Các phương pháp tính truyền nhiệt - P3

Chia sẻ: Nguyen Van Dau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

171
lượt xem 56
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với sự phát triển ngày càng cao của công nghệ và thiết bị mới, truyền nhiệt có liên quan chặt chẽ và góp phần quan trọng trong vấn đề chất lượng của thiết bị. Máy móc do nhiều nước chế tạo rất phong phú về kết cấu và đa dạng về chủng loại, nhưng nếu nắm vững kiến thức về truyền nhiệt và thiết bị trao đổi nhiệt sẽ giúp chúng ta dễ dàng tìm hiểu nguyên lý sử dụng, bảo trì, sửa chữa và lựa chọn chủng loại hợp lý....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp tính truyền nhiệt - P3

⎧{T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const ⎪ (W5) ⎨ dξ ⎪λ1T1x (ξ, τ) − λ 2T2x (ξ, τ) = lρ ⎩ dτ Trong ®ã T1x(ξ,τ) vµ T2x(ξ,τ) lµ gradient cña tr−êng nhiÖt ®é T1 dξ trong pha r¾n vµ T2 pha láng, cßn lµ tèc ®é di ®éng cña biªn x = ξ, dτ hay tèc ®é chuyÓn pha, ρ lµ khèi l−îng riªng cña pha tr−íc qóa tr×nh chuyÓn pha. 7.1.3. M« h×nh TH bµi to¸n biªn di ®éng Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, m« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n biªn di ®éng do sù chuyÓn pha sÏ lµ 1 hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, trong ®ã cã hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña T1, T2 thuéc 2 pha, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ kh¸c cña chóng vµ ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5, nh− c¸c ph−¬ng tr×nh (W5) ë trªn, t¹i biªn tiÕp xóc gi÷a 2 pha. VÝ dô: M« h×nh bµi to¸n 1 chiÒu cã biªn chuyÓn pha nh− h×nh H57 lµ: T1τ (x, τ) = a1T1xx (x, τ), 0 < x < ξ, τ > 0 T2τ (x, τ) = a2T2xx (x, τ), ξ< x < L , τ > 0 T2 (x, 0) = To > Ts (§K ®Çu) (T1, T2) C¸c §K biªn t¹i x = 0, x = L T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const dξ λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2 , (t¹i x = ξ) dτ Gi¶i bµi to¸n biªn di ®éng lµ nh»m x¸c ®Þnh T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ dξ tÝnh vËn tèc di chuyÓn cña biªn vµ dÉn ra c¸c ®Æc tÝnh kh¸c cña hÖ dτ 2 pha ®−îc kh¶o s¸t. 7.2. Bµi to¸n biªn ho¸ r¾n 7.2.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ®ãng b¨ng vïng ®Êt −ít XÐt 1 vïng ®Êt −ít, réng vµ s©u v« cïng, cã ®é Èm W, nhiÖt ®é ®«ng ®Æc Ts, nhiÖt ho¸ láng l, nhiÖt ®é ban ®Çu T2(x, 0)=To= const >Ts. 129
Lóc τ > 0 ®ét nhiªn h¹ nhiÖt ®é mÆt ®Êt xuèng trÞ sè T1 (0, τ) = Tw = const < Ts. Cho biÕt c¸c th«ng sè vËt lý ρ1, C1, λ1 cña ®Êt b¨ng vµ ρ2, C2, λ2 cña ®Êt −ít. T×m tr−êng nhiÖt ®é T1(x,τ) trong ®Êt b¨ng, tr−êng T2 (x, τ) trong ®Êt −ít, vËn tèc di chuyÓn cña mÆt ®ãng b¨ng. TÝnh ®é dµy líp b¨ng sau thêi gian τ, tÝnh thêi gian τ ®Ó cã líp b¨ng dµy L cho tr−íc. (Xem minh häa t¹i h×nh H57) 7.2.2. Ph¸t biÓu m« h×nh: dξ T×m T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ cho bëi hÖ ptvp sau: dτ ⎧ ∂T ( x, τ ) ∂ 2T1 ( x, τ ) ⎪ 1 = a1 , ∀ ( 0 < x < ξ, τ > 0 ) (1) ⎪ ∂τ ∂x 2 ⎪ ⎪ ∂T2 ( x, τ ) = a ∂ T2 ( x, τ ) , ∀ ( ξ < x < ∞, τ > 0 ) (2) 2 ⎪ ∂τ 2 ∂x 2 ⎪ ⎪T2 ( x,0 ) = To = const ≥ Ts , ∀ ( ξ < x < ∞, τ = 0 ) (3) ⎪ ( T1,T2 ) ⎨T1 ( 0, τ ) = Tw = const < Ts , ∀ ( x = 0, τ > 0 ) (4) ⎪ ⎪ ∂T2 ( ∞, τ ) = 0, ( x → ∞, τ > 0 ) (5) ⎪ ∂x ⎪T ξ, τ = T ξ, τ = T = const, ∀ x = ξ, τ > 0 (6) ⎪ 1( ) 2( ) s ( ) ⎪ ∂T1 ( ξ, τ ) ∂T ( ξ, τ ) dξ ⎪λ1 − λ2 2 = Wlρ2 , ∀ ( x = ξ, τ > 0 ) (7) ⎪ ∂x ∂x dτ ⎩ 7.2.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Stefan * Theo kÕt qu¶ cña bµi to¸n (4.3) vÒ vËt b¸n v« h¹n, ta sÏ t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) ë d¹ng sau: ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = A1 + B1 erf ⎜ ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎛ x ⎞ 2 ∞ ( −1) x n 2n+1 T2(x,τ)= A2 + B2 erf ⎜ 2 x −δ ,ë ®©y erf(x) = ∫ e dδ= ∑ ⎜2 a τ⎟ 2 ⎟ π δ=0 π n=0 n!( 2n +1) ⎝ 2 ⎠ 130
lµ hµm sai sè Gauss. C¸c h»ng sè A1B1A2B2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §K ®¬n trÞ nh− sau: * A1 x¸c ®Þnh theo §KB (4): T1 (0, τ) = Tw = A1 A2 t×m theo gi¶ thiÕt cho r»ng T2 (∞, τ) = To T2 (∞, τ) = To = A2 + B2 → A2 = To - B2 VËy nghiÖm riªng cña (1) + (4) vµ (2) + (5) lµ: ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = Tw + B1 erf ⎜ ⎜2 a τ⎟ vµ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎛ x ⎞ T2 (x, τ) = To − B2 ⎢1 − erf ⎜ ⎟ ⎥ = To − B2erfc ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ 2 a 2τ ⎠⎥⎦ ⎝ 2 a 2τ ⎠ * B1 vµ B2 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (6) nh− sau: T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts cã d¹ng: ⎛ ξ ⎞ ⎛ ξ ⎞ Tw + B1 erf ⎜ = To − B2erfc ⎜ = Ts ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ V× (B1, B2) = const ∀τ nªn c¸c ®¼ng thøc trªn chØ thùc hiÖn ®−îc khi ξ = C τ , víi C lµ 1 h»ng sè nµo ®ã sÏ ®−îc x¸c ®Þnh. Do ®ã, §KB (6) sÏ lµ: ⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ Tw + B1 erf ⎜ = To − B2erfc ⎜ = Ts ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ Ts − Tw To − Ts Suy ra B1 = vµ B2 = ⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ erf ⎜ ⎟ erfc ⎜ ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ VËy nghiÖm riªng cña [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) lµ: 131
T1 (x, τ) = TW + ( Ts − Tw ) ⎛ x ⎞ erf ⎜ ⎟ ⎛ C ⎞ ⎜ 2 a1τ ⎟ ⎝ ⎠ erf ⎜ ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎝ 1⎠ T2 (x, τ) = To − ( To − Ts ) ⎛ x ⎞ erfc ⎜ ⎛ C ⎞ ⎜2 a τ⎟ ⎟ erfc ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎜2 a ⎟ ⎟ ⎝ 2⎠ * C ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB lo¹i 5 (7) nh− sau: λ1 ( ∂T1 C τ , τ )-λ ( ∂T2 C τ , τ ) = Wlρ C 2 2 ∂x ∂x 2 τ dξ ë ®©y dτ = d dτ ( C τ = C 2 τ ) lµ vËn tèc di ®éng cña biªn, tøc lµ vËn tèc ®ãng b¨ng. C¸c hµm sai sè Gauss cã d¹ng: 2 ∞ ( −1) x 2n +1 n 2 δ=x −δ ∫δ=0 e dδ = ∑ 2 erf(x) = , π π n =0 n!( 2n + 1) 2n +1 2 ∞ ( −1) x n 2 ∞ −δ 2 erfc(x) = ∫ e dδ = 1 − erf (x) = 1 − ∑ π δ= x π n =1 n!( 2n + 1) 0 §¹o hµm cña chóng lµ: ( ) n d 2 ∞( −1) x n 2n 2 ∞ −x 2 2 −x 2 erf (x) = ∑ = ∑ = e dx π n =0 n! π n =0 n! π d d 2 −x 2 erfC(x) = − erf (x) = − e dx dx π ( ) Do ®ã, §KB (7) lµ λ1T1x C τ , τ - λ2T2x C τ , τ = Wlρ2 ( ) C 2 τ sÏ øng víi ph−¬ng tr×nh sau: 132
⎛ C2 ⎞ ⎛ C2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ exp ⎜ − ⎟ λ1 ( Ts − Tw ) . ⎜ 4a1 ⎟ + λ ( To − Ts ) . ⎜ 4a 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ C ⎞ πa1τ ⎛ C ⎞ πa 2 τ erf ⎜ ⎟ erfc ⎜ ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎜2 a ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ C C = Wlρ2 . NÕu ®Æt C = K2 a1 , tøc K = ta cã ph−¬ng 2 τ 2 a1 tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh C nh− sau: ⎛ a ⎞ ( ) + ⎛ λ2 ⎞ ⎛ To − Ts ⎞ exp −K 2 a1 exp ⎜ − 2 K 2 ⎟ ⎝ a1 ⎠ = πlWρ2a1 K. erf ( K ) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ λ1 ⎠⎝ Ts − Tw ⎠ a 2 ⎛ a ⎞ ( Ts − Tw ) λ1 erfc ⎜ K 2 ⎟ ⎝ a1 ⎠ lWρ2a1 §Æt = K , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: ( Ts − Tw ) λ1 o y f(K) = ( ) πK o K → Gi¶i b»ng ®å thÞ y=f(K) y= π KoK ta cã K vµ t×m ®−îc C = K2 a1 K. H»ng sè Ko lµ 1 ®¹i l−îng kh«ng thø K nguyªn, ®−îc gäi lµ tiªu chuÈn (hoÆc o K=c/2 a1 sè) Koccivich H58. §Ó x¸c ®Þnh K vµ C. aτ * ChuyÓn vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn b»ng c¸ch ®Æt Fox = 1 , x2 a Fox gäi lµ biÕn Fourier cña to¹ ®é vµ thêi gian, Ka = 2 , ta cã nghiÖm a1 cña bµi to¸n ®· nªu ë d¹ng kh«ng thø nguyªn nh− sau: ⎛ 1 ⎞ erf ⎜ T1 ( x, τ ) − Tw ⎜2 F ⎟ ⎟ θ1 = = ⎝ ox ⎠ = θ1 ( Fox ) Ts − Tw erf ( K ) 133
⎛ 1 ⎞ erfc ⎜ ⎟ To − T2 ( x, τ ) ⎜2 K F ⎟ ⎝ ⎠ =θ 2 ( Fox ) a ox θ2 = = To − Ts ( erfc K K a ) 7.2.4. TÝnh gÇn ®óng trong kü thuËt: * Do c¸c chuçi cña erf(x) vµ exp(x2) héi tô rÊt nhanh khi n t¨ng, nªn víi ®é chÝnh x¸c cho phÐp cña kü thuËt, cã thÓ chØ cÇn lÊy sè h¹ng ®Çu cña c¸c chuçi nµy (øng víi n = 0) khi tÝnh to¸n, tøc lµ coi: 2n +1 2 ∞ ( −1) x n 2 erf ( x ) = ∑ = & x π n =0 n!( 2n + 1) π 2 erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) = 1 − & x π n ⎛ C2 ⎞ ∞ 1 ⎛ C2 ⎞ ⎜ 4a ⎟ n∑0 n! ⎜ 4a ⎟ exp ⎜ − ⎟= ⎜− ⎟ = 1. Khi ®ã cã: & ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ ⎛ C ⎞ 2 C C e rf ⎜ ⎟ = ⎜2 a ⎟ & . = ⎝ 1⎠ π 2 a1 πa1 ⎛ C ⎞ C e rfc ⎜ ⎜2 a ⎟ = 1- ⎟ & ⎝ 2 ⎠ πa 2 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh §KB lo¹i 5 ®Ó x¸c ®Þnh C sÏ cã d¹ng: λ1 ( Ts − Tw ) πa1 + λ2 ( To − Ts ) = Wlρ2 C C πa1τ ⎛ C ⎞ 2 τ ⎜1 − ⎜ ⎟ πa 2 τ ⎟ ⎝ πa 2 ⎠ 2λ1 ( Ts − Tw ) 2λ1 ( To − Ts ) ⎛ C ⎞ + ⎜ ⎜ πa − C ⎟ hay C2 = lwρ2 lwρ2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ * XÐt tr−êng hîp To = Ts, tøc lµ khi nhiÖt ®é ban ®Çu cña pha Èm b»ng nhiÖt ®é ®ãng b¨ng. 134
2λ1 ( Ts − Tw ) Khi To = Ts ta cã: C = lρ2 W 1 NÕu pha Èm (2) lµ n−íc, cã ®é Èm w = 1, th× C = ⎡ 2λ1 ( Ts − Tw ) ⎥ ⎢ ⎤2 ⎣ lρ2 ⎦ - Lóc nµy, tr−êng nhiÖt ®é trong 2 pha cã d¹ng: πa1 ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = Tw + (Ts - Tw) erf ⎜ & ⎜2 a τ⎟ hay C ⎟ ⎝ 1 ⎠ lρ2 W x T1 (x, τ) = Tw + (Ts - Tw) & . → 2λ1 ( Ts − Tw ) τ ⎧ ρ2 lf 2 W x ⎪T1 ( x, τ ) = Tw + ( Ts − Tw ). = & = & ⎨ 2λ1 τ ⎪T x, τ = T = T = const ⎩ 2( ) o s - VËn tèc dÞch chuyÓn biªn, tøc vËn tèc ®ãng b¨ng, lµ: dξ C λ1 ( Ts − Tw ) dξ a = = = f ( τ ) , tæng qu¸t = K 1 , víi dτ 2 τ 2lρ2 W.τ dτ τ C λ1 (Ts − Tw ) K= = . 2 a1 2lρ2 Wa 1 VËy vËn tèc ®ãng b¨ng chØ phô thuéc τ, ®ång biÕn theo λ1, Ts nghÞch biÕn theo Tw, l, ρ2, W vµ τ. VËn tèc ®ãng b¨ng tû lÖ nghÞch víi τ , tøc lµ khi τ t¨ng 4 lÇn th× vËn tèc gi¶m 2 lÇn. Biªn chuyÓn ®éng chËm dÇn víi gia tèc d 2ξ 1 λ1 ( Ts − Tw ) ξ'' = =− , [m/s2] 2lρ2 Wτ3 3 dτ 2 2 NhËn xÐt: Gia tèc cã trÞ ©m, lµm biªn di chuyÓn chËm dÇn. Khi τ lín, cã thÓ coi gia tèc ξ'' = 0. 135
ξ' c ξ' = Lóc nµy biªn di chuyÓn gÇn nh− ®Òu, 2 τ nh−ng rÊt chËm. 7.2.5. TÝnh ®é dµy líp b¨ng t¹i thêi o −c τ ξ" = ®iÓm τ 4 τ3 * Tr−êng hîp tæng qu¸t, ®é dµy líp b¨ng ξ" H59. VËn tèc vµ gia tèc cña mÆt b¨ng x = ξ t¹i thêi ®iÓm τ lµ x = ξ = C τ , víi C = 2 a1K , tøc x = ξ = 2K a1τ , [m] * Tr−êng hîp To = Ts vµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1 theo x, cã 2λ1 C= ( Ts − Tw ) nªn ®é dµy líp b¨ng lµ lρ2 W 2λ1 x=ξ= ( Ts − Tw ) τ , [m] lρ2 W * NÕu pha (2) lµ n−íc, cã W = 1, ë ®iÒu kiÖn To = Ts th× 2λ1 x=ξ= ( Ts − Tw ) τ , m lρ2 7.2.6. TÝnh thêi gian ®ãng b¨ng ®Õn ®é dµy ®· cho ξ = L. * Tr−êng hîp tæng qu¸t víi líp b¨ng ph¼ng, réng ∞, thêi gian ®¹t 2 ⎛ 2 ⎛L⎞ L ⎞ L2 tíi ®é dµy ξ = L = C τ lµ τ = ⎜ ⎟ = ⎜ = ⎜2 a K⎟ , [s] ⎝C⎠ ⎟ 2 ⎝ 1 ⎠ 4a1K * Tr−êng hîp To = Ts vµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1, cã lρ2 WL2 τ= , [s] 2λ1 ( Ts − Tw ) * Víi n−íc ë To = Ts th× thêi gian ®Ó t¹o líp b¨ng ph¼ng, dµy L lµ (cho W = 1): lρ2 L2 L τ= . = Ko λ1 ( Ts − Tw ) 2 2a1 136
7.3. Bµi to¸n ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n 7.3.1. Môc ®Ých chñ yÕu khi tÝnh ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n lµ tÝnh thêi gian ®Ó nhiÖt ®é cùc ®¹i trong vËt b»ng 1 trÞ sè cho tr−íc. Thêi gian ®«ng l¹nh τ gåm 2 giai ®o¹n: τ = τo + τ1, trong ®ã τo lµ thêi gian ®Ó ho¸ r¾n toµn bé vËt Èm, cã nhiÖt ®é t©m vËt b»ng Ts, cßn τ1 lµ thêi gian ®Ó nhiÖt ®é t©m vËt gi¶m trõ Ts ®Õn nhiÖt ®é Tk cho tr- −íc, theo yªu cÇu cña c«ng nghÖ cÊp ®«ng ViÖc tÝnh τ1 cã thÓ dùa vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong vËt r¾n 1 pha. Sau ®©y ta sÏ tÝnh τo theo ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng. PhÐp tÝnh gÇn ®óng sÏ dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt sau: 7.3.2. C¸c gi¶ thiÕt 1. C¸c vËt Èm h÷u h¹n cã d¹ng ®èi xøng 2. §iÒu kiÖn biªn ngoµi vËt cã tÝnh ®èi xøng, lo¹i 1 3. NhiÖt ®é ban ®Çu trong vËt Èm lµ ®ång nhÊt, vµ b»ng nhiÖt ®é ho¸ r¾n: T2 (M, τ) = Ts 4. Trong líp vËt r¾n t¹o thµnh sau chuyÓn pha, ph©n bè nhiÖt ®é lµ tuyÕn tÝnh ®èi víi biªn di ®éng x = ξ 7.3.3. TÝnh thêi gian lµm ®«ng τo 1. §«ng ®Æc vËt Èm ph¼ng, réng T 2L, cã To = Ts, cã λ1, l, ρ2 hai biªn ngoµi cã Tw = const < To ®èi xøng. T Ts 0 Bµi to¸n nµy cã m« h×nh gièng m« TW TW h×nh bµi to¸n ë trªn. §iÒu kiÖn biªn lo¹i 5 trªn biªn -L o ξ L x di ®éng x = ξ lµ: dξ λ1T1x(ξ,τ)-λ2T2x(ξ,τ)=lρ2 W dτ H60. Lµm ®«ng vËt ph¼ng do T2(x, τ) = Ts = const nªn T2x(ξ, τ) = 0 137
Do T1(x, τ) tuyÕn tÝnh víi x = ξ t¹i ∀τ nªn T − Tw T1x(ξ, τ) = s ξ VËy ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 cã d¹ng: T − Tw dξ λ ( T − Tw ) λ1 s = lρ2 W hay ξdξ = 1 s dτ ξ dτ lρ2 W Thêi gian lµm ®«ng τo øng víi khi ξ = L nªn cã: L τ λ1 ( Ts − Tw ) L2 λ1 ( Ts − Tw ) ∫o ξdξ = ∫o o dτ → = τo lρ2 W 2 lρ2 W lρ2 W L2 L2 lρ2 Wa1 VËy τo = . = Ko , víi Ko = λ1 ( Ts − Tw ) 2 2a1 λ1 ( Ts − Tw ) 2. §«ng ®Æc vËt Èm h×nh trô gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta ®−îc t 2 2 lρ2 W R R τo = . = Ko λ1 ( Ts − Tw ) 4 4a1 T s 3. Bµi to¸n lµm ®«ng vËt Èm TW h×nh cÇu cho kÕt qu¶ o r ξ R 2 2 lϕ2 W R R τo = . = Ko H61. Lµm ®«ng vËt trô λ1 ( Ts − Tw ) 6 6a1 C¸c c«ng thøc trªn khi tÝnh cho khèi chÊt láng hoµn toµn th× o Ts TW lÊy W = 1 ξ R r 7.3.4. So s¸nh thêi gian τo: H62. Lµm ®«ng vËt cÇu - NÕu c¸c vËt ph¼ng, trô, cÇu cã cïng ®é dÇy tøc R = L th× ta cã: τof = 2τot = 3τoc Víi vËt Èm h×nh d¹ng bÊt kú, thêi gian ®ãng b¨ng τo tû lÖ thuËn víi b×nh ph−¬ng ®é dÇy cña vËt. §é dÇy cña vËt ®−îc hiÓu lµ kho¶ng c¸ch trung b×nh gi÷a hai mÆt ®−îc lµm l¹nh cña vËt. Do ®ã, ®Ó gi¶m 138
thêi gian thêi gian ®«ng kÕt, nªn gi¶m ®é dÇy cu¶ vËt Èm. 7.4. Bµi to¸n ®«ng kÕt vËt ®óc 7.4.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n Khi tÝnh ®«ng kÕt vËt ®óc, th−êng coi vïng kim lo¹i láng cã nhiÖt ®é ph©n bè ®Òu, b»ng nhiÖt ®é nãng ch¶y ts. Khi ®ã chØ cÇn t×m ®é dµy líp kim lo¹i ®«ng kÕt ξ = ξ(τ) vµ tèc ®é biªn ξ, tøc tèc ®é ngng kÕt dξ = f(τ) trªn c¬ së gi¶ thiÕt nh− ë môc (7.2.3), tøc lµ coi tr−êng dτ nhiÖt ®é trong líp ®· ho¸ r¾n lµ tuyÕn tÝnh víi x = ξ. Khi ®ã bµi to¸n lµ: t ⎧ ∂t ∂t ' dξ ρ cλ qs(τ) ,,, λ ⎪ ∂x −λ ' = ϕ 'l ρ' ρc λ ' x =ξ ∂x x =ξ dτ ts ⎪ ⎪ξ ( τ = 0 ) = 0 ⎪ ⎨ tw dξ ⎪ t ' ( x > ξ, τ ) = t s = const o dτ x ⎪ ∂t t −t x =ξ ⎪ = s w ⎪ ∂x x =ξ ⎩ ξ H63. BT ®«ng kÕt vËt ®óc 7.4.2. TÝnh ξ(τ) vµ tèc ®é ®«ng kÕt ∂t ' Do t' = const nªn = 0. Ta cã ph−¬ng tr×nh: ∂x ts − tw dξ λ λ ξ = ρ 'l hay ξdξ = ( t s − t w ) dτ dτ ρ 'l 1 2 λ TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh cã ξ = ( ts − t w ) τ + C 2 ρ 'l 2λ Theo ξ (τ = 0) = 0 = C. VËy: ξ = ( ts − t w ) τ, [ m] ρ 'l dξ λ ( ts − t w ) Tèc ®é ®«ng kÕt lµ ξ' = = , [m/s] dτ 2ρ ' τ 139
NÕu vËt ®óc dµy 2L, 2 biªn lo¹i 1 ®èi xøng th× thêi gian ®«ng kÕt lµ: ρ 'l L2 L2 τ= . = K o , [s] λ ( ts − t w ) 2 2a 7.5. TÝnh truyÒn nhiÖt khi nãng ch¶y líp b¶o vÖ vá phi thuyÒn cã vËn tèc lín 7.5.1. VÊn ®Ò b¶o vÖ nhiÖt cho vá phi thuyÒn Khi bay vµo khÝ quyÓn víi vËn tèc lín, do ma s¸t víi kh«ng khÝ, vá phi thuyÒn sÏ nhËn 1 l−îng nhiÖt rÊt lín. Ts qo TK TO v ρ c λ lTS δ H64. Líp b¶o vÖ vá tµu b»ng vËt liÖu nãng ch¶y 1 L−îng nhiÖt nµy tû lÖ víi lùc c¶n cña kh«ng khÝ F = Kρk v 2S vµ 2 vËn tèc v cña tµu, vµ b»ng: 1 Qo = Kρk v3S , [W] hay 2 Qo 1 qo = = Kρk v3 , [W/m2] S 2 L−îng nhiÖt nhËn vµo cã thÓ lµm nhiÖt ®é vá tµu t¨ng rÊt cao, g©y nguy h¹i cho c¶ con tµu. Do ®ã, ng−¬× ta ph¶i t×m c¸ch gi¶i tho¸t l−îng nhiÖt nµy, b¶o ®¶m cho nhiÖt ®é thµnh tµu kh«ng v−ît qu¸ 1 gi¸ trÞ an toµn Tk nµo ®ã. Gi¶i ph¸p hiÖn nay lµ bäc vá tµu b»ng 1 líp vËt liÖu cã nhiÖt ®é nãng ch¶y Ts kh«ng lín h¬n Tk nãi trªn, Ts < Tk . NhiÖt ma s¸t lµm nãng ch¶y líp vá nµy råi tho¸t ra khÝ quyÓn. ViÖc thiÕt kÕ líp b¶o vÖ nhiÖt bao gåm viÖc chän vËt liÖu thÝch hîp, x¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nhËn nhiÖt nãng ch¶y, tÝnh vËn 140
tèc nãng ch¶y vµ x¸c ®Þnh ®é dµy ®ñ an toµn cho chuyÕn bay. Sau mçi chuyÕn bay, líp b¶o vÖ sÏ bÞ nãng ch¶y råi tho¸t c¶ nhiÖt lÉn chÊt vµo khÝ quyÓn, vµ ng−êi ta sÏ bäc l¹i cho lÇn bay tiÕp theo. 7.5.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n líp nãng ch¶y T×m tr−êng nhiÖt ®é T(y, τ) trong líp vËt liÖu cã c¸c th«ng sè vËt lý (ρ, C, λ, l, Ts) cho tr−íc, cã biªn nãng ch¶y cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau: ⎧ ∂T T 2 ⎪ =a∂ T TK ⎪ ∂τ ∂y 2 Wτ ρ cλ ,l W = dξ ⎪ Ts d ⎪T ( y, τ = 0 ) = T ( ξ → ∞, τ ) = To qO τ ⎪ TO ⎪ ∂T (T) ⎨ =0 y ⎪ ∂ξ ξ→∞ O ξ = y - Wτ δ ⎪ ⎪T ( ξ = 0, τ ) = Ts H65. Bµi to¸n biªn nãng ch¶y ⎪ ∂ξ ∂T (W5) ⎪q o = ρl −λ ⎪ ∂τ ξ=0 ∂ξ ξ=0 ⎩ 7.5.3. X¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nãng ch¶y dξ Gäi vËn tèc di ®éng biªn nãng ch¶y ξ lµ W = . ChuyÓn bµi to¸n dτ (T) sang hÖ to¹ ®é ®éng (ξ, τ) b»ng c¸ch ®æi biÕn ξ = y - Wτ. Khi ®ã ∂T ∂T ∂ξ ∂T ∂ 2T ∂ 2T = . = −W vµ = nªn ph−¬ng tr×nh vi ∂τ ∂ξ ∂τ ∂ξ ∂y 2 ∂ξ 2 ∂T ∂ 2T W ph©n Tτ = aTyy cã d¹ng: − W =a hay Tξξ + Tξ = 0 → ∂ξ ∂ξ 2 a ⎛ W ⎞ NghiÖm tæng qu¸t lµ T(ξ) = A exp ⎜ − ξ ⎟ + B, víi c¸c h»ng sè A, ⎝ a ⎠ B t×m theo §KB: T(ξ = 0) = Ts = A + B B = To → T(ξ → ∞) = To = B A = Ts - To 141
VËy tr−êng T cã d¹ng: ⎛ W ⎞ T(ξ) = (Ts - To) exp ⎜ − ξ ⎟ + To ⎝ a ⎠ Hay ë d¹ng kh«ng thø nguyªn T − To ⎛ W ⎞ θ ( ξ) = = exp ⎜ − ξ ⎟ Ts − To ⎝ a ⎠ 7.5.4. X¸c ®Þnh vËn tèc nãng ch¶y dξ VËn tèc nãng ch¶y W = ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (W5) dτ ∂T W λ qo = ρlW − λ = ρlw + λ(Ts - To) hay, do a = nªn: ∂ξ ξ=0 a ρc qo = ρlw + Cρw(Ts - To) = wρ [l + C(Ts - To)] VËy vËn tèc nãng ch¶y b»ng dξ qo W= = , [m/s] dτ ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ Tr−êng nhiÖt ®é trong líp vá b¶o vÖ cho bëi: ⎧ ⎧ ⎪ − q o Cξ ⎫ ⎪ ⎪T ( ξ ) = ( Ts − To ) exp ⎨ ⎬ + To víi λ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎪ ( T ( y, τ ) ) ⎪ ⎨ ⎪ ⎣ ⎩ ⎦⎭ ⎪ ξ= y− qo τ ⎪ , hoÆc cô thÓ h¬n, lµ: ⎩ ρ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎧ ⎪ −q o C ⎡ qo τ ⎤⎫⎪ T ( y, τ ) = ( Ts − To ) exp ⎨ ⎢ y− ⎥ ⎬ + To ⎩ λ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎢ ⎪ ⎣ ⎦⎣ ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎥ ⎭ ⎣ ⎦ ⎦⎪ 7.5.5. TÝnh l−îng nhiÖt dÉn vµo vá tµu Môc ®Ých cña líp b¶o vÖ lµ khö bá phÇn lín nhiÖt l−îng sinh ra do ma s¸t. PhÇn nhiÖt cßn l¹i sÏ dÉn vµo trong, lµm t¨ng néi n¨ng cña líp b¶o vÖ cßn l¹i vµ dÉn tiÕp vµo thµnh tµu, phÇn nhiÖt nµy b»ng: 142
∂T qv = −λ = ρCW (To - Ts) hay ∂ξ ξ=0 q o C ( Ts − To ) qv C ( Ts − To ) qv = ,→ = l + C ( Ts − To ) q o l + C ( Ts − To ) C«ng thøc trªn cho thÊy nÕu chän vËt liÖu cã nhiÖt nãng ch¶y lín, l ↑, th× dßng nhiÖt thõa qv sÏ nhá. 7.5.6. X¸c ®Þnh chiÒu dµy an toµn cña líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y Gäi thêi gian con tµu cÇn bay trong khÝ quyÓn lµ τ. §Ó chuyÕn bay an toµn, chiÒu dµy δ líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y ph¶i ®−îc chän sao cho δ > Wτ, hay δ = kWτ víi k > 1 lµ hÖ sè dù phßng chän tr−íc. qo τ δ=k ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ NÕu liªn hÖ víi biÓu thøc cña qo, ta cã: Kρk v3τ δ=k , [ m] 2ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎣ ⎦ Tãm l¹i, khi thiÕt kÕ líp an toµn nhiÖt cho vá tµu, ph¶i chän vËt liÖu cã nhiÖt ®é nãng ch¶y Ts ≤ Tk, cã nhiÖt nãng ch¶y l lín, vµ ®é dµy δ tho¶ m·n c«ng thøc nªu trªn. 143
Môc lôc Trang Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt ........................3 1.1. §Þnh luËt Fourier ..............................................................................3 1.1.1. ThiÕt lËp ....................................................................................3 1.1.2. Ph¸t biÓu ...................................................................................4 1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt .........................................................................4 1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt...........................................................4 1.2.1. §Þnh nghÜa .................................................................................4 1.2.2. ThiÕt lËp .....................................................................................4 1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt.........5 1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) ................................................................6 1.3.1. §Þnh nghÜa .................................................................................6 1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T..................................................................6 1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) .................................................6 1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB .........................................7 1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt...........................................................8 Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch .........................10 2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm...............................................10 2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ..................10 2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN ...................10 2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm ............................................................10 2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ .......................................................................11 2.2. ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn fourier .........................................................12 2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier ............................12 2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt .........................................12 144
2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3)...........12 2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh ...................................................14 2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ .................................14 2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ ..............................................14 2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) ..................14 2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè........................................................16 2.4.1. Ph¹m vi sö dông ......................................................................16 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS................................................17 2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) .....................................17 2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu .............20 2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp.....................................................20 2.5.2. Ph−¬ng ph¸p quy vÒ c¸c bµi to¸n 1 chiÒu .............................23 2.5.3. §Þnh lý giao nghiÖm ................................................................25 Ch−¬ng 3: ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc vµ c¸c bµi to¸n dao ®éng nhiÖt .............26 3.1. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................................................26 3.1.1. Kh¸i niÖm dao ®éng nhiÖt ......................................................26 3.1.2. M« h×nh mét bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................26 3.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc hay tæ hîp phøc (Complex Combination) ....27 3.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc (TTP)..........................27 3.2.2. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc..............................27 3.3. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt trong vËt b¸n v« h¹n ...................................28 3.3.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh (Nh− môc 3.1.2)...................................28 3.3.2. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p THP .................................................28 3.3.3. Kh¶o s¸t sãng nhiÖt.................................................................29 3.4. Dao ®éng nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng ................................31 3.4.1. §Æt vÊn ®Ò ................................................................................31 145
3.4.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................32 3.4.3. Ph©n tÝch bµi to¸n (θ)..............................................................33 3.4.4. NghiÖm riªng æn ®Þnh .............................................................35 3.4.5. NghiÖm riªng kh«ng æn ®Þnh..................................................35 3.4.6. NghiÖm riªng dao ®éng...........................................................37 3.4.7. KÕt luËn....................................................................................39 Ch−¬ng 4: ph−¬ng ph¸p to¸n tö laplace.................41 4.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace ..............................................41 4.1.1. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ..............................................................41 4.1.2. PhÐp biÕn ®æi Laplace thuËn..................................................41 4.1.3. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc..................................................42 4.1.4. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p Laplace gi¶i mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n .........................................43 4.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö cho bµi to¸n v¸ch ph¼ng biªn W1.......................43 4.3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö t×m (x,f) trong vËt b¸n v« h¹n ...........................45 4.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................45 4.3.2. M« h×nh BT..............................................................................45 4.3.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö .............................................45 Ch−¬ng 5: ph−¬ng ph¸p SAI PH¢N H÷U H¹N ................47 5.1. Néi dung vµ c¸c b−íc ¸p dông ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n .............47 5.1.1. Néi dung FDM.........................................................................47 5.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FDM..........................................................47 5.1.3. Ph¹m vi sö dông FDM ............................................................48 5.2. D¹ng sai ph©n cña c¸c ®¹o hµm theo to¹ ®é.......................................48 5.2.1. PhÐp sai ph©n to¸n häc ...........................................................48 5.2.2. PhÐp sai ph©n vËt lý ................................................................50 5.3. C¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ ®¹o hµm theo thêi gian .................................51 146
5.3.1. Ph−¬ng ph¸p Euler ................................................................51 5.3.2. Ph−¬ng ph¸p Èn (Implicit) .....................................................51 5.3.3. Ph−¬ng ph¸p Crank-Nicolson................................................52 5.3.4. Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ..........................................................52 5.4. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh .....................53 5.5. FDM cho bµi to¸n KO§ mét chiÒu tæng qu¸t .........................................54 5.6. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu tæng qu¸t ............................57 5.6.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ..................................................................57 5.6.2. M« h×nh TH ............................................................................58 5.6.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n ...........................58 5.7. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 3 chiÒu t(x,y,z,τ) ...............................62 5.7.1. Trong täa ®é vu«ng gãc xyz ...................................................62 5.7.2. Ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n trong to¹ ®é trô (r,ϕ,z)......63 5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn ........................................................66 5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh .................................................66 5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn ..........................................................66 5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn.............................69 Ch−¬ng 6: ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n, finite element method (FEM) ....................71 6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n .....................71 6.1.1. Néi dung FEM .........................................................................71 6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM ..........................................................71 6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM .........................................................73 6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n .........................73 6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn) ..........................73 6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n .............................................................74 6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory) ..............................................75 147
6.3.1. PhiÕm hµm ...............................................................................75 6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n ..........................................76 6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm ......................................................77 6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange ........................................................78 6.4. VÝ dô minh ho¹ c¸c b−íc ¸p dông FEM ................................................85 6.4.1. Bµi to¸n biªn c« lËp................................................................85 6.4.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: ( Variational Statement).....................85 6.4.3.Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n (Finite Element Formulation)...86 6.5. Bµi to¸n biªn T§N W2 + W3..................................................................95 6.5.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh ..............................................................95 6.5.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ................................................................95 6.5.3. Ph¸t biÓu FEM ........................................................................96 6.5.4. Ph¸t biÓu sai ph©n (theo Euler) .............................................97 6.6. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t(x, y, τ ) víi biªn c« lËp...................................99 6.6.1. Ph¸t biÓu m« h×nh ...................................................................99 6.6.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ................................................................99 6.6.3. Ph¸t biÓu theo phÇn tö h÷u h¹n...........................................100 6.6.4. Ph¸t biÓu sai ph©n.................................................................106 6.6.5. VÝ dô ¸p dông cô thÓ .............................................................106 6.7. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n τ kh«ng æn ®Þnh t (x,y, ) tæng qu¸t .......................................................107 6.7.1. Ph¸t biÓu m« h×nh .................................................................107 6.7.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ..............................................................108 6.7.3. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n ...................................................109 6.7.4. TÝnh ®¹o hµm theo [t] cña Iλ vµ IC .....................................109 6.7.5. TÝnh dIg/d[t] ...........................................................................109 148