Bìa giảng chuyên đề: Phương trình đa thức

Chia sẻ: Nguyen Lan Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

458
lượt xem 134
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bìa giảng chuyên đề: phương trình đa thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bìa giảng chuyên đề: Phương trình đa thức

TRƯỜNG …………………. ----- ----- Bìa giảng chuyên đề: Phương trình đa thức
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT §.PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC 1. PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM ÑAËC BIEÄT 1.x − x 2 − 8 x + 12 = 0 3 2.x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 + 0 3.x 5 − 8 x 4 + 20 x 3 − 20 x 2 + 19 x − 12 = 0 (1,3,4 )  1 −3  4.6 x 5 − 5 x 4 − 5 x 3 − 4 x 3 − 34 x + 12 = 0  ,2,  3 2 2. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH. 1.x − 5 x 3 + 20 x − 16 = 0 4 2.x 4 + 7 x 3 + 11x 2 + 7 x + 10 = 0 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP. 1. ( x 2 + x + 4 ) + 3 x ( x 2 + x + 4 ) + 2 x 2 = 0 2 2. ( x 2 − x + 1) − 6 x 2 ( x 2 − x + 1) + 5 x 4 = 0 4 2 3. ( x 2 − 16 ) ( x − 3) + 9 x 2 = 0 2 4. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BA. 3 d c ax + bx + cx + d = 0 víi =   3 2 a b c Phöông trình coù moät nghieäm laø: x0 = − b  4 x + 3 x = m, ∀m 3 5. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG:  3  4 x − 3 x = m, ∀m : m > 1  Phöông trình coù nghieäm duy nhaát. Ta nghieân cöùu caùc khai trieån sau: 3 3 1  1  1  1   1  1  3 1 1 * a +  = a3 + 3 + 3  a +  ⇒   a +   =  a3 + 3  +  a +   a  a  2  a  8  a  8 a a 3 1  1  1  1 1 1 ⇒ 4   a +   =  a3 + 3  + 3  a +  2 a  2  a 2 a 3 1  1  1  1  1  1 ⇒ 4   a +   − 3   a +   =  a3 + 3  2 a  2  a  2  a 3  1  1 1 *  a −  = a3 − 3 − 3  a −   a  a a 3 1  1  1  1  1  1 ⇒ 4   a −  + 3   a −   =  a3 − 3  2 a  2  a  2  a Do ñoù vôùi vieäc choïn a thích hôïp ta coù ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình. 6. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: 4 x 3 − 3 x = m, ∀m : m ≤ 1 Phöông trình coù khoâng quaù ba nghieäm Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 1
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT Ñaët m = cos α = cos (α ± 2π ) ; α ∈ [ 0; π ] . Khi ñoù: α α m = cos α = 4 cos3 − 3cos 3 3 3 α ± 2π α ± 2π m = cos (α ± 2π ) = 4 cos − 3cos 3 3 α α ± 2π Vaäy phöông trình coù ba nghieäm: x = cos ; x = cos 3 3 7. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: t + at + bt + c = 0 3 2 a B1: Khöû baäc hai baèng caùch ñaët: t = y − → y 3 − py = q 3 p B2: Ñöa veà pt cô baûn: 4 x 3 ± 3x = m baèng caùch ñaët y = 2 3 8. PHÖÔNG TRÌNH TRUØNG PHÖÔNG. Cho phöông trình x 4 + (1 − 2a ) x 2 + a2 − 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå: 1. Pt voâ nghieäm. 2. Phöông trình coù moät nghieäm. 3. Phöông trình coù hai nghieäm. 4. Phöông trình coù 3 nghieäm. 5. Phöông trình coù boán nghieäm. 6. Phöông trình coù boán nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng. 9. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG : ( x + α ) + ( x + β ) = χ 4 4 1. ( x + 4 ) + ( x + 6 ) = 2 4 4 2. ( x + 4 ) + ( x + 2 ) = 82 4 4 ( 2 x + 3) + ( 2 x − 5 ) = 706 4 4 10. PHÖÔNG TRÌNH HOÀI QUI BAÄC BOÁN. 2 e d  ax + bx + cx + dx + e = 0, ®k: =   4 3 2 a b 1.4 x + 12 x + 47 x + 12 x + 4 = 0. 4 3 2 2.2 x 4 − 21x 3 + 74 x 2 − 105 x + 50 = 0. 3.Ñònh mñeå phöông trình voâ nghieâïm: x 4 + mx 3 + mx 2 + mx + 1 = 0 . PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = e, a + b = c + d 11. 1. ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) = 10 2. ( 6 x + 5) ( 3 x + 2 )( x + 1) = 35 2 PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: A ( x 2 + ax ) + B ( x 2 + ax ) + C = 0 2 12. 1.x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 − 14 x + 6 = 0 2.3 x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 5 = 0 PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG: ( x 2 + α ) = a ( x + β ) 2 2 13. Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 2
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 1.x 4 + 4 x − 1 = 0 2.x 4 − 3 x 2 − 10 x − 4 = 0 3.x 4 + 2 x 2 + 8 x − 4 = 0 LUYEÄN TAÄP: Baøi taäp12: 1. ( x − 1) + ( x + 1) = 16 4 4 2. ( 2 x − 3 ) + ( 2 x − 5) = 2 4 4 3.x 4 + 6 x 3 + 16 x 2 + 21x + 12 = 0 ( ) 2 4. x 2 − 6 x − 9 = x3 − 4x2 − 9x 5.2 x 8 − 9 x 7 + 20 x 6 − 33 x 5 + 46 x 4 − 66 x 3 + 80 x 2 − 72 x + 32 = 0 ( )( )( ) 6. x 2 − 3 x + 1 x 2 + 3 x + 2 x 2 − 9 x + 20 = −30 7. ( x ) − 2 ( x − 3) = 81 2 2 2 − 6x ( 2;2; −1 ± 3 ) 8.x 4 − 2 x 3 − 6 x 2 + 16 x − 8 = 0 (α = 1) 9.x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 ( ) ( )( )( ) 10.2 x 2 x 2 + x + 3 + 13 x 2 x 2 − 5 x + 3 = 6 2 x 2 + x + 3 2 x 2 − 5 x + 3 2x 13 x =6 ⇔ + (2x ) (2x ) 2 − 5x + 3 2 + x +3 2 13 =6 ⇔ + 3 3 2x + − 5 2x + + 1 x x 11.x − 7 x + 6 = 0 6 2 (t = 6 ) → t 3 − 7t + 6 = 0 12.x 7 − 2 x 6 + 3 x 5 − x 4 − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 Phöông trình hoài qui vôùi caùc heä soá ñoái xöùng vaø baäc leû neân phöông trình seõ coù nghieäm ñaëc bieät x = −1 vaø thu ñöôïc phöông trình hoài qui baäc chaün giaûi baèng caùch chia soá haïng chính giöõa. → ( x + 1) ( x 6 − 3 x 5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1) = 0 Baøi taäp13: Cho phöông trình : x 4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình : 1. Coù boán nghieäm phaân bieät. 2. Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm phaân bieät. Baøi taäp14: Cho phöông trình : x 4 − ax 3 − ( 2a + 1) x 2 + ax + 1 = 0 . Ñònh tham soá ñeå phöông trình : 1. Coù boán nghieäm phaân bieät. 2. Coù hai nghieäm phaân bieät lôùn hôn 1. Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 3
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT Baøi taäp15: Tìm m ñeå phöông trình : x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 1) x − ( m + 1) = 0 coù 3 nghieäm döông phaân bieät. Baøi taäp16: Giaûi vaø bieän luaän: x 3 − ( 2a + 1) x 2 + ( a2 + 2a ) x − a 2 = 0 Baøi taäp17: Cho phöông trình : x 4 + 4 x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2mx + 2m = 0 . 1. Giaûi phöông trình khi m = 1. 2. Giaûi vaø bieän luaän. Baøi taäp18: Cho phöông trình : x 4 − 2 x 3 + x + 2 = a . 1. Giaûi phöông trình khi a = 132. 2. Giaûi vaø bieän luaän. Baøi taäp19: Cho phöông trình : x 4 − 4 x 3 + 8 x + 2 = a . 1. Giaûi phöông trình khi a = 5. 2. Giaûi vaø bieän luaän. Baøi taäp20: Cho phöông trình mx 3 − x 2 − 2 x + 8m = 0. Ñinh m ñeå: 1. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät 2. Phöông trình coù nghieäm boäi. 3. Phöông trình coù 3 nghieäm phaân bieät beù hôn -1. ÑÒNH LYÙ VIEÙT CHO PHÖÔNG TRÌNH ÑA THÖÙC BAÄC CAO. Baøi taäp21: Cho phöông trình x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0 1. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm vaø toång bình phöông 3 nghieäm cuûa chuùng ñaït giaù trò nhoû nhaát. 2. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng. Baøi taäp22: Xaùc ñònh tham soá ñeå phöông trình coù 3 nghieäm laäp thaønh moät caáp soá coäng. 1.x 3 − mx 2 + 2m ( m + 1) x + 9m 2 − m + 0 2.x 3 − 3ax 2 − x + 4a3 = 0 3.x 3 − 3 x 2 − 9 x − m = 0 4.x 3 − 3 x 2 + ( a − 9 ) x + 1 − b = 0 Baøi taäp23: Giaû söû phöông trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Haõy tính Sn = x1n + x2 + x3 n n Baøi taäp24: Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 4
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT Giaû söû phöông trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ coù ba nghieäm x1 , x2 , x3 . Cho f(x) laø moät ña thöùc nguyeân. CMR : f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) ∈ . Hd: Ta cm qui naïp döa vaøo coâng thöùc : Sn + aSn −1 + bSn −2 + cSn −3 = 0 . §.DUØNG AÅN PHUÏ TRONG GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH. A. Hieåu veà aån phuï: 1. Laø aån maø do ngöôøi giaûi töï ñöa vaøo chöù trong ñeà baøi khoâng noùi tôùi. 2. Ta ñöa aån phuï vaøo laø ñeå chuyeån daïng baøi toaùn veà daïng môùi deã nhaän daïng hôn hay laø daïng ñaõ quen thuoäc. B. Ñieàu kieän cho aån phuï: 1. Yù nghóa, lyù do: − Tìm ñieàu kieän cho aån phuï töùc laø ñi tìm mxñ cho baøi toaùn môùi. − Tuyø vaøo muïc ñích cuûa aån phuï maø ta tìm ñk aån phuï nhö theá naøo laø phuø hôïp nhaát ( deã, khoâng gaây sai baøi toaùn ). 2. Coù hai kieåu tìm aån ñk cho phuï: − Tìm ñk ñuùng cho aån phuï. − Tìm thöøa ñk cho aån phuï. C. Moät soá daïng ñaët aån phuï: Daïng 1: Giöõ nguyeân soá aån. 1, 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 2,10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x + 6 ) 3, x 3 − 1 = x 2 + 3 x − 1 4,2 ( x 2 + x + 1) − 7 ( x − 1) = 13 ( x 3 − 1) 2 2 5, 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 a2 x 2 6, x 2 + = 8a 2 ( x + a) 2 Coù moät soá baøi toaùn ñaëc bieät raát goïn neáu duøng aån phuï löôïng giaùc. Duøng aån phuï löôïng giaùc töùc laø ta lôïi duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc ñeå töï phaù caên thöùc maø khoâng duøng pheùp naâng luyõ thöøa. Vì haøm löôïng giaùc laø haøm tuaàn hoaøn neân ta caàn löu yù choïn mieàn xaùc ñònh sao cho coù lôïi nhaát. (1 − x ) ( ) 3 7, x 3 + 2 = x a 1 − x2 1+ 2x 1− x2 8, = 1 − 2x2 2   9, 1 + 1 − x 2  (1 − x ) − (1 + x ) 3 3  = 2 + 1− x 2   ) ( 10, 1 + 1 − x 2 = x 1 + 2 1 − x 2 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 5
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT ( )( ) 11, 1+ x −1 1− x +1 = 2x 12, a + x + a − x = a, a ≥ 0 13, 1 + ax − 1 − ax = x 14,2 a + x − a − x = a − x + x ( a + x ) 2 2  3+ x   6− x  15, 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m; HD :   =1  + 33    16, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ −1;1] : 8 x (1 − 2 x 2 ) ( 8 x 4 − 8 x 2 + 1) = 1 1 17, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ 0;1] : 32 x ( x 2 − 1)( 2 x 2 − 1) = 1 − 2 x Daïng 2: Thay ñoåi soá aån, thöôøng laø taêng theâm soá aån ñeå giaûm nheï söï raéc roái, ñôn giaûn trong tính toaùn. 1, x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5 2, 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4 3, x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3 (1 + x )( 8 − x ) = 3 4, 1 + x + 8 − x + 5, 3 x − 9 = ( x − 3) + 6 3 6, 4 5 − x + 4 x − 1 = 2 7, 3 24 + x + 12 − x = 6 8, 3 x + 7 − x = 1 ( 34 − x ) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x 9, = 30 34 − x − 3 x + 1 3 3 7− x − 3 x −5 10. =6−x 7− x + 3 x −5 3 1 HD : 6 − x = ( 7 − x ) − ( x − 5)  2  11. x + 1 − x − 2 x ( x − 1) − 2 4 x ( x − 1) = −1 12. x + 4 x ( x − 1) + 4 (1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( x − 1) 2 3 13. 8 x + 1 + 3 x − 5 = 7 x + 4 + 2 x − 2 14. 2 x 2 − 1 + x 2 − 3 x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2 15. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3 2 2 16.81sin x + 81cos x = 30 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 6
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 3 3 17. sin x + cos x = 4 2 2 3 18.sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3  5 − x  5− x  19.x  =6  x +  x + 1  x +1  2 2  x −2  x+2  x2 − 4  20.20  − 5 + 48  2 =0    x +1   x −1   x −1  Daïng 3: Chuyeån theo phöông trình aån phuï vaø xem aån ban ñaàu laø tham soá. 1. ( x + 3 ) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16 2 2. ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 3.4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 + x + 1 − x 2 4.2 ( x − 1) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1 5.1 + x − 2 x 2 = 3 x 2 − 1 − 2 x + 1 6.4 ( x + 5)( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3 x 2 7.x 2 + x + 12 x + 1 = 36 8. sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1  x+y    + 2 cos ( x + y )  = 13 + 4 cos ( x + y ) 9.4 3 4 x − x 2 sin 2  2 2   x −1 1 1 10.2 x + − 1− − 3 x − = 0 x x x Daïng 4: Chuyeån veà heä phöông trình goàm aån phuï vaø aån chính. Daïng naøy hay duøng ñoái vôùi phöông trình chöùa hai haøm soá ngöôïc nhau. Loaïi 1: ( ax + b ) = α n px + q + β x + γ n 1, x 3 − 3 3 3 x + 2 = 2 2, x 2 + x + 1 = 1 ( ) 2 3, x = 5 − 5 − x 2 1 1 1 4, x 2 + 2ax + = −a + a2 + x − ; 0 < a < 16 16 4  1 2  y = −a + a + x − 1 16  HD : y = x 2 + 2ax + →  16  1 2  x = −a ± a + y − 16  Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 7
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 5,3 + 3 + x = x 6, x 2 + x + 5 = 5 ( ) 2 7, x = a − b a − bx 2 8, x 2 + x + a = a 12 x + 61 29 9, 3 x + x − = 2 6 36 12 x + 61 29 3x 2 + x − = ⇔ 18 x 2 + 6 x − 29 = 12 x + 61 6 36 Vì f ( x ) = 18 x + 6 x − 29 => f '( x) = 6 ( 6 x + 1) → Ñaët 12 x + 61 = 6 y + 1 2 10, x − x − 2004 1 + 16032 x = 2004 2 (Thi choïn HSG Baéc Giang naêm hoïc 2003 – 2004). 1 Xeùt haøm soá f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Ñaët 1 + 16032 x = 2t − 1, t ≥ 2 t 2 − t = 4008 x  Ta coù heä PT sau:  2  x − x = 4008t  63 x 3 3 2 9 11, 3 x − = − x+ x 3 8 32 4 3 63 x 3 2 9 2 9 3 3x − = − x + x ⇔ 3 24 x − 63 = x 3 − 3x 2 + x 8 32 4 3 2 23 9 9 Xeùt haøm soá f(x) = x − 3 x + x ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 6 x + ⇒ f '' ( x ) = 4 x − 6 2 2 3 2 2 Ñaët 24 x − 63 = 2 y − 3 3 12,( Toaùn hoïc vaø Tuoåi treû Thaùng 6 naêm 2001) Giaûi PT sau: 4 81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + x−2 3 3 4 Xeùt haøm soá f(x) = x − 2 x + x − 2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 3 2 3 81x − 8 = 3 y − 2 => f’’(x) = 6x – 4. Ñaët 3 13) x = 2 − x + 2 2 14) x 2 − 4 x − 3 = x + 5 15) x 3 + 2 = 33 3 x − 2 3x + 1 = −4 x 2 + 13x − 5 16) x + 1 = x 2 + 4x + 5 17) 4x + 9 = 7x2 + 7x 18) 28 19) 9 x − 5 = 3 x + 2 x + 3 2 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 8
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT Caùc phöông trình keå treân laø caùc phöông trình ñoái xöùng, tuy nhieân hai ví duï sau cuõng caàn nghieân cöùu. 20,4 x 2 + 3x + 1 + 5 = 13x ⇔ ( 2 x − 3) = − 3 x + 1 + x + 4 2 ( 2 x − 3)2 = 2 y + x + 1  Ñaët − 3 x + 1 = 2 y − 3 →  ( 2 y − 3) = 3x + 1 2  21,8 x + 53x = 36 x + 3x − 5 + 5 3 2 3 ⇔ ( 2 x − 3) = 3 3 x − 5 + x − 2 3 ( 2 x − 3)3 = 2 y + x − 5  Ñaët 3 3 x − 5 = 2 y − 3 →  ( 2 y − 3) = 3 x − 5 3  = b log a ( px + q ) + cx + d α x+β Loaïi 2: a PP: Ñaët: log a ( px + q ) = α y + β 22,7 x = 2 log7 ( 6 x + 1) + 1 3 23,3x = 1 + x + log3 (1 + 2 x ) 2 sin 2 x 1 1 = cos2 x + log 4 ( 3cos2 x − 1) + 24,   2 2 §. PHÖÔNG PHAÙP “MOØ” NGHIEÄM 1 1, 3 x + 3 + x 2 + 1 + x + x 2 = +2 x +1 VT ñoàng bieán, VP nghòch bieán ⇒ coù khoâng quaù moät nghieäm. “Moø” x = 0 laø moät nghieäm. ( 3) x − 2 x −1 = 2 2, Laäp baûng bieán thieân ⇒ coù khoâng quaù hai nghieäm. “Moø” x = 2, x = 4 laø nghieäm. ( x − a ) ( x − b) + ( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a ) = 1 3, c ( c − a )( c − b ) a ( a − b )( a − c ) b ( b − c )( b − a ) x Trong ñoù a, b, c laø ba soá khaùc nhau vaø khaùc khoâng. Pt baäc 3 neân coù khoâng quaù 3 nghieäm. “Moø” coù ba nghieäm a, b, c. 4, ( a 2 − a ) ( x 2 − x + 1) = ( a 2 − a + 1) ( x 2 − x ) 2 3 3 2 Xeùt TH ñaëc bieät TQ: Pt baäc 6 neân coù khoâng quaù 6 nghieäm. Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 9
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 1 1 1 1 &1 − x0 cuõng laø nghieäm, do ñoù ,1 − , NX: Neáu x0 laø nghieäm thì cuõng 1 − x0 x0 1 − 1 x0 x0 laø nghieäm. Deã thaáy a laø moät nghieäm. 5, 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35 6, x3 − 3x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0 Moø ñöôïc nghieäm x = 3 neân ta seõ phaân tích ra thöøa soá chung ( x − 3) . x3 − 3 x 2 − 8 x + 40 4 ⇔ = 4x + 4 8 x3 − 3 x 2 − 8 x + 40 ⇔ − 2 = 4 4x + 4 − 2 8 7, x + x − 1 − 3 x + 4 = 0 5 3 8, x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8 9, x + 1 + 3 5 x − 7 + 4 7 x − 5 + 5 13 x − 7 < 8 111 10,5 x + 4 x + 3x + 2 x = + + − 2 x3 + 5 x 2 − 7 x + 17 2 x 3x 6 x §. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÙNH GIAÙ Phöông phaùp naøy hay duøng trong phöông trình coù nhieàu aån, coù nhieàu loaïi haøm soá, bieåu thöùc phöùc taïp. tan 2 x + tan 2 y = sin 2 x + sin 2 y 1, 1 + tan x + tan y 2 2 Ñaët a = tan x, b = tan y ⇒ a, b ≥ 0 2 2 a+b a b = + Trôû thaønh: 1+ a + b 1+ a 1+ b a a 1 + a + b ≤ 1 + a  a b a b + ≤ + ⇒ Ta coù:  1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b b b ≤ 1 + a + b 1 + b  2, 5 ( x 2 + 2 yz ) + 6 ( y 2 + 2 zx ) + 5 ( z 2 + 2 xy ) = 4 ( x + y + z ) ( ) r r Xeùt 2 vector a = 5; 6; 5 , b = ( x + 2 yz; y + 2 zx; z + 2 xy ) Khi ñoù, 2 2 2 rr rr VT = a.b;VP = a . b 36 4 + = 28 − 4 x − 2 − y − 1 3, x−2 y −1 Duøng CauChy. Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 10
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 4; 1 − x + 4 1 − x + 4 1 + x = 3 2 4 *) 4 1 − x 2 ≤ 1 1+1− x 1+1+ x 1+ 1− x 1+ 1+ x 1+ 1+ 2 2 *) 4 1 − x + 4 1 + x ≤ + ≤ + =2 2 2 2 2 x = 0  ⇒ 4 1 − x2 + 4 1 − x + 4 1 + x = 3 ⇔  4 1 − x = 4 1 + x = 1 ⇔ x = 0   1− x = 1+ x =1 5; tan 4 x + tan 4 y + 2cot 2 x.cot 2 y = 3 + sin 2 ( x + y ) VT ≥ 2 tan 2 x.tan 2 y + 2cot 2 x.cot 2 y ≥ 4 tan x.tan y.cot x.cot y = 4 VP ≤ 3 + 1 = 4  tan 2 x = tan 2 y  tan 2 x = tan 2 y  tan 2 x = tan 2 y     1 →  tan x.tan y = cot x.cot y ⇔  tan x.tan y = ⇔  tan 2 x.tan 2 y = 1 tan x.tan y sin 2 x + y = 1  sin 2 x + y = 1 ( ) ( )   sin 2 ( x + y ) = 1  π π  x = 4 + k 2 π π   tan 2 x = 1 x = 4 + k 2  π π    ⇔  tan 2 y = 1 ⇔ y = + l ⇔ (b»ng c¸ch rót l theo m, k ) π π 4 2  y = + ( 2m − k ) cos 2 x + y = 0  ( ) π     4 2 x + y = + mπ   2 ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m, ∀x ∈ [ −4;6] 6; T×m m ®Ó §kc : x = 1 → m ≥ 6 §k® : gs m ≥ 6, 4+ x+6− x ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ =5 *) 2 *) x 2 − 2 x + m = ( x − 1) + m − 1 ≥ 5 2 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 11
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 7; x − 2 + 4 − x = x − 6 x + 11 2 (1 + 12 ) ( x − 2 + 4 − x ) = 2 *) x − 2 + 4 − x ≤ 2 *) x 2 − 6 x + 11 = ( x − 3) + 2 ≥ 2 2 8; x − 1 + x − 3 ≥ 2 ( x − 3) + 2 x − 2 2 (1 + 12 ) ( x − 1) + ( x − 3)  *) x − 1 + x − 3 ≤ 2 2   ⇒ x −1 = x − 3 9;sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = 2 2 *)sin x − 2sin 2 x − sin 3 x = −2cos 2 x.sin x − 2sin 2 x ≤ ( −2cos 2 x ) + ( −2sin 2 x )  ( sin 2 x + 1) ≤ 2 2 2 2    −2cos 2 x −2sin 2 x =  →  sin x → vn0 1 sin 2 x = 1  3 10, x 2 = 2 x 8 + 8 2 *)Nn0 : x = ± 2 1 *)2 x 8 + ≥ x 4 8 1 *) x 4 + ≥ x 2 4 11, x + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 2 *) x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 ≤ ( 3x + 3) + 1 ⇔ ( x + 1) ≤ 0 ⇔ x = −1 2 15 12,8 x 2 + = x2 1 *)Nn0 : x = 4 1 111111115 *)8 x 2 + = 8x 2 + + + + ≥ 4x4x4x4x2 x 13, x 2 − 4 x + 9 + x 2 + 4 x + 9 = 6 ( )( ) *)VT ≥ 2 4 x 2 − 4 x + 9 x 2 + 4 x + 9 = 2 4 x 4 + 2 x 2 + 81 ≥ 2 4 81 = 6 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 12
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT ( ) 3 14, 3 25 x 2 x 2 + 9 = 4 x + x ( ) ⇔ 3 25x 4 2 x 2 + 9 = 4 x 2 + 3 ( ) = VP 5x 2 + 5x 2 + x 2 + 9 *)VT ≤ 3 22 + x = x+9 15, x +1 1 x 1 x ≤ ( 8 + x + 1)  *)VT = 2 2 + x +1 +  = VP  x +1 x +1 x +1 x +1 ( ) 1 16, 3x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 = 7x 2 − x + 4 22 (1 )( ) (x )( ) *)VT ≤ + 12 + x 2 3x 2 − 1 + x 2 − x + x 2 + 1 = + 2 5x 2 − x 2 2 2 ( x + 2 ) + ( 5x ) −x  2 2 ( )( ) (x )( ) 1  ≥ 1 2 x 2 + 2 5x 2 − x =  *)VP = + 2 5x 2 − x 2 2 2 2 17, x 2 − 2 x + 5 − x 2 − 6 x + 10 = 5 + 12 ≤ ( x − 1) − ( x − 3)  + [ 2 − 1] = 5 *)VT = ( x − 1) + 22 − ( x − 3) 2 2 2 2   r r rr *) a − b ≤ a − b 18, ( 3 − x ) x − 1 + 5 − 2 x = 40 − 34 x + 10 x 2 − x 3 ( )( ) *)VT ≤ ( 3 − x ) + 12   5 − 2 x  = VP 2 2 2 x −1 +      rr r r *)a.b ≤ a . b  x +1 + x + 3 + x + 5 = y −1 + y − 3 + y − 5  19,   x + y + x + y = 80 2 2  *) pt (1) ⇔ x = y − 6 4 697 x + y = 2 20,  81  x + y + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0 2 2  Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 13
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT 7 *) Xeùt phöông trình hai. Neáu xem laø phöông trình aån x thì ta ñöôïc 0 ≤ y ≤ , coøn 3 4 ngöôïc laïi neáu xem laø phöông trình aån y thì ta laïi ñöôïc 0 ≤ x ≤ 3 4 2 4 7 *) x + y ≤   +   = VP 4 2 3 3 §. LÖÔÏNG LIEÂN HÔÏP. 1, ( x + 3) 2 x 2 + 1 = x 2 + x + 3 x2 + x + 3 ⇔ 2x2 + 1 = x+3 x2 + x + 3 ⇔ 2x + 1 − 1 = −1 2 x+3 )( ) ) ( ( x2 ⇔ 2x2 + 1 − 1 2x2 + 1 + 1 = 2 x2 + 1 + 1 x+3 ) ( x2 ⇔ 2x = 2x2 + 1 + 1 2 x+3 2, ( 3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2 x + 3 3x 2 + 2 x + 3 ⇔ x2 + 3 = 3x + 1 3x 2 + 2 x + 3 2  x + 3 − 2x = − 2x  3x + 1 ⇔ x > − 1   3 3x 2 + 2 x + 3 P : x + 3 − (α x + β ) = − (α x + β ) 2 2 3x + 1 3; ( x + 3) x 2 + x + 2 = x 2 + 3 x + 4 4; ( x + 1) x + 8 = x 2 + x + 4 5; ( 2 x + 1) x 2 + 3 = 3 x 2 + x + 2 4 20 6; x − 3 = x − − 3 3x 7; ( 3 x + 1) x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 2 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 14
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT x −1 2 8; 2 x 2 − 3 x + 1 = 2x − 3 1 7 9; x + 3 = x − +5 2 2x §. HOAÙN ÑOÅI VAI TROØ CUÛA AÅN SOÁ VAØ THAM SOÁ. 1; x − 10 x − 2 ( a − 1) x 2 + 2 ( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0 4 3 2; x3 − ( 4a + 3) x 2 + 4a ( a + 2 ) x − 4 ( a 2 − 1) = 0 §. THAM SOÁ HOÙA CHO PHÖÔNG TRÌNH PP tham soá hoùa cho moät phöông trình laø ñöa vaøo phöông trình moät tham soá naøo ñoù. Coù hai daïng chính sau: Daïng 1: Choïn moät haèng soá phuø hôïp vaø tham soá hoùa noù, sau ñoù hoaùn ñoåi vai troø cuûa aån soá vaø tham soá ñeå giaûi. 68 15 1, x 3 + = x3 x 2 17 17 − 2 ⇔ x3 + 3 = x x Choïn 17 laøm tham soá. Khi ñoù ta xeùt phöông trình sau: m = − x 2 2m m − 22 ⇔ x 2 m2 − 2m − x 6 − 2 x 2 = 0 ⇔  x3 + 3 = m = x + 2 4 x x   x2  − x 2 = 17  Do ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x 4 + 2   x 2 = 17  2, x + x − 2 x − 15x + 25 = 0 4 3 2 3, x + 11 + x = 11 ⇔ (11 − x ) = 11 + x 2 Daïng 2: Möôïn tham soá trong ñònh lyù Lagrange. 4, x log3 7 = 2 log3 x + log3 x 5 ⇔ 7log3 x = 2 log3 x + 5log3 x ⇔ 7log3 x − 7log3 x = 2 log3 x − 2 log3 x α naøo ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Khi ñoù ta coù Gs soá döông 7log α − 7 log3 α = 2 log α − 2 log3 α 3 3 − t log3 α . Vì f ( t ) coù ñaïo haøm treân [ 2;7] neân theo ñònh lyù Xeùt haøm soá f ( t ) = t log α 3 f ( 7) − f ( 2 ) Lagrange ta coù: ∃m ∈ ( 2;7 ) : f ' ( m ) = 7−2 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 15
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT ⇒ f ' ( m ) = 0 ⇔ log3 α .m log3 α −1 − log3 α = 0  log3 α = 0 α = 1 ⇔  log α −1 ⇔ α = 3 −1 = 0 m 3 Thöû laïi ta coù taäp nghieäm cuûa pt ñaõ cho laø S = {1;3} 5,7cot x − 11cot x = 12cot x ⇔ 7cot x − 11cot x = 3 (11 − 7 ) cot x ⇔ 7cot x + 3.7cot x = 11cot x + 3.11cot x → f ( t ) = t cot α + 3t cot α x x 1 1 5 4 6, x − x =   −   2 3  14   21  1 5 1  2 = 14 + 7  NX :  1 = 4 + 1  3 21 7  α  1 → f ( t ) =  t +  − tα  7 3 2 7,2 log5 x + 2 log5 x = x + x log5 7 ⇔ 8log5 x + 4 log5 x = x + 7log5 x ⇔ 8log5 x + 4 log5 x = 5log5 x + 7log5 x ⇔ 8log5 x − 5log5 x = 7log5 x − 4 log5 x → f ( t ) = ( t + 3) log5 α − t log5 α 8, x log7 11 + 3log7 x = 2 x §. PHAÂN TÍCH HÔÏP LYÙ. 1 2 17 + 2+ = 1, x −1 x 2x 4 2 1 11 3  1 1  1 3  1 2 17 ⇔ −1 = − 2 − + = −2   −   + = −2  −  +  x −1  x  2 x  4  x 2  x 4  x 2x 4 Ta ph©n tÝch sao ®Ó tam thøc bËc hai cã nghiÖm ®Æc biÖt. 1− x −1  1 1  1 3  ⇔ = −2  −  +  x −1  x 2  x 4  2− x 2− x1 3 ⇔ = −2 + ( ) x −1 1+ x −1 2x  x 4  Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 16
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT x + x +1 x 2 2 1 + = +2 2, x+4 x2 + 1 2  x2 + x + 1   x2 3   1 1 ⇔ − 1 +  −  =  −   x+4   2 2   x +1 2  2  x2 − 3 x2 − 3 3 − x2 ⇔ + = ) (  x2 + x + 1  2 x2 + 1 2 + x2 + 1 2 ( x + 4) + 1   x+4   3; x 3 − 3x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0 3 − ( a + 1)  3( a + 1)  3 ( a + 1) 3 3 = ⇒ cn0 x = −   −3  −3 1 4; x 3 − 3x 2 + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0 2 gÇn gièng cña khai triÓn ( a − b ) 3 → ( a + 1) x 3 − 3x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1) = 0 2 3 → ax3 +  x 3 − 3x 2 ( a + 1) + 3 ( a + 1) x − ( a + 1)  = 0 2 3   → ax3 +  x − ( a + 1)  = 0 3   5; x8 − x5 + x 2 − x + 1 = 0 Khoâng nhaåm nghieäm vì baäc quaù cao vaø nghieäm höõu tyû cuûa pt chæ coù theå laø ±1 . Ta seõ phaân tích thaønh toång caùc bình phöông. 2  x *) x − x →  x 4 −  8 5  2 2 x  *) − x + 1 →  − 1 2  2 2  4 x  x  x 2 → x − x + x − x + 1 =  x −  +  − 1 + 8 5 2  2 2  2 6;cos x − 3 3 sin x = cos7 x ⇔ cos x − cos7 x − 3 3 sin x = 0 ⇔ 2sin 4 x.sin 3x − 3 3 sin x = 0 ⇔ 2sin 4 x.sin x ( 3 − 4sin 2 x ) − 3 3 sin x = 0 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 17
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT sin x = 0 ⇔  2sin 4 x + 4sin 4 x.cos 2 x = 3 3 (*)  33 (*) ⇔ sin 2 x.cos 2 x + sin 4 x.cos 2 x = 4 Ta cã: cos 2 x + sin 4 x = cos 2 x 1 + 4sin 2 2 x  2 2 2   2 2 1  4cos 2 2 x + 1 + 4sin 2 2 x  25  3 3  1 = .4cos 2 2 x 1 + 4sin 2 2 x  ≤ . =
Trư ng THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài gi ng chuyên ñ PT-BPT-HPT-HBPT TH : ( 2 − 1) < 0 ⇔ x < 1 → VT < 0 → lu«n ®óng. x −1  ( a + b )2  TH : ( 2 − 1) > 0 ⇔ x > 1 → VT ≥ 4 = VP  x −1 ≥ 4, ∀ab > 0  ab    b)§kc: ®Ó cã mét nghiÖm x > 1 → a ≥ 4 §k®: Khi th× bpt tháa yc bt. 9;log 2 log 2 x = log 3 log 3 x §k x > 1 log 2 log 2 x = t  x = 2 2 = 3 log 2 3 t t t 2  §Æt t = log 2 log 2 x →  → t → log3 log 3 x = t x = 2 2t 22 = 33 t     2 t   = log 2 3 log 2 log 2 3 →  3  →x=2 23  x = 2 t 2 10;log 2 x + log 3 x + log 5 x = log 2 x.log 3 x.log5 x §k: x > 0 → log 5 x ( log 2 5 + log3 5 + 1) = log 2 x.log 3 x.log 5 x log 5 x = 0 → log 2 5 + log 3 5 + 1 = log 2 x.log 3 x = log 2 3 ( log3 x ) 2  x = 1  → log 2 5 + log 3 5 + 1 log 3 x = ±  log 2 3  11;log 2 log 3 log 4 x = log 4 log 3 log 2 x §k: x > 4 → log 4 ( log 3 log 4 x ) = log 4 log 3 log 2 x 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 log 2 x 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) = log 3 ( 2log 4 x ) = log 3 2 + log 3 log 4 x 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) − ( log 3 log 4 x ) − log 3 2 = 0 2 1 + 1 + 4log3 2 ⇔ ( log 3 log 4 x ) = , l−u ý ®k x > 4 → ( log 3 log 4 x ) > 0 2 Tác gi : Huỳnh Thanh Luân Trang 19