CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận biết
* Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các đoạn
thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng vuông góc, song song,…
* Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Hệ thống kiến thức:
Hình thoi Hình vuoâng
Định
nghĩa
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc
bằng nhau
Tính
chất
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo vuông góc với nhau
tại trung điểm mỗi đường, là trục đói
xứng của hình thoi
- mỗi đường chéo là phân giác của hai
góc đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai
đường chéo
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau
- các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc
với nhau tại trung điểm mỗi đường, là trục
đói xứng của hình vuông
- mỗi đường chéo là phân giác của hai góc
đối nhau
- Tâm đối xứng là giao điểm hai đường
chéo
- Đường trung bình là trục đối xứng
Dấu
hiệu
nhận
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hbh có 2 cạnh kề bằng nhau
- Hbh có 2 đường chéo vuông góc với
nhau
- hbh có đường chéo là tia phân giác
- Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau
- hình thoi có 1 góc vuông
- hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau
- hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông
biết của 1 góc góc với nhau
- Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân
giác của 1 góc
II. Hệ thống Bài tập
Bài 1:
Cho hình thang cân ABCD AB // CD,
AB < CD. Gọi M, N, P , Q lần lượt là
trung điểm của CD, AB, DB, CA
a) C/m: NM là tia phân giác của
PNQ
b) Tính số đo các góc của tứ giác MPNQ
biết các góc nhọn của hình thang ABCD
là
0
C = D = 50
c) Hình thang ABCD thoã mãn điều kiện
gì thì tứ giác MPNQ là hình vuông?
* Để C/m MN là tia phân giác của
PNQ
Ta cần C/m gì?
Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m như
thế nào?
Hãy C/m MPNQ là Hình bình hành
Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa song
song vừa bằng nhau, đó là hai cạnh nào?
Hãy C/m NP //= MQ ?
C/m MP = MQ để suy ra H.b.h MPNQ là
hình thoi
HS ghi đề và vẽ hình
// //
/ /
Q
P
N
M
D C
B
A
Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi
C/m MPNQ là hình bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau
Từ GT
NP là đường trung bình của
ADE
nên NP // AD và NP =
1
2
AD (1)
MQ là đường trung bình của
ADC nên
MQ // AD và MQ =
1
2
AD (2)
Từ (1) và (2)
NP // MQ và NP = MQ suy ra
tứ giác MPNQ là H.b.h
MPNQ là hình thoi ta suy ra điều gì ?
CMQ
bằng góc nào? Vì sao?
PMD
bằng góc nào? Vì sao?
PNQ
=?
MPN = MQN
= ?
Hình thoi MPNQ là hình vuông khi nào?
Bài 2:
Cho
ABC vuông cân tại B. từ điểm D
thuộc cạnh AB vẽ DE
AC tại E, tia
ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA
Chứng minh MNPQ là hình vuông
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta
cần C/m điều gì?
Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
ta cần C/m gì?
Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình
hành?
Mặt khác MP =
1
2
CB =
1
2
AD (Vì AD = CB).
Suy ra MP = MQ
MPNQ là hình thoi (H.b.h
có 2 cạnh kề bằng nhau)
NM là tia phân giác
của
PNQ
b) MQ // AD
0
ADC = CMQ = 50
(3)
MP // CE
0
ECD = PMD = 50
(4)
Từ (3) và (4)
0
CMQ + PMD = 100
0
PMQ = 80
0
PNQ = 80
0
MPN = MQN = 100
c) Hình thoi MPNQ là hình vuông
0
PMQ = 90
0
CMQ + PMD = 90
0
C + D = 90
C = D = 45
0
Vậy: Hình thang cân ABCD có
C = D = 45
0 thì tứ
giác MPNQ là hình vuông
HS ghi đề bài và vẽ
hình
Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần C/m
MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi
MNPQ là hình bình hành có một góc vuông
Từ Gt
MN là đường trung bình của
FCA
F
E
Q
P
N
M
D
C
B
A
Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật
thì ta C/m gì?
Hãy C/m
0
MNP = 90
Hãy C/m H.b.h MNPQ là hình thoi bằng
cách C/m NP = MN
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, gọi I, K lần lượt
là trung điểm của AD, DC; E là giao
điểm của BI và AK
a) chứng minh: BI
AK
b) Chứng minh CE = AB
c) So sánh AK, BI, BK
d) C/m: BD là phân giác của
IBK
MN // FA và MN =
1
2
FA (1)
Tương tự ta có: PQ // FA và PQ =
1
2
FA (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h
Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB và
FE của
FAC nên CD là đường cao còn lại của
FAC
CD
FA
PN
FA
PN
MN (Vì MN // FA)
0
MNP = 90
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*)
FCE vuông tại E và có
0
C = 45
(
ABC vuông
cân tại A)
FCE vuông cân tại E
DBF vuông cân tại B
BD = BF nên suy
ra
ABF =
CBD
FA = CD
Mặt khác NP là đường trung bình của
FCD,
nên NP =
1
2
CD =
1
2
FA = MN
hình bình hành
MNPQ là hình thoi (**)
Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông
HS ghi đề và vẽ
hình
_
_
//
/ /
1
1
1
M
K
I
F
E
DC
B
A
* Để C/m BI
AK ta C/m gì?
Để C/m
0
1 1
A + I = 90
ta C/m
1
A
bằng góc
nào? Vì sao?
Hãy C/m
AIB =
DKA?
Để C/m CE = AB ta C/m gì?
AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m
CE = CB bằng cách C/m hai tam giác
nào bằng nhau? Hay tam giác nào cân?
AK = BI? Vì sao?
Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI =
BK)
IBD = KBD
hay không? Vì sao?
a) HS suy nghĩ, trả lời:
C/m
0
1 1
A + I = 90
0
1 1
B + I = 90
do
ABI vuông tại A
Ta cần C/m
AIB =
DKA
Vì có AB = DA (ABCD là hình vuông)
AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)
0
A = D = 90
AIB =
DKA(c.g.c)
1 1
B = A
mà
0
1 1
B + I = 90
0
1 1
A + I = 90
ta có
0
1 1
A + I = 90
0
AEI = 90
BI
AK
b) Gọi F là trung điểm AB
AKCF là H.b.h vì có FA //= CK
AK // CF
CM
BE hay CM là đường
cao của của
BCE (1)
F là trung điểm AB mà MF // AK nên M là trung
điển BE hay CM là đường trung tuyến của
BCE (2)
Từ (1) và (2) suy ra
BCE cân tại B suy ra
CE = CB mà CB = AB nên CE = AB
c) BI = AK (do
AIB =
DKA(c.g.c)- C/m ở
câu a) .
IDB =
KDB (c.g.c) vì có: ID = KD
(nửa cạnh hình vuông ABCD);
0
IDB = KDB = 45
(đường chéo DB là phân giác
của góc D); DB chung
BI = BK
Vậy: AK = BI = BK
d)
IDB =
KDB (c.g.c) nên
IBD = KBD
hay
BD là tia phân giác của
IBK