Các định lý hình học nổi tiếng

Chia sẻ: Nguyen Cong Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

697
lượt xem 127
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Có rất nhiều định lý hình học nổi tiếng. Chúng ta sẽ cùng nhìn lại các định lỹ này và một vài áp dụng của chúng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các định lý hình học nổi tiếng

Các ð nh Lý Hình H c N i Ti ng “Famous Geometry Theorems” – Dr. Kin-Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa H c và K Thu t Hong Kong 1. L i gi i thi u Có r t nhi u ñ nh lý hình h c n i ti ng. Chúng ta s cùng nhìn l i các ñ nh lý này và m t vài áp d ng c a chúng. Trư c h t, ta s vi t P = WX ∩ YZ ñ kí hi u P là giao ñi m c a hai ñư ng AB AB th ng WX và YZ . N u các ñi m A, B, C th ng hàng, ta s qui ư c d u = (vì v y n u B BC BC AB AB n m gi a A và C , thì ≥ 0 (ngư c l i ≤ 0 )). BC BC 2. Các ñ nh lý 2.1. ð nh lý Menelaus (Nhà toán h c c Hy L p (th k I sau công nguyên)) Cho tam giác ABC . Các ñi m X , Y , Z l n lư t n m trên các ñư ng th ng AB, BC, CA . Khi ñó AX BY CZ X , Y , Z th ng hàng ⇔ . . = −1 . XB YC ZA Ch ng minh. (⇒) G i L là ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng ch a các ñi m X , Y , Z , chúng c t nhau t i O . G i A ', B ', C ' l n lư t là chân các ñư ng vuông góc h t các ñi m A, B, C xu ng ñư ng th ng L . Khi ñó, ta có AX A ' O BY B ' O CZ C ' O = , = , = . XB OB ' YC OC ' ZA OA ' Nhân các ñ ng th c trên theo t ng v , ta nh n ñư c AX BY CZ A 'O B 'O C 'O . . = . . = −1 . XB YC ZA OB ' OC ' OA ' (⇐) G i Z ' = XY ∩ CA . Áp d ng ñ nh lý Menelaus (ph n thu n) cho ñư ng th ng qua các ñi m X , Y , Z ' , ta nh n ñư c AX BY CZ ' . . = −1 . XB YC Z ' A AX BY CZ ' AX BY CZ CZ ' CZ T ñó suy ra . . = . . hay = . Do ñó Z ' ≡ Z . XB YC Z ' A XB YC ZA Z ' A ZA 2.2. ð nh lý Ceva (Nhà toán h c Ý (1647 – 1734)) Cho tam giác ABC . Các ñi m D, E , F l n lư t n m trên các ño n th ng BC, CA, AB . Khi ñó AF BD CE AD, BE , CF ñ ng quy ⇔ . . =1 FB DC EA 1
Ch ng minh. (⇒) Áp d ng ñ nh lý Menelaus cho ñư ng th ng AD (ñ i v i tam giác BCE ), ta có BD CA EP . . = −1 . DC AE PB Ti p t c áp d ng ñ nh lý Menelaus cho ñư ng th ng CF (ñ i v i tam giác ABE ), ta có AF BP EC . . = −1 . FB PE CA Nhân các ñ ng th c trên theo t ng v , ta thu ñư c AF BD CE . . = 1. FB DC EA (⇐) G i P = AD ∩ BE , F ' = CP ∩ AB . S d ng ñ nh lý Ceva (ph n thu n), ta có AF ' BD CE . . =1. F ' B DC EA AF ' BD CE AF ' BD CE AF ' AF ' T ñó suy ra . . = . . hay = . Do ñó F ' ≡ F . F ' B DC EA F ' B DC EA F 'B F 'B 2.3. ð nh lý Pascal (Nhà toán h c Pháp (1623 – 1662)) Cho A, B, C , D, E , F là các ñi m cùng n m trên m t ñư ng tròn (có th không x p theo th t như trên). G i P = AB ∩ DE , Q = BC ∩ EF , R = CD ∩ FA . Khi ñó các ñi m P, Q, R th ng hàng. Ch ng minh. G i X = EF ∩ AB, Y = AB ∩ CD, Z = CD ∩ EF . Áp d ng ñ nh lý Menelaus cho các ñư ng th ng BC , DE , FA (ñ i v i tam giác XYZ ), ta có ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA . . = −1, . . = −1, . . = −1 . QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY Nhân các ñ ng th c trên, chú ý r ng XA. XB = XE. XF , YC.YD = YAYB, ZE.ZF = ZC.ZD , ñư c . ZQ XP YR . . = −1 . QX PY RZ Theo ñ nh lý Menelaus, ta nh n ñư c các ñi m P, Q, R th ng hàng. 2.4. ð nh lý Newton (Nhà toán h c Anh (1642 – 1727)) M t ñư ng tròn n i ti p t giác ABCD , l n lư t ti p xúc v i các c nh AB, BC , CD, DA t i các ñi m E , F , G , H . Khi ñó, các ñư ng th ng AC , EG , BD, FH ñ ng quy. 2
Ch ng minh. G i O = EG ∩ FH và X = EH ∩ FG . Vì D là giao ñi m c a các ti p tuy n v i ñư ng tròn t i G , H , s d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E , G , G, F , H , H ta suy ra các ñi m O, D, X th ng hàng. Tương t , s d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E , E , H , F , F , G ta suy ra các ñi m B, X , O th ng hàng. Do ñó, B, O, D th ng hàng, vì th các ñư ng th ng EG , BD, FH c t nhau t i O . Ch ng minh tương t , ta cũng nh n ñư c các ñư ng th ng AC , EG , FH c t nhau t i O . Do ñó, các ñư ng th ng AC , EG , BD, FH ñ ng quy t i O . 2.5. ð nh lý Desargues (Nhà toán h c Pháp (1593 – 1662)) Cho hai tam giác ABC , A ' B ' C ' . N u các ñư ng th ng AA ', BB ', CC ' ñ ng quy t i ñi m O , thì các ñi m P, Q, R th ng hàng, trong ñó P = BC ∩ B ' C ', Q = CA ∩ C ' A ', R = AB ∩ A ' B ' . Ch ng minh. Áp d ng ñ nh lý Menelaus l n lư t cho các ñư ng th ng A ' B ' ñ i v i tam giác OAB ; ñư ng th ng B ' C ' ñ i v i tam giác OBC , ñư ng th ng C ' A ' ñ i v i tam giác OCA , ta có OA ' AR BB ' OB ' BP CC ' AA ' OC ' CQ . . = −1, . . = −1, . . = −1 . A ' A RB B ' O B ' B PC C ' O A ' O C ' C QA Nhân các ñ ng th c trên theo t ng v , ta thu ñư c AR BP CQ . . = −1 . RB PC QA Theo ñ nh lý Menelaus, ta suy ra các ñi m P, Q, R th ng hàng. 2.6. ð nh lý Brianchon (?) Các ñư ng th ng AB, BC , CD, DE , EF , FA ti p xúc v i m t ñư ng tròn l n lư t t i các ti p ñi m G , H , I , J , K , L (có th không x p theo th t như này). Khi ñó, các ñư ng th ng AD, BE và CF ñ ng quy. Ch ng minh. G i M = AB ∩ CD, N = DE ∩ FA . Áp d ng ñ nh lý Newton cho t giác AMDN , suy ra các ñư ng th ng AD, IL, GJ ñ ng quy t i ñi m A ' . Tương t , các ñư ng th ng BE , HK , GJ ñ ng quy t i ñi m B ' ; các ñư ng th ng CF , HK , IL ñ ng quy t i ñi m C ' . Chú ý r ng IL ≡ A ' C ' . Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m G , G , I , L, L, H , suy ra các ñi m A, O, P th ng hàng, trong ñó O = GI ∩ LH , P = IL ∩ HG . Ti p t c áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m H , H , L, I , I , G , suy ra C , O, P th ng hàng. Do ñó A, C , P th ng hàng. Bây gi ta ñ t G = AB ∩ A ' B ', H = BC ∩ B ' C ', P = CA ∩ IL = CA ∩ C ' A ' . Áp d ng ñ nh lý Desargues (ph n ñ o) cho các tam giác ABC, A ' B ' C ' , suy ra các ñư ng th ng AA' ≡ AD, BB' ≡ BE, CC ' ≡ CF ñ ng quy. Lưu ý r ng, ph n ñ o c a ñ nh lý Brianchon cũng ñúng. Th t v y, g i O = BB '∩ CC ' . Xét 3
các tam giác RBB ', QCC ' . Vì các ñư ng th ng RQ, BC , B ' C ' c t nhau t i P , và A = RB ∩ QC , O = BB '∩ CC ' , A ' = BR '∩ C ' Q , s d ng ñ nh lý Desargues (ph n thu n), ta có A, O, A ' th ng hàng. Do ñó, các ñư ng th ng AA ', BB ', CC ' ñ ng quy. 3. M t s bài toán áp d ng Bài toán 1. Trong tam giác ABC , M là chân ñư ng vuông góc h t A xu ng ñư ng phân giác trong c a góc ∠BCA . N , L l n lư t là chân các ñư ng vuông góc h t các ñ nh A, C xu ng ñư ng phân giác trong c a góc ∠ABC . G i F là giao ñi m c a các ñư ng th ng MN và AC , E là giao ñi m c a các ñư ng th ng BF và CL , D là giao ñi m c a các ñư ng th ng BL và AC . Ch ng minh r ng DE và MN song song v i nhau. L i gi i. Kéo dài AM c t BC t i G, kéo dài AN c t BC t i I . Khi ñó AM = MG, AN = NI , suy ra MN và BC song song v i nhau. Vì AM = MG nên ta có AF = FC . Kéo dài CL c t AB t i J . Khi ñó JL = LC , suy ra LF và AB song song v i nhau. G i H = LF ∩ BC . Ta có BH = HC . Trong tam giác BLC , các ño n th ng BE , LH , CD c t nhau t i F . S d ng ñ nh lý Ceva, ta nh n ñư c BH CE LD . . = 1. HC EL DB CE DB Vì BH = HC nên = . T ñó suy ra DE và BC song song v i nhau. Do ñó, DE và EL LD MN song song v i nhau. Bài toán 2. (Macedonia 2001) Cho tam giác ABC n i ti p trong m t ñư ng tròn. G i D là giao ñi m c a ti p tuy n t i A v i ñư ng th ng BC , E là giao ñi m c a ti p tuy n t i B v i ñư ng th ng CA , F là giao ñi m c a ti p tuy n t i C v i ñư ng th ng AB . Ch ng minh r ng các ñi m D, E , F th ng hàng. L i gi i. Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m A, A, B, B, C , C cùng n m trên ñư ng tròn, d th y ñư c các ñi m D, E , F th ng hàng. Bài toán 3. Cho tam giác ABC n i ti p trong m t ñư ng tròn. D, E l n lư t là các ñi m gi a c a các cung AB, AC . G i P là m t ñi m thu c cung BC , Q = DP ∩ BA, R = PE ∩ AC . Ch ng minh r ng ñư ng th ng QR ch a tâm I ñư ng tròn n i ti p c a tam giác ABC . L i gi i. 4
Vì D là ñi m gi a c a cung AB nên ñư ng th ng CD chia ñôi góc ∠ACB . Tương t , ñư ng th ng EB chia ñôi góc ∠ABC . Do ñó I = CD ∩ EB . Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m C , D , P, E , B, A , ta nh n ñư c các ñi m I , Q, R th ng hàng. Bài toán 4. (Australia 2001) Cho A, B, C , A ', B ', C ' là các ñi m n m trên m t ñư ng tròn sao cho AA ' vuông góc BC , BB ' vuông góc CA , CC ' vuông góc AB . M t ñi m D n m trên ñư ng tròn. G i DA '∩ BC = A '', DB '∩ CA = B '', DC '∩ AB = C '' . Ch ng minh r ng A '', B '', C '' và tr c tâm c a tam giác ABC th ng hàng. L i gi i. G i H là tr c tâm c a tam giác ABC . Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m A, A ', D, C ', C , B , ta suy ra H , A '', C '' th ng hàng. Tương t , áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m B ', D, C ', C , A, B , ta cũng nh n ñư c B '', C '', H th ng hàng. T ñó suy ra A '', B '', C '', H th ng hàng. Bài toán 5. (IMO 1991 unused) Cho tam giác ABC và P là m t ñi m trong tam giác. G i P , P2 l n lư t là chân các ñư ng vuông góc h t P xu ng các c nh AC , BC . N i AP, BP ; t C 1 k các ñư ng vuông góc xu ng AP, BP . G i Q1 , Q2 là chân các ñư ng vuông góc này. Gi s r ng Q2 ≠ P , Q1 ≠ P2 . Ch ng minh r ng các ñư ng th ng PQ2 , Q1P2 , AB ñ ng quy. (kí hi u ≠ ch 1 1 các ñư ng th ng không trùng nhau) L i gi i. Vì ∠CP P, ∠CP2 P, ∠CQ2 P, ∠CQ1P ñ u là các góc vuông nên các ñi m C , Q1 , P , P, P2 , Q2 cùng 1 1 n m trên m t ñư ng tròn có ñư ng kính là CP . Chú ý r ng A = CP ∩ PQ1 , B = Q2 P ∩ P2C . Áp 1 d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m C , P , Q2 , P, Q1 , P2 ta nh n ñư c X = PQ2 ∩ Q1P2 thu c ñư ng 1 1 th ng AB . Bài toán 6. (China 2005) M t ñư ng tròn c t ba c nh BC , CA, AB c a tam giác ABC t i các ñi m D1 , D2 ; E1 , E2 ; F1 , F2 . Các ño n D1E1, D2 F2 c t nhau t i L , các ño n E1F1 , E2 D2 c t nhau t i M , các ño n F1D1, F2 E2 c t nhau t i N . Ch ng minh r ng các ñư ng th ng AL, BM,CN ñ ng quy. L i gi i. 5
G i P = D1F1 ∩ D2 E2 , Q = E1D1 ∩ E2 F2 , R = F1E1 ∩ F2 D2 . • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E2 , E1 , D1 , F1 , F2 , D2 , ta nh n ñư c A, L, P th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m F2 , F1 , E1 , D1 , D2 , E2 , ta nh n ñư c B, M , Q th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m D2 , D1 , F1 , E1 , E2 , F2 , ta nh n ñư c C , N , R th ng hàng. G i X = E2 E1 ∩ D1F2 = CA ∩ D1F2 ,Y = F2 F1 ∩ E1D2 = AB ∩ E1D2 , Z = D2 D1 ∩ F1E2 = BC ∩ F1E2 . • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m D1 , F1 , E1 , E2 , D2 , F2 , ta nh n ñư c P, R, X th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E1 , D1 , F1 , F2 , E2 , D2 , ta nh n ñư c Q, P, Y th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m F1 , E1 , D1 , D2 , F2 , E2 , ta nh n ñư c R, Q, Z th ng hàng. Xét hai tam giác ABC , PQR , ta có X = CA ∩ RP, Y = AB ∩ PQ, Z = BC ∩ QR . Áp d ng ñ nh lý Desargues (ph n ñ o), ta có AP ≡ AL, BQ ≡ BM , CR ≡ CN là các ñư ng th ng ñ ng quy. 4. M t s bài toán t luy n Bài 1. Cho tam giác ABC .G i E là chân ñư ng vuông góc h t B xu ng AC , D là chân ñư ng vuông góc h t E xu ng BC , F là trung ñi m c a AB . Ch ng minh r ng AD, BE , CF ñ ng quy khi và ch khi ∠ABC = 900 Bài 2. Cho P là m t ñi m n m trong t giác l i ABCD . Các ñư ng phân giác trong c a các góc ∠APB, ∠BPC, ∠CPD, ∠DPA l n lư t c t các ñư ng th ng AB, BC, CD, DA t i các ñi m K , L, M , N . Ch ng minh r ng n u KLMN là hình bình hành thì PB = PD, PA = PC . Bài 3. Cho tam giác ABC vuông t i C . V phía ngoài c a tam giác ABC , ta l n lư t d ng các hình vuông ACMQ, BCNP . Ch ng minh r ng các ñư ng th ng AP, BQ ñ ng quy v i ñư ng cao CH c a tam giác ABC . Bài 4. Cho M là m t ñi m n m trên ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC , và R là m t ñi m b t kỳ. Các ñư ng th ng AR, BR, CR l n lư t c t ñư ng tròn n i ti p t i các ñi m A1 , B1 , C1 . Ch ng minh r ng giao ñi m c a các c p ñư ng th ng MA1 , BC ; MB1 , CA; MC1 , AB th ng hàng và ñư ng th ng này cũng ch a ñi m R . Bài 5. Các ñi m A1 ,..., A6 cùng n m trên m t ñư ng tròn; các ñi m L, L, M , N l n lư t thu c các ñư ng th ng A1 A2 , A3 A4 , A1 A6 , A4 A5 sao cho KL A2 A3 , LM A3 A6 , MN A6 A5 . Ch ng minh r ng NK A5 A2 . Tài li u tham kh o [1]. Kiran S. Kadlaya, “Geometry unbound”, 2006 [2]. Kin Y. LI, “Famous Geometry Theorems”, Mathematical Excalibur, Vol.10, No.3, 2005 [3]. Nguy n Văn Ban, Hoàng Chúng “Hình H c C a Tam Giác”, NXB Giáo D c, 1996 [4]. Paul Yiu, “Euclidean Geometry”, 1998 [5]. Viktor Prasolov, “Problems in Plane and Solid Geometry”, 2001 Ngư i d ch: Cao Minh Quang GV THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, Vi t Nam E-mail: kt13quang@yahoo.com 6