57
BIẾN ĐỘNG NGỤ Ý (ẨN) TRONG MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES VỚI
BIẾN ĐỘNG TRONG MÔ HÌNH GARCH
PGS. TS. Lê Thị Lanh1, ThS. Ngô Văn Toàn2, ThS.Vũ Bá Thành3
(1)Trường Đại học Kinh tế TP.HCM; (2)Trường Đại học Tài chính – Marketing
(3)Công Ty TNHH Food Farm
Tóm tắt:
Mô hình Black-Scholes (BS) là mô hình định giá quyền chọn nổi tiếng, BS là một mô
tả bằng nguôn ngữ toán học của thị trường tài chính và các công cụ đầu tư phái sinh. Mô
hình biến động này là một hàm liên tục, quyền chọn giao dịch thực sự là rủi ro do các thành
phần ngẫu nhiên như biến động. Các quan niệm về biến động không là hằng số được giới
thiệu trong quá trình GARCH. Gần đây, mô hình BS với quá trình GARCH đã được giới
thiệu (Gong, Thavaneswaran, & Singh, 2010; Bekiros, Naoui & Uddin, 2017; Rajvanshi,
Santra & Basu, 2017). Trong bài nghiên cứu này chúng tôi tính toán biến động ngụ ý cho mô
hình BS với sự biến động trong quá trình GARCH. Trong phương pháp tiếp cận này mô hình
biến động ngụ ý là do sự va chạm với thị trường và nghiên cứu giúp chúng tôi có các bằng
chứng về phân phối tỷ suất lợi nhuận đuôi dày (fat-tailed) so với tiền đề tranh luận tỷ suất lợi
nhuận tuân theo phân phối Log – chuẩn trong mô hình BS (Black & Scholes, 1973; Mostafa,
Dillon & Chang, 2017; Srinivasan, 2017).
Từ khóa: Định giá quyền chọn; Mô hình Black-Scholes; Quá trình GARCH; Biến
động ngụ ý (implied volatility).
1. Giới thiệu
Nói đến option (quyền chọn) thì không thể không nói đến mô hình Black-Scholes.
Cho tới nay, mô hình nổi tiếng nhất cũng như phổ biến nhất trong thế giới tài chính là mô
hình định giá quyền chọn Black-Scholes. Nhà kinh tế học Steve Ross trong cuốn từ điển kinh
tế Palgrave đã viết “lý thuyết định giá quyền chọn là lý thuyết thành công nhất không chỉ
trong ngành tài chính, mà còn trong tất cả các ngành kinh tế”. Fischer Black và Myron
Scholes đã công bố công thức định giá quyền chọn trong công trình nghiên cứu vào năm
1973 (Black & Scholes, 1973) mà ngày nay được gọi là mô hình BS. Mô hình này, lãi suất
phi rủi ro
r
(không đổi) và biến động là một hằng số
(dường như phi thực tế). Giao dịch
quyền chọn là rủi ro do các thành phần ngẫu nhiên có thể xem như là biến động.
Mức biến động là đại lượng phản ánh sự dao động của giá trị tài sản cơ sở trong một
khoảng thời gian nhất định. Nói cách khác, mức biến động giá trị tài sản là đại lượng có tính
chất thống kê đo độ phân tán của tỷ suất lợi nhuận trong một khoảng thời gian nhất định. Nó
thường được dùng để phản ánh mức độ rủi ro của tài sản cơ sở trong khoảng thời gian đó.
Các tài sản có mức biến động lớn tức là khả năng giá trị tài sản cơ sở có thể bị thay đổi đột
ngột chỉ trong một khoảng thời gian ngắn theo cả hai hướng (tăng đột ngột hoặc giảm đột
ngột) là lớn, vì vậy, sẽ có rủi ro cao. Ngược lại, các tài sản có mức biến động nhỏ nghĩa là tài
sản đó có giá trị ổn định, do đó, sẽ có rủi ro thấp.
Khái niệm về biến động không là hằng số đã được giới thiệu bởi quá trình
GARCH.Công trình nghiên cứu các mô hình giá cổ phiếu theo các quy trình này là một
hướng nghiên cứu mới trong công cụ đầu tư phái sinh. Duan (1995) là người đầu tiên cung
cấp lý thuyết nền tảng vững chắc về mô hình định giá (Heston & Nandi, 2000). Gần đây một
phần mở rộng của mô hình (Black & Scholes, 1973) với biến động trong quá trình GARCH
đã được giới thiệu (Gong, Thavaneswaran & Singh, 2010). Đo lường biến động, sự biến động
của giá cả của công cụ tài chính theo thời gian và biến động ngụ ý có thể được bắt nguồn từ
giá thị trường của một giao dịch phái sinh. Trong năm 1986, quan niệm về biến động ngụ ý
đã được sử dụng cho nghiên cứu thị trường tài chính (Latane & Rendleman, 1976). Chuỗi
58
Taylor gần như được thường xuyên thực hiện định giá quyền chọn, trong quản lý rủi ro đặc
biệt rất quan trọng. Mô hình BS đã được xem xét cho chuỗi xấp xỉ Taylor cho các mục đích
khác nhau (Butler & Schachter, 1986; Latane & Rendleman, 1976).
Mức biến động tài sản được rút ra từ việc giải phương trình định giá quyền chọn được
gọi là mức biến động ngụ ý của tài sản (implied asset volatility) (Manela & Moreira, 2017;
Chen, 2017; Diavatopoulos & Fodor, 2017). Nói cách khác, mức biến động ngụ ý được xác
định dựa trên giá của một sản phẩm phái sinh với giả thiết giá của nó được xác định dựa trên
mô hình định giá phái sinh mà điển hình là Black & Scholes. Có thể coi mức biến động ngụ ý
là chỉ báo về kỳ vọng của thị trường trong thời gian còn lại của quyền chọn. Nếu thị trường
quyền chọn là hiệu quả thì mức biến động ngụ ý sẽ phản ánh chính xác mức biến động của tài
sản trong thời gian còn lại của quyền chọn. Mức biến động ngụ ý của tài sản là thước đo kỳ
vọng thị trường về mức biến động giá trị tài sản tại thời điểm đó trong tương lai. Chính vì
vậy, các nhà đầu tư thường quan tâm đến mức biến động ngụ ý của tài sản hơn là mức biến
động quá khứ vì không chắc chắn rằng tương lai sẽ lặp lại những gì đã xảy ra trong quá khứ
(Hull & White, 2017; Park, Ryu & Song, 2017).
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét các mô hình mới (Gong, Thavaneswaran &
Singh, 2010). Phần 2, chúng tôi cung cấp lý thuyết và công cụ cơ bản. Phần 3 gồm công thức
biến động ngụ ý cho quyền chọn mua (call option) mô hình BS (Gong, Thavaneswaran &
Singh, 2010) và chúng ta so sánh các công thức với mô hình ban đầu (Black & Scholes,
1973). Cuối cùng trong phần 4 chúng tôi trình bày một số nhận xét kết luận.
2. Mô hình BS và quá trình GARCH
Cho
( , , )
t
F P
là không gian xác suất khí đó giá của tài sản
t
S
tại thời gian
t
là
Geometric Brownian Motion (GBM) (Elliott, Chan & Siu, 2005; Gatheral & Schied, 2011).
dS rS dt S W
(1)
t
W
là chuyển động Brownian chuẩn và
là độ biến động. Chúng ta biết rằng điều này
phù hợp với mô hình BS (Black & Scholes, 1973), quyền chọn mua kiểu Châu Âu có thể viết
như sau:
1 2
2
1 2 1
( ) ( )
log( ) ( )
2,
r
BS
C S d Ke d
Sr
K
d d d
(2)
Trong đó
(.)
là hàm phâcn phối tích lũy cho biến ngẫu nhiên của của phân phối chuẩn
tắc và
T t
,
S
là giá của tài sản,
K
là giá thực hiện,
r
là lãi suất và
T
là thời gian đến
hạn.
Nếu
S
giá của chứng khoán,
r
là lãi suất (phi rủi ro), khi đó
C
là quyền chọn mua
kiểu Châu Âu, mang lại cho người sở hữu nó các quyền, nhưng không phải là nghĩa vụ phải
mua một trong những đơn vị tài sản cơ sở cho một mức giá định trước
K
ở thời hạn ngày
T
.
Tương tự một quyền chọn bán
P
mang lại cho người sở hữu nó các quyền, nhưng không phải
là nghĩa vụ bán số lượng lý thuyết của tài sản cơ sở với giá
K
được xác định trước tại
T
ngày đáo hạn.
Khi mà phương sai log tỷ suất lợi nhuận của chứng khoán thay đổi theo thời gian tức
là t
công thức mới vừa được trình bày (Gong, Thavaneswaran& Singh, 2010). Mô
hình BS với biến động GARCH cho chuỗi dữ liệu tài chính theo thời gian (
t
y
) có thể viết từ
(1) như sau (Gong, Thavaneswaran & Singh, 2010):
59
1 1
log log
t t t t t t
t t
t t t
t t
dS rS d S dW
S S
y E Z
S S
Quyền chọn mua cho mô hình BS có thể viết như sau (Chiras & Manaster, 1978;
Tucker, Peterson, & Scott, 1988):
1 2
22
2 2
1 2 1
[ ( )] [ ( )]
log( ) 2
( ) , ( )
t t
r
t
t t t
t
C SE d Ke E d
SrT
K
d f d g d
(3)
t
là tính dừng của quá trình GARCH có trung bình
0
và phương sai
2
. Định giá quyền
chọn dựa trên mô hình GARCH là một hướng nghiên cứu mới và hiện nay có rất nhiều
nghiên cứu thực nghiệm.
Một số mô hình độ biến động ngẫu nhiên bao gồm mô hình Heston, mô hình độ co giãn
không đổi của phương sai hay mô hình độ biến động địa phương, mô hình độ biến động
Alpha – Beta – Rho, mô hình GARCH, mô hình 3/2 và mô hình Chen (Bakshi, Cao & Chen,
1997). Trong nghiên cứu này, chúng tôi xém xét đến mô hình GARCH để ước tính mức biến
động.
Biến động là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến việc định giá quyền chọn. Tuy nhiên, nó
là một yếu tố cực kỳ khó dự báo. Do đó vấn đề quan trọng nằm ở chổ các ước tính chính xác
cho độ bất ổn. Ước tínhbiến động có thể được sử dụng để xác định mức giá tương lai của cổ
phiếu hay quyền chọn chứng khoán. Nghiên cứu thực nghiệm đã chỉ ra rằng việc sử dụng
biến động lịch sử trong mô hình định giá quyền chọn khác nhau dẫn đến những chênh lệch
trong việc định giá. Mô hình GARCH (1, 1) có thể là một giải pháp cho vấn đề này. Các
nghiên cứu này áp dụng mô hình GARCH (1, 1) để ước tính độ biến động, và áp dụng độ bất
ổn ước tính được để tính toán giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes(Bi, Yousuf, &
Dash, 2014).
Nếu trường hợp là GARCH(1,1), 2
2
1 1
( )
1 ( )
t
z
E
Một quá trình sau đây được gọi là quá trình GARCH(p,q)(Christian & Jean, 2010)
2 2 2
1
1 1
2
, (0, ), 0, 0, 0
p q
t i t j t j
i j
t t t t i j
z z N
(4)
Nếu chúng ta xem xét đến phương trình (3) sau đó chúng ta có kết quả (Gong,
Thavaneswaran & Singh, 2010).
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
log( ) ( ) log( ) ( )
2 2
[ ( )] ( ) ( )
1 1
log( ) ( ) log( ) ( )
2 2
[ ( )] ( ) ( )
t
t
t t
t t
t t
t t
S S
rT E rT E
K K
E d d
E E
S S
rT E rT E
K K
E d d
E E
(5)
Đề xuất là dùng
1 2
d d
. Chúng ta có:
2
1 2
( )
t
d d E
60
( , )
t
C K T
là giá thị trường của quyền chọn mua kiểu Châu Âu với giá thực hiện
0
K
và
ngày đến hạn
T
tại thời điểm
[0, )
t T
. Biến động ngụ ý
( , )
t
K T
được định nghĩa như là
giá trị của tham số biến động khi đó so sánh với giá thị trường của quyền chọn với giá được
cho bởi công thức (Yung & Zhang, 2003).
( , ) ( , , , , , ( , ))
t BS t t
C K T C t S K T r K T
(6)
3. Biến động ngụ ý trong mô hình BS với biến động trong quá trình GARCH
Cấu trúc của BS liên quan đến giá của quyền chọn đến thời điểm hiện tại
t
, giá chứng
khoán
t
S
,
là biến động của chứng khoán, lãi suất là
r
, ngày đến hạn
T
và giá thực hiện
là
K
. Như chúng ta đã biết mô hình cho rằng biến động như là hàm hằng số trong suốt vòng
đời của quyền chọn nhưng nghiên cứu thực nghiệm lại trái ngược với giả định của mô hình.
Biến động ngụ ý bởi thị trường có thể tồn tại bởi đảo lộn công thức định giá quyền chọn.
Trong phần này chúng tôi sử dụng (Gong, Thavaneswaran & Singh, 2010), và tồn tại biến
động ngụ ý, thêm vào đó chúng tôi sử dụng như thủ tục cho mô hình BS nguyên thủy, và so
sánh với kết quả cho tính toán.
Tình huống 1: Khi
t
và
t
là quá trình GARCH.
Chúng ta biết công thức quyền chọn mua của mô hình BS với quá trìnhGARCH
(Gong, Thavaneswaran & Singh, 2010).
1 2
[ ( )] [ ( )]
t t
r
C SE d Ke E d
Chúng ta sử dụng phần mở rộng của hàm phân phối chuẩn với phương pháp xấp xỉ
Taylor bậc hai được đề xuất bởi(Corrado & Miller, 1996).
3 3
1 1
( ) ...
2 6 40
2
x x
N x x
(7)
Sử dụng (7) cho quyền chọn mua của BS với biến động GARCH, chúng ta
có
2
1 2
( )
t
d d E
và
rT
X Ke
.
1 2
2
1 1
2
1
1 1 1 1
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1
( ) ( ( ))
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
22 2
t
t
C S d X d
C S d X d E
S X S X X
C d E
Chúng tôi muốn có được một phương trình theo
t
và chúng ta có thể đơn giản hóa
phương trình trên bằng cách thay thế
1
d
với các biểu thức tương đương. Ngoài ra vì đơn giản
chúng ta phải giả định, log( )
S
u rT
K
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
( )
2 ( ) ( ) 2( )[ ] 2 ( )
2
2 2 ( )
2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 0
( ) ( ) 2 [( ) 2 ] ( ) 2 ( ) 0
t
t t
t
t t t t
t t t
t t
E
S X E S X u XE
CE
E S X E u S X S X E XE
S X E S X E E C u S X
S X E S X C E u S X
61
Đặt:
( ), 2 [( ) 2 ]
S X S X C
và
2 ( )
u S X
, sau đó có thể viết lại công thức ở
trên như sau:
2 2
( ) ( ) 0
t t
E E
(8)
Đặt: 2
( )
t
E x
và
2 2
( )
t
E x
, phương trình (8) có thể viết như sau:
2
0
x x
(9)
Phương trình (9) là phương trình bậc hai đơn giản và nghiệm của phương trình có thể viết
như sau 2
4

và
2
x
. Hơn nữa trong tình huống này nghiệm không
âmphương trình (9) dấu của hệ số
,
và
là rất quan trọng. Thêm vào đó nếu
0, 0, 0
phân biệt,
0
luôn ngụ ý sự tồn tại ít nhất một nghiệm thực dương của
phương trình (9). Tuy nhiên, dấu của hệ số phụ thuộc vào giá của chứng khoán, giá thực hiện.
Nghiên cứu tình huống đặc biệt khi giá của chứng khoán
S
bằng với giá thực hiện
K
như là
S K
, quyền chọn được gọi hòa vốn (at the money). Nếu chúng ta xét
0
r
phương trình
(9) hệ số
0
và chúng ta thấy tồn tại phương trình sau:
2
0
x x
(10)
Nghiệm của phương trình (10) là: 0,x x
, trong đó
2
S
và 2 2
C
. Nói cách
khác chúng ta có thể gọi tổng của nghiệm phương trình (9) là hòa vốn (at the money).
Quyền chọn mua (call option) của mô hình BS với biến động GARCH, tại trường hợp hóa
vốn (at the money) giá trị của độ nhọn (kurtosis) là một tham số của mô hình như sau (Gong,
Thavaneswaran & Singh, 2010; Chakrabarti & Santra, 2017; Coelho & Reddy, 2017):
2
( )
2 2
2
768( . 1
( )
3
( ( ) 4)( ( ) 8)
BS
t
y
t t
C
E S
kE E
Trong đó,
BS
C
là giá trị của quyền chọn mua của mô hình BS với độ biến động GARCH,
S
là
giá chứng khoán và
t
là độ biến động của GARCH.
Ví dụ 1: Xem xét dữ liệu sử dụng (Gong, Thavaneswaran & Singh, 2010) như là
425.73
S
,
25.33635043
GARCH
C
,
0
r
quyền chọntại hòa vốn (ATM) chúng ta có,
2
0.1491
GARCH
C
x
S
Tình huống 2: Sử dụng biến động theo giả định của BS.
Trong tình huống này công thức sử dụng cho quyền chọn mua là
BS
C
vàbiết rằng:
1 2
( ) ( )
r
BS
C S d Ke d
Chúng ta sử dụng phần mở rộng của hàm phân phối chuẩn với phương pháp xấp xỉ
Taylor bậc hai được đề xuất bởi (Corrado & Miller, 1996; Gatheral, Matic, Radoicic &
Stefanica, 2017)
3 3
1 1
( ) ...
2 6 40
2
x x
N x x
Sử dụng (7) cho quyền chọn mua của BS với biến động GARCH, chúng ta có 1 2
d d
và
rT
X Ke