Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số hướng tiếp cận bài toán hàm số ẩn trong bài toán trắc nghiệm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh ở các đối tượng có học lực từ trung bình, khá và giỏi trở lên, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và khai thác được các thông tin từ đồ thị của hàm số hay đồ thị đạo hàm củc hàm số hoặc các biểu thức liên quan đến hàm số đó như hàm số hợp của nó hay một biểu thức có chứa đạo hàm cùng với ứng dụng của nó trong việc giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số hướng tiếp cận bài toán hàm số ẩn trong bài toán trắc nghiệm

S ỞGIÁO D Ụ VÀ Đ O T Ạ NGH ỆAN C À O TRƯỜ G THPT Đ L Ư N G 1 N Ô Ơ SÁNG KI Ế KINH NGHI Ệ N M TÊN ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN BÀI TOÁN HÀM SỐ ẨN TRONG BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM” Nhóm tác giả: 1. Lê Đức Hưng 2. Nguyễn Phùng Tú : ĐT: 0979108353 T ổ: Toán – Tin tr ường thpt Đô L ương 1 L ĩnh v ực: Toán h ọc Tháng 4 n ăm 2023 A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường phổ thông. Bên cạnh đó trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 12 khi học các vấn đề liên quan đến đồ thị của một hàm số, đồ thị của hàm số, các biểu thức liên quan đến hàm số mà đề bài muốn đề cập đến tuy nhiên người ta không cho cụ thể biểu thức của hàm số. vận dung nó để giải quyết các vấn đề liên quan đến toán học thường khó khăn và rất khó tiếp thu và áp dụng nó vào một bài toán cụ thể để giải các bài toán về giải tích. Một phần nữa là các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các đề thi tuyến sinh đại học trước đây nay là kỳ thi thi THPT quốc gia, và chúng đều là những câu hỏi ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao. Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn giải tích lớp 12 nói chung và chủ đề này nói riêng tôi đã chọn đề tài “Một số hướng tiếp cận bài toán về hàm số ẩn” một phần nào đó 1
giúp các em tháo gỡ khó khăn vận dụng tôt kiến thức hàm số trong các bài toán về tiếp tuyến đồ, sự biến thiên, cực trị của hàm số và bài toán tích phân. 2. Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh ở các đối tượng có học lực từ trung bình, khá và giỏi trở lên, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và khai thác được các thông tin từ đồ thị của hàm số hay đồ thị đạo hàm củc hàm số hoặc các biểu thức liên quan đến hàm số đó như hàm số hợp của nó hay một biểu thức có chứa đạo hàm cùng với ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3. Đối tượng nghiên cứu: Cho đồ thị của đạo hàm của một hàm số yêu cầu khai thác các thông tin trên đó để tìm một số tính chất liên quan đến hàm số đó, hoặc cho một biểu thức có chứa yêu cầu tìm sự biến thiên, cực trị hay tích phân có liên quan đến hàm số hay hàm số hợp . B. NỘI DUNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN: 1 Cơ sở chọn đề tài: Trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn. Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối cấp, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học các vấn đề liên quan đến đồ thị, các biểu thức liên quan đến các em thường có tâm lí: không kết nối được giữa giả thiết của bài toán và cái mà bài toán yêu cầu, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học hay tìm hiểu vấn đề này. Vì vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể 2
và hướng dẫn cho học sinh cách tiếp cận, kết nối giữa cái chưa biết và cái đã biết vận dụng vào giải toán. Để giúp các em học tốt hơn. Giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh. II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 1. Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học: Thông qua bài khảo sát chất lựơng, các bài kiểm tra khi dạy chuyên đề tại các lớp 12T1 và 12D5 của năm học 2021 – 2022 này tôi thu được kết quả như sau Lớp Trung bình Khá Giỏi 12T1 15% 55% 30% 12D5 50% 45% 5% 2. Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh nắm được các bài toán vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản hay cho một hàm số cụ thể yêu cầu tìm sự biến thiên, cực trị hay tính tích phân liên quan đến hàm số đó tuy nhiên bài toán ngược là sử dụng đồ thị, cho các biểu thức liên quan đến rồi vận dụng để giải các giải các bài toán còn lúng túng . Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng xử lý các biểu thức về hàm số hay kỹ năng đọc đồ thị ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ ở một số điểm: - Các em còn lúng túng trong việc liên hệ vận dụng các biểu thức vào các câu hỏi về sự biến thiên, cực trị hay tích phân. - Khả năng tìm kiếm một hàm số nào đó phù hợp với biểu thức giả thiết của đề bài liên hệ về một đồ thị nào đó tương ứng với một hàm số còn hạn chế. - Liên hệ giữa đồ thị đạo hàm hàm số với các tính chất liên quan đến hàm số - Nhiều học sinh chưa có hứng thú trong các bài toán dạng này. Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức tới các em. Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. 3
Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp. Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán. III: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong các giờ học về phần: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số , cực trị hàm số hay chủ đề tích phân hoặc các ứng dụng của nó trong giải toán đa phần học sinh nắm chưa chắc phần ứng dụng, chưa hiểu bản chất. Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một số bài toán với giả thiết là cho một số yếu tố liên quan đến yêu cầu giải quyết các vấn đề về tiếp tuyến đồ thị, sự biến thiên, cực trị hay tích có liên quan đến hàm số hợp hoặc hàm số có xuất hiện các biểu thức : PHẦN 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. Chuyên đề tiếp tuyến là chuyên đề cơ bản và rộng rãi trong giải tích của môn toán THPT. Các câu hỏi chủ yếu xoay quanh ba bài toán lớn là:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết trước hệ số góc và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó đi qua một điểm cho trước. Có một điều chung là cả ba bài toán trên đều cho biểu thức của hàm số cụ thể. ở đây tôi xin đưa ra các bài toán mà giả thiết của bài toán không cho hàm số cụ thể mà chỉ cho các dữ kiện liên quan đến hàm số đó như hay một biểu thức có chứa , ,… Sau đây là một số số ví dụ: Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục với mọi giá trị của biến trên đồng thời thỏa mãn (1). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là. A. B. C. D. Khó khăn học sinh gặp phải là không tìm được hệ số góc tức là và tọa độ của tiếp điểm. Và đó cũng là mục tiêu của bài toán để hướng tới biểu thức . 4
Hướng dẫn giải 1: Tìm là tung độ của tiếp điểm. Từ giả thiết ta có thể tìm được biểu thức của hàm số. Trong (1) thay bởi ta được (2). Từ (1) và (2) suy ra hay . Đến đây dễ dàng ta tìm ra , và tiếp tuyến cần tìm là . Đáp án A Hướng dẫn giải 2: Ta không tìm ra cụ thể mà chỉ cần tìm và . Trong (1) thay và ta được và từ đây suy ra . Tiếp theo đạo hàm hai vế (1) ta được thay và vào ta được và từ đây suy suy ra . Từ đó ta có tiếp tuyến cần tìm là . Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ . A. B. C. D. Hướng dẫn giải. Từ biểu thức đề bài ta có ta có thể viết lại thành suy ra từ điều kiện suy ra hay . Khi đó dễ dàng tìm ra tiếp tuyến là: chọn đáp án D Câu 3. Cho các hàm số , , có đồ thị lần lượt là . Đường thẳng lần lượt cắt tại thứ tự tại . Biết phương trình tiếp tuyến của tại là , của tại là . Phương trình tiếp tuyến của tại là. A. B. C. D. Hướng dẫn giải. Xuất phát từ công thức của phương trình tiếp tuyến tại điểm cho trước thứ tự tại các điểm của ta có Tại M của ta có và Tại N của ta có và Khi đó tại P của tiếp tuyến có dạng thay ta được . Câu 4. Cho hàm số là hàm số bậc ba có đồ thị như hình bên. Biết và . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là. A. B. C. D. Hướng dẫn giải. Vẫn đặt mục tiêu tìm tung độ và hệ số góc . * Từ . Đặt dẫn tới khi đó ta có . Quan sát đồ thị dễ thấy nên * Từ đặt dẫn tới . Sử dụng tích phân từng phần khi đó khi đó ta tìm được . Tìm được đáp án . Qua các ví dụ trên ta có thể thấy để học sinh làm tốt dạng bài tập này trước hết cần nắm vững công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước là . Do vậy 5
nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số hay hàm số hợp ta sẽ tìm hoặc và hoặc . PHẦN 2. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1. Cho đồ thị Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số Thông thường một bài toán cho biểu thức của hàm số rồi yêu cầu xét chiều biến thiên của hàm số đó hoặc hàm số hợp của nó. Ở vấn đề này sẽ đề cập đến bài toán chỉ cho các dấu hiệu liên quan đến hàm số đó mà bài toán ẩn biểu thức của hàm số đi. Yêu cầu xét chiều biến thiên của một hàm số khác thường là hàm số hợp của hàm số có thông tin trong đề bài. Do đó học sinh cần có kinh nghiệm khi xử lý các bài toán dạng này. Một số lưu ý cần trang bị cho học sinh: - Cách nhận dạng đồ thị của hàm số đồng biến: Tính từ trái qua phải có hướng đi lên - Cách nhận dạng của đồthị hàm số nghịch biến: Tính từ trái qua phải có hướng đi xuống - Khảng nào đồ thì ở phía trên trục hoành khoảng đó dấu của biểu thức hàm số dương, phía dưới trục hoành khoảng đó biểu thức hàm số âm. - Qua việc xác định được dấu của biểu thức ta suy được sự đơn điệu của hàm số hay hàm số hợp ….. Sau đây là một số ví dụ để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chủ đề này. Câu 1. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Hàm số đồng biến trên B. Hàm số đồng biến trên C. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng . D. Hàm số nghịch biến trên Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy: ● khi đồng biến trên các khoảng , . Suy ra A đúng, B đúng. ● khi nghịch biến trên khoảng . Suy ra D đúng. Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C. Đây là bài toán khá đơn giản. Nó giúp rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị qua đó xác định được dấu của từ đó nêu được sự biến thiên của hàm số Câu 2. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có Xét Vậy nghịch biến trên các khoảng và Chọn C. 6
Cách 2. Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C. Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ ta chọn suy ra Khi đó Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Bài toán giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khai thác đồ thị hàm số kỹ năng xử lý qua biểu thức hàm số hợp . Đây bắt đầu là vấn đề khó khăn của học sinh khi phải xét đến hàm số hợp dạng Tương tự ta có bài toán sau Câu 3. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Câu 4. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A. . B. . C. . D. . Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có Xét Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên Chọn A. Câu 5. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có Xét Vậy đồng biến trên các khoảng Chọn B. Cách 2. Ta có Bảng biến thiên 7
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. Câu 6. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra và  Với khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng  Với khi đó Vậy hàm số đồng biến trên khoảng Chọn B. Như vậy qua các bài toán trên giúp học sinh thêm có kỹ năng giải quyết các bài toán với dữ kiện đồ thị hàm số để trả lời các câu hỏi về sự biến thiên của hàm số - Bước 1. Xác định dấu của biểu thức - Bước 2. Xác định dấu của biểu thức theo cách tìm nghiệm của các biểu thức và rồi xét dấu từng biểu thức suy ra dấu tích của chúng. Cũng có thể xét dấu bằng việc đặt ẩn phụ Các bài toán tương tự. Câu 7. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Câu 8. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Câu 9. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. 8
C. D. Câu 10. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu khoảng nghịch biến ? A. B. C. D. Câu 11. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Đặt Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng B. Hàm số nghịch biến trên khoảng C. Hàm số nghịch biến trên khoảng D. Hàm số nghịch biến trên khoảng Câu 12. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. . B. . C. . D. . Câu 13. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Câu 14. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. 9
Câu 15. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới và Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Câu 16. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Câu 17. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây ? A. B. C. D. Câu 18. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Vấn đề 2. Cho đồ thị Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới). Dựa vào đồ thị, suy ra Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với thì đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng nên ) hàm số đồng biến trên Chọn B. Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. 10
Lời giải. Ta có Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới). Dựa vào đồ thị, suy ra Yêu cầu bài toán (vì phần đồ thị của nằm phía trên đường thẳng ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Bài toán tương tự Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. Vấn đề 3. Cho biểu thức Tìm để hàm số đồng biến, nghịch biến. Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên ? A. B. C. D. Lời giải. Ta có Xét Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi Vậy Chọn B Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số đồng biến trên khoảng ? A. B. C. D. Lời giải. Từ giả thiết suy ra Ta có Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi với Ta có Vậy suy ra Chọn B. Ta có các bài toán tương tự. Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên âm để hàm số đồng biến trên ? A. B. C. D. Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên âm để hàm số đồng biến trên khoảng ? A. B. C. D. Câu 5. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. B. C. D. PHẦN 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều các bài toán đặc biệt là các bài toán một biến hoặc quy về được một biến. Giữa hàm số và đạo hàm của nó có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Điển hình như sự đồng biến, nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc nó cho ở dạng công thức thì nó còn có thể cho ở dạng đồ thị hoặc một thông tin khác có liên quan đến hàm số mà đề bài 11
có đề cập đến và ở trong đó người ta không cho hàm số dạng tường minh yêu cầu xác định cực trị của một hàm số hợp của . Do vậy các bài toán dạng này đều thuộc loại bài toán vận dụng cao. Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán với giả thiết của hàm số rồi yêu cầu chỉ ra các tính chất như sự biến thiên, cực trị hay một số tính chất khác của hàm số hoặc . Nếu không được trang bị tốt về kiến thức này thì không ít học sinh sẽ không làm được thậm chí không định hướng được cách giải 1 Một số kiến thức cần nhớ - Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng K và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại trên K thì . Từ đó suy ra nếu hàm số đạt cực trị tại thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm . Ngược lại đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm và có dấu thay đổi khi qua thì hàm số đạt cực trị tại đó. Nếu biết thêm dấu thay đổi dương sang âm thì là cực đại, còn thay đổi từ âm sang dương thì là điểm cực tiểu. - Cũng dựa vào đồ thị của hàm số ta có được bảng dấu của khi đó lập được bảng biến thiên từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng cho trước, hoặc so sánh được các giá trị đặc biệt của hàm số. 2. Một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên R có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hàm số đạt cực tiểu tại B. Hàm số đạt cực tiểu tại C. Hàm số đạt cực đại tại D. Cực tiểu của nhỏ hơn cực đại Hướng dẫn: Quan sát đồ thị ta nhận ra có hai nghiệm và . Khi qua -2 đạo hàm thay đổi dấu từ dương sang âm, khi qua 0 đạo hàm thay đổi dấu từ âm sang dương. Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên dễ nhận ra đáp án đúng là B vì tại -2 hàm số đạt cực đại. 12
Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên R và có đồ thị hàm số như hình vẽ. Đặt . Hàm số đạt cực đại tại các giá trị nào sau đây? A. B. C. D. Hướng dẫn: Ta có . Xét phương trình , dựa vào sự tương giao giữa hai đồ thị và hình vẽ. ta có kết luận Cả hai đều đi qua các điểm , , . Trên đồ thị ở phía trên đường y = x nên Trên đồ thị ở phía dưới đường y = x nên Từ đó suy ra hàm số đại cực đại tại . Ta chọn đáp án B Ví dụ 3 (Thi thử THPT Chuyên ĐH Vinh lần 4 năm 2017) Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là A. B. C. D. Phân tích: Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số qua đó dễ nhận ra giá trị nhỏ nhất của là . Khi đó kết hợp với giả thiết suy ra Hay giá trị nhỏ nhất của hàm số là . Ta chọn đáp án D Ví dụ 4. (HSG Lớp 12 năm 2018 Tỉnh Hà Tĩnh) Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình. Biết rằng . Hỏi trong các giá trị giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Phân tích: Trên đoạn hàm số đồng biến nên . Trên đoạn hàm số nghịch biến nên . Từ đó giá trj nhỏ nhất của hàm số chỉ có thể là hoặc . Mặt khác theo giả thiết ta có hay . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là . Ví dụ 5. Cho hàm số và là hai hàm số liên tục trên R có đồ thị của các hàm số và như hình vẽ. Gọi ba giao điểm là A, B, C hai đồ thị có các hoành độ tương ứng là a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . A. B. C. D. Một số bài toán tương tự. 13
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số là A. B. C. D. Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ? A. B. C. D. Không có điểm cực tiểu. Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hàm số đạt cực đại tại A. . B. . C. . D. . Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ta thấy đồ thị hàm nằm phía trên đường nên mang dấu Nhận thấy các nghiệm là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A. B. C. D. Câu 5. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiểu điểm cực trị ? A. B. C. D. Câu 6. Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị A. B. C. D. Câu 7. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số là A. B. C. D. Cho biểu thức Hỏi số điểm cực trị của hàm số Câu 8. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đạt cực đại tại A. B. C. D. Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Câu 10. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ? A. B. 1 C. 2 D. 3 Câu 11. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? 14
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 12. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Câu 13. Cho hàm số có đạo hàm cấp liên tục trên và thỏa mãn với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 Câu 14. Cho hàm số có đạo hàm cấp liên tục trên và thỏa mãn với mọi Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 15. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Số điểm cực trị của hàm số là A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 Câu 16. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Số điểm cực trị của hàm số là A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 Câu 17. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Số điểm cực trị của hàm số là A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 Cho biểu thức Tìm để hàm số có điểm cực trị Câu 18. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có 5 điểm cực trị ? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Câu 19. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 20. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn để hàm số có 3 điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 21. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên âm để hàm số có đúng điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. D. 5 Câu 22. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có điểm cực trị ? A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số Câu 23. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số đạt cực đại tại A. B. C. D. 15
Câu 24. Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ? A. B. C. D. Câu 25. Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. điểm cực đại, điểm cực tiểu. B. điểm cực đại, điểm cực tiểu. C. điểm cực đại, điểm cực tiểu. D. điểm cực đại, điểm cực tiểu. Câu 26. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. B. C. D. Câu 27. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 28. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 29. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số là A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 16
Câu 30. Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 Câu 31. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số là A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 Câu 32. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Cho bảng biến thiên của hàm Hỏi số điểm cực trị của hàm Một số bài toán không cho đồ thị. Thay vào đó đề bài cho thông tin về hàm số thông qua bảng biến thiên của hàm số đó hoặc bảng biến thiên của hàm số hợp của hàm số đó. Ở dạng này yêu cầu học sinh phải biết cách khai thác thông tin qua bảng biến thiên. Câu 33. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ? A. . B. . C. . D. . Câu 34. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 35. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau. Tìm số điểm cực trị của hàm số 17
A. B. C. D. Câu 36. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 37. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Hỏi số điểm cực trị của hàm số nhiều nhất là bao nhiêu ? A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số Câu 38. Cho hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có điểm cực trị là A. hoặc B. hoặc C. hoặc D. Câu 39. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi A. B. C. D. Câu 40. Tổng các giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị bằng A. -2026 B. -496 C. 1952 D. 2016 Câu 41. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số có 7 điểm cực trị ? A. 2 B. 3 18
C. 4 D. 6 Câu 42. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 Câu 43. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số có điểm cực trị ? A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 44. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số Với thì hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 45. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có đúng điểm cực trị. A. B. C. D. Cho biểu thức Tìm để hàm số có điểm cực trị Câu 46. Hàm số có đúng ba điểm cực trị là và 0 Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 47. Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có 5 điểm cực trị. A. B. C. D. Câu 48. Cho hàm số với là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị ? A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 Câu 49. Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm và làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 19
Câu 50. Cho hàm số với và thỏa mãn đồng thời . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 51. Cho hàm số với và Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 B. 5 C. 9 D. 11 Câu 52. Cho hàm số đạt cực trị tại các điểm , thỏa mãn , . Biết hàm số đồng biến trên khoảng . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. B. C. D. PHẦN 4. TÍCH PHÂN Trong thời gian gần đây trong đề thi THPT Quốc gia của Bộ giáo dục cũng như trong nhiều đề thi tham khảo của các sở giáo dục, các trường THPT và các cá nhân trên cả nước xuất hiện nhiều bài toán tính tích phân của một hàm số mà trong đó đề bài không cho biểu thức hàm số chỉ cho các thông tin liên quan đến hàm số đó. Với mức độ vận dụng cao thì đây luôn là các câu hỏi mà nhiều học sinh còn lúng túng khi xử lý, kết nối thông tin giữa cái đề bài cho, các kiến thức có sẵn trong sách giáo khoa với cái mà đề bài yêu cầu cần giải quyết. Phải nói rằng nếu như chưa từng gặp dạng câu hỏi này thì đây là một bài toán rất khó có thể giải quyết trong một thời gian ngắn trong phòng thi. Vì vậy việc cho học sinh tiếp cận với dạng câu hỏi này cùng với trang bị cho một số kỹ năng cần thiết để giúp học sinh không còn xa lạ, biết xử lý nhanh, chính xác để tìm ra đáp án. Ví dụ 1. (Câu 50 đề minh họa của BGD năm 2018). Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn , và . Tích phân bằng. A. . B. . C. . D. Hướng dẫn giải. Ta có Vậy nên theo Cauchy-Schwarz (hay hệ quả của BĐT Holder được phát biểu ở dạng tích phân dấu bằng xẩy ra khi tồn tại số k thỏa mãn )ta có Dấu bằng xảy đến khi và chỉ khi , kết hợp để có Từ đó mà có được Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên đoạn và . Tính tích phân . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải 1. Định hướng theo cách tìm biểu thức hàm Theo đề bài, ta có Thay Từ và suy ra: . 20