Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Bài gi ng môn h c Đ i s A1 Chương 4: ÁNH X TUY N TÍNH Lê Văn Luy n lvluyen@yahoo.com http://www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đ i h c Khoa H c T Nhiên Tp. H Chí Minh Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 1 / 31
N i dung Chương 4. ÁNH X TUY N TÍNH 1. Đ nh nghĩa 2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính 3. Ma tr n bi u di n ánh x tuy n tính Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 2 / 31
1. Đ nh nghĩa 1. Đ nh nghĩa 1.1 Ánh x 1.2 Ánh x tuy n tính Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 3 / 31
1. Đ nh nghĩa 1.1 Ánh x Đ nh nghĩa. Cho X và Y là hai t p h p khác r ng. Ánh x gi a hai t p X và Y là m t qui t c sao cho m i x thu c X t n t i duy nh t m t y thu c Y đ y = f (x). Ta vi t f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x). Ví d . • f : R → R xác đ nh b i f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh x . • g : R3 → R2 xác đ nh b i g (x, y, z ) = (2x + y, x − 3y + z ) là ánh x. m • h : Q → Z xác đ nh b i h( ) = m không là ánh x . n Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 4 / 31
1. Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa. Hai ánh x f và g t X vào Y đư c g i là b ng nhau n u ∀x ∈ X, f (x) = g (x). Ví d . Xét ánh x f (x) = (x − 1)(x + 1) và g (x) = x2 − 1 t R → R. Ta có f = g. Đ nh nghĩa. Cho hai ánh x f : X → Y và g : Y → Z trong đó Y ⊂ Y . Ánh x tích h c a f và g là ánh x t X vào Z xác đ nh b i: h : X −→ Z x −→ h(x) = g (f (x)) Ta vi t: h = go f. Ví d . Cho f, g : R → R xác đ nh b i f (x) = 2x + 1 và g (x) = x2 + 2. Khi đó fo g (x) = f (g (x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. go f (x) = g (f (x) = g (2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 5 / 31
1. Đ nh nghĩa nh và nh ngư c c a ánh x Đ nh nghĩa. Cho f : X → Y là ánh x , A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} đư c g i là nh c a A. • f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B } đư c g i là nh ngư c c a B. • f (X ) đư c g i là nh c a ánh x f , ký hi u Imf . Ví d . Cho f : R → R đư c xác đ nh f (x) = x2 + 1. Khi đó: f ([−2, −1]) = [2, 5] f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26) −1 f −1 (2) = {−1, 1} (1) = {0} f f −1 (−5) = ∅ f −1 ([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 6 / 31
1. Đ nh nghĩa Phân lo i ánh x a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là m t đơn ánh n u hai ph n t khác nhau b t kỳ c a X đ u có nh khác nhau. ∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ). Nghĩa là: Ví d . • f : N → R đư c xác đ nh f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R đư c xác đ nh g (x) = x2 + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là m t toàn ánh n u f (X ) = Y. ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y. Nghĩa là: Ví d . • f : R → R đư c xác đ nh f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh) • g : R → R đư c xác đ nh g (x) = x2 + 1 (không toàn ánh) Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 7 / 31
1. Đ nh nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là m t song ánh n u f là đơn ánh và toàn ánh. Ví d . • f : R → R đư c xác đ nh f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R đư c xác đ nh g (x) = x2 + 1 (không song ánh) Ánh x ngư c Xét f : X → Y là m t song ánh. Khi đó, v i m i y ∈ Y , t n t i duy nh t m t ph n t x ∈ X th a f (x) = y. Do đó tương ng y −→ x là m t ánh x t Y vào X . Ta g i đây là ánh x ngư c c a f và ký hi u f ˘1 . Như v y: f −1 : Y −→ X y −→ f −1 (y ) = x sao cho f (x) = y y−1 Ví d . Cho f : R → R v i f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1 (y ) = . 2 Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 8 / 31
1. Đ nh nghĩa 1. 2. Ánh x tuy n tính Đ nh nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên trư ng R. Ta nói f : V −→ W là m t ánh x tuy n tính n u nó th a hai đi u ki n dư i đây: i) f (u + v ) = f (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V , ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Nh n xét. Đi u ki n i) và ii) trong đ nh nghĩa có th đư c thay th b ng m t đi u ki n : f (αu + v ) = αf (u) + f (v ), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Ký hi u. • L(V, W) là t p h p các ánh x tuy n tính t V → W . • N u f ∈ L(V, V ) thì f đư c g i là m t toán t tuy n tính trên V. Vi t t t f ∈ L(V ). Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 9 / 31
1. Đ nh nghĩa Nh n xét. N u f ∈ L(V, W ) thì • f (0) = 0; • f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V. Ví d . Cho ánh x f : R3 −→ R2 xác đ nh b i f (x, y, z ) = (x + 2y − 3z, 2x + z ). Ch ng t f là ánh x tuy n tính. Gi i. ∀u = (x1 , y1 , z1 ), v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 . Ta có f (u + v ) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2 , 2x1 + 2x2 + z1 + z2 ) = (x1 + 2y1 − 3z1 , 2x1 + z1 ) + (x2 + 2y2 − 3z2 , 2x2 + z2 ) = f (u) + f (v ). Tính ch t ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) ki m tra tương t . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 10 / 31
1. Đ nh nghĩa Đ nh lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1 , u2 , . . . , un } là cơ s c a V . Khi đó, n u S = {v1 , v2 , . . . , vn } là m t t p h p c a W thì t n t i duy nh t m t f ∈ L(V, W ) sao cho f (u1 ) = v1 , f (u2 ) = v2 , . . . , f (un ) = vn .   α1  α2  Hơn n a, n u [u]B =  .  thì   . . αn f (u) = α1 f (u1 ) + α2 f (u2 ) + . . . + αn f (un ) Ví d . Trong không gian R3 cho các vectơ: u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3). i) Ch ng t B = (u1 , u2 , u3 ) là m t cơ s c a R3 . ii) Tìm ánh x tuy n tính f : R3 −→ R3 th a: f (u1 ) = (2, 1, −2); f (u2 ) = (1, 2, −2); f (u3 ) = (3, 5, −7). Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 11 / 31
1. Đ nh nghĩa Gi i. a) Ch ng t B = (u1 , u2 , u3 ) là m t cơ s c a R3 .    1 −1 u1 1 1  .Ta có |A| = 1. Suy ra B đ c l p L p A =  u2  =  1 0 2 −1 u3 3 tuy n tính. Vì dimR3 = 3 b ng s vectơ c a B nên B là m t cơ s c a R3 . b) Tìm ánh x tuy n tính f : R3 −→ R3 th a: f (u1 ) = (2, 1, −2); f (u2 ) = (1, 2, −2); f (u3 ) = (3, 5, −7). Cho u = (x, y, z ) ∈ R3 . Tìm [u]B . Lp     1 0 0 x−y−z 11 2x (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 0 0 1 −x + z 11 3z Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 12 / 31
1. Đ nh nghĩa   x−y−z V y [u]B =  2x + y − z  . −x + z Suy ra u = (x − y − z )u1 + (2x + y − z )u2 + (−x + z )u3 . V y, ta có f (u) = (x − y − z )f (u1 ) + (2x + y − z )f (u2 ) + (−x + z )f (u3 ) = (x − y − z )(2, 1, −2) + (2x + y − z )(1, 2, −2) + (−x + z )(3, 5, −7) = (x − y, y + 2z, x − 3z ). Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 13 / 31
2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính 2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính 1.1 Không gian nhân 1.2 Không gian nh Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 14 / 31
2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính 2.1 Không gian nhân Đ nh nghĩa. Cho f : V → W là m t ánh x tuy n tính. Ta đ t Kerf = {u ∈ V | f (u) = 0} Khi đó Kerf là không gian con c a V , ta g i Kerf là không gian nhân c a f . Nh n xét. D a vào Đ nh nghĩa, ta đư c u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 15 / 31
2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính Ví d . Cho f : R3 → R3 đư c xác đ nh b i: f (x, y, z ) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z ) Tìm m t cơ s c a Kerf. Gi i. G i u = (x, y, z ) ∈ R3 . u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0  x+ y−z =0 2x + 3 y − z ⇔ =0 3x + 5 y − z =0      1 1 −1 1 0 −2 ˜ Ma tr n hóa, A =  2 3 −1  →  0 1 1 . 3 5 −1 00 0 H phương trình có nghi m (x, y, z ) = (2t, −t, t) v i t ∈ R. Nghi m cơ b n c a h là u1 = (2, −1, 1). V y, Kerf có cơ s là {u1 = (2, −1, 1)}. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 16 / 31
2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính 2.1 Không gian nh Đ nh nghĩa. Cho f : V → W là m t ánh x tuy n tính. Ta đ t Imf = {f (u) | u ∈ V } Khi đó Imf là không gian con c a W , ta g i Imf là không gian nh c a f. Đ nh lý. Cho f : V → W là m t ánh x tuy n tính. Khi đó, n u S = {u1 , u2 , . . . , um } là t p sinh c a V thì f (S ) = {f (u1 ), f (u2 ), . . . , f (um )} là t p sinh c a Imf. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 17 / 31
2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính Nh n xét. D a vào đ nh lý trên, đ tìm cơ s Imf , ta ch n m t t p sinh S c a V (đ đơn gi n ta có th ch n cơ s chính t c). Khi đó Imf sinh b i t p nh c a S. Ví d . Cho f : R3 → R3 đư c xác đ nh b i: f (x, y, z ) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z ) Tìm m t cơ s c a Imf. Gi i. G i B0 = {e1 , e2 , e3 } là cơ s chính t c c a R3 . Ta có f (e1 ) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3) f (e2 ) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5) f (e3 ) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1) Ta có Imf sinh b i {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )}. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 18 / 31
2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính       f (e1 ) 1 2 3 123 5 → 0 1 2  L p ma tr n A =  f (e2 )  =  1 3 −1 −1 −1 f (e3 ) 000 Do đó, Imf có cơ s là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Đ nh lý. Cho f : V → W là ánh x tuy n tính và V h u h n chi u. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. M nh đ . Cho f : V → W là ánh x tuy n tính. Khi đó i) f là đơn c u khi và ch khi Kerf = {0}. ii) f là toàn c u khi và ch khi Imf = W . iii) f là đ ng c u khi và ch khi Kerf = {0} và Imf = W . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 19 / 31
3. Ma tr n bi u di n ánh x tuy n tính Đ nh nghĩa. Cho V có cơ s B = (u1 , u2 , . . . , un ), W có cơ s B = (v1 , v2 , . . . , vm ) và f ∈ L(V, W ). Đ t P = ([f (u1 )]B [f (u2 )]B . . . [f (un )]B ) Khi đó ma tr n P đư c g i là ma tr n bi u di n c a ánh x f theo c p cơ s B , B , ký hi u P = [f]B,B (ho c [f ]B ). B N u f ∈ L(V ) thì ma tr n [f ]B,B đư c g i là ma tr n bi u di n toán t tuy n tính f , ký hi u [f]B Ví d . Xét ánh x tuy n tính f : R3 → R2 xác đ nh b i f (x, y, z ) = (x − y, 2x + y + z ) và c p cơ s B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f ]B,C . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 20 / 31