Bất đẳng thức Muirhead và một vài áp dụng

Chia sẻ: Đinh Ngọc Trâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

186
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức Muirhead là 1 dạng tổng quát rất quan trọng của bất đẳng thức AM-GM. Nó là 1 công cụ rất mạnh trong việc giải một số bài toán về bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức Muirhead và một vài áp dụng

www.VNMATH.com 1 B T Đ NG TH C MUIRHEAD VÀ M T VÀI ÁP D NG LÊ H QUÝ, Trư ng THPT Duy Tân, Kon Tum B t đ ng th c Muirhead là m t d ng t ng quát r t quan tr ng c a b t đ ng th c AM-GM. Nó là m t công c r t m nh trong vi c gi i m t s bài toán v b t đ ng th c. 1. Đ nh lí Muirhead 1.1. Đ nh nghĩa 1 (B tr i) Cho hai b s th c b t kì a = (a1 , a2 , ..., an ) và b = (b1 , b2 , ..., bn ). Ta nói b a tr i hơn b b, kí hi u a b n u chúng th a mãn các đi u ki n sau đây i) a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn , ii) a1 ≥ b1 , a1 + a2 ≥ b1 + b2 , ..., a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn và iii) a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ... + bn . 1.2. Đ nh nghĩa 2 (Trung bình lo i [a]) Gi s xi > 0, 1 ≤ i ≤ n. Kí hi u !F (x1 , x2 , ...xn ) là t ng g m n! bi u th c thu đư c t F (x1 , x2 , ...xn ) b ng t t c các hoán v c a xi . Ta s ch xét trư ng h p đ c bi t F (x1 , x2 , ..., xn ) = xα1 xα2 ...xαn , v i xi > 0, ai > 0. 1 2 n Khi đó trung bình lo i [a] đư c đ nh nghĩa b i 1 [a] = [a1 , a2 ,..., an ] = !xα1 xα2 ...xαn . 1 2 n n! Đ c bi t n [1, 0, 0,..., 0] = (n−1)! (x1 + x2 + ... + xn ) = n! 1 n xi là trung bình c ng c a xi . i=1 1 1 1 1 1 1 √ n n = n! x1 .x1 ...x1 = n x1 x2 ...xn là trung bình nhân c a xi . , ,..., n n! n n n Khi a1 + a2 + ... + an = 1 thì [a] là m r ng thông thư ng c a trung bình c ng và trung bình nhân. 1.3. Đ nh nghĩa 3 G i P (x, y, z) là m t hàm ba bi n x, y, z. Khi đó, ta đ nh nghĩa i) T ng hoán v : P (x, y, x) = P (x, y, z) + P (y, z, x) + P (z, x, y). cyclic ii) T ng đ i x ng: P (x, y, x) = P (x, y, z) + P (x, z, y) + P (y, x, z) + P (y, z, x)+P (z, x, y)+P (z, y, x). sym
www.VNMATH.com 2 1.4. Đ nh lí Muirhead Đ nh lí 1 (B t đ ng th c Muirhead). Cho xi > 0, 1 ≤ i ≤ n và a, b là hai b n s th c. N u a b thì [a] ≥ [b]. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b và x1 = x2 = ... = xn . Ch ng minh. Có th xem ph n ch ng minh đ nh lí Muirhead trong các tài li u tham kh o [1], [2], [3], [4]. 1 1 1 Vì r ng (1, 0, ..., 0) , , ..., n , nên b t đ ng th c AM-GM là m t h qu c a b t n n đ ng th c Muirhead. 2. M t vài áp d ng ph n ti p theo, chúng tôi xin trình bày m t s áp d ng c a b t đ ng th c Muirhead trong vi c ch ng minh b t đ ng th c. 2.1 Ch ng minh các b t đ ng th c đ i s Ví d 1. Cho ba s th c dương a, b, c. Ch ng minh r ng (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. L i gi i. Khai tri n và rút g n ta đư c b t đ ng th c tương đương a2 b + a2 c + b2 c + b2 a + c2 a + c2 b ≥ 6abc. Vì (2, 1, 0) (1, 1, 1) nên theo b t đ ng th c Muirhead ta có [(2, 1, 0)] ≥ [(1, 1, 1)]. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c. Ví d 2 (Yogoslavia-1991). Ch ng minh r ng v i m i s th c dương a, b, c, ta luôn có 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . a3 +b 3 + abc b +c 3 + abc c +a 3 + abc abc L i gi i. Quy đ ng và b m u, r i nhân hai v cho 2, ta đư c b t đ ng th c tương đương (a3 + b3 + abc)(b3 + c3 + abc) ≤ 2(a3 + b3 + abc)(b3 + c3 + abc)(c3 + a3 + abc) sym ⇔ (a7 bc + 3a4 b4 c + 4a5 b2 c2 + a3 b3 c3 ) ≤ (a3 b3 c3 + 2a6 b3 + 3a4 b4 c + a7 bc + 2a5 b2 c2 ) sym sym 6 3 5 2 ⇔ (2a b − 2a b c) ≥ 0 sym Vì (6, 3, 0) (5, 2, 2) nên theo b t đ ng th c Muirhead nên v trái c a b t đ ng th c cu i cùng là m t h ng t không âm. T đó, ta có đi u ph i ch ng minh. Nh n xét 1. ví d ti p theo, chúng ta s s d ng đ n m t k thu t r t h u ích sau đây
www.VNMATH.com 3 Khi x1 .x2 ...xn = 1 thì [(a1 , a2 , ..., an )] = [(a1 − r, a2 − r, ..., an − r)], v i r ∈ R. Ví d 3 (IMO-1995). Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn đi u ki n abc = 1. Ch ng minh r ng 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ . a3 (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 L i gi i 1. Quy đ ng và b m u, ta đư c b t đ ng th c tương đương 2(a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 ) + 2(a4 b3 c + a4 c3 b + b4 a3 c + c4 a3 b + c4 b3 a) + 2(a3 b3 c2 + b3 c3 a2 + c3 a3 b2 ) ≥ 3(a5 b4 c3 + a5 c4 b3 + b5 c4 a3 + b5 a4 c3 + c5 a4 b3 + c5 b4 a3 ) + 6a4 b4 c4 . S d ng kí hi u [a], ta đư c b t đ ng th c tương đương [(4, 4, 0)] + 2[(4, 3, 1)] + [(3, 3, 2)] ≥ 3[(5, 4, 3)] + [(4, 4, 4)] Đ ý r ng 4 + 4 + 0 = 4 + 3 + 1 = 3 + 3 + 2 = 8, nhưng 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12. B i v y, ta có th ch n r = 4 và s d ng k thu t trên ta đư c [(5, 4, 3)] = ( 11 , 8 , 5 ) . 3 3 3 3 8 Hơn n a [(4, 4, 4)] = ( 3 , 8 , 3 ) . 3 8 11 8 5 11 8 5 Áp d ng b t đ ng th c Muirhead cho ba b s (4, 4, 0) , , , (4, 3, 1) 3 3 3 , , , 3 3 3 8 8 8 (3, 3, 2) , , 3 3 3 và c ng các b t đ ng th c v a nh n đư c ta có b t đ ng th c ph i ch ng minh. L i gi i 2. B t đ ng th c đã cho tương đương v i 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ 4 a3 (b + c) b (c + a) c (a + b) 2(abc) 3 Đ t a = x3 , b = y 3 , c = z 3 , v i x, y, z > 0. Khi đó b t đ ng th c tr thành 1 3 ≥ 4 4 4. cyclic x9 (y 3 +z 3) 2x y z Quy đ ng m u s chung và b m u, ta đư c b t đ ng th c x12 y 12 + 2 x12 y 9 z 3 + x9 y 9 z 6 ≥ 3 x11 y 8 z 5 + x8 y 8 z 8 sym sym sym sym sym hay x12 y 12 − x11 y 8 z 5 +2 x12 y 9 z 3 − x11 y 8 z 5 + x9 y 9 z 6 − x8 y 8 z 8 ≥ 0. sym sym sym sym sym sym Vì (12, 12, 0) (11, 8, 5), (12, 9, 3) (11, 8, 5), (9, 9, 6) (8, 8, 8) nên theo b t đ ng th c Muirhead thì m i h ng t trong b t đ ng th c cu i là không âm. T đó ta có đi u ph i ch ng minh.
www.VNMATH.com 4 Ví d 4 (IMO Shortlist-1998). Cho các s th c dương x, y, z th a mãn đi u ki n xyz = 1. Ch ng minh r ng x3 y3 z3 3 + + ≥ . (1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) 4 L i gi i. Quy đ ng m u s chung và b m u, ta đư c b t đ ng th c tương đương 4(x4 + y 4 + z 4 + x3 + y 3 + z ) ≥ 3(1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz). S d ng kí hi u [a], ta đư c b t đ ng th c tương đương 4[(4, 0, 0)] + 4[(3, 0, 0)] ≥ [(0, 0, 0)] + 3[(1, 0, 0)] + 3[1, 1, 0] + [(1, 1, 1)]. Áp d ng b t đ ng th c Muirhead và k thu t trên, ta đư c 4 4 4 [(4, 0, 0)] ≥ , , = [(0, 0, 0)] 3 3 3 3[(4, 0, 0)] ≥ 3[(2, 1, 1)] = 3[(1, 0, 0)] 4 4 1 3[(3, 0, 0)] ≥ , , = 3[(1, 1, 0)] 3 3 3 và [(3, 0, 0)] ≥ [(1, 1, 1)]. C ng các b t đ ng th c v a nh n đư c ta có b t đ ng th c ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 1. Nh n xét 2. i) Trong bài toán trên, ta có th "n i" b t đi u ki n ràng bu c thành đi u ki n r ng hơn xyz ≥ 1. Khi đó, ta có b t đ ng th c [(a1 , a2 , a3 )] ≥ [(a1 − r, a2 − r, a3 − r)], trong đó r ≥ 0 b t kì. ii) S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta d dàng ch ng minh đư c k t qu sau: V i hai b n s th c a và b, ta luôn có [a] + [b] a+b ≥ . 2 2 Ví d 5 (IMO-2005). Cho x, y, z là các s th c dương sao cho xyz ≥ 1. Ch ng minh r ng x5 − x2 y5 − y2 z5 − z2 + 5 + 5 ≥ 0. x5 + y 2 + z 2 y + z 2 + x2 z + x2 + y 2 L i gi i. Sau khi quy đ ng m u s chung, b m u và s d ng kí hi u [a], ta đư c b t đ ng th c tương đương [(9, 0, 0)]+4[7, 5, 0]+[(5, 2, 2)]+[(5, 5, 5)] ≥ [(6, 0, 0)+[(5, 5, 2)]+2[(5, 4, 0)]+2[(4, 2, 0)]+[(2, 2, 2)].
www.VNMATH.com 5 Ta có (1) [9, 0, 0] ≥ [(7, 1, 1)] ≥ [(6, 0, 0)] (do b t đ ng th c Muirhead và nh n xét 2.i)) (2) [(7, 5, 0)] ≥ [(5, 5, 2)] (do b t đ ng th c Muirhead) (3) 2[(7, 5, 0)] ≥ 2[(6, 5, 1)] ≥ 2[(5, 4, 0)] (do b t đ ng th c Muirhead và nh n xét 2.i)) (4) [(7, 5, 0)] + [(5, 2, 2)] ≥ 2 6, 7 , 1 ≥ 2 11 , 7 , 3 ≥ 2[(4, 2, 0)] 2 2 2 2 (do b t đ ng th c Muirhead và nh n xét 2) (5) [(5, 5, 5)] ≥ [(2, 2, 2)] (do nh n xét 2.i)) C ng các b t đ ng th c trên v v i v , ta đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. 2.2 Ch ng minh các b t đ ng th c hình h c Ví d 6 (IMO-1961). Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a tam giác ABC, S là di n tích c a tam giác đó. Ch ng minh r ng √ 4 3S ≤ a2 + b2 + c2 . L i gi i 1. S d ng công th c Heron, ta có th vi t l i b t đ ng th c đã cho như sau √ (a + b + c) (a + b − c) (a + c − b) (b + c − a) a2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3 . 2 2 2 2 Bình phương c hai v c a b t đ ng th c, ta đư c ⇔ (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 3[(a + b)2 − c2 )(c2 − (b − a)2 )] = = 3(2c2 a2 + 2c2 b2 + 2a2 b2 − (a4 + b4 + c4 )) ⇔ a4 + b 4 + c 4 ≥ a2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a2 Dùng kí hi u [a], ta có b t đ ng th c tương đương [(4, 0, 0)] ≥ [(2, 2, 0)] B t đ ng th c cu i cùng này luôn đúng do b t đ ng th c Muirhead ng v i hai b s (4, 0, 0) (2, 2, 0). L i gi i 2. Đ t x = a + b − c, y = c + a − b, z = b + c − a, ta thu đư c x + y + z = a + b + c, khi đó, dùng công th c Heron ta có (x + y + z)3 (a + b + c)2 4S = (a + b + c)(xyz) ≤ (a + b + c) = √ . 27 3 3 Lúc này, ta ch c n ch ng minh (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ). B t đ ng th c cu i cùng này đư c suy ra t b t đ ng th c Muirhead, vì r ng [(1, 1, 0)] ≤ [(2, 0, 0)]. Ví d 7. Xét tam giác ABC v i đ dài các c nh là a, b, c và R, r l n lư t là bán kính c a đư ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác đó. Ch ng minh r ng r 2[2a2 − (b − c)2 ][2b2 − (c − a)2 ][2c2 − (a − b)2 ] ≤ . R (a + b)(b + c)(c + a)
www.VNMATH.com 6 L i gi i. Trư c h t, ta thu n nh t b t đ ng th c ph i ch ng minh v i các bi n x, y, z b ng cách dùng các đ ng nh t th c abc S a+b+c R= , r = , S 2 = p(p − a)(p − b)(p − c), p = 4S p 2 và đ t y+z z+x x+y a= , b= , c= . 2 2 2 Khi đó, ta có x = b + c − a > 0, y = c + a − b > 0, z = a + b − c > 0. Bình phương hai v và rút g n ta đư c b t đ ng th c tương đương 105[(4, 4, 4)] + 264[(5, 4, 3)] + 88[(6, 3, 3)] + 48[(7, 3, 2)] + 9[(8, 2, 2)] ≤ ≤ 136[(5, 5, 2)] + 106[(6, 4, 2)] + 176[(6, 5, 1)] + 7[(6, 6, 0)] + 72[(7, 4, 1)]+ + 8[(7, 5, 0)] + 8[(8, 3, 1)] + [(8, 4, 0)]. Áp d ng b t đ ng th c Muirhead, ta l n lư t có 9[(8, 2, 2)] ≤ 8[(8, 3, 1)] + [(8, 4, 0)] 48[(7, 3, 2)] ≤ 48[(7, 4, 1)] 88[(6, 3, 3)] ≤ 88[(6, 5, 1)] 264[(5, 4, 3)] ≤ 136[(5, 5, 2)] + 106[(6, 4, 2)] + 22[(6, 5, 1)] 105[(4, 4, 4)] ≤ 66[(6, 5, 1)] + 7[(6, 6, 0)] + 24[(7, 4, 1)] + 8[(7, 5, 0)]. C ng các v tương ng c a các b t đ ng th c trên, ta đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z hay tam giác ABC đ u. Bài t p Bài 1. Ch ng minh r ng m i s th c dương a, b, c, ta luôn có a5 + b5 + c5 ≥ a3 bc + b3 ca + c3 ab. Bài 2. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c 9 + + ≤ . (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) 4(a + b + c) Bài 3 (IMO-1964). Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a). Bài 4 (Iberoamerican Shortlist-2003). Cho ba s th c dương a, b, c. Ch ng minh r ng a3 b3 c3 + 2 + 2 ≥ a + b + c. b2 − bc + c2 c − ca + a2 a − ab + b2
www.VNMATH.com 7 Bài 5 (IMO-1984). Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn đi u ki n x+y +z = 1. Ch ng minh r ng 7 0 ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤ . 27 Bài 6. Cho x, y, z là các s th c không âm sao cho xy + yz + zx = 1. Ch ng minh 1 1 1 5 + + ≥ . x+y y+z z+x 2
www.VNMATH.com 8 Tài li u tham kh o [1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequalities, Cambridge University Pree, 1967. [2] Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gosmez Ortega, Rogelio valdez Delgado, Inequalities, A Mathematical Olympial Approach, Birkh¨user, 2009. a [3] Lau Chi Hin, Muirhead’s Inequality, Vo.11. Mathematical Excalibur, 2006. [4] Ivan Matié, Classical Inequalities, Olympial Training Materials, 2007. [5] Zoran Kadelburg, Du˜an Đukié, Milivoje Lukié, Ivan Matié, Inequalities of Karamata, s Schur and Muirhead, and some applications, The teaching of Mathematics, Vol. VIII, pp. 31-45, 2005. [6] Cezar Lupu, Tudorel Lupu, Problem 11245, American mathematical Monthly, Vol.113, 2006. [7] Andre Rzym, Muirhead’s Inequality, November 2005. [8] Stanley Rabinowitz, On The Computer Solution of Symmetric Homogeneous Triangle Inequalities, Alliant Computer Systems Corporation Littleton, MA 01460. [9] Nguy n Văn M u, B t đ ng th c, Đ nh lý và áp d ng, NXB Giáo D c, 2005. [10] Ph m Kim Hùng, Sáng t o b t đ ng th c, NXB Hà N i, 2007. [11] Ngô Th Phi t, M t s phương pháp m i trong ch ng minh b t đ ng th c, NXB Giáo D c, 2007.