Bất đẳng thức xoay vòng phần 5

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức xoay vòng phần 5', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức xoay vòng phần 5

www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 1.4 B t đ ng th c xoay vòng phân th c Bài 1 V i a, b > 1, ch ng minh r ng: 1 1 2 + ≥ √ 1+a 1+b 1 + ab Ch ng minh B t đ ng th c tương v i: (a + b) + 2 2 ≥ √ 1 + (a + b) + ab 1 + ab √ √ n ⇔ (a + b) + 2 + (a + b) ab + 2 ab ≥ 2 + 2(a + b) + 2ab √ √ √ .v ⇔ (a + b)( ab − 1) + 2 ab(1 − ab) ≥ 0 √ √ √ √ ⇔ ( ab − 1)( a − b)2 ≥ 0 (Hi n nhiên vì ab > 1 ) Bài 2 h 4 V i 0 < a, b < 1, ch ng minh r ng: 2 1 1 2 + ≤ √ 1+a 1+b 1 + ab c o Ch ng minh B t đ ng th c tương đương v i: ih (a + b) + 2 2 ≤ √ 1 + (a + b) + ab 1√ ab √ + ⇔ (a + b) + 2 + (a + b) ab + 2 ab ≤ 2 + 2(a + b) + 2ab u √ √ √ √ ⇔ ( ab − 1)( a − b)2 (Hi n nhiên đúng vì ab < 1 ) V Bài 3 V i a, b > 1, ch ng minh r ng: 1 1 2 n + n ≥ √ (1 + a) (1 + b) (1 + ab)n Ch ng minh Áp d ng b t đ ng th c: an + b n a+b n ≥( ) 2 2 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 32 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ta thu đư c: 1 1 1 1 + n + n ≥ 2( 1+a 1+b n ) (1 + a) (1 + b) 2 Áp d ng k t qu bài 1 ta thu đư c. 1 1 1 2 + ≥ 2( √ )n = (1 + a)n (1 + b)n 1 + ab (1 + ab)n Bài 4 V i 0 < a, b < 1, ch ng minh r ng: 1 1 2 √ n + √ n ≤ n √ 1+a 1+b 1+ ab n Ch ng minh .v Áp d ng b t đ ng th c √ n √ n a+ b n a+b h ≤ V i a, b > 0 2 2 4 Ta thu đư c 2 1 1 1 1 n 1+a + 1+b √ n + √ n ≤ c 1+a 1+b 2 o Áp d ng k t qu ví d 2 ta thu đư c ih 1 1 1 2 √ n + √ n ≤ 2n √ = n √ 1+a 1+b 1 + ab 1+ ab u Bài 5 V V i a, b > 1. ch ng minh r ng √ a b 2 ab + ≥ √ 1+b 1+a 1 + ab Ch ng minh B t đ ng th c đã cho tương đương v i √ a b 2 ab +1+ +1≥ √ +2 1+b 1+a 1 + ab GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 33 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 1 1 √ 2 ⇔ (a + b + 1)( + ) ≥ (1 + 2 ab) √ 1+b 1+a 1 + ab Ta có √ a + b + 1 ≥ 1 + 2 ab 1 1 2 + ≥ √ 1+b 1+a 1 + ab Nhân hai v hai b t đ ng th c trên ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 6 V i a, b, c > 0, ch ng minh r ng 1 1 1 3 n + + ≥ √ 3 1+a 1+b 1+c 1 + abc .v Ch ng minh B t đ ng th c đã cho tương đương v i h 4 1 1 1 1 4 P = + + + √ 3 ≥ √ 3 1 + a 1 + b 1 + c 1 + abc 1 + abc 2 Ta có c o 2 2 4 4 P ≥ √ + √ 3 ≥ 4 √ 3 = √ 3 1+ ab 1+ c abc 1+ abc abc 1+ abc ih Bài 7 u V i a, b, c > 1, ch ng minh r ng V 2+b+c 2+c+a 1+a+b + + ≥6 1+a 1+b 1+c Ch ng minh B t đ ng th c đã cho tương đương v i 2+b+c 2+c+a 1+a+b +1+ +1+ +1≥9 1+a 1+b 1+c 1 1 1 ⇔ (3 + a + b + c)( + + )≥9 1+a 1+b 1+c GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 34 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ta có √ 3 3 + a + b + c ≥ 3(1 + abc) 1 1 1 3 + + ≥ √ 3 1+a 1+b 1+c 1 + abc Nhân v v i v c a hai b t đ ng th c trên chúng ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 8 V i a, b, c > 1, ch ng minh r ng 1 1 1 3 + + ≥ √ n 3 3 3 3 (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + abc)3 .v Ch ng minh B t đ ng th c đã cho tương đương v i h 1 1 1 1 4 4 P = 3 + 3 + 3 + √ 3 ≥ √ 3 (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + abc)3 (1 + abc)3 2 Áp d ng k t qu bài 3 ta có c o 2 2 4 4 P ≥ √ + √ 3 ≥ 4 √ 3 ≥ √ 3 (1 + ab)3 (1 + c abc)3 (1 + abc abc)3 (1 + abc)3 ih Bài 9 u V i 0 < a, b, c < 1, ch ng minh r ng V 1 1 1 3 √ +√ +√ ≤ √ 3 1+a 1+b 1+c 1+ abc Ch ng minh B t đ ng th c đã cho tương đương v i 1 1 1 1 4 P =√ + + + √ ≤ √ 1+a 1+b 1+c 3 1 + abc 1+ 3 abc GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 35 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Áp d ng k t qu bài 4 ta thu đư c 2 2 4 4 P ≤ √ + √ ≤ √ = √ 3 1 + ab 1+ 3 c abc 1+ 4 3 abc abc 1+ abc Bài 10 V i a, b, c > 1, ch ng minh r ng 2+b+c 2 2+c+a 2 2+a+b 2 P =( ) +( ) +( ) ≥ 12 1+a 1+b 1+c Ta có n 2+b+c 2+c+a 2+a+b 1+a + 1+b + 1+c 6 P ≥( ) ≥ 3( )2 = 12 2 3 3 .v Áp d ng ví d 7 Bài 11 h V i a, b, c là các s th c dương, ch ng minh r ng 4 2 a5 b 5 c 5 + + ≥ a3 + b 3 + c 3 b 2 c 2 a2 c o Ch ng minh Ta có ih a5 + ab2 ≥ 2a3 b2 b5 u 2 + bc2 ≥ 2b3 c c5 V + ca2 ≥ 2c3 a2 a3 + b3 + c3 ≥ ab2 + bc2 + ca2 C ng 4 b t đ ng th c trên chúng ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 12 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng a5 b5 c5 + + ≥ a3 + b 3 + c 3 bc ca ab Ch ng minh Ta có: GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 36 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 a5 + abc ≥ 2a3 bc b5 + abc ≥ 2b3 ca c5 + abc ≥ 2c3 ab a3 + b3 + c3 ≥ 3abc C ng 4 b t đ ng th c trên chúng ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 13 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng a5 b 5 c 5 a3 b 3 c 3 + 3+ 3 ≥ + + b3 c a b c a n .v Ch ng minh a5 a3 Ta có: 3 + ab ≥ 2 b b a5 Suy ra: 5 + 2ab ≥ a3 a3 + + ab ≥ a3 + 2a2 h b b b b 4 Tương t : b5 b3 + 2bc ≥ + 2b2 2 c3 c c5 c3 + 2ca ≥ + 2c2 c a3 a mà 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) o C ng 4 b t đ ng th c trên chúng ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. ih Bài 14 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng u a3 b3 c3 1 V + + ≥ (a2 + b2 + c2 ) a + 2b b + 2c c + 2a 3 Ch ng minh Ta có: 9a3 + a(a + 2b) ≥ 6a2 a + 2b 9b3 + b(b + 2c) ≥ 6b2 b + 2c 9c3 + c(c + 2a) ≥ 6c2 c + 2a mà 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) C ng 4 b t đ ng th c trên ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 37 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Bài 15 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng a3 b3 c3 1 2 + 2 + 2 ≥ (a + b + c) (b + c) (c + a) (a + b) 4 Ch ng minh Ta có: 8a3 + (b + c) + (b + c) ≥ 6a (b + c)2 8b3 + (c + a) + (c + a) ≥ 6b (c + a)2 8c3 n + (a + b) + (a + b) ≥ 6c (a + b)2 .v C ng 3 b t đ ng th c trên ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 16 h V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng 4 a3 b3 c3 1 + + ≥ (a + b + c) 2 b(c + a) c(a + b) a(b + c) 2 c Ch ng minh o Ta có: 4a3 + 2b + (c + a) ≥ 6a ih b(c + a) 4b3 + 2c + (a + b) ≥ 6b c(a + b) u 4c3 + 2a + (b + c) ≥ 6c a(b + c) V C ng 3 b t đ ng th c trên ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 17 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng a4 b4 c4 + 2 + 2 ≥a+b+c bc2 ca ab Ch ng minh Ta có: a4 + b + c + c ≥ 4a bc2 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 38 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 b4 + c + a + a ≥ 4b ca2 c4 + a + b + b ≥ 4c ab2 C ng 3 b t đ ng th c trên ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. Bài 18 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng a3 b3 c3 1 + + ≥ (a + b + c) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) (c + a)(a + b) 4 Ch ng minh n Ta có: 8a3 + (a + b) + (b + c) ≥ 6a .v (a + b)(b + c) 8b3 + (b + c) + (c + a) ≥ 6b (b + c)(c + a) h 8c3 + (c + a) + (a + b) ≥ 6c (c + a)(a + b) 4 C ng 3 b t đ ng th c trên ta thu đư c b t đ ng th c c n ch ng minh. 2 Bài 19 c V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng o a2 b 2 c 2 9 3 + 3+ 3 ≥ b c a a+b+c ih Ch ng minh u Ta có b t đ ng th c b 3 c 3 a3 V + + ≥a+b+c a2 b 2 c 2 Suy ra: a2 b 2 c 2 ( 1 )3 ( 1 )3 ( a )3 b c 1 1 1 1 9 3 + 3+ 3 = 1 2+ 1 2+ 1 2 ≥ + + ≥ b c a (a) (b) (c) a b c a+b+c Bài 20 V i a, b, c là các s th c dương. ch ng minh r ng a5 b 5 c 5 2 + 2 + 2 ≥ ab2 + bc2 + ca2 b c a GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 39 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ch ng minh Ta có: a5 b 5 c 5 2 + 2 + 2 ≥ a3 + b3 + c3 ≥ ab2 + bc2 + ca2 b c a n .v h 4 2 c o ih u V GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 40 Sinh viên: Nguy n Văn Cương