zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo khoa học

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

88
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "một số tính chất của phân thớ con lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic"

§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic NguyÔn Duy B×nh (a) Tãm t¾t. Trong bµi nµy chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí con Lagr¨ng cña mét ph©n thí vect¬ symplectic trong mèi quan hÖ víi cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí vect¬ symplectic vµ ®ång cÊu ph©n thí symplectic. 1. Ph©n thí vect¬ symplectic v ph©n thí con Lagr¨ng Cho E(B, p) lµ ph©n thí vect¬ kh¶ vi 2n chiÒu trªn ®a t¹p B, mét cÊu tróc symplectic trªn E lµ mét nh¸t c¾t Ω cña ph©n thí £ 2 (E, R) c¸c d¹ng song tuyÕn a tÝnh ph¶n xøng trªn E tháa m·n ®iÒu kiÖn: ®èi víi mçi ®iÓm x cña ®¸y B, Ωx lµ mét d¹ng symplectic trªn thí Ex. Ph©n thí vect¬ cïng víi mét cÊu tróc symplectic trªn nã ®−îc gäi lµ ph©n thí vect¬ symplectic. Ph©n thí con F cña ph©n thí vect¬ symplectic ®−îc gäi lµ ph©n thí con Lagr¨ng nÕu Fx lµ kh«ng gian con Lagr¨ng cña kh«ng gian vect¬ symplectic (Ex, Ωx), tøc Ωx| Fx = 0 vµ dimFx = n (dimEx = 2n), víi mäi x ∈ B. Ta biÕt r»ng mçi kh«ng gian vect¬ symplectic lu«n tån t¹i kh«ng gian con Lagr¨ng, tuy nhiªn kh«ng ph¶i mäi ph©n thí vect¬ symplectic ®Òu cã ph©n thí con Lagr¨ng. Ch¼ng h¹n, ph©n thí tiÕp xóc cña mÆt cÇu S2 kh«ng tån t¹i ph©n thí con mét chiÒu (xem [3]), cho nªn kh«ng tån t¹i ph©n thí con Lagr¨ng cña TS2. Tuy nhiªn, nÕu ph©n thí vect¬ symplectic cã ph©n thí con Lagr¨ng th× tån t¹i ph©n thí con bï víi nã (ph©n thí con F '(B, p/F ') vµ ph©n thí F(B, p/F) gäi lµ bï nhau nÕu Fx + Fx' = Ex víi mäi x ∈ B). VÒ biÓu diÔn ®Þa ph−¬ng cña nh¸t c¾t Ω qua c¸c ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau chóng ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.1. Cho L, L' lµ hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau cña ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p) cã chiÒu 2n. Khi ®ã víi mäi x ∈ B cã l©n cËn U, trªn ®ã x¸c ®Þnh mét hä c¸c nh¸t c¾t ®Þa ph−¬ng s1, s2, …, sn cña L* vµ sn+1, …, s2n cña (L')* sao cho trªn U ta cã Ω = s1 Λ sn+1 + ... + sn Λ s2n, ë ®©y L*, (L')* t−¬ng øng lµ c¸c ph©n thí ®èi ngÉu cña L vµ L'. Chøng minh: Tõ tÝnh chÊt tÇm th−êng ®Þa ph−¬ng cña c¸c ph©n thí suy ra víi mçi x ∈ B tån t¹i l©n cËn U sao cho trªn U cã c¸c nh¸t c¾t ®Þa ph−¬ng θ 1, ..., θ n cña L* (ph©n thí ®èi ngÉu cña L) vµ θ n+1,..., θ 2n cña (L')* (ph©n thí ®èi ngÉu cña L'), mµ t¹i mçi y ∈ U x¸c ®Þnh c¸c c¬ së cña (Ly)* vµ ( L y )* t−¬ng øng. Ta cã ' NhËn bµi ngµy 03/10/2005. Söa ch÷a xong 09/12/2005 5
Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí..., tr. 5-9 NguyÔn Duy B×nh aij θ i Λ θ j. Ω= ∑ 1≤ i < j ≤ 2 n V× L, L' lµ kh«ng gian con Lagr¨ng nªn n aij θ i Λ θ n+j. Ω= ∑ i , j =1 §Æt n sn+i = aij θ n+j, si = θ i, ∑j =1 n+1 2n ta cã s , ..., s lµ c¸c nh¸t c¾t cña (L')* vµ Ω = s1 Λ sn+1+ ... + sn Λ s2n. 2. CÊu tróc hÇu phøc v mèi quan hÖ víi c¸c ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau Kh¸i niÖm cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí vect¬ symplectic ®· ®−îc ®Ò cËp trong [1], ë ®©y chóng ta chØ ra mèi quan hÖ cña nã víi c¸c kh«ng gian con Lagr¨ng bï nhau. Cho kh«ng gian vect¬ V, cÊu tróc phøc trªn V lµ ®ång cÊu J : V → V sao cho J = -1. Cho ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p), nÕu víi mçi x ∈ B x¸c ®Þnh cÊu 2 tróc phøc Jx : Ex → Ex phô thuéc vµo x mét c¸ch kh¶ vi th× ta nãi r»ng cã cÊu tróc hÇu phøc J trªn ph©n thí ®· cho. CÊu tróc hÇu phøc vµ cÊu tróc symplectic Ω trªn ph©n thí gäi lµ t−¬ng thÝch nÕu víi mçi x ∈ B, ¸nh x¹ gx : Ex×Ex → R, x¸c ®Þnh bëi gx(u, v) = Ωx(u, Jxv) lµ tÝch v« h−íng trªn Ex vµ phô thuéc kh¶ vi vµo x. Khi ®ã t−¬ng øng g : x → gx gäi lµ d¹ng Riman trªn ph©n thí E(B, p). VÒ mèi quan hÖ gi÷a Ω vµ cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 2.1. (§Þnh lý 14.3 [1]). Sù tån t¹i mét cÊu tróc symplectic trªn ph©n thí vect¬ thùc h¹ng 2n t−¬ng ®−¬ng víi sù tån t¹i trªn ph©n thí nµy mét cÊu tróc hÇu phøc. H¬n n÷a mäi cÊu tróc symplectic trªn ph©n thí vect¬ cã cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch. Sö dông kÕt qu¶ trªn, ta chØ ra r»ng nÕu trªn ph©n thí vect¬ symplectic cã ph©n thí con Lagr¨ng th× cã ph©n thí con Lagr¨ng bï víi nã. MÖnh ®Ò 2.2. Cho L lµ ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic vµ J lµ cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch. Khi ®ã ph©n thí con JL (víi thí (JL)x = Jx(Lx)) lµ ph©n thí con Lagr¨ng bï cña L. 6
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Chøng minh. Gäi g lµ d¹ng Riman x¸c ®Þnh bëi gx(u, v) = Ωx(u, Jxv). Ta cã Ωx(Jxu, Jxv) = gx(Jxu,v) = gx(v, Jxu) = Ωx(v, JxJxu) = Ωx(v, -u) = Ωx(u, v) = 0, víi mäi u, v ∈ Lx hay víi mäi Jxu, Jxv ∈ JxLx, do ®ã ph©n thí JL lµ Lagr¨ng. Còng suy tõ trªn ta cã gx(Jxu, v) = 0, víi mäi Jxu ∈ JxLx vµ mäi v ∈ Lx, tøc JxLx vµ Lx trùc giao, cho nªn Ex = JxLx + Lx, tøc c¸c ph©n thí con JL vµ L lµ bï nhau. §Ó xÐt ®¶o l¹i cña mÖnh ®Ò trªn, chóng ta sö dông kÕt qu¶ sau ®©y vÒ sù ph©n tÝch cùc cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh. MÖnh ®Ò 2.3 (MÖnh ®Ò 10.10 [1]). Trong mét kh«ng gian vect¬ thùc V cho mét cÊu tróc ¥clit x¸c ®Þnh bëi d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng G. Khi ®ã: 1) Mäi ®¼ng cÊu A cña V ®−îc ph©n tÝch mét c¸ch duy nhÊt d−íi d¹ng A = KJ, ë ®©y J lµ trùc giao vµ K lµ ®èi xøng, x¸c ®Þnh d−¬ng. 2) H¬n n÷a, nÕu trªn V cã mét d¹ng symplectic Ω vµ nÕu A lµ to¸n tö x¸c ®Þnh bëi G(Ax, y) = Ω(x, y), víi mäi x, y ∈ V th× to¸n tö A lµ ph¶n ®èi xøng vµ khi ®ã to¸n tö trùc giao J lµ to¸n tö phøc t−¬ng thÝch víi Ω vµ tháa m·n hÖ thøc JK = KJ. Víi gi¶ thiÕt ë trªn suy ra AA* lµ ®èi xøng x¸c ®Þnh d−¬ng vµ phÐp chøng minh mÖnh ®Ò chØ ra to¸n tö K ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc log( AA*) K = exp , 2 ë ®©y ¸nh x¹ mò lµ mét vi ph«i gi¶i tÝch tõ kh«ng gian vect¬ thùc c¸c to¸n tö ®èi xøng lªn ®a t¹p con c¸c to¸n tö ®èi xøng x¸c ®Þnh d−¬ng cña GL(V) vµ l«garit lµ ¸nh x¹ ng−îc cña nã. Sù ph©n tÝch cña A ë 1) trong mÖnh ®Ò trªn gäi lµ sù ph©n tÝch cùc. MÖnh ®Ò 2.4. Cho L, L' lµ hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau cña ph©n thí vect¬ symplectic E(B, p). Khi ®ã tån t¹i cÊu tróc hÇu phøc t−¬ng thÝch J cña ph©n thí sao cho JL = L'. Chøng minh. Víi mçi x ∈ B cã l©n cËn Ux vµ d¹ng Riman g trªn ph©n thí vect¬ p-1(U)(U, p) sao cho Lx vµ L'x trùc giao víi mçi x ∈ Ux. Gäi g lµ d¹ng Riman trªn ph©n thí E(B, p) x¸c ®Þnh nhê c¸c d¹ng ®Þa ph−¬ng gx vµ phÐp ph©n ho¹ch ®¬n vÞ g = ∑ ϕx gx.. x Khi ®ã Lx vµ L'x còng trùc giao ®èi víi g. Víi mçi x ∈ B, v× Ωx vµ gx kh«ng suy biÕn, c¸c ¸nh x¹ 7
Mét sè tÝnh chÊt cña ph©n thí..., tr. 5-9 NguyÔn Duy B×nh u ∈ Ex α Ωx(u, .) ∈ (Ex)*, w ∈ Ex α gx(w, .) ∈ (Ex)* x¸c ®Þnh ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh Ax : Ex → Ex bëi hÖ thøc Ωx(u, v) = gx(Axu, v) phô thuéc kh¶ vi vµo x. Theo MÖnh ®Ò 4, to¸n tö Ax cã sù ph©n tÝch Ax = KxJx, trong ®ã to¸n tö Jx lµ cÊu tróc phøc trùc giao t−¬ng thÝch víi d¹ng symplectic Ωx vµ Kx lµ to¸n tö ®èi xøng vµ x¸c ®Þnh d−¬ng. Tõ sù ph©n tÝch cùc A = KJ, ta cã J = K-1A víi log( AA*) K = exp , 2 suy ra J phô thuéc kh¶ vi vµo A. Do to¸n tö Ax ë trªn phô thuéc kh¶ vi vµo x nªn Jx còng vËy. ¸nh x¹ J : x → Jx x¸c ®Þnh cÊu tróc hÇu phøc trªn ph©n thí E(B, p). V× to¸n tö J trùc giao nªn JL trùc giao víi L, mÆt kh¸c L' còng trùc giao víi L cïng víi mét d¹ng Riman g, suy ra JL = L'. 3. §ång cÊu ph©n thí vect¬ symplectic Cho E(B, p) vµ E'(B, p') lµ c¸c ph©n thí vect¬ symplectic trªn B víi c¸c cÊu tróc symplectic Ω vµ Ω' t−¬ng øng. ¸nh x¹ kh¶ vi f : E → E' tháa m·n p'.f = p vµ f thu hÑp trªn mçi thí Ex lµ ®ång cÊu tuyÕn tÝnh symplectic tõ Ex vµo E'x ®−îc gäi lµ mét ®ång cÊu ph©n thí symplectic. DÔ thÊy r»ng ®ång cÊu ph©n thí symplectic biÕn ph©n thí con Lagr¨ng thµnh ph©n thí con Lagr¨ng, biÕn hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau thµnh hai ph©n thí con Lagr¨ng bï nhau. Sau ®©y chóng ta xem xÐt ®iÒu kiÖn ®Ó mét ¸nh x¹ kh¶ vi f : E → E' lµ mét ®ång cÊu ph©n thí symplectic. Trªn ph©n thí vect¬ tÝch E×E'(B, p×p') cña hai ph©n thí vect¬ E(B, p) vµ E'(B, p') ®−a vµo c¸c cÊu tróc symplectic sau ®©y: gäi p*Ω vµ p'*Ω' lµ nh¸t c¾t cña ph©n thí tÝch x¸c ®Þnh bëi p*Ωx((u, u'), (v, v')) = Ωx(u, v) vµ p'*Ω'x((u,u'),(v,v')) = Ω'x(u', v') . Bæ ®Ò 3.1. E×E'(B, p×p') lµ ph©n thí vect¬ symplectic víi cÊu tróc symplectic p* Ω - p'*Ω'. Chøng minh. TÝnh song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng cña (p*Ω - p'*Ω')x lµ dÔ dµng. Sö dông tÝnh tÇm th−êng ®Þa ph−¬ng, tÝnh kh¶ vi cña nh¸t c¾t p*Ω - p'*Ω' cña ph©n thí E×E'(B, p×p') suy tõ tÝnh kh¶ vi cña nh¸t c¾t cña ph©n thí tÇm th−êng x¸c ®Þnh trªn mçi l©n cËn c¶m sinh tõ nh¸t c¾t ban ®Çu. Ph©n thí tÇm th−êng cã thí lµ tÝch cña hai kh«ng gian vect¬, t−¬ng øng ®¼ng cÊu víi thí cña E(B, p) vµ cña E'(B, p'). TÝnh kh¶ vi cña nh¸t c¾t c¶m sinh cña ph©n thí tÇm th−êng suy tõ tÝnh kh¶ vi cña c¸c hµm hÖ sè cña d¹ng song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng trªn tÝch cña hai kh«ng gian, mµ ®èi víi c¬ së (e1, 0), ...,(e2n, 0), (0, e'1), ..., (0, e'2n) trªn kh«ng gian tÝch c¸c hµm nµy b»ng 0 hoÆc b»ng c¸c hµm hÖ sè cña c¸c d¹ng song tuyÕn tÝnh ph¶n xøng trªn mçi kh«ng gian c¶m sinh tõ c¸c nh¸t c¾t kh¶ vi Ω vµ Ω'. 8
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 TiÕp theo, v× (p*Ω)xm = 0 vµ (p'*Ω')xm = 0 víi mäi m ≥ n+1, ta cã (p*Ω - p'*Ω')x2n =(-1)nC n n (p*Ω)xn Λ (p'*Ω')xn ≠ 0, 2 do ®ã p*Ω - p'*Ω' lµ d¹ng symplectic. Liªn quan tíi ph©n thí vect¬ symplectic ë bæ ®Ò trªn vµ ®ång cÊu tõ E(B, p) vµo E'(B, p'), ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 3.2. ¸nh x¹ kh¶ vi f : E → E' lµ ®ång cÊu ph©n thí symplectic tõ E(B, p) vµo E'(B, p') khi vµ chØ khi ®å thÞ cña f trong E×E' x¸c ®Þnh ph©n thí con Lagr¨ng cña ph©n thí vect¬ symplectic E×E'(B, p×p') víi cÊu tróc symplectic p*Ω- p'*Ω'. Chøng minh: §å thÞ cña f trong E × E' x¸c ®Þnh ph©n thí con Lagr¨ng cña E×E'(B, p×p') khi vµ chØ khi víi bÊt kú (u, f(u)), (v, f(v)) ∈ E×E' ta cã (p*Ω - p'*Ω')x(((u, f(u), (v, f(v))) = 0 hay p*Ωx((u, f(u)), (v, f(v))) = p'*Ω'x((u, f(u)), (v, f(v))). §iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi Ωx(u, v) = Ω'x(f(u), f(v)), cã nghÜa f lµ ®ång cÊu symplectic. T i liÖu tham kh¶o [1] P. Libermann, C. Marle, Geometrie symplectique bases theoriques de la mecanique, Tome I, Publications Mathematiques de l'universite Paris VII, 1986. [2] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2001. [3] A. T. Фoмeнкo, Toпoлoгичecкиe вариациoнныe задачи, Издатeльcтвo Мocкoвocкoгo Унивeрcитeта, 1984. SUMMARY some properties of lagrangian subbundles of a symplectic vector bundle In this report we study some properties of Lagrangian subbundles of a symplectic vector bundle in the relation with the almost complex structure on the symplectic vector bundle and the symplectic bundle homomorphism. (a) Khoa to¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh 9

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng

172 tài liệu

835 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.