Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trường đại học Huế đề tài: Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh"

T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009 CÁC MÔĐUN f g -N I X VÀ f g -X V NH Tr n Nguy n Đình Nam, Trư ng ĐHSP, Đ i H c Hu . Tóm t t. Trong bài báo này chúng tôi xét các l p môđun f g -n i x và f g -x nh. Đây là các l p môđun m r ng c a l p môđun n i x và x nh tương ng. L p vành n a đơn đư c đ c trưng qua các l p môđun f g -n i x và f g -x nh. M t s tính ch t c a vành Noether, vành QF , V -vành, vành suy bi n, hoàn toàn không suy bi n cũng đư c kh o sát qua các l p môđun f g -n i x và f g -x nh. 1. M ĐU Trong su t bài báo này, vành R luôn đư c gi thi t là m t vành k t h p có đơn v 1 = 0. Các môđun trên m t vành luôn đư c hi u là môđun ph i đơn nguyên (unitary). M t ph n t a ∈ R đư c g i là chính quy von Neumann (hay ng n g n là chính quy ) n u t n t i b ∈ R sao cho a = aba. Vành R g i là chính quy n u m i ph n t c a nó là chính quy. Cho M là m t R-môđun, m t ph n t m ∈ M g i là ph n t suy bi n (singular element ) n u iđêan ph i r(m) là c t y u trong RR . T p t t c các ph n t suy bi n c a M t o thành môđun con c a M và g i là môđun con suy bi n c a M , ký hi u là Z (M ). Môđun M g i là môđun suy bi n (singular module ) n u Z (M ) = M , trong trư ng h p Z (M ) = 0 thì M đư c g i là môđun hoàn toàn không suy bi n (nonsingular ). Vành R g i là suy bi n ph i (t.ư. hoàn toàn không suy bi n ph i ) n u Z (RR ) = R (t.ư Z (RR ) = 0). Môđun MR g i là n a đơn n u MR là t ng t t c các môđun con đơn c a nó. Vành R g i là n a đơn n u RR là môđun n a đơn. Như chúng ta đã bi t, các l p môđun n i x và x nh là r t quan tr ng đ đ c trưng nhi u l p vành khác nhau. Chính vì th vi c m r ng n i x đã và đang đư c nhi u nhà toán h c nghiên c u, m t trong các hư ng đó là m r ng n i x thông qua tiêu chu n Baer. M t trong các l p m r ng quan tr ng theo hư ng này là l p các môđun p-n i x . Môđun MR đư c g i là p-n i x n u m i đ ng c u R-môđun t b t kỳ iđêan ph i chính nào vào M cũng m r ng đư c thành m t đ ng c u t R vào M . Đi u này tương đương v i lM rR (a) = M a v i m i a ∈ R, đây l và r tương ng là các linh hóa t trái và ph i c a a. Trong [6], R.Y.C.Ming đã đưa ra khái ni m môđun C -n i x và C -x nh. Ông đã ch ng minh r ng đó là l p m r ng th c s c a l p các môđun n i x và x nh, đ ng th i l p môđun p-n i x là m r ng th c s c a l p môđun C -n i x . Chúng tôi ti p t c s d ng ý tư ng c a R.Y.C.Ming đ đưa ra l p môđun f g -n i x và f g -x nh, đ ng th i kh o sát m t s tính ch t c a nó. Chúng ta dùng các ký hi u N ≤ M , N ≤e M , , M od-R và J tương ng đ ch N là môđun con c a M , N là môđun con c t y u c a M , ph m trù các R-môđun ph i 71
và căn Jacobson c a R. Các khái ni m và k t qu không nh c đ n trong bài báo có th tham kh o trong Anderson, Fuller [1], Faith [2], Lam [3], Nicholson, Yousif [7] và Wisbauer [9]. 2. MÔĐUN f g -N I X VÀ f g -X NH Đ nh nghĩa 2.1. (1) Môđun MR đư c g i là f g -n i x n u v i m i R-môđun N và P là môđun con h u h n sinh c a N , m i R-đ ng c u t P vào M đ u m r ng đư c thành m t đ ng c u t N vào M . (2) Môđun MR đư c g i là môđun f g -x nh n u v i m i môđun h u h n sinh NR , v i m i toàn c u g : N −→ P và đ ng c u f : M −→ P , t n t i đ ng c u h : M −→ N sao cho f = gh. M nh đ 2.2. Cho (Mα )α∈B là m t h các R-môđun ph i. Khi đó Mα là f g -n i B x khi và ch khi Mα là f g -n i x , v i m i α ∈ B . Ch ng minh. Gi s r ng B Mα là f g -n i x . V i m i α ∈ B , v i m i R-môđun N và P là m t môđun con h u h n sinh c a N , cho g : P −→ N là đơn c u bao hàm và f : P −→ Mα là đ ng c u b t kỳ, xét phép nhúng i : Mα −→ B Mα . Do B Mα là f g -n i x nên t n t i h : N −→ B Mα sao cho hg = if . Đ t hα = πα h, khi đó v i m i p ∈ P ta có hα g (p) = πα hg (p) = πα if (p) = f (p) nên hα g = f . V y Mα là f g -n i x . Ngư c l i, gi s r ng m i Mα là f g -n i x . V i N là R-môđun b t kỳ, l y P = a1 R + ... + ak R là môđun con h u h n sinh c a N và đơn c u g : P −→ N . V i m i đ ng c u h : P −→ B Mα , khi đó v i m i i ∈ {1, ..., k }, ta có h(ai ) = (mi )α∈B ∈ B Mα . N u g i B là t p con c a B sao cho t n t i i ∈ {1, ..., k } đ α mi = 0 thì B là t p h u h n. Xét phép chi u pB : B Mα −→ Mα . V i m i α α ∈ B thì Mα là f g -n i x nên t n t i fα : N −→ Mα sao cho fα g = pα pB h. Đ t: f : N −→ B Mα xác đ nh b i f (n) = (fα (n))α∈B , ∀n ∈ N thì f là đ ng c u. Đ t f = ιB f v i ιB : B Mα −→ B Mα là phép nhúng. V i m i i0 ∈ {1, ..., k } thì f g (ai0 ) = (fα g (ai0 ))α∈B = (pα pB h(ai0 ))α∈B = pB h(ai0 ). Vì h(ai0 ) = (mi0 )α∈B và α các α sao cho mi0 = 0 đ u n m trong B nên f g (ai0 ) = ιB f g (ai0 ) = ιB pB h(ai0 ) = α h(ai0 ). Suy ra f g = h nên B Mα là f g -n i x . Đ nh lý 2.3. Cho R là vành tùy ý. N u m i R-môđun f g -n i x đ u n i x thì R là vành Noether ph i. Ch ng minh. Gi s M = I Mi là t ng tr c ti p c a m t h b t kỳ các môđun n i x Mi . Do m i Mi là n i x nên là f g -n i x . Theo m nh đ 2.2 thì M là f g -n i x . Theo gi thi t thì M là n i x . R là vành có t ng tr c ti p c a m t h b t kỳ các môđun n i x là n i x nên R là vành Noether ph i. T đ nh lý trên ta có th th y l p môđun f g -n i x là l p m r ng th c s c a l p môđun n i x . Chúng ta bi t r ng môđun MR g i là f -n i x (t.ư. n i x t i ti u ) n u m i R-đ ng c u t b t kỳ iđêan ph i h u h n sinh (t.ư. iđêan ph i đơn) nào vào M 72
cũng m r ng đư c thành m t đ ng c u t R vào M . Vành R g i là f -n i x ph i (t.ư. n i x t i ti u ph i ) n u RR là f -n i x (t.ư. n i x t i ti u). Vành R g i là t a Frobenius n u R là Artin ph i (ho c trái) và t n i x ph i (ho c trái) . L p môđun f -n i x là m r ng th c s c a n i x . Ví d c a Camillo [7] đư c dùng đ ph c v cho m c đích này. Ví d 2.4. Đ t R = Z2 [x1 , x2 , ...] v i các xi giao hoán v i nhau và các đi u ki n: x3 = 0 v i m i i, xi xj = 0 v i m i i = j và m = x2 = x2 v i m i i và j . Khi đó ta i i j có các tính ch t sau: (1) R là vành giao hoán, đ a phương, có đ c s b ng 2 v i Z2 -cơ s {1, m, x1 , x2 , ...}, J = Rad(R) = spanZ2 {m, x1 , x2 , ...}, R/J ∼ Z2 và J 3 = 0; = (2) Z2 m ⊆ A v i m i iđêan A = 0 c a R, Soc(R) = J 2 = Z2 m là đơn, c t y u trong R và R là vành n i x t i ti u, không Noether. Bây gi n u xét môđun RR thì RR là f -n i x . Th t v y, g i η : K −→ R là đ ng c u R-môđun, đây K là iđêan h u h n sinh c a R, K = k=1 bj R. Các ph n t j {bj , η (bj )} đư c ch a trong vành con S = spanZ2 {1, m, x1 , ..., xl } c a R v i l ∈ N nào đó. Rõ ràng S là vành Artin và n i x t i ti u, suy ra S là vành t a Frobenius. T đó S là t n i x nên K0 = k=1 bj S m r ng đư c. Xét h n ch c a η lên K0 , j η : K0 −→ S m r ng đư c thành η : S −→ S , t c là t n t i c = η (1) ∈ S sao cho η (a) = ca v i m i a ∈ K0 . Xét η : R −→ R xác đ nh b i η (b) = cb, b ∈ R thì η là m r ng c a η . V y R là f -n i x . Ta s ch ra r ng RR không n i x . Th t v y, xét iđêan J = spanZ2 {m, x1 , x2 , ...} và ánh x γ : J −→ R xác đ nh b i a −→ a2 . Do char(R) = 2 nên γ (a + b) = (a + b)2 = a2 + b2 = γ (a) + γ (b) t đó γ là đ ng c u nhóm aben. Vì R/J ∼ Z2 = nên v i m i r ∈ R thì (r + J )2 = r + J hay r2 − r ∈ J . Nhưng do J 3 = 0 nên a2 (r2 − r) = 0 suy ra a2 r2 = a2 r. Do đó γ (ar) = a2 r2 = a2 r = γ (a)r nên γ là đ ng c u R-môđun và γ (J ) = Z2 m. N u RR là n i x thì γ = c· v i c ∈ R, t c là v i m i a ∈ J ta có γ (a) = ca = a2 , suy ra (c − a)a = 0 v i m i a ∈ J . N u c ∈ J thì / −1 c − a ∈ J suy ra c − a ∈ Z2 . Khi đó v i m i a ∈ J , a = (c − a) (c − a)a = 0 nên / J = 0 vô lý, v y nên c ∈ J . Gi s c = λm + n=1 λi xi v i λ, λi ∈ Z2 , khi đó do i mxn+1 = 0 = xi xj v i m i i = j nên m = x2 +1 = γ (xn+1 ) = cxn+1 = 0. Đi u này n mâu thu n, v y RR là không n i x . Trong [6] R.Y.C.Ming đã đ nh nghĩa môđun MR g i là C -n i x n u v i m i môđun NR , và C là m t môđun con xyclic b t kỳ c a nó, m i R-đ ng c u t C vào N đ u có th m r ng thành đ ng c u t N vào M . Ông đã ch ng minh l p môđun p-n i x là m r ng th c s c a l p môđun C -n i x . Vành R g i là n-n i x ph i n u m i đ ng c u t m t iđêan ph i n sinh vào R đ u m r ng đư c thành m t t đ ng c u c a R. Theo [7, example 5.22] ta th y r ng t n t i vành R là p-n i x ph i, nhưng không 2-n i x ph i. T đây ta th y l p môđun C -n i x là m r ng th c s c a f g -n i x . Cũng như R.Y.C.Ming đã làm, chúng ta s ch ng minh l p môđun f -n i x là m r ng th c s c a l p môđun f g -n i x . 73
M nh đ 2.5. Cho M là fg-n i x . Khi đó m i môđun con h u h n sinh c a M đ u có bao n i x trong M . Đ c bi t, m i môđun h u h n sinh và fg-n i x thì n i x. Ch ng minh. Gi s P là môđun con h u h n sinh c a M , E là bao n i x c a P . N u g : P −→ M và j : P −→ E là các đ ng c u bao hàm thì do M là fg-n i x nên t n t i h : E −→ M sao cho hj = g . V i m i u ∈ Kerh ∩ P , u = g (u) = hj (u) = h(u) = 0, t đó Kerh ∩ P = 0. Do P ≤e E nên kerh= 0, v y h là đơn c u. Suy ra H (E ) ∼ E là n i x và là bao n i x c a P . Đ c bi t n u P = M = thì P là n i x . Vành R g i là V -vành ph i n u m i R-môđun ph i đơn đ u n i x . T m nh đ 2.5 ta có các h qu sau. H qu 2.6. R là V -vành ph i khi và ch khi m i R-môđun ph i đơn là f g -n i x . H qu 2.7.(Đ c trưng vành n a đơn) Các đi u ki n sau là tương đương: R là vành n a đơn. (1) M i R-môđun là f g -n i x . (2) M i R-môđun xyclic là f g -n i x . (3) M nh đ 2.8. R là vành chính quy khi và ch khi m i R-môđun ph i đ u là f -n i x. Ch ng minh. N u R là vành chính quy thì m i iđêan ph i h u h n sinh I c a R đ u là h ng t tr c ti p. Do đó v i m i R-môđun M , m i R-đ ng c u t I vào M đ u m r ng đư c thành đ ng c u t R vào M hay M là f -n i x . Ngư c l i, gi s r ng m i R-môđun M đ u là f -n i x . V i m i iđêan ph i h u h n sinh I c a R, theo gi thi t I là f -n i x nên ánh x đ ng nh t id : I −→ I đư c m r ng thành t : R −→ I . V i ánh x bao hàm h : I −→ R thì v i m i a ∈ I ta có th(a) = t(a) = a, suy ra th = 1I nên h là đơn c u ch ra, t đó I là h ng t tr c ti p c a RR . V y R là vành chính quy. M nh đ 2.9. N u R là vành chính quy sao cho m i R-môđun f -n i x đ u f g -n i x thì R là V -vành. Ch ng minh. V i M là R-môđun xyclic, theo m nh đ 2.8 thì MR là f -n i x nên MR là f g -n i x , l i theo m nh đ 2.5 thì MR là n i x . Theo [7, example 3.74A] chúng ta th y r ng có nh ng vành chính quy nhưng không là V -vành ph i. M nh đ trên cho th y l p các môđun f -n i x là l p m r ng th c s c a l p các môđun f g -n i x . V MÔĐUN f g -N I X VÀ f g -X 3. M T S K T QU NH M nh đ 3.1. N u R là vành sao cho m i môđun h u h n sinh đ u x nh thì m i môđun thương c a môđun f g -n i x là f g -n i x . Ch ng minh. Cho A là R-môđun f g -n i x và có toàn c u g : A −→ B . V i m i 74
R-môđun M và N là môđun con h u h n sinh c a nó, g i i : N −→ M là đơn c u bao hàm. V i m i đ ng c u h : N −→ B , do N là x nh nên t n t i k : N −→ A sao cho h = gk . L i do A là f g -n i x nên t n t i l : M −→ A sao cho li = k . Đ t u = gl thì u : M −→ B và th a mãn ui = gli = gk = h, do đó B là f g -n i x . Trong [6] R.Y.C.Ming đã đưa ra m t s k t qu v môđun C -n i x và C -x nh. Đ i v i l p môđun f g -n i x và f g -x nh ta cũng có m t s k t qu tương t . Đ nh lý 3.2. Các kh ng đ nh sau là tương đương: (1) R là vành các iđêan ph i chính . (2) M i iđêan ph i h u h n sinh c a R là chính và m i R-môđun f -n i x là n i x. (3) M i iđêan ph i h u h n sinh c a R là chính và m i R-môđun f g -n i x là n i x. Ch ng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) là rõ ràng. Gi s có (3), do m i R-môđun f g -n i x là n i x nên R là vành Noether ph i, t đó m i iđêan ph i đ u h u h n sinh nên là iđêan chính ph i, suy ra R là vành các iđêan ph i chính . M nh đ 3.3.V i R là vành tùy ý, các kh ng đ nh sau là tương đương: (1) R là vành các iđêan ph i chính và R là t a Frobenius. (2) R là vành các iđêan trái chính và R là t a Frobenius. (3) M i iđêan m t phía h u h n sinh c a R là linh hóa t c a m t ph n t c a R và m i R-môđun f -n i x là n i x . (4) M i iđêan m t phía h u h n sinh c a R là linh hóa t c a m t ph n t c a R và m i R-môđun f g -n i x là n i x . Ch ng minh. (1)⇔ (2) do [2, proposition 25.4.6B]. Do (1)⇔ (2) nên ta ch c n ch ng minh cho iđêan ph i. Gi s có (1), khi đó m i R-môđun f -n i x là n i x . G i T là iđêan ph i c a R thì T = aR v i a ∈ R. Do R là vành t a Frobenius nên T = rl(T ) = rl(aR) = rl(a) = r(Rb) = r(b) v i b ∈ R. (3) suy ra (4) là rõ ràng. Bây gi gi s có (4), ta ch ng minh R là vành các iđêan ph i chính . Gi s F là iđêan ph i h u h n sinh c a R, theo gi thi t thì F = r(b) = r(Rb) v i b ∈ R, nhưng Rb là iđêan trái h u h n sinh c a R nên Rb = l(c) = l(cR) v i c ∈ R. Vì cR l i là iđêan ph i h u h n sinh c a R nên cR là linh hóa t , do đó: cR = rl(cR) = r(Rb) = r(b) = F , suy ra F là chính. Như v y, m i iđêan ph i h u h n sinh c a R là chính và m i R-môđun f g -n i x là n i x nên theo đ nh lý 3.2 ta có R là vành các iđêan ph i chính . Do đó đ ch ng minh R là t n i x , ta ch ng minh R là p-n i x . V i m i a ∈ R, do Ra là linh hóa t nên Ra = lr(Ra) = lr(a). RR là vành Noether là rõ ràng theo đ nh lý 2.3, t đó R là vành t a Frobenius. M nh đ 3.4.Cho R là vành hoàn toàn không suy bi n và tho mãn: b t kỳ t ng tr c ti p nào c a các bao n i x c a các môđun h u h n sinh suy bi n đ u n i x . Khi đó v i m i M là môđun f g -n i x thì Z (M ) là n i x . Ch ng minh. Rõ ràng R-môđun 0 là n i x , nên ta có th gi s Z (M ) = 0. L y 0 = u1 , ..., un ∈ Z (M ) khi đó u1 R +...+un R có bao n i x V ch a trong M theo m nh đ 2.5. Do R là vành hoàn toàn không suy bi n nên theo [4, theorem 4] thì t tính n i 75
x c a V suy ra Z (V ) n i x . Do u1 , ..., un ∈ Z (M ) nên u1 R +...+un R ≤ Z (M ) nghĩa là v i m i x thu c vào u1 R + ... + un R ta có r(x) ≤e RR nên t u1 R + ... + un R ≤ V suy ra u1 R + ... + un R ≤ Z (V ), do Z (V ) n i x nên V ≤ Z (V ), nhưng hi n nhiên Z (V ) ≤ V . V y V = Z (V ) ≤ Z (M ). G i S là t p t t c các bao n i x c a các môđun h u h n sinh suy bi n đư c ch a trong Z (M ). Khi đó S = ∅ vì theo ch ng minh trên, n u ta l y môđun u1 R + ... + un R thì nó có bao n i x V ≤ Z (M ) và vì u1 R + ... + un R ≤ Z (M ) nên u1 R + ... + un R = Z (u1 R + ... + un R). L y E là t p t t c các h đ c l p {Ej } g m các ph n t c a S . Khi đó E là t p s p th t tuy n tính. Theo b đ Zorn, E có ph n t c c đ i {Ei }i∈I0 . Đ t N = i∈I0 Ei ≤ Z (M ) thì N là n i x theo gi thi t. Q. N u q ∈ Q và q = 0 thì qR có bao n i x W ≤ Z (M ). Do đó Z (M ) = N N u W ∩ N = 0 thì có ph n t khác không x thu c c W và N . Vì qR ≤e W nên N ≥ xR ∩ qR = 0 t đó N ∩ Q = 0 mâu thu n. Do đó W ∩ N = 0. Như th có m t ph n t c a E th c s ch a {Ei }i∈I0 mâu thu n tính c c đ i. Suy ra Q = 0 nên Z (M ) = N là n i x . Đ nh lý 3.5. Trên vành R tùy ý, m i môđun h u h n sinh và f g -x nh đ u x nh. Ch ng minh. Gi s r ng MR là f g -x nh và h u h n sinh, M = m1 R + ... + mk R. V i N là R-môđun, l y f : P −→ N là toàn c u và g : M −→ N là đ ng c u b t kỳ. Đ t ni = g (mi ), i = 1, k và S = n1 R + ... + nk R thì do g là đ ng c u nên tương ng g : M −→ S xác đ nh b i i mi ri −→ i ni ri là đ ng c u và jg = g v i j : S −→ N là đ ng c u bao hàm. Do f là toàn c u nên t n t i pi , i = 1, k sao cho f (pi ) = ni . Đ t Q = p1 R + ... + pk R, xét f là thu h p c a f lên Q thì f : Q −→ S và jf = f i v i i : Q −→ P là phép nhúng. Do f là toàn c u và M là f g -x nh nên t n t i đ ng c u h : M −→ Q sao cho f h = g . Đ t h = ih thì h : M −→ P và f h = f ih = jf h = jg = g . V y M là x nh. H qu 3.6. Các đi u ki n sau tương đương: R là vành n a đơn. (1) M i R-môđun là f g -x nh. (2) M i R-môđun suy bi n là f g -x nh. (3) M i R-môđun đơn là f g -x nh. (4) Ch ng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) là rõ ràng. Gi s có (3) và M là môđun đơn khi đó M ho c là suy bi n ho c là hoàn toàn không suy bi n. N u M là suy bi n thì theo gi thi t nó là f g -x nh. N u M là hoàn toàn không suy bi n, M = aR v i a = 0, xét đ ng c u h : RR −→ aR xác đ nh b i h(r) = ar, khi đó M ∼ R/r(a). Do M là = hoàn toàn không suy bi n nên t n t i iđêan ph i I = 0 c a R sao cho r(a) ∩ I = 0, do tính c c đ i c a r(a) suy ra R = r(a) ⊕ I . Như th M ∼ R/r(a) ∼ I là h ng = = t tr c ti p c a môđun t do RR nên là x nh. Suy ra M là f g -x nh. Gi s có (4), v i m i iđêan ph i c c đ i m c a R thì R/m là môđun đơn, t đó R/m là x nh vì R/m h u h n sinh. Do đó m =kerp là h ng t tr c ti p th c s c a R, v i p : R −→ R/m là phép chi u, suy ra m không c t y u trong RR . V i m i R-môđun ph i M và v i m i 0 = a ∈ M xét iđêan ph i r(a) thì nó đư c ch a trong iđêan 76
ph i c c đ i m nào đó, do đó r(a) không c t y u trong RR , suy ra M là hoàn toàn không suy bi n. V y R là vành n a đơn. Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O [1] F. W.Anderson, K. R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York, 1992. [2] C. Faith, Algebra II: Ring Theory, Springer-Verlag, 1980. [3] T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Vol.189, Springer-Verlag, Berlin, 1998. [4] R.Y.C.Ming, A note on singular ideals , Tôhoku Math. J.21 (1969), 337-342. [5] R.Y.C.Ming, A remark on decomposable modules , Publ. Inst. Math. (Beograd), 25(39) (1979), 101-104. [6] R.Y.C.Ming, C -injectivity and C -projectivity, Hiroshima Math.J. 37(2007), 385-395. [7] W. K. Nicholson, M. F. Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge University Press, 2003. [8] S. S. Page, Y. Q. Zhou, Generalizations of Principally Injective Ring, J. Algebra 206(1998),706-721. [9] R.Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Sci Pub, 1991. ON f g -INJECTIVE AND f g -PROJECTIVE MODULES Tran Nguyen Dinh Nam, College of Pedagogy, Hue University. SUMMARY In this paper we consider the classes of f g -injective and f g -projective modules. That are the extensions of the classes of injective and projective modules respec- tively. Some characterizations of a semisimple ring via f g -injective and f g -projective modules are obtained. We also obtain some properties of Noetherian, QF, singular, nonsingular rings via f g -injective and f g -projective modules. . 77