intTypePromotion=1
ADSENSE

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

79
lượt xem
4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "một số tính chất của phân thớ con lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"

  1. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic NguyÔn Duy B×nh (a) Tãm t¾t. Trong bµi nµy chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí con Lagr¨ng cña mét ph©n thí vect¬ symplectic trong mèi quan hÖ víi cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí vect¬ symplectic vµ ®ång cÊu ph©n thí symplectic. 1. Ph©n thí vect¬ symplectic v ph©n thí con Lagr¨ng Cho E(B, p) lµ ph©n thí vect¬ kh¶ vi 2n chiÒu trªn ®a t¹p B, mét cÊu tróc symplectic trªn E lµ mét nh¸t c¾t Ω cña ph©n thí £ 2 (E, R) c¸c d¹ng song tuyÕn a tÝnh ph¶n xøng trªn E tháa m·n ®iÒu kiÖn: ®èi víi mçi ®iÓm x cña ®¸y B, Ωx lµ mét d¹ng symplectic trªn thí Ex. Ph©n thí vect¬ cïng víi mét cÊu tróc symplectic trªn nã ®−îc gäi lµ ph©n thí vect¬ symplectic. Ph©n thí con F cña ph©n thí vect¬ symplectic ®−îc gäi lµ ph©n thí con Lagr¨ng nÕu Fx lµ kh«ng gian con Lagr¨ng cña kh«ng gian vect¬ symplectic (Ex, Ωx), tøc Ωx| Fx = 0 vµ dimFx = n (dimEx = 2n), víi mäi x ∈ B. Ta biÕt r»ng mçi kh«ng gian vect¬ symplectic lu«n tån t¹i kh«ng gian con Lagr¨ng, tuy nhiªn kh«ng ph¶i mäi ph©n thí vect¬ symplectic ®Òu cã ph©n thí con Lagr¨ng. Ch¼ng h¹n, ph©n thí tiÕp xóc cña mÆt cÇu S2 kh«ng tån t¹i ph©n thí con mét chiÒu (xem [3]), cho nªn kh«ng tån t¹i ph©n thí con Lagr¨ng cña TS2. Tuy nhiªn, nÕu ph©n thí vect¬ symplectic cã ph©n thí con Lagr¨ng th× tån t¹i ph©n thí con bï víi nã (ph©n thí con F '(B, p/F ') vµ ph©n thí F(B, p/F) gäi lµ bï nhau nÕu Fx + Fx' = Ex víi mäi x ∈ B). VÒ biÓu diÔn ®Þa ph−¬ng cña nh¸t c¾t Ω qua c¸c ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau chóng ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.1. Cho L, L' lµ hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau cña ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p) cã chiÒu 2n. Khi ®ã víi mäi x ∈ B cã l©n cËn U, trªn ®ã x¸c ®Þnh mét hä c¸c nh¸t c¾t ®Þa ph−¬ng s1, s2, …, sn cña L* vµ sn+1, …, s2n cña (L')* sao cho trªn U ta cã Ω = s1 Λ sn+1 + ... + sn Λ s2n, ë ®©y L*, (L')* t−¬ng øng lµ c¸c ph©n thí ®èi ngÉu cña L vµ L'. Chøng minh: Tõ tÝnh chÊt tÇm th−êng ®Þa ph−¬ng cña c¸c ph©n thí suy ra víi mçi x ∈ B tån t¹i l©n cËn U sao cho trªn U cã c¸c nh¸t c¾t ®Þa ph−¬ng θ 1, ..., θ n cña L* (ph©n thí ®èi ngÉu cña L) vµ θ n+1,..., θ 2n cña (L')* (ph©n thí ®èi ngÉu cña L'), mµ t¹i mçi y ∈ U x¸c ®Þnh c¸c c¬ së cña (Ly)* vµ ( L y )* t−¬ng øng. Ta cã ' NhËn bµi ngµy 03/10/2005. Söa ch÷a xong 09/12/2005 5
  2. Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí..., tr. 5-9 NguyÔn Duy B×nh aij θ i Λ θ j. Ω= ∑ 1≤ i < j ≤ 2 n V× L, L' lµ kh«ng gian con Lagr¨ng nªn n aij θ i Λ θ n+j. Ω= ∑ i , j =1 §Æt n sn+i = aij θ n+j, si = θ i, ∑j =1 n+1 2n ta cã s , ..., s lµ c¸c nh¸t c¾t cña (L')* vµ Ω = s1 Λ sn+1+ ... + sn Λ s2n. 2. CÊu tróc hÇu phøc v mèi quan hÖ víi c¸c ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau Kh¸i niÖm cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí vect¬ symplectic ®· ®−îc ®Ò cËp trong [1], ë ®©y chóng ta chØ ra mèi quan hÖ cña nã víi c¸c kh«ng gian con Lagr¨ng bï nhau. Cho kh«ng gian vect¬ V, cÊu tróc phøc trªn V lµ ®ång cÊu J : V → V sao cho J = -1. Cho ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p), nÕu víi mçi x ∈ B x¸c ®Þnh cÊu 2 tróc phøc Jx : Ex → Ex phô thuéc vµo x mét c¸ch kh¶ vi th× ta nãi r»ng cã cÊu tróc hÇu phøc J trªn ph©n thí ®· cho. CÊu tróc hÇu phøc vµ cÊu tróc symplectic Ω trªn ph©n thí gäi lµ t−¬ng thÝch nÕu víi mçi x ∈ B, ¸nh x¹ gx : Ex×Ex → R, x¸c ®Þnh bëi gx(u, v) = Ωx(u, Jxv) lµ tÝch v« h−íng trªn Ex vµ phô thuéc kh¶ vi vµo x. Khi ®ã t−¬ng øng g : x → gx gäi lµ d¹ng Riman trªn ph©n thí E(B, p). VÒ mèi quan hÖ gi÷a Ω vµ cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 2.1. (§Þnh lý 14.3 [1]). Sù tån t¹i mét cÊu tróc symplectic trªn ph©n thí vect¬ thùc h¹ng 2n t−¬ng ®−¬ng víi sù tån t¹i trªn ph©n thí nµy mét cÊu tróc hÇu phøc. H¬n n÷a mäi cÊu tróc symplectic trªn ph©n thí vect¬ cã cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch. Sö dông kÕt qu¶ trªn, ta chØ ra r»ng nÕu trªn ph©n thí vect¬ symplectic cã ph©n thí con Lagr¨ng th× cã ph©n thí con Lagr¨ng bï víi nã. MÖnh ®Ò 2.2. Cho L lµ ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic vµ J lµ cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch. Khi ®ã ph©n thí con JL (víi thí (JL)x = Jx(Lx)) lµ ph©n thí con Lagr¨ng bï cña L. 6
  3. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Chøng minh. Gäi g lµ d¹ng Riman x¸c ®Þnh bëi gx(u, v) = Ωx(u, Jxv). Ta cã Ωx(Jxu, Jxv) = gx(Jxu,v) = gx(v, Jxu) = Ωx(v, JxJxu) = Ωx(v, -u) = Ωx(u, v) = 0, víi mäi u, v ∈ Lx hay víi mäi Jxu, Jxv ∈ JxLx, do ®ã ph©n thí JL lµ Lagr¨ng. Còng suy tõ trªn ta cã gx(Jxu, v) = 0, víi mäi Jxu ∈ JxLx vµ mäi v ∈ Lx, tøc JxLx vµ Lx trùc giao, cho nªn Ex = JxLx + Lx, tøc c¸c ph©n thí con JL vµ L lµ bï nhau. §Ó xÐt ®¶o l¹i cña mÖnh ®Ò trªn, chóng ta sö dông kÕt qu¶ sau ®©y vÒ sù ph©n tÝch cùc cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh. MÖnh ®Ò 2.3 (MÖnh ®Ò 10.10 [1]). Trong mét kh«ng gian vect¬ thùc V cho mét cÊu tróc ¥clit x¸c ®Þnh bëi d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng G. Khi ®ã: 1) Mäi ®¼ng cÊu A cña V ®−îc ph©n tÝch mét c¸ch duy nhÊt d−íi d¹ng A = KJ, ë ®©y J lµ trùc giao vµ K lµ ®èi xøng, x¸c ®Þnh d−¬ng. 2) H¬n n÷a, nÕu trªn V cã mét d¹ng symplectic Ω vµ nÕu A lµ to¸n tö x¸c ®Þnh bëi G(Ax, y) = Ω(x, y), víi mäi x, y ∈ V th× to¸n tö A lµ ph¶n ®èi xøng vµ khi ®ã to¸n tö trùc giao J lµ to¸n tö phøc t−¬ng thÝch víi Ω vµ tháa m·n hÖ thøc JK = KJ. Víi gi¶ thiÕt ë trªn suy ra AA* lµ ®èi xøng x¸c ®Þnh d−¬ng vµ phÐp chøng minh mÖnh ®Ò chØ ra to¸n tö K ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc log( AA*) K = exp , 2 ë ®©y ¸nh x¹ mò lµ mét vi ph«i gi¶i tÝch tõ kh«ng gian vect¬ thùc c¸c to¸n tö ®èi xøng lªn ®a t¹p con c¸c to¸n tö ®èi xøng x¸c ®Þnh d−¬ng cña GL(V) vµ l«garit lµ ¸nh x¹ ng−îc cña nã. Sù ph©n tÝch cña A ë 1) trong mÖnh ®Ò trªn gäi lµ sù ph©n tÝch cùc. MÖnh ®Ò 2.4. Cho L, L' lµ hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau cña ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p). Khi ®ã tån t¹i cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch J cña ph©n thí sao cho JL = L'. Chøng minh. Víi mçi x ∈ B cã l©n cËn Ux vµ d¹ng Riman g trªn ph©n thí vect¬ p-1(U)(U, p) sao cho Lx vµ L'x trùc giao víi mçi x ∈ Ux. Gäi g lµ d¹ng Riman trªn ph©n thí E(B, p) x¸c ®Þnh nhê c¸c d¹ng ®Þa ph−¬ng gx vµ phÐp ph©n ho¹ch ®¬n vÞ g = ∑ ϕx gx.. x Khi ®ã Lx vµ L'x còng trùc giao ®èi víi g. Víi mçi x ∈ B, v× Ωx vµ gx kh«ng suy biÕn, c¸c ¸nh x¹ 7
  4. Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí..., tr. 5-9 NguyÔn Duy B×nh u ∈ Ex α Ωx(u, .) ∈ (Ex)*, w ∈ Ex α gx(w, .) ∈ (Ex)* x¸c ®Þnh ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh Ax : Ex → Ex bëi hÖ thøc Ωx(u, v) = gx(Axu, v) phô thuéc kh¶ vi vµo x. Theo MÖnh ®Ò 4, to¸n tö Ax cã sù ph©n tÝch Ax = KxJx, trong ®ã to¸n tö Jx lµ cÊu tróc phøc trùc giao t−¬ng thÝch víi d¹ng symplectic Ωx vµ Kx lµ to¸n tö ®èi xøng vµ x¸c ®Þnh d−¬ng. Tõ sù ph©n tÝch cùc A = KJ, ta cã J = K-1A víi log( AA*) K = exp , 2 suy ra J phô thuéc kh¶ vi vµo A. Do to¸n tö Ax ë trªn phô thuéc kh¶ vi vµo x nªn Jx còng vËy. ¸nh x¹ J : x → Jx x¸c ®Þnh cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí E(B, p). V× to¸n tö J trùc giao nªn JL trùc giao víi L, mÆt kh¸c L' còng trùc giao víi L cïng víi mét d¹ng Riman g, suy ra JL = L'. 3. §ång cÊu ph©n thí vect¬ symplectic Cho E(B, p) vµ E'(B, p') lµ c¸c ph©n thí vect¬ symplectic trªn B víi c¸c cÊu tróc symplectic Ω vµ Ω' t−¬ng øng. ¸nh x¹ kh¶ vi f : E → E' tháa m·n p'.f = p vµ f thu hÑp trªn mçi thí Ex lµ ®ång cÊu tuyÕn tÝnh symplectic tõ Ex vµo E'x ®−îc gäi lµ mét ®ång cÊu ph©n thí symplectic. DÔ thÊy r»ng ®ång cÊu ph©n thí symplectic biÕn ph©n thí con Lagr¨ng thµnh ph©n thí con Lagr¨ng, biÕn hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau thµnh hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau. Sau ®©y chóng ta xem xÐt ®iÒu kiÖn ®Ó mét ¸nh x¹ kh¶ vi f : E → E' lµ mét ®ång cÊu ph©n thí symplectic. Trªn ph©n thí vect¬ tÝch E×E'(B, p×p') cña hai ph©n thí vect¬ E(B, p) vµ E'(B, p') ®−a vµo c¸c cÊu tróc symplectic sau ®©y: gäi p*Ω vµ p'*Ω' lµ nh¸t c¾t cña ph©n thí tÝch x¸c ®Þnh bëi p*Ωx((u, u'), (v, v')) = Ωx(u, v) vµ p'*Ω'x((u,u'),(v,v')) = Ω'x(u', v') . Bæ ®Ò 3.1. E×E'(B, p×p') lµ ph©n thí vect¬ symplectic víi cÊu tróc symplectic p* Ω - p'*Ω'. Chøng minh. TÝnh song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng cña (p*Ω - p'*Ω')x lµ dÔ dµng. Sö dông tÝnh tÇm th−êng ®Þa ph−¬ng, tÝnh kh¶ vi cña nh¸t c¾t p*Ω - p'*Ω' cña ph©n thí E×E'(B, p×p') suy tõ tÝnh kh¶ vi cña nh¸t c¾t cña ph©n thí tÇm th−êng x¸c ®Þnh trªn mçi l©n cËn c¶m sinh tõ nh¸t c¾t ban ®Çu. Ph©n thí tÇm th−êng cã thí lµ tÝch cña hai kh«ng gian vect¬, t−¬ng øng ®¼ng cÊu víi thí cña E(B, p) vµ cña E'(B, p'). TÝnh kh¶ vi cña nh¸t c¾t c¶m sinh cña ph©n thí tÇm th−êng suy tõ tÝnh kh¶ vi cña c¸c hµm hÖ sè cña d¹ng song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng trªn tÝch cña hai kh«ng gian, mµ ®èi víi c¬ së (e1, 0), ...,(e2n, 0), (0, e'1), ..., (0, e'2n) trªn kh«ng gian tÝch c¸c hµm nµy b»ng 0 hoÆc b»ng c¸c hµm hÖ sè cña c¸c d¹ng song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng trªn mçi kh«ng gian c¶m sinh tõ c¸c nh¸t c¾t kh¶ vi Ω vµ Ω'. 8
  5. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 TiÕp theo, v× (p*Ω)xm = 0 vµ (p'*Ω')xm = 0 víi mäi m ≥ n+1, ta cã (p*Ω - p'*Ω')x2n =(-1)nC n n (p*Ω)xn Λ (p'*Ω')xn ≠ 0, 2 do ®ã p*Ω - p'*Ω' lµ d¹ng symplectic. Liªn quan tíi ph©n thí vect¬ symplectic ë bæ ®Ò trªn vµ ®ång cÊu tõ E(B, p) vµo E'(B, p'), ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 3.2. ¸nh x¹ kh¶ vi f : E → E' lµ ®ång cÊu ph©n thí symplectic tõ E(B, p) vµo E'(B, p') khi vµ chØ khi ®å thÞ cña f trong E×E' x¸c ®Þnh ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic E×E'(B, p×p') víi cÊu tróc symplectic p*Ω- p'*Ω'. Chøng minh: §å thÞ cña f trong E × E' x¸c ®Þnh ph©n thí con Lagr¨ng cña E×E'(B, p×p') khi vµ chØ khi víi bÊt kú (u, f(u)), (v, f(v)) ∈ E×E' ta cã (p*Ω - p'*Ω')x(((u, f(u), (v, f(v))) = 0 hay p*Ωx((u, f(u)), (v, f(v))) = p'*Ω'x((u, f(u)), (v, f(v))). §iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi Ωx(u, v) = Ω'x(f(u), f(v)), cã nghÜa f lµ ®ång cÊu symplectic. T i liÖu tham kh¶o [1] P. Libermann, C. Marle, Geometrie symplectique bases theoriques de la mecanique, Tome I, Publications Mathematiques de l'universite Paris VII, 1986. [2] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2001. [3] A. T. Фoмeнкo, Toпoлoгичecкиe вариациoнныe задачи, Издатeльcтвo Мocкoвocкoгo Унивeрcитeта, 1984. SUMMARY some properties of lagrangian subbundles of a symplectic vector bundle In this report we study some properties of Lagrangian subbundles of a symplectic vector bundle in the relation with the almost complex structure on the symplectic vector bundle and the symplectic bundle homomorphism. (a) Khoa to¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh 9
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2