a ∈ [0, 1]; ∆(a, 1) = a, (T-1) víi mäi a, b ∈ [0, 1]; ∆(a, b) = ∆(b, a), (T-2) víi mäi a, b, c, d ∈ [0, 1]; ∆(c, d) ∆(a, b), ca db (T-3) khi vµ , víi mäi a, b, c ∈ [0, 1]. ∆(a, ∆(b, c)) = ∆(∆(a, b), c) (T-4) , víi mäi F : R −→ R+ F hµm ph©n phèi §Þnh nghÜa 1.18. ([2]) Hµm ®îc gäi lµ nÕu lµ hµm inf F (t) = 0 supF (t) = 1 kh«ng gi¶m, nöa liªn tôc trªn, vµ . t∈R t∈R D Ký hiÖu lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm ph©n phèi. ∅ F : X×X → D X §Þnh nghÜa 1.19. ([2]) Gi¶ sö lµ mét tËp hîp kh¸c vµ lµ X×X D x, y ∈ X ¸nh x¹ tõ vµo tËp tÊt c¶ c¸c hµm ph©n phèi . Víi mçi ta ký hiÖu = F (x, y ) Fxy (X, F ) kh«ng gian mªtric x¸c suÊt (hay cßn ®îc . Khi ®ã, bé ®îc gäi lµ Fxy gäi lµ PM-kh«ng gian) nÕu hµm tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y Fxy (t) = 1 t>0 x = y, (1)' , víi mäi khi vµ chØ khi x, y ∈ X, Fxy (0) = 0 (2)' , víi mäi t∈R x, y ∈ X, Fxy (t) = Fyx (t) (3)' , víi mäi vµ víi mäi x, y, z ∈ X Fxz (t) = 1 Fzy (s) = 1 Fxy (s + t) = 1 (4)' NÕu vµ , th× , víi mäi . ∅ X (X, F, ∆) §Þnh nghÜa 1.20. ([2]) Gi¶ sö lµ mét tËp hîp kh¸c . Khi ®ã, ®îc gäi ∆ : [0, 1] × (X, F ) kh«ng gian Menger, lµ trong ®ã lµ kh«ng gian mªtric x¸c suÊt vµ [0, 1] −→ [0, 1] (x, y ) ∈ X × X t Fxy lµ mét -chuÈn, nÕu víi mçi , hµm ph©n phèi nöa Fxy (0) = 0 liªn tôc trªn, tháa m·n ®iÒu kiÖn vµ ®ång thêi tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y
(i) t > 0 Fxy (t) = 1 x = y, Víi mäi , khi vµ chØ khi x, y ∈ X, (ii) Fxy = Fyx , víi mäi x, y, z ∈ X, (iii) Fxy (s + r) ∆ Fxz (s), Fzy (r) , s, r 0 víi mäi víi mäi . NhËn xÐt 1.21. Khi nghiªn cøu kh«ng gian mªtric mê hoÆc kh«ng gian Menger, LR∆ chóng ta thêng chän c¸c hµm , , lµ mét trong c¸c hµm sau ®©y. T1 (a, b) = max(a + b − 1, 0) − 1, 0)) (max( tæng T2 (a, b) = ab ( ) tÝch T3 (a, b) = min(a, b) (min) T4 (a, b) = max(a, b) (max) T5 (a, b) = a + b − ab ( ) tæng - tÝch T6 (a, b) = min(a + b, 1) (min( , 1)) tæng Ti , i = 1, 2, ..., 6 i j Ti (a, b) C¸c hµm t¨ng dÇn theo chØ sè i, nghÜa lµ, nÕu th× a, b ∈ [0, 1] Tj (a, b) , víi mäi . 2. α-møc sè mê vµ tËp α Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè tÝnh chÊt vÒ sè mê, tËp -møc vµ mèi liªn hÖ gi÷a chóng. R lµ tËp c¸c sè mê låi, chuÈn t¾c vµ nöa liªn tôc trªn. §Þnh lý 2.1. x ∈ R, x(t) = 1 t=x x(t) = 0 Chøng minh. ThËt vËy, víi mçi ta cã khi vµ chØ khi vµ t=x x x khi . Do ®ã lµ sè mê chuÈn t¾c vµ nöa liªn tôc trªn. B©y giê ta chøng minh lµ s, r ∈ R. s t r, sè mê låi. ThËt vËy, víi mçi t sao cho trong ®ã Khi ®ã xÈy ra mét trong c¸c trêng hîp sau ®©y. x=t x(t) = 1 1. NÕu , th× . Lóc ®ã ta cã ngay min{x(s), x(r)} x(t) x = t, x(t) = 0 x=s x=r 2. NÕu th× . Khi ®ã ta cã c¸c trêng hîp sau: hoÆc lµ vµ , x=r x=s x=s x=r hoÆc lµ vµ , hoÆc lµ vµ . Trong c¸c trêng hîp ®ã ta ®Òu cã min{x(s), x(r)} = 0 x(t) x R VËy lµ sè mê låi, hay lµ tËp c¸c sè mê låi, chuÈn t¾c vµ nöa liªn tôc trªn. x, y ∈ E . (−y )(t) = y (−t), Gi¶ sö Khi ®ã, ta cã kÕt qu¶ sau ®©y §Þnh lý 2.2. ([3]) víi mäi t ∈ R vµ x − y = x + (−y ). x lµ låi nÕu vµ chØ nÕu, víi mçi α ∈ (0, 1] tËp α - møc [x]α Sè mê §Þnh lý 2.3. ([3]) lµ mét tËp låi trong R.
x, y ∈ E , víi [x]α = aα , bα [y ]α = aα , bα Gi¶ sö , . Khi ®ã, ta cã c¸c Bæ ®Ò 2.4. ([3]) 11 22 kÕt qu¶ sau ®©y [x + y]α = aα + aα , bα + bα , (2.0.12) 1 21 2 [x.y]α = aα .aα , bα .bα , víi x, y ∈ G, (2.0.13) 1212 [x − y]α = aα − bα , bα − aα , (2.0.14) 1 21 2 11 aα > 0, (2.0.15) [1/x]α = , , nÕu 1 b α aα 1 1 = max{0, aα , −bα }, max{|aα |, |bα |} . |x| (2.0.16) 1 1 1 1 α (X, d, L, R) lµ kh«ng gian mªtric mê. Gi¶ sö Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh §Þnh lý 2.5. sau ®©y lµ ®óng (1) Víi mçi t ∈ R+ vµ víi mçi α ∈ (0, 1], d(x, y )(t) α ta cã khi vµ chØ khi λα (x, y ) t ρα (x, y ). (2) Víi mçi t ∈ R+ vµ víi mçi α ∈ (0, 1], d(x, y )(t) < α ta cã khi vµ chØ khi λα (x, y ) > t, hoÆc lµ ρα (x, y ) < t. t ∈ R+ α ∈ (0, 1] (1) d(x, y )(t) α Chøng minh. Gi¶ sö vµ . Khi ®ã ta cã khi vµ chØ t ∈ [d(x, y )]α λα (x, y ) t khi . Khi ®ã dùa vµo (1.0.11) ta cã kÕt qu¶ t¬ng ®¬ng ρα (x, y ). t ∈ R+ α ∈ (0, 1] (2) d(x, y )(t) < α. B©y giê víi bÊt kú vµ , gi¶ sö ngîc l¹i §iÒu nµy t ∈ [d(x, y )]α t ∈ [λα (x, y ), ρα (x, y )] λα (x, y ) > t t¬ng ®¬ng víi , tøc lµ , khi vµ chØ khi , ρα (x, y ) < t. hoÆc lµ d(x, y ) ∈ G NhËn xÐt 2.6. Dùa vµo ®Þnh nghÜa kh«ng gian mªtric mê, ta cã víi mäi x, y ∈ X G . V× lµ tËp c¸c sè mê låi, chuÈn t¾c, nöa liªn tôc trªn vµ kh«ng ©m, nªn ta x, y ∈ X 0 d(x, y )(t) 1 t 0 cã , víi mäi vµ víi mäi . 3. liªn hÖ gi÷a kh«ng gian metric mê víi kh«ng gian metric x¸c suÊt vµ kh«ng gian menger Trong môc nµy chóng t«i xÐt mèi liªn hÖ gi÷a kh«ng gian mªtric mê víi kh«ng gian mªtric x¸c suÊt vµ kh«ng gian Menger.
(X, d, L, R) lµ kh«ng gian mªtric mê, trong ®ã c¸c hµm L, R lµ §Þnh lý 3.1. Gi¶ sö Ti , i = 1, 2, ..., 6. Ta ®Æt hµm F : X × X → G x¸c ®Þnh nh sau mét trong c¸c hµm 0 nÕu t = 0, F (x, y )(t) = 1 − d(x, y )(t) = 0. nÕu t (X, F ) lµ kh«ng gian mªtric x¸c suÊt. Khi ®ã, F Chøng minh. Ta sÏ chøng minh tháa m·n 4 ®iÒu kiÖn cña kh«ng gian mªtric x¸c suÊt. Fxy (t) = 1, t>0 d(x, y )(t) = 0 t>0 (1)'. Ta cã víi mäi khi vµ chØ khi , víi mäi . Nhê d(x, y ) = 0 ®Þnh nghÜa kh«ng gian mªtric mê ®iÒu nµy cã ®îc khi vµ chØ khi , t¬ng x = y. Fxy (t) = 1 t>0 x=y ®¬ng víi Nh vËy ta cã víi mäi khi vµ chØ khi . x, y ∈ X. Fxy (0) = 0, (2)'. HiÓn nhiªn ta cã víi mäi x, y ∈ X t∈R (3)'. Víi mäi , víi mäi , ta cã Fxy (t) = 1 − d(x, y )(t) = 1 − d(y, x)(t) = Fyx (t). Do ®ã ta cã t∈R x, y ∈ X. Fxy (t) = Fyx (t), víi mäi vµ víi mäi t, s ∈ R, x, y, z ∈ X Fxz (t) = 1 Fzy (s) = 1 (4)'. Gi¶ sö víi tho¶ m·n vµ . Khi ®ã ta cã d(x, z )(t) = 0 d(z, y )(s) = 0. vµ Tõ ®ã suy ra d(x, y )(t + s) L d(x, z )(t), d(z, y )(t) = L(0, 0) = 0, t λ1 (x, z ), s λ1 (z, y ) t+s λ1 (x, y ). víi mäi vµ §ång thêi d(x, y )(t + s) R d(x, z )(t), d(z, y )(t) = R(0, 0) = 0, t λ1 (x, z ), s λ1 (z, y ) t+s λ1 (x, y ). víi mäi vµ d(x, y ) ∈ G t, s ∈ R d(x, y )(t + s) = 0, Fxy (t + s) = 1 Do , tõ ®ã suy ra víi mäi , tøc lµ . t, s ∈ R Fxy (t) = 1 Fyz (t) = 1 Fxz (t + s) = 1 §iÒu nµy chøng tá nÕu vµ , th× víi mäi . (X, F ) VËy, lµ kh«ng gian mªtric x¸c suÊt. Gi¶ sö (X, F ) lµ kh«ng gian mªtric x¸c suÊt vµ d : X × X → G tõ §Þnh lý 3.2. X ×X G ®îc x¸c ®Þnh nh sau vµo d(x, y )(t) = 1 − Fxy (t), víi mäi t ≥ 0 vµ d(x, y )(t) = 0 víi mäi t < 0. (X, d, L, R) lµ kh«ng gian mªtric mê, víi c¸c hµm L, R x¸c ®Þnh nh sau Khi ®ã, 0 nÕu a = b = 0 L(a, b) = 0 víi mäi a, b ∈ [0, 1] R(a, b) = vµ 1 c¸c trêng hîp cßn l¹i.
d Chøng minh. Ta chøng minh ¸nh x¹ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa kh«ng gian mªtric mê. ThËt vËy, d(x, y ) = 0 d(x, y )(t) = 0, t>0 (i). Gi¶ sö ta cã . Khi ®ã víi mäi . §iÒu nµy suy ra Fxy (t) = 1, t>0 x = y. x=y Fxy (t) = 1 víi mäi . V× thÕ ta cã Ngîc l¹i, nÕu , th× víi t>0 d(x, y )(t) = 0 t>0 Fxy (0) = 0 d(x, y )(0) = 1 mäi . Khi ®ã víi mäi . V× , nªn . Tõ d d(x, y ) = 0. d(x, y ) = 0 x = y. c¸ch ®Æt ta suy ra VËy, khi vµ chØ khi x, y ∈ X. d(x, y ) = d(y, x), (ii). HiÓn nhiªn ta cã víi mäi x, y, z ∈ X a, b ∈ [0, 1] L(a, b) = 0 (iii). Víi mäi , v× víi mäi , nªn ta cã ngay d(x, y )(t + s) 0 = L(d(x, z )(t), d(z, y )(s)), s, t. víi mäi Suy ra d(x, y )(t + s) L(d(x, z )(t), d(z, y )(s)), s λ1 (z, y ), t λ1 (x, z ) s+t λ1 (x, y ). víi mäi vµ s λ1 (z, y ), t λ1 (x, z ) s+t λ1 (x, y ) d(x, z )(t) > 0 MÆt kh¸c víi mäi vµ ta cã , 0 nÕu a = b = 0 d(z, y )(s) > 0 d(x, y )(t + s) > 0 R(a, b) = vµ , h¬n n÷a 1 c¸c trêng hîp cßn l¹i, nªn ta cã d(x, y )(t + s) R(d(x, z )(t), d(z, y )(s)), s λ1 (z, y ), t λ1 (x, z ) s+t λ1 (x, y ). víi mäi vµ (X, d, L, R) VËy lµ kh«ng gian mªtric mê. (X, F, ∆) lµ kh«ng gian Menger, vµ d : X × X → G tõ X × X §Þnh lý 3.3. Gi¶ sö G ®îc x¸c ®Þnh nh sau vµo 0 t < txy , nÕu d(x, y )(t) = 1 − Fxy (t) nÕu t txy , t = sup{t|Fxy (t) = 0}. Khi ®ã, (X, d, L, R) lµ kh«ng gian mªtric mê, víi c¸c trong ®ã xy L, R cho bëi L(a, b) = 0 vµ R(a, b) = 1 − ∆(1 − a, 1 − b), víi mäi a, b ∈ [0, 1]. hµm (X, d, L, R) Chøng minh. Ta chøng minh tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong ®Þnh nghÜa kh«ng gian mªtric mê. d(x, y ) ∈ G Fxy Tríc hÕt dÔ thÊy r»ng tõ c¸c ®iÒu kiÖn cña c¸c hµm ph©n phèi ta cã x, y ∈ X L, R : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] L, R víi mäi vµ tõ c¸ch ®Æt ta suy ra c¸c hµm lµ ®èi x y L(0, 0) = 0 R(1, 1) = 1 xøng, kh«ng gi¶m theo c¶ hai biÕn vµ , ®ång thêi tho¶ m·n , . B©y giê ta kiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn (i), (ii) vµ (iii). d(x, y ) = 0 d(x, y )(t) = 0, t=0 d(x, y )(0) = 1 (i) Gi¶ sö , khi ®ã ta cã víi mäi vµ . Fxy (t) = 1, t>0 0 = txy x=y §iÒu nµy kÐo theo víi mäi . Suy ra vµ . Ngîc l¹i, nÕu x=y Fxy (t) = 1 t>0 t=0 Fxy (0) = 0 , th× víi mäi . Víi ta cã . §iÒu nµy kÐo theo txy = 0 d(x, y )(t) = 0 t=0 d(x, y )(0) = 1 d(x, y ) = 0 vµ víi mäi vµ . Do ®ã khi vµ chØ
x = y. khi x, y ∈ X t∈R F Fxy (t) = Fyx (t) (ii) Víi mäi vµ , v× lµ ¸nh x¹ ph©n phèi nªn . Do ®ã x, y ∈ X. d(x, y ) = d(y, x), víi mäi x, y ∈ X (iii)(1) HiÓn nhiªn víi mäi ta cã t, s ∈ R. d(x, y )(t + s) 0 = L d(x, z )(t), d(z, y )(t) , víi mäi x, y, z ∈ X txy ≥ 0 t, s (iii)(2) Víi mäi vµ víi mäi ta cã ∆(1 − d(x, z )(t), 1 − d(z, y )(s)) = ∆(Fxz (t), Fzy (s)) Fxy (t + s) ⇐⇒ 1 − ∆(1 − d(x, z )(t), 1 − d(z, y )(s)) 1 − Fxy (t + s) ⇐⇒ d(x, y )(t + s) x, y ∈ X. R(d(x, z )(t), d(z, y )(s)), víi mäi s λ1 (z, y ), t λ1 (x, z ) s+t λ1 (x, y ) txy V× thÕ víi mäi vµ ta cã d(x, y )(t + s) R(d(x, z )(t), d(z, y )(s)). (X, d, L, R) VËy lµ kh«ng gian mªtric mê. (X, d, L, R) lµ kh«ng gian mªtric mê tháa m·n ®iÒu kiÖn Gi¶ sö §Þnh lý 3.4. mäi x, y ∈ X vµ R(1, a) = R(a, 1) = 1, víi mäi a ∈ [0, 1]. lim d(x, y )(t) = 0, víi t→+∞ F Gi¶ sö hµm ®îc x¸c ®Þnh nh sau 0 t < λ1 (x, y ), nÕu Fxy (t) = 1 − d(x, y )(t) nÕu t λ1 (x, y ). ∆ cho bëi ∆(a, b) = 1 − R(1 − a, 1 − b), víi mäi a, b ∈ [0, 1]. Khi ®ã, (X, F, ∆) vµ hµm lµ kh«ng gian Menger . ∆ t Chøng minh. DÔ dµng kiÓm tra r»ng cho bëi c«ng thøc trªn lµ mét -chuÈn. V× d(x, y ) ∈ G d(x, y )(t) Fxy , lµ hµm nöa liªn tôc trªn, kh«ng ©m. §iÒu nµy kÐo theo còng Fxy Fxy lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn vµ lµ hµm ph©n phèi. B©y giê ta chøng minh tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña kh«ng gian Menger. Fxy (t) = 1 t>0 d(x, y )(t) = 0 t>0 (i)' Ta cã víi mäi khi vµ chØ khi víi mäi . V× d(x, y )(0) = 1 d(x, y )(t) = 0 t0 x = y. víi mäi khi vµ chØ khi t∈R Fxy (t) = Fyx (t) (ii)' HiÓn nhiªn ta cã víi mäi . x, y, z ∈ X s, t 0 d, R (iii)' Víi mäi vµ víi mäi , nhê c¸c tÝnh chÊt cña c¸c hµm vµ
∆ c¸ch ®Æt ta cã Fxy (t + s) = 1 − d(x, y )(t + s) 1 − R d(x, z )(t), d(z, y )(s) = 1 − R 1 − (1 − d(x, z )(t)), 1 − (1 − d(z, y )(s)) = 1 − R 1 − Fxz (t), 1 − Fzy (s) = ∆ Fxz (t), Fzy (s) . x, y, z ∈ X Fxy (t + s) ∆ Fxz (t), Fzy (s) s, t 0 Do ®ã , víi mäi vµ víi mäi . (X, F, ∆) VËy lµ kh«ng gian Menger. tµi liÖu tham kh¶o Fuzzy Topological Spaces, [1] S. Carlson, part I, Preprint. Generalized [2] S. S. Chang, B. S. Lee, Y. J. Cho, Y. Q. Chen, S. M. Kang, J. S. Jung, contraction mapping principle and differential equations in probabilistic metric spaces, 124 8 ( ), 1996, pp. 2367-2376. 12 On fuzzy metric spaces, [3] O. Kaleva, S. Seikkala, Fuzzy sets and systems, , 1984, pp. 215-229. summary some relations between fuzzy metric spaces and probabilistic metric spaces and Menger spaces α In this paper, we present some properties of fuzzy numbers, -level sets and re- lationships between them, and give conditions such that a fuzzy metric space is a probabilistic metric space or a Menger space and vice versa. (a) Cao häc 13 To¸n, §¹i häc Vinh.