Bất đẳng thức xoay vòng phần 6

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Nội dung Text: Bất đẳng thức xoay vòng phần 6

www.VNMATH.com Chương 2 M t d ng b t đ ng th c xoay vòng n Quy ư c trong bài vi t .v Đ th ng nh t ký hi u trong bài vi t thì ta quy ư c cách vi t như sau: a1 , · · · , an ⇔ a1 , a2 , · · · , ai , · · · , an ; i ∈ (1, n) h a1 a2 + · · · + a1 an ⇔ a1 a2 + · · · + a1 ai + · · · + a1 an ; i ∈ (1, n) 4 a1 a2 + · · · + an−1 an ⇔ a1 a2 + · · · + a1 an + · · · + ai ai+1 + · · · + ai an + · · · + an−1 an 2 a2 + · · · + a2 ⇔ a2 + a2 + · · · + a2 · · · + a2 ; (i ∈ 1, n) 1 n 1 2 i n c (a2 + a2 ) + · · · + (a2 + a2 ) ⇔ (a2 + a2 ) + · · · + (a2 + a2 ) + · · · + (a2 + ai+1 ) + · · · + 1 2 n−1 n 1 2 1 n i o (a2 + a2 ) + · · · + (an−1 + a2 ) i n n (a1 + · · · + an )2 ⇔ (a1 + a2 + · · · + ai + · · · + an )2 ; (i ∈ 1, n) ih u 2.1 Các trư ng h p đơn gi n V 2.1.1 Trư ng h p 3 s n = 3 Bài 1 Cho 3 s không âm a1 , a2 , a3 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 a3 3 A= + + ≥ a1 + αa2 a2 + αa3 a3 + αa1 1+α Ch ng minh. a1 a2 a3 Ta có: A = + + a1 + αa2 a2 + αa3 a3 + αa1 41
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 a2 1 a2 a2 ⇔A= + 2 2 + 2 3 a2 + αa1 a2 a2 + αa2 a3 a3 + αa1 a3 1 ⇒ I[(a1 + αa1 a2 ) + (a2 + αa2 a3 ) + (a2 + αa1 a3 )] ≥ (a1 + a2 + a3 )2 2 2 3 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki đ i v i 3 c p s ) (a1 + a2 + a3 )2 ⇒A≥ 2 a1 + αa1 a2 + a2 + αa2 a3 + a2 + αa1 a3 2 3 (a1 + a2 + a3 )2 ⇔A≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (α − 2)(a1 a2 + a2 a3 + a1 a3 ) (a1 + a2 + a3 )2 ⇔A≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (α − 2) 1 (a1 + a2 + a3 )2 3 1 3 3 ⇔A≥ 1 = = 1 + 3 (α − 2) 3 + (α − 2) 1+α D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 n .v 2.1.2 Trư ng h p 4 s n = 4 Bài 2 h Cho 4 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: 4 a1 a2 a3 B= + + a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + α(2a4 + a1 ) 2 a4 4 + ≥ a4 + α(2a1 + a2 ) 1 + 3α c Ch ng minh. o Ta có: a1 a2 a3 B= + + ih a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + α(2a4 + a1 ) a4 + a4 + α(2a1 + a2 ) u a21 a2 2 ⇔B= 2 + 2 a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 ) a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 ) V a2 3 a24 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + a3 a1 ) a4 + α(2a4 a1 + a4 a2 ) ⇒ B{[a2 + α(2a1 a2 + a1 a3 )] + [a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 )] 1 2 +[a2 + α(2a3 a4 + a3 a1 )] + [a2 + α(2a4 a1 + a4 a2 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 3 4 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki đ i v i 4 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇒B ≥ 2 [a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 )] + · · · + [a2 + α(2a4 a1 + a4 a2 )] 4 (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a3 a4 ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (2α − 2) 3 (a1 + a2 + a3 + a4 )2 8 1 8 8 4 ⇔B ≥ 3 = = = 1 + 8 (2α − 2) 8 + 3(2α − 2) 2 + 6α 1 + 3α GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 42 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Bài 2.1 Cho a4 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 4 B1 = + + ≥ a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + 2αa3 a3 + αa1 1 + 3α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 2.1.3 Trư ng h p 5 s n = 5 Bài toán t ng quát 5 s Cho 5 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 và s th c α > 2, . Ch ng minh r ng: Bài 3 n Cho 5 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 a3 .v C= + + a1 + α(2a2 + a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + +a5 + a1 ) a4 a5 5 + + ≥ a4 + α(2a5 + a1 + a2 ) a5 + α(2a1 + a2 + a3 ) h 1 + 4α Ch ng minh. 4 Ta có: a1 a2 a3 2 C= + + a1 + α(2a2 + a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + a5 + a1 ) a4 a5 c + + a4 + α(2a5 + a1 + a2 ) a5 + α(2a1 + a2 + a3 ) a2 a2 o 1 2 ⇔C= 2 + 2 a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 ) a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 ) a2 a2 ih 3 4 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + a3 a5 + a3 a1 ) a4 + α(2a4 a5 + a4 a1 + a4 a2 ) a25 + 2 u a5 + α(2a5 a1 + a5 a2 + a5 a3 ) ⇒ C{[a2 + α(2a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 )] + [a2 + (2a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 )] + [a2 + α(2a3 a4 + a3 a5 + 1 2 3 V a3 a1 )]+[a2 +(2a4 a5 +a4 a1 +a4 a2 )]+[a2 +α(2a5 a1 +a5 a2 +a5 a3 )]} ≥ (a1 +a2 +a3 +a4 +a5 )2 4 5 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 5 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇒C ≥ 2 [a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 )] + · · · + [a2 + α(2a5 a1 + a5 a2 + a5 a3 )] 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇔C ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a4 a5 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇔C ≥ 2 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (2α − 2) 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 1 5 5 ⇔C ≥ 2 = = 1 + 5 (2α − 2) 5 + 2(2α − 2) 1 + 4α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 Bài 3.1 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 43 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Cho a5 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 C1 = + + a1 + α(2a2 + a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + α(2a4 + a1 ) a4 5 + ≥ a4 + α(a1 + a2 ) 1 + 4α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Bài 3.2 Cho a5 = a4 = 0 ta đư c: a1 a−2 a3 5 C2 = + + ≥ a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + 2αa3 a3 + αa1 1 + 4α n D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 Bài 4 .v Cho 5 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 a3 D= + + h a1 + α(a2 + a3 ) a2 + α(a3 + a4 ) a3 + α(a4 + a5 ) a4 a5 5 + + ≥ 4 a4 + α(a5 + a1 ) a5 + α(a1 + a2 ) 1 + 2α Ch ng minh. 2 Ta có: c a1 a2 a3 a4 C= + + + a1 + α(a2 + a3 ) a2 + α(a3 + a4 ) a3 + α(a4 + a1 ) a4 + α(a5 + a1 ) o a5 + a5 + α(a1 + a2 ) ih a2 1 a2 2 a23 ⇔C= 2 + 2 + 2 a1 + α(a1 a2 + a1 a3 ) a2 + α(a2 a3 + a2 a4 ) a3 + α(a3 a4 + a3 a5 ) a2 a2 u 4 5 + 2 + 2 a4 + α(a4 a5 + a4 a1 ) a5 + α(a5 a1 + a5 a2 ) ⇒ C{[a2 + α(a1 a2 + a1 a3 )] + [a2 + (a2 a3 + a2 a4 )] + [a2 + α(a3 a4 + a3 a5 )] + [a2 + (a4 a5 + V 1 2 3 4 a4 a1 )] + [a2 + α(a5 a1 + a5 a2 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 5 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 5 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇒C ≥ 2 [a1 + α(a1 a2 + a1 a3 )] + · · · + [a2 + α(a5 a1 + a5 a2 )] 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇔C ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a4 a5 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇔C ≥ 2 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (α − 2) 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 1 5 5 ⇔C ≥ 2 = = 1 + 5 (α − 2) 5 + 2(α − 2) 1 + 2α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 Bài 4.1 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 44 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Cho a5 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 a4 5 D1 = + + + ≥ a1 + α(a2 + a3 ) a2 + α(a3 + a4 ) a3 + αa4 a4 + αa1 1 + 2α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Bài 4.2 Cho a5 = a4 = 0 ta đư c: a1 a2 5 D2 = + +1≥ a1 + α(a2 + a3 ) a2 + αa3 1 + 2α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 2.1.4 Trư ng h p 6 s n = 6 n Bài 5 .v Cho 6 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 E= + a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 + a6 ) + a3 + a4h a3 + α(2a4 + a5 + a6 + a1 ) a4 + α(2a5 + a6 + a1 + a2 ) 4 a5 a6 6 + + ≥ a5 + α(2a6 + a1 + a2 + a3 ) a6 + α(2a1 + a2 + a3 + a4 ) 1 + 5α 2 Ch ng minh. c Ta có: a1 a2 E= + o a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 + a6 ) a3 a4 + + ih a3 + α(2a4 + a5 + a6 + a1 ) a4 + α(2a5 + a6 + a1 + a2 ) a5 a6 + + a5 + α(2a6 + +a1 + a2 + a3 ) a6 + α(2a1 + a2 + a3 + a4 ) u a21 a22 ⇔E= 2 + 2 a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a1 a5 ) a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 + a2 a6 ) V a23 a24 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + a3 a5 + a3 a6 + a3 a1 ) a4 + α(2a4 a5 + a4 a6 + a4 a1 + a4 a2 ) a25 a26 + 2 + 2 a5 + α(2a5 a6 + a5 a1 + a5 a2 + a5 a3 ) a6 + α(2a6 a1 + a6 a2 + a6 a3 + a6 a4 ) ⇒ E{[a2 + α(2a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a1 a5 )] + [a2 + (2a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 + a2 a6 )] + [a2 + 1 2 3 α(2a3 a4 + a3 a5 + a3 a6 + a3 a1 )] + [a2 + (2a4 a5 + a4 a6 + a4 a1 + a4 a2 )] + [a2 + α(2a5 a6 + 4 5 a5 a1 + a5 a2 + a5 a3 )] + [a2 + α(2a6 a1 + a6 a2 + a6 a3 + a6 a4 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 6 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 6 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇒E≥ 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + 2α(a1 a2 + · · · + a5 a6 )] 2 3 4 5 6 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔E≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a5 a6 ) GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 45 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔E≥ 5 (a1 + · · · + a6 )2 + (2α − 2) 12 (a1 + · · · + a6 )2 1 12 12 6 ⇔E≥ 5 = = = 1 + 12 (2α − 2) 12 + 5(2α − 2) 2 + 10α 1 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 Bài 5.1 Cho a6 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 E1 = + + a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + a5 ) a4 a5 6 + + ≥ a4 + α(2a5 + a1 ) a5 + α(a1 + a2 ) 1 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 n Bài 5.2 Cho a6 = a5 = 0 ta đư c: .v a1 a2 a3 a4 6 E2 = + + + ≥ a1 + α(2a2 + a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + 2αa4 a4 + αa1 1 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 h Bài 5.3 4 Cho a6 = a5 = a4 = 0 ta đư c: 2 a1 a2 6 c E3 = + +1≥ a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + α(2a3 + a4 ) 1 + 5α o D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 ih Bài 6 Cho 5 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: u a1 a2 a3 F = + + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + 2a5 + a6 ) V a4 a5 + + a4 + α(2a5 + 2a6 + a1 ) a5 + α(2a6 + 2a1 + a2 ) a6 6 + ≥ a6 + α(2a1 + 2a2 + a3 ) 1 + 5α Ch ng minh. Ta có: a1 a2 a3 F = + + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + 2a5 + a6 ) a4 a5 a6 + + + a4 + α(2a5 + 2a6 + a1 ) a5 + α(2a6 + +2a1 + a2 ) a6 + α(2a1 + 2a2 + a3 ) a21 a22 ⇔F = 2 + 2 a1 + α(2a1 a2 + 2a1 a3 + a1 a4 ) a2 + α(2a2 a3 + 2a2 a4 + a2 a5 ) a23 a24 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + 2a3 a5 + a3 a6 ) a4 + α(2a4 a5 + 2a4 a6 + a4 a1 ) GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 46 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 a2 5 a2 6 + + 2 a2 + α(2a5 a6 + 2a5 a1 + a5 a2 ) a6 + α(2a6 a1 + 2a6 a2 + a6 a3 ) 5 ⇒ F {[a2 + α(2a1 a2 + 2a1 a3 + a1 a4 )] + [a2 + (2a2 a3 + 2a2 a4 + a2 a5 )] + [a2 + α(2a3 a4 + 1 2 3 2a3 a5 + a3 a6 )] + [a2 + (2a4 a5 + 2a4 a6 + a4 a1 )] + [a2 + α(2a5 a6 + 2a5 a1 + a5 a2 )] + [a2 + 4 5 6 α(2a6 a1 + 2a6 a2 + a6 a3 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 6 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇒F ≥ 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + 2α(a1 a2 + · · · + a5 a6 )] 2 3 4 5 6 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔F ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a5 a6 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔F ≥ 5 (a1 + · · · + a6 )2 + (2α − 2) 12 (a1 + · · · + a6 )2 1 12 12 6 n ⇔F ≥ 5 = = = 1 + 12 (2α − 2) 12 + 5(2α − 2) 2 + 10α 1 + 5α .v D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 Bài 6.1 Cho a6 = 0 ta đư c: h a1 a2 a3 4 F1 = + + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + 2a5 ) a4 a5 6 2 + + ≥ a4 + α(2a5 + a1 ) a5 + α(2a1 + a2 ) 1 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 c Bài 6.2 o Cho a6 = a5 = 0 ta đư c: ih a1 a2 a3 F1 = + + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + 2a4 ) a3 + 2αa4 a4 6 + ≥ u a4 + αa1 1 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 V 2.1.5 Trư ng h p 7 s n = 7 Bài 7 Cho 7 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 M= + a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 + a6 + a7 ) a3 a4 + + a3 + α(2a4 + a5 + a6 + a7 + a1 ) a4 + α(2a5 + a6 + a7 + a1 + a2 ) a5 a6 + + a5 + α(2a6 + a7 + a1 + a2 + a3 ) a6 + α(2a7 + a1 + a2 + a3 + a4 ) a7 7 + ≥ a7 + α(2a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) 1 + 6α GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 47 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ch ng minh. Ta có: a1 a2 M= + a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 + a6 + a7 ) a3 a4 + + a3 + α(2a4 + a5 + a6 + a7 + a1 ) a4 + α(2a5 + a6 + a7 + a1 + a2 ) a5 a6 + + a5 + α(2a6 + +a7 + a1 + a2 + a3 ) a6 + α(2a7 + a1 + a2 + a3 + a4 ) a7 + a7 + α(2a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) a2 1 a2 2 ⇔M = 2 + 2 a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 · · · + a1 a6 ) a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 · · · + a2 a7 ) a23 a24 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + a3 a5 + · · · + a3 a1 ) a4 + α(2a4 a5 + a4 a6 + · · · + a4 a2 ) n a25 a26 + 2 + 2 a5 + α(2a5 a6 + a5 a7 + · · · + a5 a3 ) a6 + α(2a6 a7 + a6 a1 + · · · + a6 a4 ) .v ⇒ M {[a2 + α(2a1 a2 + a1 a3 + · · · + a1 a6 )] + [a2 + (2a2 a3 + a2 a4 + · · · + a2 a7 )] 1 2 + [a2 + α(2a3 a4 + a3 a5 + · · · + a3 a1 )] + [a2 + (2a4 a5 + a4 a6 + · · · + a4 a2 )] 3 4 5 6 h + [a2 + α(2a5 a6 + a5 a7 + · · · + a5 a3 )] + [a2 + α(2a6 a7 + a6 a1 + · · · + a6 a4 )] 4 + [a2 + α(2a7 a1 + a7 a2 + · · · + a7 a4 )} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 7 2 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 7 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇒M ≥ 2 c (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + 2α(a1 a2 + · · · + a6 a7 )] 2 3 4 5 6 7 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔M ≥ o (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a6 a7 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ih ⇔M ≥ (a1 + · · · + a7 )2 + (2α − 2) 3 (a1 + · · · + a7 )2 7 1 7 7 ⇔M ≥ 3 = = 1 + 7 (2α − 2) 7 + 3(2α − 2) 1 + 6α u D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 V Bài 7.1 Cho a7 = 0 ta đư c: a1 a2 M1 = + a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 + a6 ) a3 a4 + + a3 + α(2a4 + a5 + a6 + a1 ) a4 + α(2a5 + a6 + a1 + a2 ) a5 a6 7 + + ≥ a5 + α(2a6 + a1 + a2 + a3 ) a6 + α(a1 + a2 + a3 + a4 ) 1 + 6α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 Bài 7.2 Cho a7 = a6 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 M2 = + + a1 + α(2a2 + a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + a4 + a5 ) a3 + α(2a4 + a5 + a1 ) GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 48 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 a4 a5 7 + + ≥ a4 + α(2a5 + a1 + a2 ) a5 + α(a1 + a2 + a3 ) 1 + 6α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 Bài 7.3 Cho a7 = a6 = a5 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 M3 = + + a1 + α(2a2 + a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + α(2a4 + a1 ) a4 7 + ≥ a4 + α(a1 + a2 ) 1 + 6α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Bài 8 Cho 7 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: n a1 a2 L= + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 + a6 ) .v a3 a4 + a3 + α(2a4 + 2a5 + a6 + a7 ) a4 + α(2a5 + 2a6 + a7 + a1 ) a5 a6 + 6 a7 7 h a5 + α(2a6 + 2a7 + a1 + a2 ) a + α(2a7 + 2a1 + a2 + a3 ) + ≥ 4 a7 + α(2a1 + 2a2 + a3 + a4 ) 1 + 6α Ch ng minh. 2 Ta có: a1 a2 c L= + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 + a6 ) o a3 a4 + + a3 + α(2a4 + 2a5 + a6 + a7 ) a4 + α(2a5 + 2a6 + a7 + a1 ) a5 a6 ih + + a5 + α(2a6 + +2a7 + a1 + a2 ) a6 + α(2a7 + 2a1 + a2 + a3 ) a7 + a7 + α(2a1 + 2a2 + a3 + a4 ) u a2 1 a22 ⇔L= 2 + 2 V a1 + α(2a1 a2 + 2a1 a3 + a1 a4 ) a2 + α(2a2 a3 + 2a2 a4 + a2 a5 + a2 a6 ) a23 a2 4 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + 2a3 a5 + a3 a6 + a3 a7 ) a4 + α(2a4 a5 + 2a4 a6 + a4 a7 + a4 a1 ) a25 a2 6 + 2 + 2 a5 + α(2a5 a6 + 2a5 a7 + a5 a1 + a5 a2 ) a6 + α(2a6 a7 + 2a6 a1 + a6 a2 + a6 a3 ) a27 + 2 a7 + α(2a7 a1 + 2a7 a2 + a7 a3 + a7 a4 ) ⇒ L{[a2 + α(2a1 a2 + 2a1 a3 + a1 a4 + a1 a5 )] + [a2 + (2a2 a3 + 2a2 a4 + a2 a5 + a2 a6 )] 1 2 + [a2 + α(2a3 a4 + 2a3 a5 + a3 a6 + a3 a7 )] + [a2 + (2a4 a5 + 2a4 a6 + a4 a7 + a4 a1 )] 3 4 + [a2 + α(2a5 a6 + 2a5 a7 + a5 a1 + a5 a2 )] + [a2 + α(2a6 a7 + 2a6 a1 + a6 a2 + a6 a3 )] 5 6 + [a2 + α(2a7 a1 + 2a7 a2 + a7 a3 + a7 a4 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 7 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 7 c p s ) GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 49 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇒L≥ (a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + 2α(a1 a2 + · · · + a6 a7 )] 1 2 3 4 5 6 7 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔L≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a6 a7 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔L≥ (a1 + · · · + a7 )2 + (2α − 2) 3 (a1 + · · · + a7 )2 7 1 7 7 ⇔L≥ 3 = = 1 + 7 (2α − 2) 7 + 3(2α − 2) 1 + 6α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 Bài 8.1 Cho a7 = 0 ta đư c: a1 a2 L1 = + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 + a6 ) n a3 a4 + a3 + α(2a4 + 2a5 + a6 ) a4 + α(2a5 + 2a6 + a1 ) .v a5 a6 7 + ≥ a5 + α(2a6 + a1 + a2 ) 2a1 + a2 + a3 1 + 6α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 h Bài 8.2 4 Cho a7 = a6 = 0 ta đư c: a1 a2 2 L2 = + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 + a5 ) a2 + α(2a3 + 2a4 + a5 ) c a3 a4 a5 7 + + ≥ a3 + α(2a4 + 2a5 ) a4 + α(2a5 + a1 ) a5 + α(a1 + a2 ) 1 + 6α o D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 ih Bài 8.3 Cho a7 = a6 = a5 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 u L3 = + + a1 + α(2a2 + 2a3 + a4 ) a2 + α(2a3 + 2a4 ) a3 + 2αa4 a4 7 V + ≥ a4 + αa1 1 + 6α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Bài 9 Cho 7 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 a3 O= + + a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 + a5 ) a3 + α(a4 + a5 + a6 ) a4 a5 a6 + + + a4 + α(a5 + a6 + a7 ) a5 + α(a6 + a7 + a1 ) a6 + α(a7 + a1 + a2 ) a7 7 + ≥ a7 + α(a1 + a2 + a3 ) 1 + 3α Ch ng minh. Ta có: GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 50 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 a1 a2 O= + a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 + a5 ) a3 a4 + + a3 + α(a4 + a5 + a6 ) a4 + α(a5 + a6 + a7 ) a5 a6 + + a5 + α(a6 + +a7 + a1 ) a6 + α(a7 + a1 + a2 ) a7 + a7 + α(a1 + a2 + a3 ) a21 a2 2 ⇔O= 2 + 2 a1 + α(a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 ) a2 + α(a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 ) a23 a24 + 2 + 2 a3 + α(a3 a4 + a3 a5 + a3 a6 ) a4 + α(a4 a5 + a4 a6 + a4 a7 ) a25 a26 + 2 + 2 a5 + α(a5 a6 + a5 a7 + a5 a1 ) a6 + α(a6 a7 + a6 a1 + a6 a2 ) a27 n + 2 a7 + α(a7 a1 + a7 a2 + a7 a3 ) ⇒ O{[a2 + α(a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 )] + [a2 + (a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 )] .v 1 2 + [a2 + α(a3 a4 + a3 a5 + a3 a6 )] + [a2 + (a4 a5 + a4 a6 + a4 a7 )] 3 4 + [a2 + α(a5 a6 + a5 a7 + a5 a1 )] + [a2 + α(a6 a7 + a6 a1 + a6 a2 )] 5 6 h + [a2 + α(a7 a1 + a7 a2 + a7 a3 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 7 4 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 7 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 2 ⇒O ≥ 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + α(a1 a2 + · · · + a6 a7 )] 2 3 4 5 6 7 c (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔O ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a6 a7 ) o (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔O ≥ 3 (a1 + · · · + a7 )2 + (α − 2) 7 (a1 + · · · + a7 )2 ih 1 7 7 ⇔O ≥ 3 = = 1 + 7 (α − 2) 7 + 3(α − 2) 1 + 3α u D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 Bài 9.1 V Cho a7 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 O1 = + + a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 + a5 ) a3 + α(a4 + a5 + a6 ) a4 a5 a6 7 + + + ≥ a4 + α(a5 + a6 ) a5 + α(a6 + a1 ) a6 + α(a1 + a2 ) 1 + 3α Bài 9.2 Cho a7 = a6 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 O2 = + + a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 + a5 ) a3 + α(a4 + a5 ) a4 a5 7 + + +≥ a4 + αa5 a5 + αa1 1 + 3α Bài 9.3 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 51 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Cho a7 = a6 = a5 = 0 ta đư c: a1 a2 a3 7 O3 = + + +1≥ a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 ) a3 + αa4 1 + 3α n .v h 4 2 c o ih u V GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 52 Sinh viên: Nguy n Văn Cương