Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số điều kiện để môđun có tính chất chuyển đổi là trơn"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trường đại học Huế đề tài: Tốc độ hội tụ các định lý giới hạn của tổng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số điều kiện để môđun có tính chất chuyển đổi là trơn"

T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 48, 2008 T C Đ H I T TRONG M T S Đ NH LÝ GI I H N Đ I V I T NG NG U NHIÊN QUA KHO NG CÁCH TROTTER Tr n L c Hùng, Tr n Thi n Thành Trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Hu TÓM T T M c đích chính c a bài báo này là thi t l p t c đ h i t trong m t s đ nh lý gi i h n đ i v i t ng ng u nhiên các bi n ng u nhiên đ c l p b ng phương pháp kho ng cách xác su t Trotter. 1. Đ t v n đ Phương pháp kho ng cách xác su t đư c s d ng r ng rãi trong Lý thuy t xác su t, nh t là trong các bài toán liên quan đ n các đ nh lý gi i h n (xem các tài li u [1], [2], [4], [7], [8], [9], [10]). M t trong s đó là kho ng cách Trotter đư c xây d ng trên cơ s toán t Trotter trong [3]. Kho ng cách Trotter đư c dùng nhi u trong vi c đánh giá t c đ h i t c a lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm c a t ng các bi n ng u nhiên (xem [1], [2], [9]). M c đích c a bài báo này là thi t l p t c đ h i t c a m t s đ nh lý gi i h n đói v i t ng ng u nhiên các bi n ng u nhiên đ c l p, cùng phân ph i b ng kho ng cách Trotter. Các k t qu nh n đư c là s ti p t c và t ng quát các k t qu trong [11], [12]. 2. Toán t và kho ng cách Trotter Gi s X là bi n ng u nhiên v i hàm phân ph i xác su t FX (x) = P(X < x). Ký hi u CB (R) là l p các hàm th c liên t c đ u, b ch n xác đ nh trên R và CB (R) = {f ∈ CB (R) : f (j ) ∈ CB (R), 1 ≤ j ≤ r} r Chu n c a hàm f ∈ CB (R) xác đ nh b i f = supx∈R |f (x)|. Đ nh nghĩa 0.1. Toán t Trotter TX : CB (R) → CB (R) xác đ nh b i t ∈ R, f ∈ CB (R). TX f (t) := Ef (X + t) = f (x + t)dFX (x), (1) R K t qu này đư c tài tr m t ph n kinh phí b i Chương trình NCCB 2006-2008 (B KHCN, mã s 101806), Đ tài KHCN 2007-2008 (B GD & ĐT) và Trung tâm H tr Nghiên c u Châu Á (VNU) 2007-2008 41
Toán t Trotter đư c nhà toán h c Trotter H. F. [3] đ t ra đ u tiên và đư c s d ng trong nhi u bài báo. Nó đư c xem như là m t phương pháp dùng trong ch ng minh các đ nh lý gi i h n như hàm đ c trưng trong xác su t. Đ nh nghĩa 0.2. Kho ng cách Trotter dT (X, Y ; f ) c a 2 bi n ng u nhiên X, Y ng v i hàm f ∈ CB (R) xác đ nh b i dT (X, Y ; f ) = sup |TX f (t) − TY f (t)|. (2) t∈R D a vào các tính ch t c a toán t Trotter (xem [3]), ta ch ng minh đư c các tính ch t sau c a kho ng cách Trotter. a. dT (X, Y ; f ) là m t kho ng cách xác su t. b. N u dT (X, Y ; f ) = 0 v i m i f ∈ CB (R), thì FX ≡ FY . c. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy bi n ng u nhiên và X là m t bi n ng u nhiên. N u lim dT (Xn , X ; f ) = 0, v i m i hàm f ∈ CB (R), n→+∞ thì lim FXn (x) = FX (x), ∀x ∈ C (F ). n→+∞ d. Gi s X1 , X2 , . . . Xn ; Y1 , Y2 , . . . Yn là các bi n ng u nhiên đ c l p (theo m i nhóm). Khi đó n n n ≤ dT Xj , Yj ; f dT (Xj , Yj ; f ) j =1 j =1 j =1 Hơn n a, n u các bi n ng u nhiên trong m i nhóm cùng phân ph i thì n n ≤ ndT (X1 , Y1 ; f ) dT Xj , Yj ; f j =1 j =1 e. N u N là bi n ng u nhiên nh n giá tr nguyên dương, đ c l p v i X1 , X2 , ..., Xn và Y1 , Y2 , ..., Yn thì ∞ N N k ≤ dT Xj , Yj ; f P (N = k ) dT (Xj , Yj ; f ) j =1 j =1 j =1 k=1 Hơn n a, n u các bi n ng u nhiên X1 , X2 , ..., Xn đ c l p, cùng phân ph i, Y1 , Y2 , ..., Yn đ c l p, cùng phân ph i và E (N ) < ∞, thì N N ≤ E (N ).dT (Xj , Yj ; f ) dT Xj , Yj ; f j =1 j =1 42
Đ nh nghĩa 0.3. Môđun liên t c c a hàm f v i δ > 0, ký hi u ω (f, δ ), xác đ nh bi ω (f, δ ) = sup {|f (x + h) − f (x)|, x ∈ R} |h|≤δ M t s tính ch t c a môđun liên t c đư c s d ng trong bài báo a. ω (f, δ ) → 0 khi δ → 0. b. V i λ ≥ 0 thì ω (f, λδ ) ≤ (1 + λ)ω (f, δ ). 3. K t qu chính Trong ph n này, ta gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy bi n ng u nhiên đ c l p, cùng phân ph i v i X . {Nn } là dãy bi n ng u nhiên nh n giá tr nguyên, dương và đ c l p v i m i Xj . Xét t ng ng u nhiên SNn = X1 + X2 + · · · + XNn (3) Trong các bài báo [11], [12] (cùng tác gi ) đã đưa ra m t s k t qu v gi i h n c a t ng ng u nhiên (3) b ng phương pháp hàm đ c trưng. Dư i đây, ta s thi t l p m t s k t qu v t c đ h i t c a t ng ng u nhiên qua kho ng cách Trotter (2). Nh ng k t qu này là s m r ng cho các k t qu đã có. Đ đơn gi n các k t qu , ta ký hi u X o là bi n ng u nhiên suy bi n t i 0 và X là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n t c N (0, 1). Đ nh lý 0.1. Gi s X có kỳ v ng 0 và moment tuy t đ i c p r +1 h u h n (r ≥ 2). ϕ(n) là hàm s không âm, xác đ nh trên N và th a mãn lim ϕ(n)E (Nn ) < ∞. lim ϕ(n) = 0, (4) n→∞ n→∞ Khi đó, v i f ∈ CB+1 (R), r dT (ϕ(n)SNn , X o ; f ) = O[ϕ(n)]. Nh n xét. Theo tính ch t c) c a kho ng cách Trotter và m i liên h gi a các d ng h i t trong lý thuy t xác su t, k t qu c a đ nh lý trên kéo theo r ng P ϕ(n)SNn − 0, → khi n → ∞. Ch ng minh. Trư c h t, do X o suy bi n t i 0 nên Nn Xo = Xo ∀n. P ϕ(n) = 1, j =1 43
Do gi thi t cùng phân ph i nên theo tính ch t e) c a kho ng cách Trotter, v i f ∈ CB+1 (R), suy ra r dT (ϕ(n)SNn , X o ; f ) ≤ E (Nn ).dT (ϕ(n)X, ϕ(n)X o ; f ) (5) = E (Nn ) sup |Tϕ(n)X f (t) − Tϕ(n)X o f (t)| t∈R M t khác, khai tri n Taylor hàm f và l y kỳ v ng 2 v , ta đư c Tϕ(n)X f (t) = Ef (ϕ(n)X + t) r f (j ) (t) j ϕr (n) ϕ (n)E (X j ) + E ([f (r) (η ) − f (r) (t)]X r ) = j! r! j =0 r f (j ) (t) j ϕr (n) ϕ (n)E (X j ) + xr [f (r) (η ) − f (r) (t)]dFX (x) = f (t) + j! r! R j =2 (6) (do EX = 0), trong đó |η − t| ≤ ϕ(n)|x|. Hơn n a, áp d ng tính ch t c a môđun liên t c, ta có xr [f (r) (η ) − f (r) (t)]dFX (x) ≤ |x|r ω (f (r) , ϕ(n)|x|)dFX (x) R R (7) ≤ ω (f (r) , ϕ(n)) |x|r (1 + |x|)dFX (x) R (r ) = [αr + αr+1 ]ω (f , ϕ(n)) trong đó αj = E (|X |j ) < ∞ (0 < j ≤ r + 1). K t h p (5), (6) và (7) v i chú ý r ng Tϕ(n)X o f (t) = f (t), suy ra r ||f (j ) || j ϕr (n) dT (ϕ(nSNn ,X o ; f )) ≤ E (Nn ) [αr + αr+1 ]ω (f (r) , ϕ(n)) ϕ (n)αj + j! r! j =2 r ϕr−1 (n) ||f (j ) || j −1 [αr + αr+1 ]ω (f (r) , ϕ(n)) = ϕ(n)E (Nn ) ϕ (n)αj + j! r! j =2 V i gi thi t (4) c a đ nh lý và tính ch t môđun liên t c, kéo theo dT (ϕ(n)SNn , X o ; f ) → 0 khi n → ∞. Hơn n a t c đ h i t đây là O[ϕ(n)]. Ta có đi u ph i ch ng minh. H qu 0.2. Gi s X có kỳ v ng 0 và EX 2 < ∞. Ch s Nn th a mãn lim E (Nn ) = n→∞ ∞. Khi đó SN n P → − 0. E (Nn ) Ch ng minh. Áp d ng đ nh lý 0.1 v i hàm ϕ(n) = [ENn ]−1 . 44
H qu 0.3. Gi s X có kỳ v ng µ = E (X ) và EX 2 < ∞. Ch s Nn th a mãn P Nn /n − 1. Khi đó → SN n P − µ. → n Ch ng minh. Áp d ng đ nh lý 0.1 v i dãy bi n ng u nhiên Yn = Xn − µ và hàm ϕ(n) = n−1 . Đ nh lý 0.4. Gi s X có kỳ v ng 0, moment tuy t đ i c p r + 1 h u h n (r ≥ 2). ϕ(n) là hàm s không âm, xác đ nh trên N và th a mãn lim E [Nn ϕ2 (Nn )] = 0. lim ϕ(n) = 0, (8) n→∞ n→∞ Khi đó, v i f ∈ CB+1 (R), r dT (ϕ(Nn )SNn , X o ; f ) = O[ENn ϕ2 (Nn )]. Nh n xét. K t qu c a đ nh lý 0.4 kéo theo r ng P ϕ(Nn )SNn − 0 → khi n → ∞. Ch ng minh. Hoàn toàn tương t trong ch ng minh đ nh lý 0.1, ta đư c ∞ dT (ϕ(Nn )SNn ,X o ; f ) ≤ kP (Nn = k )dT (ϕ(k )X, ϕ(k )X o ; f ) k=1 ∞ r ||f (j ) || j ϕr (k ) [αr + αr+1 ]ω (f (r) , ϕ(k )) ≤ kP (Nn = k ) ϕ (k )αj + j! r! j =2 k=1 r (j ) Nn ϕr (Nn ) ||f || αj E [Nn ϕj (Nn )] + E [αr + αr+1 ]ω (f (r) , ϕ(Nn )) = j! r! j =2 (9) M t khác, do lim ϕ(n) = 0 nên t n t i h ng s M : ϕ(n) ≤ M ∀n. Khi đó, v i n→∞ j > 2, E [Nn ϕj (n)] ≤ M j −2 E [Nn ϕ2 (Nn )] (10) V i gi thi t (8) c a đ nh lý và k t h p (9), (10), suy ra dT (ϕ(Nn )SNn , X o ; f ) → 0 khi n → ∞. Và t c đ h i t là O[ENn ϕ2 (Nn )]. Ta có đi u ph i ch ng minh. H qu 0.5. Gi s X có kỳ v ng µ = E (X ) và EX 2 < ∞. Ch s Nn th a mãn P Nn − ∞. Khi đó → SN n P → − µ. Nn Ch ng minh. Áp d ng đ nh lý 0.4 v i dãy bi n ng u nhiên Yn = Xn − µ và hàm ϕ(n) = n−1 . 45
Đ nh lý 0.6. Gi s X tuân theo phân ph i chu n t c N (0, 1) và ch s Nn th a mãn các đi u ki n E |Nn − ENn | ENn → ∞, → 0 khi n → ∞. ENn 2 Khi đó, v i f ∈ CB (R), dT (SNn / E Nn , X ; f ) → 0 khi n → ∞. SNn d → − N (0, 1). E (Nn ) Ch ng minh. Trư c h t, ta có đ ng nh t sau (v phân ph i) k X d √ X= k j =1 √ Đ t an = ENn . Theo tính ch t c a kho ng cách Trotter, ta có ∞ k k SN n X X √ ;f ≤ dT ,X ;f P (Nn = k ).dT , an an j =1 k j =1 k=1 (11) ∞ XX , √ ;f ≤ kP (Nn = k ).dT an k k=1 2 M t khác khai tri n Taylor hàm f ∈ CB (R) và l y kỳ v ng 2 v , ta đư c f (2) (t) X 1 x2 [f (2) (η1 ) − f (2) (t)]dFX (x) T X f (t) = Ef + t = f (t) + +2 2 an 2an 2an an R (2) X f (t) 1 x2 [f (2) (η2 ) − f (2) (t)]dFX (x) √ + t = f (t) + T X f (t) = Ef + √ 2k 2k k k R (12) trong đó |η1 − t| ≤ a−1 |x| và |η2 − t| ≤ k −1/2 |x|. Khi đó, k t h p (11), (12) và tương n t trong ch ng minh đ nh lý 0.1, ta suy ra ∞ f (2) SNn 1 1 C1 C2 + 2 ω (f (2) , a−1 ) + ω (f (2) , k −1/2 ) ≤ − dT ,X ;f kP (Nn = k ) n 2 an 2 an k 2an 2k k=1 ∞ f (2) |k − a2 | C1 k C2 + 2 ω (f (2) , a−1 ) + ω (f (2) , k −1/2 ) n = P (Nn = k ) n 2 2 an 2an 2 k=1 (2) E |Nn − ENn | C1 f C2 ω (f (2) , (ENn )−1/2 ) + − Eω (f (2) , Nn 1/2 ). = + 2 ENn 2 2 trong đó C1 = C2 = 1 + E |X |3 . V i các gi thi t c a đ nh lý, ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 46
Tài li u tham kh o [1] P. L. Butzer, L. Hahn, U. Westphal, On the rate of approximation in the central limit theorem, Journal of approximation theory, Vol 13, N. 3, (1975), 327-340. [2] R. Cioczek, D. Szynal, On the convergence rate in terms of the Trotter operator in the central limit theorem without moment conditions, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics, Vol 35, No. 9-10, (1987), 617-627. [3] H. F. Trotter, An elementary proof of the central limit theorem, Arch. Math (Basel), 10(1959), 226-234. [4] V. M. Zolotarev, Probability metrics, Theory Prob., 28(1983), 278-302. [5] V. Kruglov, V. Korolev Các đ nh lý gi i h n đ i v i t ng ng u nhiên, Trư ng Đ i h c T ng h p Qu c gia Mátxcơva (B n ti ng Nga), Mátxcơva, 1990. [6] H. Robbins, The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 1151-1161. [7] Tr n L c Hùng, ng d ng c a phương pháp toán t trong lu t các s l n, T p chí Toán h c Vi t Nam, S 2, (1983), 20-24. [8] Tr n L c Hùng, Phương pháp Trotter trong lu t các s l n v i t ng ng u nhiên, T p chí Toán h c Vi t Nam, S 2, (1988), 4-9. [9] Tran Loc Hung, On Trotter metric and its an application in weak law of large numbers, Proc. International Conference on Theory Probability, Random Processes, Mathematical Statistics and Applications, 21-23 Feb. BSU, Minsk (Belarus), 519.2 (063), N. 22, T. 33, (2005), 344-349, ISBN 985-485-370-5. [10] Tran Loc Hung, On a probability metric based on Trotter operator, Vietnam Journal of Mathematics, N. 3, (2007), 21-32, ISSN 0866-7179. [11] Tr n L c Hùng và Tr n Thi n Thành, M t s k t qu v các đ nh lý gi i h n ng u nhiên c a các bi n ng u nhiên đ c l p cùng phân ph i, T p chí Khoa h c và K thu t, H c Vi n K thu t Quân s , N. 120, III (2007), 12-22, ISSN-1859- 0209. [12] Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, Some results on random sum of in- dependent random variables, Submitted to Statistics and Probability Letters, (2008).
THE RATES OF CONVERGENCE IN LIMIT THEOREMS FOR RANDOM SUMS VIA TROTTER’S DISTANCE Tran Loc Hung, Tran Thien Thanh College of sciences, Hue University SUMMARY The main aim of this paper is established the rates of convergence in some limit theorems for random sums via Trotter’s distance. The received results are extensions of authors in [11] và [12]. 48