intTypePromotion=1

Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Lời giải đề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 - Trần Vũ Trung

Chia sẻ: Tong Quoc Dinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

0
675
lượt xem
230
download

Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Lời giải đề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 - Trần Vũ Trung

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Lời giải đề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 - Trần Vũ Trung

Tr n Vũ Trung<br /> <br /> Tài li u này g m: - ð thi tuy n sinh chương trình KSTN môn toán 2008 – 2010 - 12 ñ t ôn t p - Hư ng d n gi i – ðáp s<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> “B tài li u ôn thi Kĩ sư tài năng 2011” bao g m nh ng bài vi t theo ch ñ và m t s ñ thi ñư c biên so n phù h p v i n i dung ñ thi tuy n sinh môn toán vào chương trình ñào t o KSTN & KSCLC c a trư ng ð i h c Bách khoa Hà N i. B tài li u g m: 1) Hàm liên t c 2) Hàm kh vi 3) Dãy s 4) Tích phân 5) L i gi i ñ thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 6) M t s ñ luy n t p (12 ñ ) (Tài li u tham kh o khác ñi kèm: 0.1. ð thi và ñáp án môn toán KSTN 1999 – 2007 (Vũ H u Ti p). 0.2. ð thi và ñáp án môn gi i tích kì thi Olympic Sinh viên các năm.) Các bài vi t ñư c trình bày v i m c ñích h th ng hóa m t cách tr ng tâm các lí thuy t và phương pháp gi i toán gi i tích b c ph thông. V i các bài toán ví d nhi u d ng bài thư ng xu t hi n trong ñ thi KSTN các năm trư c ñây, bài vi t mong mu n ñem ñ n m t s ñ nh hình cơ b n v c u trúc ñ thi cũng như nh ng n i dung ki n th c c n thi t mà các b n c n ôn t p, chu n b cho kì thi s p t i. Các bài vi t không ñơn thu n ch là t p h p bài toán và l i gi i mà còn cung c p m t s nh n xét quan tr ng ñ ti p c n l i gi i b ng cách ñ t v n ñ m t cách t nhiên, có h th ng. Mong r ng ñây s là m t tài li u b ích ph c v cho quá trình h c t p môn gi i tích ph thông nói cũng như giúp các b n ôn thi m t cách hi u qu . M c dù ñã có nhi u c g ng trong quá trình biên so n nhưng ch c ch n không th nào tránh kh i thi u sót, tác gi r t cám ơn nh ng ý ki n ñóng góp ñ b tài li u ñư c hoàn ch nh hơn. M i th c m c, góp ý xin g i v ñ a ch hòm thư: vutrunglhp@gmail.com Hà N i, tháng 8 năm 2011 Tr n Vũ Trung, Sinh viên l p KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> ð năm 2008<br /> Bài 1: Cho dãy s ( xn ) th a mãn:<br /> <br /> Tìm gi i h n lim ( n 2 xn ) .<br /> n →∞<br /> <br />  x1 = 2  2  x1 + x2 + … + xn = n xn<br /> <br /> Bài 2:<br /> <br /> Cho s nguyên dương n . Tính tích phân: I = ∫<br /> Bài 3:<br /> Cho hàm s<br /> <br /> π<br /> <br /> sin nx . sin x 0<br /> <br /> f ( x) liên t c trên [0;1] th a mãn f (0) > 0 ,<br /> 2007<br /> <br /> ∫ f ( x) dx < 2008 .<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = x<br /> <br /> có ít nh t 1 nghi m thu c kho ng (0;1).<br /> <br /> Bài 4: Cho hàm s f ( x) liên t c trên [0;1] và kh vi trên (0;1) th a mãn f (0) = 0 , f (1) = 1 . Ch ng minh r ng t n t i 2 s phân bi t a, b ∈ (0;1) sao cho f '(a ) f '(b) = 1 . Bài 5: Cho hàm s<br /> <br /> f : [a ; b] → [a ; b] th a mãn: f ( x ) − f ( y ) < x − y v i m i x, y ∈ [ a ; b ] ; x ≠ y . Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = x có nghi m duy nh t trên [a ; b] .<br /> <br /> Bài 6: Cho IK là ño n vuông góc chung c a 2 ñư ng th ng chéo nhau a và b ( I ∈ a, K ∈ b ), M và N là hai ñi m b t kì l n lư t thu c a và b sao cho IM + KN = MN . Trong s các ñi m cách ñ u các ñư ng th ng a , b và MN , hãy tìm ñi m có kho ng cách ñ n m i ñư ng nói trên là ng n nh t.<br /> <br /> ***<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> ð năm 2009<br /> Câu I: Cho phương trình x 4 + x 2 − mx + 4 = 0 1) Gi i phương trình (1) khi m = 6 .<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong ñó m là tham s .<br /> <br /> 2) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m.<br /> Câu II: 1) Ch ng minh r ng v i m i s th c a cho trư c thì hàm s f(x) = |x – a| có ñ o hàm t i m i ñi m x ≠ a và không có ñ o hàm t i ñi m x0 = a.<br /> <br /> 2) Cho trư c các s th c λ1 , λ2 ,...., λn khác nhau t ng ñôi m t. Ch ng minh r ng:<br /> <br /> k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … + kn x − λn = 0 ∀x ∈ ℝ khi và ch khi k1 = k2 = … = kn = 0 .<br /> Câu III:<br />  x2 + y2 + z2 − 2x − 2 z − 7 = 0  1) Tìm các s th c x, y , z , p, q, r th a mãn  2 2 2  p + q + r + 10 p − 6q − 14r + 47 = 0  sao cho P = x 2 + y 2 + z 2 + p 2 + q 2 + r 2 − 2 xp − 2 yq − 2 zr ñ t giá tr l n nh t. 2) Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax, By sao cho AC+BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t.<br /> <br /> Câu IV:<br /> Tìm hàm s<br /> <br />  f ( x) ≤ x v i m i x, y ∈ ℝ . f : ℝ → ℝ th a mãn:   f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y )<br /> f : ℝ → ℝ liên t c th a mãn:<br /> b<br /> <br /> Câu V: Cho hàm s<br /> <br /> f ( λ x + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ) v i m i x, y ∈ ℝ và λ ∈ (0;1) . Ch ng minh r ng:<br /> <br /> ∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f  <br /> a<br /> <br />  a+b  v i m i a, b ∈ ℝ ; a < b . 2 <br /> <br /> ***<br /> <br /> 4<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> ð năm 2010<br /> Câu I.<br /> 2π<br /> <br /> 1)<br /> 2)<br /> <br /> Tính<br /> <br /> ∫ sin ( sin x + nx ) dx<br /> 0<br /> <br /> v i n∈ℤ.<br /> <br /> Cho hàm s<br /> <br /> y = f ( x) xác ñ nh trên t p s th c, th a mãn:<br /> <br /> f ( x) − f ( y ) ≤ x − y<br /> <br /> ∀x, y ∈ ℝ<br /> <br /> và f ( f ( f (0))) = 0 . Ch ng minh r ng f (0) = 0 .<br /> Câu II. 1)<br /> <br /> Cho hàm s<br /> <br /> f ( x) kh vi liên t c c p hai trên [0;1], có f " (0) = 1 và f " (1) = 0 .<br /> <br /> Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0;1) sao cho f " (c) = c . 2)<br /> Câu III. 1)<br /> <br /> Tính lim 30 + 30 + 30 + ⋯ + 30<br /> <br /> ( n d u căn th c b c hai).<br /> <br /> Hàm s<br /> <br /> f ( x) kh vi t i x0 ñư c g i là l i (lõm) t i ñi m này n u t n t i lân<br /> <br /> c n c a ñi m x0 là U ( x0 ) sao cho: ∀x ∈ U ( x0 ) ta có:<br /> f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) (tương ng f ( x) ≤ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) ) Ch ng minh r ng hàm s b t kì kh vi trên (a ; b) s l i (lõm) t i ít nh t m t ñi m x0 ∈ (a ; b) . 2) S nào l n hơn trong hai s sau:<br /> 11 + 22 + 33 + ⋯ + 10001000 và 22 .<br /> 22 2<br /> <br /> Câu IV. Trong m t phòng có 5 ngư i, gi a 3 ngư i b t kì luôn tìm ñư c 2 ngư i quen nhau và 2 ngư i không quen nhau. Ch ng minh r ng nhóm này có th ng i quanh m t bàn tròn sao cho m i ngư i ñ u quen v i 2 ngư i ng i c nh mình. Câu V. Cho A, B, C là các góc c a m t tam giác nh n. Ch ng minh r ng:<br /> tan n A + tan n B + tan n C ≥ 3 + *** 3n 2<br /> ∀n ∈ ℕ .<br /> <br /> 5<br /> <br />
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2