Cân bằng hệ số trong BĐT Cauchy

Chia sẻ: Phạm Chí Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

474
lượt xem 150
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi tham khảo về Cân bằng hệ số trong bắt đẳng thức Cauchy.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cân bằng hệ số trong BĐT Cauchy

www.hsmath.net CAÂN BAÈNG HEÄ SOÁ TRONG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂ-SI Sö dông bÊt ®¼ng thøc (B§T) ® biÕt m ®Æc biÖt l B§T C«-si l ph−¬ng ph¸p th−êng ®−îc ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n vÒ B§T nãi chung. Nh÷ng b i to¸n cùc trÞ, nhÊt l tr−êng hîp cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô th−êng g©y khã kh¨n cho ng−êi gi¶i trong viÖc −íc l−îng hÖ sè v xÐt ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu ®¶ng thøc xÈy ra. B i viÕt n y tr×nh b y mét ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ th«ng qua B§T C«-si ®Ó tõ ®ã, chuyÓn b i to¸n cùc trÞ vÒ viÖc gi¶i mét ph−¬ng tr×nh (PT) hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh (HPT) m viÖc gi¶i quyÕt l dÔ d ng hoÆc cã ®−êng lèi râ r ng h¬n, ®ã l ph−¬ng ph¸p c©n b»ng hÖ sè Còng tõ ph−¬ng ph¸p n y, víi mét chót s¸ng t¹o, chóng ta cã thÓ tæng qu¸t v t¹o ra ®−îc nh÷ng b i to¸n míi. Tr−íc hÕt xin nªu l¹i m kh«ng chøng minh hai B§T quen thuéc sau: i) B§T C«-si tæng qu¸t: a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an ii) B§T C«-si suy réng: 1 α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an ≥ (α1 + α 2 + ... + an ) ( a1 a2 ...an α1 α 2 αn ) a1 + a2 +...+ an Trong hai B§T trªn th× a1 , a2 ,..., an kh«ng ©m, α1 , α 2 ,..., α n d−¬ng v dÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi v chØ khi a1 = a2 = ... = an . Chóng ta b¾t ®Çu tï b i to¸n sau: VÝ dô 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y tháa m n ®iÒu kiÖn x3 + y 3 = 1 (1). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (Max) cña biÓu thøc P( x; y ) = x + y Ph−¬ng ph¸p suy luËn: Sù chªnh lÖch vÒ sè mò cña c¸c biÓu thøc x3 + y 3 v P( x; y ) = x + y gîi cho ta sö dông B§T C«-si ®Ó h¹ bËc cña x3 + y 3 . Nh−ng ta cÇn ¸p dông cho bao nhiªu sè v l nh÷ng sè n o? C¨n cø v o bËc cña c¸c biÕn sè x v y trong c¸c biÓu thøc trªn, ta thÊy cÇn ph¶i ¸p dông B§T C«-si lÇn l−ît cho x3 v y 3 cïng víi 5 h»ng sè d−¬ng t−¬ng øng kh¸c ®Ó l m xuÊt hiÖn x v y . MÆt kh¸c do x, y d−¬ng v vai trß cña chóng nh− nhau 1 nªn ta dù ®o¸n P ( x; y ) ®¹t Max khi x = y . Tõ (1) suy ra x = y = v ta ®i ®Õn lêi gi¶i 3 2 nh− sau. t ne 1 Lêi gi¶i. ¸p dông B§T C«-si cho 6 sè d−¬ng: 1 sè x3 v 5 sè , ta cã: 2 h. 5 5 1 1 − 1 x3 + 5. ≥ 6 6 x3 .   = 6.2 6 x DÊu “=” xÈy ra ⇔ x = 3 at 2 2 2 T−¬ng tù nh− vËy: sm 5 5 1 1 − DÊu “=” xÈy ra ⇔ y = 1 y + 5. ≥ 6 6 y 3 .   = 6.2 6 y 3 .h 2 3 2 2 ( ) 5 w − Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta ®−îc: ( x 3 + y 3 ) + 5 ≥ 6.2 6 x + y (2) w 1 DÊu “=” xÈy ra ⇔ x = y = 3 . w 2
www.hsmath.net Tõ (1) v (2) suy ra: 1 P ( x; y ) = x + y ≤ 6 25 DÊu b»ng xÈy ra ⇔ x = y = 3 , tháa m n ®iÒu kiÖn (1). 2 VËy Max { P( x; y )} = 6 25 . VÝ dô 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y tháa m n ®iÒu kiÖn x3 + y 3 ≤ 1 (3). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (Max) cña biÓu thøc P( x; y ) = x + 2 y Ph−¬ng ph¸p suy luËn: ë vÝ dô 1, chóng ta ® nhanh chãng dù ®o¸n ®−îc Max P ( x; y ) ®¹t ®−îc khi x = y , tõ ®ã tÝnh ®−îc x, y . Nh−ng trong b i to¸n n y, vai trß cña x v y l kh«ng b×nh ®¼ng.  x = α n o ®ã v dù ®o¸n α , β ë ®iÒu kiÖn Tuy nhiªn ta h y gi¶ sö P ( x; y ) ®¹t Max khi  y = β biªn cña (3), tøc l α 3 + β 3 = 1 (4). Ta viÕt: 5 5 x + 5.α ≥ 6 x . (α 3 3 6 3 3 5 ) = 6.α x 2 y + 5.β ≥ 6 y . ( β 3 3 6 3 ) 3 5 = 6.β 2 y 5 5 Suy ra (x 3 + y3 ) + 5. (α + β ) ≥ 6.α 3 3 2 x + 6.β 2 y 5 5 §Ó xuÊt hiÖn P ( x; y ) ë vÕ ph¶i, ta cÇn chän α , β sao cã tû lÖ: 6.α 2 x : 6.β 2 y = 1. x : 2. y 1 α = 5  α 1  1+ 25 2  α 2 1 α =5 3 1  ⇔   = ⇔ = 5 (5) VËy tõ (4) v (5) ta thu ®−îc HPT:  β 4 ⇔ β  β 5 2 4 α 3 + β 3 = 1 β = 4    3 1+ 25 2 B»ng c¸ch l m ng−îc l¹i c¸c b−íc trªn ta sÏ thu ®−îc Max { P ( x; y )} = (1 + 2 2 ) 5 6 5 NhËn xÐt. Tõ c¸ch ph©n tÝch trªn ta thÊy cã thÓ thay ®æi d÷ kiÖn cña b i to¸n sao cho HPT sau khi c©n b»ng hÖ sè cã thÓ gi¶i ®−îc. Ch¼ng h¹n nh− c¸c b i to¸n d−íi ®©y: B i to¸n 1. Cho c¸c sè nguyªn d−¬ng m, p, q sao cho m ≥ Max { p, q} . H y t×m GTLN cña biÓu thøc P ( x; y ) = ax p + y q trong hai tr−êng hîp sau, biÕt r»ng a l h»ng sè d−¬ng v x, y l c¸c biÕn sè kh«ng ©m tháa m n ®iÒu kiÖn x m + y m ≤ 1 : m+q 2m + q i) p = ii) p = 2 3 B i to¸n 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c, d v c¸c sè nguyªn m, n tháa m n ®iÒu kiÖn m > n > 0 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P ( x; y; z ) = ax n + by n + cz n trong ®ã t ne x, y, z l c¸c biÕn sè kh«ng ©m tháa m n ®iÒu kiÖn x m + y m + z m ≤ d . VÝ dô 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P ( x; y; z ) = a ( x + y ) + z . Trong ®ã a l sè 2 2 2 h. thùc d−¬ng v x, y, z l c¸c biÕn sè tháa m n ®iÒu kiÖn xy + yz + zx = 1 (6) at Ph−¬ng ph¸p suy luËn: Do vai trß cña x v y l nh− nhau nªn ta dù ®o¸n P ( x; y; z ) sm ®¹t Min khi x = y = α z (α > 0) (7). ¸p dông B§T C«-si cho hai sè d−¬ng ta cã x 2 + y 2 ≥ 2 xy ≥ 2 xy .h 1 x 2 + (α z ) ≥ 2 x α z ≥ 2α xz ⇔ x 2 + α z 2 ≥ 2 xz 2 α w y + (α z ) ≥ 2 y α z ≥ 2α yz ⇔ 2 1 y 2 + α z 2 ≥ 2 yz 2 w α Tõ c¸c B§T trªn suy ra: w
www.hsmath.net  1 2 1 +  ( x + y ) + 2α z ≥ 2 ( xy + yz + zx ) 2 2  α  1 VÕ ph¶i cña B§T trªn l h»ng sè, v× vËy ta cÇn t×m α ®Ó cã tû lÖ: 1 +  : 2α = a :1  α 1 + 1 + 8a 1 − 1 + 8a ⇔ 2aα 2 − α − 1 = 0 ⇒ α = , α= < 0 lo¹i. 4a 4a  xy + yz + zx = 1 (α + 2α ) z = 1 2 2  Cïng víi (6) v (7) ta cã HPT:  ⇔  x = y =αz  x = y =αz  2  z=± 16a  ( ) 2  8a + 1 8a + 1 + 1 Gi¶i HPT n y víi α nh− trªn ta ®−îc: ⇔  4a x = y = ±    8a + 1 8a + 1 + 1 ( ) xy + yz + zx 4 B»ng c¸ch l m ng−îc l¹i ta tÝnh ®−îc Min { P ( x; y; z )} = = α 1 + 1 + 8a NhËn xÐt. B»ng c¸ch l m t−¬ng tù nh− trªn chóng ta cã thÓ gi¶i trän vÑn ®−îc b i to¸n tæng qu¸t h¬n sau: B i to¸n 3. Cho c¸c h»ng thùc d−¬ng a, b, c v c¸c biÕn sè x, y, z tháa m n ®iÒu kiÖn xy + yz + zx ≥ 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P ( x; y; z ) = ax 2 + by 2 + cz 2 . VÝ dô 4. XÐt c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 1 2 3 . H y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P (a; b; c) = + + . a b c 1 1 1 (§Ò thi chän §TVN dù thi IMO 2001) Ph−¬ng ph¸p suy luËn: §Æt a = , b = , c = x y z . §iÒu kiÖn cña b i to¸n të th nh 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz (9). V ta cÇn t×m Min cña biÓu thøc P ( x; y; z ) = x + 2 y + 3 z x =αz Gi¶ sö P ( x; y; z ) ®¹t Min khi  ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:  y = βz 1 2α 8β x y  x   y   2α +8 β + 21 12 xyz ≥ 2 x + 8 y + 21z ≥ 2α   + 8β   + 21z ≥ ( 2α + 8β + 21)      z 21  ≥   α  β  α   β   ⇒ x8 β + 21 y 2α + 21 z 2α +8 β ≥ A (α , β ) (10) Trong ®ã biÓu thøc A (α , β ) chØ phô thuéc v o α , β . Còng theo B§T C«-si suy réng ta cã: t ne 1 x y   x α  y  2 β 3  α + 2 β +3 P ( x, y, z ) = x + 2y + 3z = α   + 2 β   + 3 z ≥ (α + 2 β + 3)      z    α  β  α   β  h. 1  = B (α , β ) ( xα y 2 β z 3 )α + 2 β +3 (11) at sm Trong ®ã biÓu thøc B (α , β ) chØ phô thuéc v o α , β . §èi chiÕu (10) v (11) ta thÊy cÇn chän α , β sao cho cã tû lÖ: α : 2β : 3 = ( 8β + 21) : ( 2α + 21) : ( 8β + 2α ) .h  8β + 21 α  8β + 2α = 3 w  2α 2 + 8αβ = 24 β + 63 ⇔ ⇔ w  2α + 21 = 2 β 16 β + 4αβ = 6α + 63 2 w  8β + 2α  3 2α 2 − 63 Tõ PT thø nhÊt ⇒ β = . Thay v o PT thø hai ta cã: 8(3 − α )
www.hsmath.net 2  2α 2 − 63  2α 2 − 63 16   8 (3 − α )  +4 α = 6α + 63 ⇔ 4α 3 + 78α 2 − 306α − 567 = 0    8(3 − α ) ⇔ ( 2α − 9 ) ( 2α 2 + 48α + 63) = 0 9 15 ⇔ α = ( do α > 0 ) ⇒ β = . 2 8 Khi P ( x, y, z ) ®¹t Min th× tÊt c¶ c¸c B§T trªn ®Òu trë th nh ®¼ng thøc, nghÜa l 2 x + 8 y + 21z = 12 x=3   9   5  x =αz = z ⇔ y = 2 4     y = β z = 18 z  z = 2   5 3 Tíi ®©y, ®iÓm mÊu chèt cña b i to¸n ® ®−îc gi¶i quyÕt v ta ®i ®Õn mét lêi gi¶i t−¬ng ®èi ng¾n gän cho b i to¸n nh− sau: 5 2 Lêi gi¶i. §Æt x = 3 x1 , y = y1 , z = z1 khi ®ã ®iÒu kiÖn (9) trë th nh 4 3 5 2 5 2 2.3 x1 + 8. y1 + 21. z1 ≤ 12.3 x1. y1. z1 ⇔ 3 x1 + 5 y1 + 7 z1 ≤ 15 x1 y1 z1 . 4 3 4 3 5 2 1 P ( x, y, z ) = P ( x1 , y1 , z1 ) = 3 x1 + 2. y1 + 3 z1 = ( 6 x1 + 5 y1 + 4 z1 ) 4 3 2 ¸p dông B§T C«-si tæng qu¸t cho 15 sè d−¬ng ta cã: 15 x1 y1 z1 ≥ 3 x1 + 5 y1 + 7 z1 ≥ 1515 x13 y15 z17 (12) 1 1 P ( x, y, z ) = ( 6 x1 + 5 y1 + 4 z1 ) ≥ .15.15 x16 y15 z14 (13) ≥ 2 2 15 Tõ (12) suy ra x1 y1 z1 ≥ 1 , do ®ã tõ (13) ta ®−îc P ( x, y, z ) ≥ 6 5 4 2 §¼ng thøc xÈy ra ⇔ x1 = y1 = z1 = 1 5 5 2 2 1 4 3 ⇔ x = 3 x1 = 3, y = y1 = , z = z1 = ⇔ a = , b = , c = 4 4 3 3 3 5 2 15 VËy Min P ( a, b, c ) = . 2 NhËn xÐt. Së dÜ ta ®Æt c¸c biÕn míi x1 , y1 , z1 l v× ta ® x¸c ®Þnh ®−îc bé sè (x,y,z) ®Ó P ( x, y, z ) ®¹t Min. MÆt kh¸c viÖc xÐt dÊu b»ng sÏ trë nªn dÔ d ng h¬n bÕu c¸c biÕn tham gia khi xÈy ra dÊu ®¼ng thøc l b»ng nhau v ®Òu b»ng 1. Mét ®iÒu thó vÞ v ®¸ng chó ý ë ®©y l c¸c B§T (12), (13) t−¬ng ®èi ®¬n gi¶n, nh−ng qua phÐp ®æi biÕn ® trë th nh B§T kh¸c phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu. Chóng ta h y thö vËn dông ®iÒu n y ®Ó t¹o ra nh÷ng b i to¸n míi rÊt thó vÞ, xuÊt ph¸t tõ bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò: Cho c¸c sè thùc α , β , γ , λ ≥ 0 v x, y, z , t > 0 . Khi ®ã ta cã: i) NÕu α x + β y + γ z + λ t ≤ (α + β + γ + λ ) xyzt th× ( β + γ + λ ) x + ( γ + λ + α ) y + ( λ + α + β ) z + + ( α + β + γ ) t ≥ 3 (α + β + γ + λ ) (14) t ii) NÕu ( β + γ + λ ) x + ( γ + λ + α ) y + ( λ + α + β ) z + (α + β + γ ) t ≥ 3 (α + β + γ + λ ) th× ne α x + β y + γ z + λt ≥ (α + β + γ + λ ) xyzt (15) h. Chøng minh. Tr−êng hîp α = β = γ = λ = 0 th× bæ ®Ò hiÓn nhiªn ®óng. Ta xÐt khi α 2 + β 2 + γ 2 + λ2 > 0. at i) ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã: sm 1 (α + β + γ + λ ) xyzt ≥ α x + β y + γ z + λt ≥ (α + β + γ + λ ) ( xα y β z γ t λ )α + β +γ +λ ≥ ⇒ x β +γ + λ y γ + λ +α z λ +α + β t α + β +γ ≥ 1 .h Nh− vËy: ( β + γ + λ ) x + ( γ + λ + α ) y + ( λ + α + β ) z + (α + β + γ ) t ≥ 3 (α + β + γ + λ ) × w 1 ×( x ) ≥ 3 (α + β + γ + λ ) w β +γ + λ γ + λ +α λ +α + β α + β +γ α + β +γ + λ y z t w §¼ng thøc xÈy ra ⇔ x = y = z = t = 1 .
www.hsmath.net ii) ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã: 3 ( α + β + γ + λ ) ≥ ( β + γ + λ ) x + ( γ + λ + α ) y + ( λ + α + β ) z + (α + β + γ ) t ≥ 1 ≥ 3 (α + β + γ + λ ) × ( x β +γ + λ y γ + λ +α z λ +α + β t α + β +γ ) α + β +γ + λ 1 ⇔ (x y z t ) β +γ + λ γ + λ +α λ +α + β α + β + γ ⇒1≥ x y z t α β γ λ α + β +γ + λ ≥ xyzt Nh− vËy: 1 α x + β y + γ z + λ t ≥ (α + β + γ + λ ) ( xα y β z γ t λ )α + β +γ + λ ≥ (α + β + γ + λ ) xyzt §¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = t = 1 . Bæ ®Ò ®−îc chøng minh. Sö dông bæ ®Ò trªn b»ng c¸ch thay v o nh÷ng gi¸ trÞ ®Æc biÖt v b»ng nh÷ng c¸ch ph¸t biÓu kh¸c nhau, ta sÏ cã nh÷ng kÕt qu¶ kh¸c nhau: 5 2 - Víi t = 1, λ = 0, α = 3, β = 5, γ = 7 , thay x, y, z, t lÇn l−ît bëi 3x, y , z v o (14), sau 4 3 1 1 1 ®ã ®Æt a = , b = , c ta ®−îc B i to¸n vÝ dô 4. x y z 1 2 4 - Thay t = 1, λ = 1, α = 1, β = 2, γ = 3 v o (14) v ®Æt x = ,y = ,z = ta cã b i to¸n: 2a 3b 3c B i to¸n 4.Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn 72ab + 9bc + 24ca + + 18abc ≤ 56 Chøng minh r»ng: 3 + 10 + 16 ≥ 15 . §¼ng thøc x¶y ra khi n o? a b c 1 1 1 1 2 4 - Thay t = 1, λ = 1, α = , β = , γ = v o (14) v ®Æt x = ,y = ,z = ta cã b i to¸n sau: 2 3 6 2a 3b 3c B i to¸n 5. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn 8a 2 ( b + c ) + 27abc ≤ 16 . 5 10 22 Chøng minh r»ng: + + ≥ 6 . §¼ng thøc x¶y ra khi n o? 4a 9b 9c 1 2 4 - V× khi xÈy ra ®¼ng thøc ë hai B i to¸n 4 v 5 ®Òu cã a = , b = , c = nªn khi kÕt hîp 2 3 3 hai b i to¸n trªn ta cã: B i to¸n 6. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a,b,ctháa m n ®iÒu kiÖn 72ab + 9bc + 24ca + 18abc ≤ 56 17 19 166 v 8a 2 ( b + c ) + 27abc ≤ 16 . Chøng minh r»ng: + + ≥ 21 . 4a 9b 9c §¼ng thøc x¶y ra khi n o? 1 1 2 4 - Thay t = , λ = 1, α = 1, β = 2, γ = 3 v o (14) v ®Æt x = ,y = ,z = ta cã b i to¸n sau: t ne x 2a 3b 3c 3 10 16 B i to¸n 7. Cho c¸c sè thùc a, b, c d−¬ng tháa m n ®iÒu kiÖn + + + 12a ≤ 21 , h. a 3b 3c 1 4 4 28 at chøng minh r»ng + + + 2a ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi n o? 2a 3b c 9abc sm B»ng c¸ch thay ®æi d÷ kiÖn b i to¸n theo h−íng trªn chóng ta sÏ cã ®−îc rÊt nhiÒu b i to¸n míi. C¸c b¹n h y thö tiÕp tôc suy nghÜ theo h−íng trªn v theo h−íng tæng qu¸t cho tr−êng hîp nhiÒu biÕn .h h¬n n÷a. §Ó kÕt thóc b i viÕt n y, ®Ò nghÞ c¸c b¹n gi¶i mét sè b i tËp sau v h y cè g¾ng më réng w chóng theo c¸ch cña m×nh. §ã l mét viÖc l m thùc sù cÇn thiÕt khi häc to¸n . w Chóc c¸c b¹n th nh c«ng! w