Các phương pháp giải nhanh Toán học phổ thông

Chia sẻ: Hoàng Xuân Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phương pháp giải nhanh Toán học phổ thông giúp bạn làm bài thi Đh nhanh và hiệu quả hơn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp giải nhanh Toán học phổ thông

Hoàng Vi t Quỳnh Toaën hoåc phöí thöng Các phương pháp gi i nhanh thi ih c
Các phương pháp gi i toán is và gi i tích L i nói u: Sau 12 năm h c t p, gi ây ch còn m t kì thi duy nh t ang ch i các em ó là kì thi i h c. ây s là kì thi khó khăn nh t trong su t 12 năm các em ng i trên gh nhà trư ng. Kì thi i h c chính là m t bư c ngo t l n trong cu c i c a m i h c sinh vì th m i h c sinh c n ph i chu n b ki n th c th t toàn di n vì n i dung c a thi mang tính liên t c. Có l trong các môn, môn toán v n luôn chi m v trí quan tr ng và là v t c n l n nh t trên bư c ư ng ti n t i gi ng ư ng i h c. Vì th tôi xin m o mu i góp chút ki n th c ã thu lư m ư c trong quá trình h c t p vi t lên quy n sách này. Hy v ng ây s là tài li u b ích cho các em h c t p. Quy n sách ư c chia thành sáu ơn v bài h c và hai ph l c. M i bài u là nh ng ph n quan tr ng, xu t hi n thư ng xuyên trong thi i h c. m i bài u có nh ng c im sau: • Ph n tóm t t ki n th c ã h c ư c trình bày ng n g n và t ng quát nh m khơi l i ph n ki n th c ã quên c a các em. • H th ng các bài làm ư c ch n l c kĩ lư ng, có tính i n hình và khai thác t i a các góc c nh c a v n nêu ra, ng th i phương pháp gi i ng n g n, tr c quan cùng nhi u kinh ngh m gi i giúp các em có th hi u ư c n i dung bài gi i và cách áp d ng cho các d ng thi s g p sau này. ng th i, các ví d u ư c trình bày t cơ b n n nâng cao. ây là nh ng bài trích ra t thi d tr c a các năm trư c và tham kh o t nh ng tài li u c a các th y cô có nhi u năm kinh nghi m trong quá trình luy n thi nên mb ov mc và gi i h n ki n th c. L i gi i trong các ví d ch là tư ng trưng nh m m c ích nêu lên phương pháp gi i, các em và các th y cô khi tham kh o cu n t i li u này có th tìm ra và trình bày cách gi i và cách trình bày h p lí hơn. Các em nên t p gi i các d ng bài trên m t cách thu n th c và c l p. sau khi gi i xong m i xem ph n l i gi i. ó là i u mà tác gi kì v ng nhi u nh t. • Lí gi i các phương pháp, ưa ra thu t toán gi i chung, ưa ra b n ch t l i gi i, ó là ph n l i bình, lưu ý cu i m i bài t p. Ph n ph l c là 12 thi tiêu bi u theo c u trúc thi m i nh t do B GD& T công b . Các thi có m c khó r t cao, òi h i ngư i làm ph i tư duy r t nhi u. V i m c khó ó, tôi mong r ng khi các em gi i thu n th c các bài trong b thi này các em s có t tin và ki n th c t i m cao khi làm bài môn toán. Ph l c 2 là m t s m o dùng máy tính oán nghi m c nh, ph c v cho quá trình gi i các bài t p v phương trình tích như lư ng giác, h phương trình, phương trình, cách gi i nhanh bài toán hình h c b ng máy tính… ng th i gi i thi u thêm phương pháp chia Horner giúp các em làm nhanh bài toán có chia a th c, phân tích thành tích… V id nh là s gi i thi u quy n sách cho các em trong tháng cu i cùng trư c khi thi i h c nên sách ã gi n lư c m t s ph n không c n thi t và các ki n th c bên l , ch gi i thi u nh ng tr ng tâm c a thi nên bài t p có th còn ít. Tôi cũng có l i khuyên cho các thì sinh là hãy tìm thêm các thi trên m ng internet vì ây là kho ki n th c vô t n. M c dù r t c g ng nhưng cu n sách r t có th còn nhi u thi u sót do th i gain biên so n ng n ng th i kinh nghi m và s hi u bi t còn h n ch . R t mong ư c s góp ý c a b n c. M i góp ý xin liên h v i tác gi qua a ch sau: Hoàng Vi t Quỳnh Khu 6a – Th tr n L c Th ng – B o Lâm – Lâm ng Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn Blog: http://vn.myblog.yahoo.com/vquynh-qflower Tel: 063-3960344 - 01676897717 1
Bài I: ng d ng phương trình ư ng th ng gi i phương trình căn th c. VD1. Nh c l i ki n th c v ư ng th ng. 1) Phương trình t ng quát: ư ng th ng i qua M(x0;y0) và có vetơ pháp tuy n n (A;B) thì ư ng th ng ó có phương trình: (d): A(x-x0)+B(y-y0)=0 (d): Ax+By+C=0 ư ng th ng qua M(1;2) nh n n (2;1) làm vectơ pháp tuy n. VD1. (d): 2(x-1)+1(y-2)=0 (d): 2x+y-4=0 2) Phương trình tham s : ư ng th ng i qua M(x0;y0) và có vectơ ch phương a (a1;a2)  x = x0 + a1t  (d):  y = y0 + a2t ư ng th ng qua M(3;4) nh n a (2;3) làm vtcp có phương trình: VD2.  x = 3 + 2t  (d):  y = 4 + 3t VD3. Cho (d): x+y=4. Vi t phương trình tham s c a (d). Gi i: Vectơ pháp tuy n : n (1,1) Vectơ ch phương : a (1,-1) i m i qua M(2;2) x = 2 + t  (d) : y = 2 − t VD2. ng d ng x 3 + 8 + 3 12 − x 3 = 10 VD1. Gi i phương trình : Gi i: x 3 + 8 =1+3t 12 − x 3 =3-t t: và k( -1/3 ≤t≤1/3) 3 2 3 2 x +8=(1+3t) (*) và 12-x = (3-t) (**) 2 t2=1 L y (*)+(**) ta có 20=10t +10 t=1 ho c t=-1(lo i) 3 x =8 x=2 Tip: Có ph i b n ang t h i: thu t toán nào ã giúp ta nhìn th y ư c cách t n t ??? 2
Không ph i ng u nhiên mà tôi l i trình bày l i v n ư ng th ng, m t v n tư ng ch ng như ch ng liên quan gì n i s . Nhưng gi ây ta m i nh n ra ư c “ ư ng th ng” chính là “tuy t chiêu” gi i phương trình d ng căn th c. M u ch t ó là: x 3 + 8 + 3 12 − x 3 = 10 B1: X Y T ó ta có phương trình ư ng th ng : X+3Y=10 B2: ta vi t l i phương trình: X+3Y=10 theo tham s t  X = 1 + 3t  Y = 3 - t Lúc này phương trình ã quy v 1 n t và vi c gi i phương trình trên là không khó. (Vì ây là ki n th c “l p nhí”) hi u rõ hơn v phương pháp này các b n hãy cùng tôi n v i VD2. x + 3 + 3 x + 2 =1 VD2. Gi i phương trình : X Y Gi i: G i (d): X=1+t và Y=0+t  x + 3 = 1− t  2   x + 3 = 1 − 2t + t t  (1) (t≤1) x + 2 = t 3 3 x + 2 = t   L y phương trình 2 tr pt1 ta có: -1=t3-t2 +2t-1 t3-t2 +2t=0 • T=0 x=-2 Lưu ý: thi, các b n nên trình bày t bư c(1) tr Trong khi gi i i nh m m b o tính ng n g n cho bài toán. Bư c g i phương trình ư ng th ng ch nên làm ngoài gi y nháp.  x+3 =u  3 Trong bài trên ta có th t và quy v gi i h phương trình. Các b n có th xem •  x+2 =v  cách này như m t bài t p. các b n hãy làm và so sánh s ưu vi t gi a 2 phương pháp. Trong bài trên ta h n ch phương pháp lũy th a vì n u mu n kh 2 căn th c khác b c trên, ta ph i • ^6 phương trình. Ta s g p khó khăn và s i m t v i 1 phương trình “kinh kh ng” và ta ph i gi i “x t khói” m i có th ra nghi m. VD3. Gi i h phương trình :  x + y − xy = 3 (1)   ( thi H năm 2005)  x + 1 + y + 1 = 4 (2)  Gi i:  x +1 = 2 + t  2   x + 1 = t + 4t + 4   t: (-2≤t≤2)  y + 1 = t 2 − 4t + 4  y +1 = 2 − t    2  x = t + 4t + 3   y = t 2 − 4t + 3  (t 2 + 3 + 4t )(t 2 + 3 − 4t ) =3 Phương trình(1) tr thành: 2t2+6- 3
t 4 − 10t 2 + 9 =2t2+3 ho c t=0 x=y=3 VD4. nh m phương trình sau có nghi m: Gi i: phương trình có nghi m: f ( x) = m Min f(x)≤m ≤Max f(x)  x + 2m = 1 + 3t   t (-1/3≤t≤3)  3m − x = 3 − t   2  x + 2m = 1 + 6t + 9t c ng v v i v => 5m=10+10t2 2t2+2=m  f(t)=m 3m − x = 9 − 6t + t 2  V i f(t)= 2t2+2 mi n xác nh: D=[-1/3;3] F’(t)=4t =>f’(t)=0 t=0 t -∞ -1/3 0 3 +∞ F’(t) - 0 + 20/9 20 F(t) 2 M có nghi m 2≤m≤20 VD3. Bài t p t luy n 1) Gi i h phương trình: 2) Gi i h phương trình:  2x + y +1 − x +1 = 1   3) Gi i h phương trình: ( thi d b 1A – 2005) 3 x + 2 y = 4  4) Gi i phương trình: 1 − sin( x) + 1 + cos( x) = 1 ( thi d b 2A – 2004) 4
Bài II: Các cách gi i phương trình và b t phương trình vô t . 1)Lũy Th a Phương pháp lũy th a là phương pháp t ng quát nh t gi i phương trình có căn. Khi g p các phương trình có d ng căn ph c t p nhưng khi chúng ta bi t “m o lũy th a” thì có th gi i bài toán m t cách d dàng. ây là m t phương pháp cơ b n, các b n ph i th c t p nhu n nhuy n vì phương trình trong thi i h c có lúc r t d nhưng ta l i không ý. các b n hãy theo dõi các ví d sau. Nhưng trư c h t hãy lưu ý v n sau: t i u ki n • • Lũy th a ch n thì hai v không âm • Các d ng cơ b n: B ≥ 0  A=B 2 A = B B ≥ 0  AB  B ≥ 0   A > B 2  VD1. Gi i: x ≥ 0 5 − x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 5 0 ≤ x ≤ 5     10 − x ≥ 0 2 5 x − x 2 = 5 − x 2 2 4(5 x − x ) = 25 − 10 x + x    x + 5 − x + 2 x(5 − x) = 10  0 ≤ x ≤ 5 2 x=1 ∨ x=5 x − 6x + 5 = 0 VD2. 2 x − x + 3 < x −1 Gi i: x ≥ 1 x ≥ 1   2  x = x − 3 + x −1 2 4 x < x + 3 + x − 1 + 2 ( x + 3)( x − 1)  x + 2x − 3 > x − 1   x ≥ 1 x ≥ 1 2  x=1 2 x > 1 x + 2x − 3 > x − 2x + 1 5
VD3. Gi i: k: 2x+1>0 x>1/2 (4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36 Bpt t t = (x2-x) bpt tr thành: (4t+1)(t+2)≥36 4t2+9t-34≥0 t≤-17/4 ho c t≥2 x2-x≤-17/4 ho c x2-x≥2 x≤1 ho c x≥2 VD4. Gi i b t phương trình : Gi i: − x 2 + x = 0   x − x > 0 2  ⇔ x = 0∨ x =1  2  x − x − 2 ≥ 0  Lưu ý: b t phương trình trên các b n không nên lũy th a tính toán vì quá trình lũy th a và nhân phân ph i r t m t th i gian. Hơn n a, khi quy v m t phương trình h qu , chúng ta gi i r t d sai vì khi giao các t p nghi m s không có giá tr nào th a mãn. Trong bài trên tôi s d ng cách ánh giá theo ki u như sau: B = 0   B > 0 B ≥0 A ó chính là m u ch t c a bài toán  A ≥ 0  VD5. Gi i phương trình : Gi i:   3x − 5  2 −  ≥0 4  3 x − 5 ≥ 0 x=3  2  x 2 − 8 =  3x − 5     4  6
Lưu ý: Trong phương trình trên các b n ph i “ ý” và “nhanh” m t chút vì n u như ta nguyên phương trình cho lũy th a thì ó là m t i u “không còn gì d i b ng” ta s i m t v i chuy n lũy th a 2 l n => m t phương trình b c 4. Phương trình này ta không th b m máy tính. Nhưng n u gi i tay thì ph i gi i “x t khói” m i ra trong khi th i gian không ch i ai. ng th i chúng ta không c n gi i i u ki n v i vì giám kh o ch quan tâm n bài làm và k t qu . Chúng ta hãy ch vi t “cái sư n” c a i u ki n. sau khi gi i ra nghi m ch vi c th vào i u ki n là xong. 2) Phương pháp t n ph : CÁCH GI I: ( ) f u ( x); n u ( x) ≥ 0 f (u ( x); u ( x) ) ≤ 0 u ( x) n t= n Phương trình h u t ho c h phương trình f (u ( x); u ( x) ) = 0 n BÀI T P ÁP D NG: VD1. Gi i: => t>0 ; t2+2= x2 + x t t= 3t=2(t2-1) t=-0.5 (lo i) ho c t=2 x2+x=6 x=2 ho c x=3 VD2. Gi i: t ≥ 0 2 x −1 T= t + 1 = x Phương trình tr thành: t2+1-(t+1)=2 t2-t-2=0 t=2 ho c t=-1 x=5 VD3. Gi i: => 7
pt tr thành: t2+t+2=8 t=2 ∨ t=-3 TH1: t=2 TH2: t=-3 ( ) LO I II: f u ( x) + n v( x) { ≥0; ≤0; =0 } n Phương pháp chung: n u ( x ) = u   => ưa v h phương trình. m v ( x ) = v  23 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 VD1. ( tuy n sinh i h c 2009) Gi i: 5 3 8 3 3x − 2 = u 2   u +v =  3 3  6 − 5 x = v (v ≥ 0) 2u + 3v − 8 = 0    5 3  8 − 2u  2 8 5 3 8 (u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0 2  u + = 3 u + v = 3  3  3 3    8 − 2u v = 8 − 2u v = v = 8 − 2u  3    3  3 u = −2  x=-2 v = 4 LO I III: H PHƯƠNG TRÌNH A TH C Nh ng h phương trình này ta r t thư ng hay g p trong thi i h c. l p 10, ta thư ng g p nh ng phương trình có tên là h i x ng, ng c p… Nh ng h này ã có cách gi i “ăn li n”. nhưng trong thi u quy v m t m i ó là “Phân i h c, ta không h tìm th y nh ng d ng ó. Nhưng t t c các h trên tích thành nhân t ”. 8
1 1 (1) x − x = y − y Gi i h phương trình:  VD1. ( H A 2003) 2 y = x 3 + 1 ( 2)  Gi i: K: xy≠0  1 x = y (1) ⇔ ( x − y ) 1 + =0⇔ Ta có  xy   xy = −1  x = y = 1   x = y x = y x = y  x = y = −1 + 5 TH1:  ⇔ ⇔ ⇔ 2 y = x + 1 2 x = x + 1 ( x − 1) ( x + x − 1) = 0 2 3 3 2    x = y = −1 − 5   2  1  1 y = − x  xy = −1 2 2  y = −  2 1  1 3 Mà x + x + 2 =  x −  +  x +  + > 0, ∀x ⇒ VN 4 TH2:  ⇔ ⇔ x  2  2 2 3 2 y = x + 1 − 2 = x 3 + 1  x 4 + x + 2 = 0  x   −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  V y nghi m c a h là ( x; y ) = (1;1) ,   1 ; 1 ,  1 ; 1       x + 1 + y(y + x) = 4y (1) 2  ( x, y ∈ R ) . (D b A2006) Gi i h phương trình:  VD2. 2 (x + 1)(y + x − 2) = y ( 2 )  Gi i: (1) ⇔ x 2 + 1 + y ( x + y − 4 ) = 0 (*) u = x 2 + 1 > 0; v = x + y − 4 t: u − yv = 0 ( 3)  Thay (4) vào (3) ta có: ( 3) ⇔ u + u ( v + 2 ) .v = 0 ⇔ u 1 + v ( v + 2 )  = 0 ⇔ H   u ( v + 2 ) = y ( 4 )  ⇔ v 2 + 2v + 1 = 0 ⇔ (v + 1) 2 = 0 ⇔ v = −1 ⇔ x + y = 3  x = 1 ⇒ y = −2  x2 + 1 − y = 0 ⇔ x2 + 1 − (3 − x ) = 0 ⇔  V y (*) ⇔  x = 2 ⇒ y = 5 x = 3 − y  x 3 − 8x = y3 + 2y  ( x, y ∈ R ) . (D b 2A 2006) Gi i h phương trình  VD3. 2 2  x − 3 = 3(y + 1) (*)  Gi i: 3 3 ( x − y ) = 6 ( 4 x + 2 y ) (1)  x3 − y 3 = 2 ( 4 x + y ) 3  H ⇔ ⇔ L y (2) thay vào (1) ta có 2 2 x − 3y = 6 2 2 x − 3 y = 6 ( 2)   ⇔ 3 ( x3 − y 3 ) = ( x 2 − 3 y 2 ) ( 4 x + y ) ⇔ x3 − 12 y 2 x + x 2 y = 0 ⇔ x ( x 2 + xy − 12 y 2 ) = 0 D th y x=0 thì y=0. Th vào (*) ta th y không th a mãn. V y ây không ph i là nghi m c a phương trình: 9
  x 2 + xy − 12 y 2 = 0 ( x − 3 y ) ( x + 4 y ) = 0  ⇒ 2 ⇔ 2 2 x − 3y = 6 2 x − 3y = 6    y = 1⇒ x = 3 x − 3y = 0 x = 3y TH1:  2 ⇔ 2 ⇔  y = −1 ⇒ x = −3 2 x − 3y = 6 6 y = 6  78 −4 78 ⇒x= y =  x = −4 y  x = −4 y 13 13 ⇔ TH2:  2 ⇔  2 2 x − 3y = 6 13 y = 6 78 4 78 ⇒x= y = −  13 13 V y nghi m c a phương trình là:  78 −4 78   − 78 4 78  ( x; y ) = (1;3) , ( −1; −3) ,   13 ; 13  ,  13 ; 13       ( x − y ) ( x + y ) = 13 (1) 2 2  Gi i h phương trình  VD4. (D b 2005) ( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25 ( 2 )   Gi i: Nhân c 2 v c a (1) cho 25. Nhân c 2 v c a (2) cho 13. Sau ó l y (1)-(2). ⇔ 13( x + y ) 2 ( x − y ) − 25 ( x − y ) ( x 2 + y 2 ) = 0 ⇔ ( x − y ) 13 ( x + y ) − 25 ( x 2 + y 2 )  = 0 2 (1)-(2)   ⇔ ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0 ⇔ −2 ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0 2 2 2 2 D th y x=y không th a mãn h .  3x = 2 y  y = −3   25 2  − y  ⇔   3 x = 2 y y .  = 25  x = −2  9 ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0 3    ⇔ ⇒ ⇔ 2 x = 3 y ( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25  2 x = 3 y    2 ( x + y ) ( x − y ) = 25      25 y 2 .  1 y  = 25 ⇔   x=3   4  2  y = 2  L i bình: ( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) thành nhân t 2 ( 3x − 2 y ) ( 2 x − 3 y ) ?? Làm sao ta có th phân tích nhanh Lúc này, công c c a chúng ta chính là máy tính b túi! Các b n hãy làm như sau: ( −12 x + 26 x − 12 ) = 0 Ch c 2 Coi như ta không th y n y. v y nên ta có phương trình b c 2 theo x: h n các b n u bi t gi i phương trình b c 2 này b ng máy CASIO. Ta b m ư c nghi m: 3 2 x = ∨ x = . Lúc này ta g i l i n y b ng cách thêm y vào sau các nghi m tìm ư c. 2 3 3 2 x = y ∨ x = y . Quy ng b m u vì m u là h ng s . ta có nhân t c n phân tích. Lưu ý là 2 3 ( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) = 0 ⇔ ( 3x − 2 y ) ( 2 x − 3 y ) = 0 . N u gi i b t phương trình, b n nên chú ý n 2 ( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) = −2 ( 3 x − 2 y ) ( 2 x − 3 y ) = 0 ) 2 d u khi phân tích (Trư ng h p này là d u - : Khi g p d ng phương trình a th c có h ng s phía v ph i (ho c có th ưa c 2 phương trình v d ng có h ng s v ph i), Ta nhân c 2 v c a phương trình trên cho s v ph i c a phương trình dư i và nhân c 2 v c a phương trình dư i cho s phương trình trên. Sau ó tr v theo 10
v . M c ích c a phương pháp này là quy h v phương trình tích sau ó ti n hành phân tích. H u h t các lo i phương trình a th c u gi i ư c theo cách này! Bài t p t luy n  x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1 4 3 22  x + 2x y + x y = 2x + 9 3 2 Bài 1. Bài 7. 2  x y − x + xy = 1  x + 2 xy = 6 x + 6    xy + x + 1 = 7 y  x2 + y 2 + x + y = 4  22 Bài 8.  Bài 2. 2  x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2  x y + xy + 1 = 13 y   3  x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y )  x +1 − y = 8 − x   Bài 9. 2 Bài 3. 4 ( x − 1) = y 2 2  x + xy + y = 7 ( x − y )    log x ( x3 + 2 x 2 − 3x − 5 y ) = 3 y2 + 2  3y =   Bài 4.  x2 log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3  Bài 10. 3 2  2 3x = x + 2  x ( x + y + 1) − 3 = 0  y2    Bài 5. 1 5 1 2 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 x − x = y − y  x  Bài 11. 2 y = x3 + 1 x + y = 1 9 9    25 Bài 6. 25 16 16 x + y = x + y  11
Bài III: Phương trình lư ng giác. M ts công th c lư ng giác c n nh : 1 1 sin 2 x + cos 2 x = 1;1 + tan 2 x = ;1 + cot 2 x = . 1. 2 sin 2 x cos x sin x cos x 1 tanx = ;cot x = ; tan x = 2. . cos x sin x cot x sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb 3. Công th c c ng: cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b 4. Công th c nhân ôi: sin2x = 2sinxcosx 5. cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x cos 2 x = ;sin 2 x = 6. Công th c h b c: 2 2 7. Công th c nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx. 8. Công th c bi u di n theo tanx: 1 − tan 2 x 2 tan x 2 tan x sin 2 x = ;cos 2 x = ; tan 2 x = 2 2 1 − tan 2 x 1 + tan x 1 + tan x 1 ( cos(a − b) + cos(a + b) ) cos a cos b = 2 1 sin a sin b = ( cos(a − b) − cos(a + b) ) 9. Công th c bi n i tích thành t ng 2 1 sin a cos b = ( sin(a − b) + sin(a + b) ) 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 2 10.Công th c bi n i t ng thành tích x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 2
Cách gi i các phương trình lư ng giác trong thi i h c: Lưu ý trư c khi gi i : Các phương trình lư ng giác trong thi i h c nhìn qua m t h c sinh thư ng r t khó khăn ph c t p nhưng chúng u quy v nh ng phương trình ơn gi n. thi i h c các năm u xoay quanh bi n i v d ng phương trình tích, t n ph . Năm 2009, thi có bi n i hơn ó là phương trình cu i bi n i v d ng công th c c ng. Nhìn chung phương pháp gi i d ng toán này là các em h c thu c các công th c trên ây và rèn luy n kĩ năng phân tích a th c thành nhân t … GI I M T S THI TIÊU BI U:  π 1. Gi i phương trình: 2 sin  2 x −  + 4 sin x + 1 = 0 (1)  6 Gi i: ( ) 3 cos 2 x + 2 − 2sin 2 x = 0 3 sin 2 x − cos 2 x + 4sin x + 1 = 0 2sin x (1) sinx = 0 ⇔ x = kπ  ( )  3 cos x − 1 sin x = −1 ⇔ cos  x + π  = cos x  2sin x 3 cos x − sin x + 2 = 0    6  2   x = kπ   x = 5π + 2kπ  6  −7π x = + 2 kπ  6 2. Tìm nghi m trên kho ng (0; π)c a phương trình : 3π x 4 sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − ) 2 4 Gi i: ∈ ( 0, π ) Tìm nghi m x 3π   4 sin 2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2  x −  (1) Ta có 2 4  3π   ⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos  2x −  (1) 2  ⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x (1) ⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . Chia hai v cho 2: (1) 3 1 ⇔ − cos x = cos 2x − sin 2x (1) 2 2 5π 2π 7π  π ⇔ cos  2x +  = cos ( π − x ) ⇔ x = +k ( a ) hay x = − + h2π ( b ) 18 3 6 6  3
x ∈ ( 0, π ) nên h nghi m (a) ch ch n k=0, k=1, h nghi m (b) ch ch n h = 1. Do ó ta có ba Do 5π 17π 5π ( 0, π ) x1 = , x2 = , x3 = nghi m x thu c là 18 18 6 π : 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 (2) . 3. Gi i phương trình 4 Gi i: 3  π   (2) ⇔  2 cos  x −   − 3cos x − sin x = 0 4    3 ⇔ ( cos x + sin x ) − 3cos x − sin x = 0 ⇔ cos3 x + sin3 x + 3cos2 xsin x + 3cos xsin2 x − 3cos x − sin x = 0  cos x = 0  cos x ≠ 0   hay  ⇔ 3 2 3 2 3 sin x − sin x = 0 1 + 3tgx + 3tg x + tg x − 3 − 3tg x − tgx − tg x = 0   π π ⇔ sin2 x = 1 hay tgx = 1 ⇔ x = + kπ x= + kπ hay 2 4 π cos 2 x − 1 : tg ( + x ) − 3tg 2 x = . ( 4. Gi i phương trình d b kh i B 2005) cos 2 x 2 Gi i: −2sin2 x 2 (2) ⇔ − cot gx − 3tg x = cos2 x 1 π − tg2 x = 0 ⇔ tg3x = −1 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z ⇔− tgx 4 PHƯƠNG PHÁP T N PH TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC: A. t t=sinx Cos2x= 1 – sin2x = 1-t2 t ∈ [-1;1] 2 2 sin x t Tan2x = = cos x 1 − t 2 2 2 Cos2x = 1 − 2sin x = 1-2t2 3 3 Sin3x = 3sin x − 4sin x = 3t − 4t B. t t = cosx sin x = 1 − cos 2 x = 1 − t 2 2 cos 2 x = 2t 2 + 1 sin 2 x 1 − t 2 tan 2 x = cos 3 x = 4 cos3 x − 3cos x = 4t 3 − 3t =2 cos 2 x t C. t t= tanx 4
1 1 cos 2 x = cot x = 1+ t2 t t2 1− t2 2 sin x = cos 2 x = 1+ t2 1+ t2 1 2t t an2x = s in2x=2t  2 1+ t2  1+ t  a sin x + b cos x a tan x + b at + b = = c sin x + d cos x c tan x + d ct + d − 2 ; 2  t∈ D. t t=sinx ± cosx   t 2 −1 ( ) 2 sinxcosx = sin2x= ± t + 1 ±2  t 2 −1  3 − t3 ( ) 3 3 2 2 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) sin x + cos x − sin x cos x = t 1 − = 2 2  NGUYÊN T C CHUNG GI I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC Bi n i: tt Phân tích thành tích Nguyên t c : Lũy th a H bc Tích T ng T ng Tích Bi n i không ư c thì i bi n. GI I M T S THI TIÊU BI U: cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x cot x − 1 = Bài 1. 1 + tan x 2 Gi i: t t=tanx, pt tr thành:  1− t2   2 2  1 + t  + t − 1 2t t ≠ 0; t ≠ −1 1 ( ) −1 = 1+ t2 2 1+ t 2 1+ t t π ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 2t − 1 = 0 + kπ ⇔ t =1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = 4 cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 Bài 2. Gi i: t t=cosx, pt tr thành: ⇔ 4t 3 − 3t + 2t 2 − 1 − t − 1 = 0 5
cos x = ±1  x = kπ  t = ±1  −1 ⇔  ⇔ ⇔ cos x = cos 2π  x = ± 2π + 2kπ t =    3 3 2 1 − sin x + 1 − cos x = 1 ( Bài 3. Gi i phương trình: thi d b 2 A – 2004) (1) Gi i: 1 − sin x − cos x + 2 (1 − sin x)(1 − cos x) = 0 (1) t t=sinx +cosx t 2 −1 ⇔ sin xcosx = 2 t 2 −1 − t = 0 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 4 + 2t 2 − 2 − 4t ⇔ (t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1 1− t + 2 1+ Pt tr thành: 2  π  π π  x = kπ 2 sin  x +  = 1 sin  x +  = sin   Sinx+cosx =1  4  4 4 cos 2 x + 6 tan 2 x (1 − sin x ) = 2 sin x + Bài 4. 1 + sin x Gi i: t ∈ [ −1;1] t t=sinx pt tr thành: 1− t2 t2 1 − t ) = 2 ⇔ 6t 2 − t − 1 = 0 2( t+ +6 1+ t 1− t  π   x = 6 + 2 kπ 1   1 t = 2 sin x = 2 ⇔  x = 5π ⇔ + 2 kπ ⇔   t = −1 6  sin x = sin α   3  x = arccos −1 + 2kπ   3 1 sin 6 x + cos 6 x = cos 8 x (1) Bài 5. 4 Gi i: 3  1 − cos 4 x  1 3 1 1 − sin 2 2 x = cos 8 x ⇔ 1 −   = cos8 x (1) 4 4 4 4 2 t ∈ [ −1;1] pt tr thành: t t=cos4x    π kπ π 2 t =  4 x = 4 + kπ  x = 16 + 4 3 1− t  1 2 2  = 2t − 1 ⇔  ( ) ⇔ ⇔ 1−   4 2  4  4 x = 3π + kπ  x = 3π + kπ −2 t =      4 16 4 2 6
Bài t p t luy n 1 1 sin 2x + sin x − − = 2 cot g2x 2 sin x sin 2x  5x π  x π 3x sin −  − cos −  = 2 cos  2 4 2 4 2 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) sin 2x cos 2x = tgx − cot gx + cos x sin x 1 ( 2 cos x − 1)( sin x + s in2x ) − cos 2 x = 2 ( 2sin x + 1) ( 2 cos x − 1) = 1 sin 3 x + cos3 x = 2 (1 − sin x cos x ) x 2 sin x cos − cos x = 1 2  π  π 3 sin 4 x + cos 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − = 0  4  4 2 2 sin x + cos x + 1 =a Cho phương trình: (2) ( d b kh i a 2002) sin x − 2 cos x + 3 1 1. gi i phương trình khi a= 3 2. tìm a phương trình (2) có nghi m.  x tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan   2 ( 2 − sin ) 2 2 x sin 3 x 4 tan x +1 = 4 cos x 7
Bài IV: Tích Phân Lưu ý trư c khi gi i thi: Tích phân là bài toán r t thư ng xu t hi n trong thi i h c. K t năm 2002, khi b t u ti n hành thi “Ba chung” các d ng toán tích phân và ng d ng luôn xu t hi n và là câu 1 i m. Bài t p ph n này không quá khó nhưng v n ph i òi h i kĩ năng phán oán, phân tích , và n m rõ ư c các cách làm bài toán tích phân cơ b n như i bi n s và tính theo tích phân t ng ph n… các em cùng theo dõi các ví d dư i ây. NGUYÊN T C CHUNG GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN: G m có 2 phương pháp chính: A. I BI N: i bi n lo i 1: • f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx t t=u(x) Chú ý: Các bi u th c có quan h o hàm GI I CÁC VÍ D : π 2 sin 2 x ∫ 3 + cos Tính tích phân: I = VD 1. 2 x 0 Gi i: ⇒ dt = 2 cos x ( − sin x ) dx ⇒ dt = −2sin 2 xdx 2 t t = 3 + cos x X π 0 2 t 4 3 4 4 − dt 4 I =∫ = ln t ⇒ I = ln 3 3 t 3 6 dx ∫ 2x + 1 + VD2. Tính tích phân: I = ( DB 1A – 2006) 4x + 1 2 Gi i: 1 4x +1 ⇒ t 2 = 4x + 1 ⇒ tdt = dx t t= 2 X 2 6 t 3 5 ( t + 1 − 1) dt = 5 dt − 5 dt 5  1 5 31 ∫ ( t + 1)2 ∫ t + 1 ∫ ( t + 1)2 = ln t + 1 +  3 = ln 2 − 12  t + 1 3 3 3 π 4 dx ∫ cos VD3. Tính tích phân: I = 2 x 1 + tan x 0 Gi i: 8
dx ⇒ t 2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt = t t= 1 + tan x cos 2 x X π 0 4 t 2 1 2 2 2tdt 2 ∫ = 2 ∫ dt = 2t I= = 2 2 −2 t 1 1 1 e 3 − 2 ln x ∫ I= dx. VD 4. Tính tích phân: x 1 + 2 ln x 1 Gi i: dx ⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ tdt = t t= 1 + 2 ln x x X e 1 t 2 1 ( )tdt = 2 3 − t −1 2 2 10 2 − 11 ∫ ∫ ( 4 − t ) dt = 2 I= 3 t 1 1 1. i bi n lo i 2: B c t l n hơn b c m u: chia a th c B c t nh hơn b c m u: o hàm ⇒ Xét quan h i bi n M u có nghi m ⇒ Tách phân th c Hàm h u t (m u vô nghi m): du ∫ u ( x) t u(x)=atant 2 () + a2 Hàm căn th c: 2 a2 + (u ( x )) ⇒ t u(x)=atant 2 a2 − ( u ( x )) ⇒ t u(x)=asint (ho c u(x)=asint) 3 dx ∫x VD 5. Tính tích phân: I= 2 +9 0 Gi i: t x=3tan(t) ( ) ⇒ dx = 3 tan 2 t + 1 dt X 0 3 t π 0 4 9