Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm

Chia sẻ: Lâm Đức Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm trình bày: Tìm bất đẳng thức Gagliardo - Niren- berg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàm cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm

BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG CHO KHÔNG GIAN CÓ CHUẨN SINH BỞI HÀM LÕM TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàm cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm. 1 GIỚI THIỆU Bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng trong trường hợp một chiều đã được G. E. Shilov, A. N. Kolmogorov, H. H. Bang [2]và nhiều nhà toán học khác nghiên cứu và ứng dụng nó. Trường hợp nhiều chiều, bất đẳng thức đối vơí các đạo hàm được rất nhiều nhà toán học quan tâm nhưng kết quả nhận được còn rất hạn chế. Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg đã được [1] chứng minh cho các không gian Lp (Rn ), [3] chứng minh cho các không gian Orlicz (không gian có chuẩn sinh bởi hàm lồi [7]) và [6] chứng minh cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm Young có dạng Ms,k (t) = ts (ln(2 + t))k . Trong đề tài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng cho không gian NΦ (Rn+ ), không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm được giới thiệu bởi M. S. Steigerwalt và A. J. White [8]. 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giả sử S ⊂ Rn , B là σ− đại số sinh bởi các tập Borel trên S và µ là độ đo Lebesgue trên B và Φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là hàm lõm, không giảm thoả mãn Φ(0) = Φ(0+ ) = 0, Φ(t) 6≡ 0; kí hiệu C là tập hợp tất cả các Zhàm Φ. Kí hiệu NΦ (S) ∞ là tập hợp gồm các hàm đo được trên S thoả mãn điều kiện Φ(λf (t))dt < ∞ và 0 Z ∞ kf kNΦ (S) = Φ(λf (t))dt, trong đó λf (t) := µ{x ∈ S : |f (x)| > t}, (t ≥ 0). 0 Khi đó (NΦ (S), k.kNΦ ) là một không gian Banach (xem [8]). Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(18)/2011: tr. 5-13 6 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Và MΦ (S) là tập hợp xác định như sau MΦ (S) := {f − đo được : kf kMΦ 1 = sup{ Φ(µ(E)) Z |f |dµ : µ(E) < ∞}}, E cũng là một không gian Banach (xem [8]). Dα f là đạo hàm suy rộng cấp |α| = α1 + α2 + . . . + αn với α = (α1 , α2 , . . . , αn ). Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến các đạo hàm ta cần các kết quả sau: Bổ đề 2.1. [8] Nếu f ∈ NΦ (S) , g ∈ MΦ (S) thì f g ∈ L1 (S) và Z |f (x)g(x)|dµ ≤ kf kNΦ (S) kgkMΦ (S) S Bổ đề 2.2. [5] Nếu f ∈ NΦ (S) thì kf kNΦ (S) = Z sup kgkMΦ (S) ≤1 | f (x)g(x)dµ|. S Bổ đề 2.3. [9] Nếu f ∈ NΦ (Rn+ ) và với x ∈ Rn+ thì kf (. + x)kNΦ (Rn+ ) = kf kNΦ (Rn+ ) . Bổ đề 2.4. [1] Giả sử ` ≥ 2, f và các đạo hàm Dα f ∈ L∞ (Rn ), 0 < |α| = r ≤ `. Khi đó X X ¢r 1− r ¡ kDα f k∞ ` , kDα f k∞ ≤ Ckf k∞ ` (1) |α|=r |α|=` với hằng số C không phụ thuộc hàm f . Trên cơ sở của các kết quả có được liên quan đến các không gian Lp và không gian Orlicz, chúng ta cũng chứng minh được một số bất đẳng thức liên quan đến đạo hàm suy rộng trong không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm. 3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Từ những kết quả đã được nghiên cứu liên quan đến bất đẳng thức Gagliardo Nirenberg. Định lí 3.1. [9] Giả sử Φ ∈ C không bị chặn, f và các đạo hàm suy rộng Dβ f ∈ NΦ (Rn ), |β| = `. Khi đó Dα f ∈ NΦ (Rn ), 0 < |α| < ` và |α| ¡X ¢ |α| 1− ` kDα f kNΦ (Rn ) ≤ Ckf kNΦ (R kDβ f kNΦ (Rn ) ` , (2) n) |β|=` trong đó C không phụ thuộc f . 7 BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG... Kết quả trên có được với sự hạn chế là hàm Φ không bị chặn. Và kết quả sau đã khắc phục được hạn chế trên. Tuy nhiên, khi xây dựng các hàm Fε nhờ vào tích chập ta phải xét trên toàn không gian Rn . Định lí 3.2. [3] Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dβ f ∈ NΦ (Rn ), |β| = `. Khi đó Dα f ∈ NΦ (Rn ), 0 < |α| < ` và 1− |α| ` kDα f kNΦ (Rn ) ≤ Ckf kNΦ (R n) ¡X kDβ f kNΦ (Rn ) ¢ |α| ` , (3) |β|=` trong đó C không phụ thuộc f . Sau đây ta xét bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho trường hợp S = Rn+ . Định lí 3.3. Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dα f ∈ NΦ (Rn+ ), 0 < |α| ≤ `. Khi đó 1− |α| ` kDα f kNΦ (Rn+ ) ≤ Ckf kNΦ (R n) ¡X + kDβ f kNΦ (Rn+ ) ¢ |α| ` , (4) |β|=` trong đó C không phụ thuộc f . Chứng minh. Với α, 0 < |α| < `. Lấy ε > 0 tùy ý. Theo Bổ đề 2.2 ta chọn hàm hε ∈ MΦ (Rn+ ) sao cho khε kMΦ(Rn ) ≤ 1 và + ¯Z ¯ ¯ ¯ ε ¯ D f (x)hε (x)dx¯ > kDα f kNΦ (Rn+ ) − . 2 Rn + α n Theo Bổ đề 2.1 suy ra Dα f.hε ∈ L1 (Rn+ ), do đó tồn tại hình hộp K = π [ak , bk ] ⊂ Rn+ k=1 sao cho ¯Z ¯ ¯ ¯ Dα f (x)h(x)dx¯ > kDα f kNΦ (Rn+ ) − ε, (5) ¯ Rn + trong đó h = χK hε . Z Đặt Fε (x) = f (x + y)h(y)dy . Khi đó theo Bổ đề 2.1 và Bổ đề 2.3 ta có Rn + ¯Z ¯ |Fε (x)| = ¯ Rn + ¯ Z ¯ f (x + y)h(y)dy ¯ ≤ |f (x + y)h(y)|dy Rn + ≤ kf (x + ·)kNΦ (Rn+ ) khkMΦ (Rn+ ) ≤ kf kNΦ (Rn+ ) , (6) 8 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG vì khkMΦ (Rn+ ) ≤ 1. Suy ra Fε (·) ∈ L∞ (Rn+ ). Z α Tương tự ta cũng có D Fε (x) = Dα f (x + y)h(y)dy, 0 ≤ |α| ≤ `, theo nghĩa Rn + hàm suy rộng. Hơn nữa, với mỗi x ∈ Rn+ ta có Z α Dα f (x + y)h(y)dy| |D Fε (x)| = | Rn + ≤ kDα f (x + ·)kNΦ (Rn+ ) khkMΦ (Rn+ ) ≤ kDα f kNΦ (Rn+ ) . (7) Vậy Dα Fε (·) ∈ L∞ (Rn+ ). Bây giờ ta chứng minh Dα Fε liên tục trên Rn+ , 0 ≤ |α| ≤ `. Với mỗi x ∈ Rn+ , ta xét Z α α |D Fε (x)−D Fε (x + t)| = | Z =| Rn + [Dα f (x + y) − Dα f (x + t + y)]h(y)dy| Rn + [Dα f (x + y) − Dα f (x + t + y)]χK (y)hε (y)dy| ≤ kχK (.)[Dα f (x + .) − Dα f (x + t + .)]kNΦ (Rn+ ) khε kMΦ (Rn+ ) ≤ kχK (.)[Dα f (x + .) − Dα f (x + t + .)]kNΦ (Rn+ ) . Do đó để chứng minh Dα Fε liên tục tại x ta cần chứng minh lim kχK (.)[Dα f (x + .) − Dα f (x + t + .)]kNΦ (Rn+ ) = 0 t→0 (8) Để chứng minh đẳng thức (8) ta chỉ cần chứng minh đẳng thức cho trường hợp α = 0, còn các trường hợp khác chứng minh tương tự. Bằng phản chứng, giả sử tồn tại điểm x0 và dãy {tk } ⊂ Rn+ , |tk | → 0 và ε > 0 sao cho kχK (.)f (x0 + tk + .) − f (x0 + .)kNΦ (Rn+ ) ≥ ε, với mọi k ≥ 1. Để đơn giản ta có thể chọn x0 = 0, nghĩa là kχK (.)f (. + tk ) − f (.)kNΦ (Rn+ ) ≥ ε, với mọi k ≥ 1. Vì f ∈ L1`oc (Rn+ ) nên với mỗi hình hộp K = [0, d]n ta có Z |f (x + tk ) − f (x)|dx → 0 khi k → ∞. K (9) 9 BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG... Theo Định lý B [4] tồn tại một dãy con {tkj }. Để đơn giản ta vẫn kí hiệu {tk } sao cho f (. + tk ) hội tụ về f hầu khắp nơi trên K. Ta đặt gm (x) = inf |f (x + tk )|, x ∈ K. k≥m Khi đó {gm } là dãy không giảm và hội tụ về |f | hầu khắp nơi. Theo tính chất của λf (xem [8]), ta có λχK gm (t) → λχK |f | (t) khi m → ∞, với mỗi t > 0. Theo giả thiết Φ ∈ C ta có Φ(λχK |f | (t)) = lim Φ(λχK |gm | (t)) ≤ lim Φ(λ|f (.+tk )| (t)), t > 0. m→∞ (10) k→∞ Với bất kỳ f, g ∈ NΦ (Rn+ ) và t > 0 ta suy ra λχK (f +g) (2t) ≤ λχK f (t) + λχK g (t). Hơn nữa, vì Φ ∈ C nên Φ(a + b) ≤ Φ(a) + Φ(b), với a, b ≥ 0. Do đó ta có Φ(λχK |f (.+tk )−f | (2t)) ≤ Φ(λχK |f (.+tk )| (t)) + Φ(λχK |f | (t)). £ ¤ Vậy 0 ≤ Φ(λχK |f (.+tk )| (t)) + Φ(λχK |f | (t)) − Φ(λχK |f (.+tk )−f | (2t)), ∀t > 0, ∀k ≥ 1. Mặt khác, theo Bổ đề 2.3 ta có kχK f (. + t)kNΦ (Rn+ ) = kχK f kNΦ (Rn+ ) ∀t ∈ Rn+ . Vì vậy, áp dụng Bổ đề Fatou cho dãy {[Φ(λχK |f (.+tk )| (t)) + Φ(λχK |f | (t))] − Φ(λ|χK f (.+tk )−f | (2t))}. Suy ra Z ∞ 0 £ ¤ lim [Φ(λχK |f (.+tk )| (t)) + Φ(λχK |f | (t))] − Φ(λχK |f (.+tk )−f | (2t)) dt k→∞ Z ∞ £ ¤ ≤ lim [Φ(λχK |f (.+tk )| (t)) + Φ(λχK |f | (t))] − Φ(λχK |f (.+tk )−f | (2t) dt k→∞ 0 Z ∞ Z ∞ 1 Φ(λχK |f (.+tk )−f | (t))dt. (11) =2 Φ(λχK |f | (t))dt − lim 2 k→∞ 0 0 Mặt khác, ta có λχK |f (.+tk )−f | (t) = µ({x ∈ Rn+ : χK (x)|f (x + tk ) − f (x)| > t}) = µ({x ∈ K : |f (x + tk ) − f (x)| > t}) với mọi k ≥ 1 và t > 0. Vì vậy, khi cho f (. + tk ) → f hầu khắp nơi trên K ta được lim λχK |f (.+tk )−f | (t) = 0 và do đó k→∞ lim Φ(λχK |f (.+tk )−f | (t)) = 0. k→∞ (12)