Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
58
Ch−¬ng 5
Lùc c¸n vµ m«men c¸n
5.1- Kh¸i niÖm chung
¸p lùc cña kim lo¹i lªn trôc c¸n lµ nguyªn nh©n chÝnh t¹o ra tr¹ng th¸i øng
suÊt trong vïng biÕn d¹ng, ®Æc ®iÓm biÕn d¹ng cña trôc c¸n. ¸p lùc tõ phÝa trôc c¸n
lªn kim lo¹i cã sù t−¬ng t¸c víi v−ît tr−íc, sù d·n réng, ®iÒu kiÖn ¨n kim lo¹i. Tõ
®iÒu kiÖn vµ c¸c th«ng sè c«ng nghÖ ta cã thÓ tÝnh ®−îc ¸p lùc cña kim lo¹i lªn trôc
c¸n vµ qua ®ã x¸c ®Þnh ®−îc m«men c¸n, c«ng suÊt c¸n, c«ng suÊt ®éng c¬ vµ tiªu
hao n¨ng l−îng trong qu¸ tr×nh c¸n.
TrÞ sè vµ sù ph©n bè ¸p lùc trªn cung tiÕp xóc cña vïng biÕn d¹ng cã ¶nh
h−ëng trùc tiÕp ®ªn møc ®é mßn trôc c¸n vµ do ®ã ¶nh h−ëng ®Õn thêi gian lµm
viÖc cña trôc. TrÞ sè m«men vµ c«ng suÊt c¸n lµ c¸c th«ng sè cÇn thiÕt ®Ó tÝnh c¸c
kÝch th−íc gi¸ c¸n vµ c¸c chi tiÕt m¸y c¸n. TrÞ sè m«men kh«ng chØ phô thuéc vµo
¸p lùc mµ cßn phô thuéc vµo ®iÓm ®Æt lùc tæng hîp trªn cung tiÕp xóc.
NhiÒu kÕt qu¶ nghiªn cøu cho thÊy ¸p lùc cña kim lo¹i lªn trôc c¸n bao gåm
hai thµnh phÇn chÝnh:
1. B¶n th©n trë kh¸ng cña vËt liÖu c¸n (σS). TrÞ sè cña σS phô thuéc vµo
thµnh phÇn ho¸ häc cña vËt liÖu vµ ®−îc x¸c ®Þnh trªn c¬ së thö kÐo (nÐn) ë tr¹ng
th¸i øng suÊt ®−êng thuÇn tóy vµ tÜnh (víi mçi mét vËt liÖu, ë nh÷ng tr¹ng th¸i nhiÖt
®é kh¸c nhau vµ tr¹ng th¸i gia c«ng c¬, nhiÖt kh¸c nhau ®Òu ®−îc ®o trÞ sè σS b»ng
thùc nghiÖm).
2. C¸c th«ng sè c«ng nghÖ diÔn biÕn tøc thêi trong qu¸ tr×nh c¸n nh− lµ:
ma s¸t tiÕp xóc trªn bÒ mÆt, kÓ c¶ khi cã ngo¹i lùc kh¸c t¸c ®éng vµo qu¸ tr×nh c¸n
(vÝ dô: lùc kÐo tr−íc vµ sau vËt c¸n) (nσ); vïng cøng (vïng kh«ng biÕn d¹ng) kÒ s¸t
ngoµi vïng biÕn d¹ng (nc); sù thay ®æi vµ diÔn biÕn cña chiÒu réng vËt c¸n trong
vïng biÕn d¹ng (sù t¸c ®éng cña øng suÊt chÝnh trung gian σ2) (nβ); tèc ®é biÕn
d¹ng khi c¸n (nv); sù biÕn cøng, håi phôc vµ kÕt tinh l¹i trong qu¸ tr×nh biÕn d¹ng
khi c¸n (nH). Trªn c¬ së cña c¸c th«ng sè nÕu trªn, ta cã thÓ coi ¸p lùc trung b×nh P
cã d¹ng tæng hîp sau:
P = nσ.nc.nβ.nv.nH. σS (5.1)
5.2- §Æc ®iÓm trë kh¸ng biÕn d¹ng (σS)
Trªn thùc tÕ, trong qu¸ tr×nh c¸n trÞ sè σS lµ mét ®¹i l−îng biÕn ®æi tïy theo
møc ®é biÕn d¹ng, tïy theo tÝnh chÊt cña tõng kim lo¹i cã møc ®é biÕn cøng nhiÒu
hay Ýt kh¸c nhau (thùc chÊt lµ cÊu tróc m¹ng cña kim lo¹i).
Nh− ë h×nh 5.1, tïy thuéc vµo vËt liÖu c¸n vµ tr−íc ®ã ®· ®−îc biÕn d¹ng
nguéi mµ trÞ sè trë kh¸ng biÕn d¹ng cã sù thay ®æi kh¸c nhau. TrÞ sè σS kh«ng
nh÷ng chØ biÕn ®æi theo l−îng biÕn d¹ng nguéi mµ trong qu¸ tr×nh c¸n nãng, trªn
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
59
mét ®é dµi cung tiÕp xóc tõ thêi ®iÓm vËt c¸n ®i vµo trôc cho ®Õn lóc ra khái trôc
c¸n gi¸ trÞ σS còng thay ®æi, v× r»ng trong qu¸ tr×nh c¸n l−îng Ðp ∆h t¨ng dÇn lªn
theo sù biÕn ®æi chiÒu cao vËt c¸n hx trong vïng biÕn d¹ng.
Nh− h×nh 5.2, gi¶ thiÕt ta cã tèc ®é biÕn d¹ng lµ Ux cã gi¸ trÞ biÕn thiªn theo
hai gi¸ trÞ hx vµ Cy. KÕt qu¶ thùc nghiÖm cho thÊy trÞ sè trë kh¸ng biÕn d¹ng cã gi¸
trÞ lín nhÊt ë gi÷a cung tiÕp xóc.
Tïy theo c¸c th«ng sè c«ng nghÖ ph¸t sinh trong qu¸ tr×nh c¸n mµ trÞ sè trë
kh¸ng biÕn d¹ng σS cã nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau. V× vËy, viÖc tÝnh trÞ sè ¸p lùc trung
b×nh theo biÓu thøc (5.1) sÏ gÆp khã kh¨n. Do ®ã trong thùc tÕ tÝnh to¸n, ng−êi ta
th−êng lÊy gi¸ trÞ kh«ng ®æi ®· ®−îc thùc nghiÖm ®o ®¹c khi thö kÐo (nÐn) theo c¸c
®iÒu kiÖn kü thuËt nhÊt ®Þnh nh− ®· tr×nh bµy ë trªn, hoÆc theo c¸c c«ng thøc thùc
nghiÖm ®−îc tiÕn hµnh trong mét sè c«ng nghÖ cô thÓ.
60
80
100
0 20 40 60 ε%
σS (Kg/mm2)
0%
20%
40%
60%
H×nh 5.1- nh h−ëng cña møc ®é biÕn d¹ng ®Õn trë
kh¸ng biÕn d¹ng theo m¸c thÐp.
a) 0,63%C vµ 0,62%Mn; b) 0,10%C vµ 0,45%Mn;
c) 0,93%C vµ 0,62%Mn
40
60
80
0 20 40 60 ε%
σS (Kg/mm2)
0%
20%
40%
60%
60
80
100
0 20 40 60 ε%
σS (Kg/mm2)
0%
20%
40%
60%
120
a) b)
c)
C
x
C
α
H
C
y h1
hx
x
lx
4
6
8
0,35
0,2
0,4
α
σS
2
0
σS
ε
H×nh 5.2- Sù thay ®æi cña
σ
S, tèc ®é biÕn d¹ng u
vµ møc ®é biÕn d¹ng däc theo cung tiÕp xóc
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
60
5.3- C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh ¸p lùc c¸n
5.3.1- Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng khi c¸n
Nh− ta ®· biÕt, lùc c¸n lµm ¶nh h−ëng ®Õn sù ph©n bè øng suÊt trong vïng
biÕn d¹ng. V× vËy, nÕu t×m ®−îc quy luËt ph©n bè øng suÊt th× ta cã thÓ x¸c ®Þnh
®−îc lùc c¸n. ChÝnh ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng cho ta quy luËt ph©n bè øng suÊt
vµ khi gi¶i nã ta cã thÓ t×m ®−îc gi¸ trÞ øng suÊt trong vïng biÕn d¹ng khi c¸n.
Thùc chÊt cña ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng khi c¸n lµ ta
t¸ch tõ vïng biÕn d¹ng ra mét ph©n tè thÓ tÝch v« cïng bÐ, chän mét hÖ to¹ ®é thÝch
hîp råi ®−a ph©n tè ®ã vµo, víi gi¶ thiÕt r»ng chóng ta cã tÊt c¶ c¸c øng suÊt ®· t¸c
®éng lªn ph©n tè Êy vµ ë trong ®iÒu kiÖn c©n b»ng. Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn bµi
to¸n sÏ ph¶i kÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn vµ ph−¬ng tr×nh phô kh¸c ®Ó ®¶m b¶o cho bµi
to¸n cã thÓ gi¶i ®−îc.
VÝ dô nh− h×nh 5.3, gi¶ thiÕt
trong vïng biÕn d¹ng ABCD
ta t¸ch ra mét ph©n tè abcd.
Trªn ph©n tè nµy, mÆt bd c¸ch
mÆt ph¼ng gèc to¹ ®é lµ x,
chÞu t¸c dông mét øng suÊt
nÐn σx, mÆt ac c¸ch mÆt bd
mét ®o¹n lµ dx chÞu t¸c dông
mét øng suÊt nÐn lµ (σx+dσx).
Trªn mÆt cung tiÕp xóc ab vµ
cd cã ®é dµi dl chÞu t¸c dông
c¸c øng suÊt ph¸p Px vµ øng
suÊt tiÕp τx, ph−¬ng cña øng suÊt ph¸p Px lµm víi ph−¬ng th¼ng ®øng ë gãc täa ®é
mét gãc ϕ nµo ®ã. Gi¶ thiÕt r»ng, mäi lùc kh¸c (lùc qu¸n tÝnh, lùc kÐo c¨ng...) t¸c
dông lªn ph©n tè abcd coi nh− kh«ng ®¸ng kÓ vµ bá qua.
Nh− vËy, tõ c¸c gi¸ tÞ øng suÊt ta cã thÓ t×m ®−îc lùc t¸c dông lªn ph©n tè
nh− h×nh 5.3. Bá qua l−îng d·n réng vµ víi B = b = 1, ta cã:
Tõ phÝa ph¶i cña ph©n tè:
ϕ
ϕ
σsin
cos
dx
P2;y2 xx
Tõ phÝa tr¸i cña ph©n tè:
()()
ϕ
ϕ
τ+σ+σ cos
cos
dx
2;dyy2d xxx
(gi¶ thiÕt chiÒu cña tr¹ng th¸i øng suÊt tiÕp cïng chiÒu víi h−íng c¸n, vòng trÔ)
víi y = h/2.
§iÒu kiÖn ®Ó ph©n tè ë tr¹ng th¸i c©n b»ng lµ: ΣX = 0, v× thÕ nÕu ta chän
H
A
h
ϕ
α
x
lx
H
×nh 5.3- S¬ ®å t¸ch ph©n tè trong vïng biÕn
d¹ng ®Ó thµnh lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n
P
x
B
τx
D
C
σx
σx+dσx XX
a
b
d
c
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
61
chiÒu cña to¹ ®é ng−îc h−íng c¸n, ta cã:
()()
0y2sin
cos
dx
P2cos
cos
dx
2dyy2dX xxxxx =σ+ϕ
ϕ
+ϕ
ϕ
τ−+σ+σ−=Σ
V× x, y lµ to¹ ®é cña cung tiÕp xóc nªn:
dl
cos
dx
vµ
dx
dy
tg =
ϕ
=ϕ (5.3)
Khai triÓn vµ rót gän biÓu thøc (5.2), thay tgϕ = dy/dx, bá qua ®¹i l−îng v«
cïng bÐ ta sÏ nhËn ®−îc biÓu thøc sau:
0
ydx
dy
.
y
P
dx
dxxxx =
τ
+
σ
−
−
σ (5.4)
NÕu nh− chiÒu cña øng suÊt tiÕp ng−îc h−íng c¸n (vïng v−ît tr−íc) th× b»ng
c¸ch lµm nh− trªn ta nhËn ®−îc ph−¬ng t×nh:
0
ydx
dy
.
y
P
dx
dxxxx =
τ
−
σ
−
−
σ (5.5)
Hai biÓu thøc (5.4) vµ (5.5) chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña qu¸ tr×nh c¸n
däc khi cã biÕn d¹ng hai chiÒu vµ khi viÕt tæng hîp cho c¶ vïng trÔ vµ vïng v−ît
tr−íc cã d¹ng: 0
ydx
dy
.
y
P
dx
dxxxx =
τ
±
σ
−
−
σ (5.6)
Trong biÓu thøc (5.6) ta cã 3 Èn sè: σx, Px, τx. VËy muèn gi¶i ph−¬ng tr×nh
nµy ta cÇn ph¶i cã thªm 2 ph−¬ng tr×nh, ®ã lµ ph−¬ng tr×nh dÎo (5.7) vµ ph−¬ng
tr×nh quan hÖ gi÷a øng suÊt tiÕp vµ øng suÊt ph¸p trªn ®é dµi cung tiÕp xóc (5.8).
(σ1 - σ2)2 + (σ2 - σ3)2 + (σ3 - σ1)2 = 2σS2 (5.7)
τx = f.Px (5.8)
(thõa nhËn lùc ma s¸t tu©n theo ®Þnh luËt Amonton)
V× ta ®· gi¶i thÝch lµ biÕn d¹ng hai chiÒu nªn øng suÊt ph¸p chÝnh trung gian
σ2 trong ph−¬ng tr×nh (5.7) cã gi¸ trÞ:
2
31
2
+
σ
=σ (5.9)
Thay trÞ sè σ2 ë (5.9) vµo (5.7), ta ®−a biÓu thøc nµy vÒ d¹ng rót gän:
σ1 - σ3 = 1,15σS (5.10)
®Æt K = 1,15σS, suy ra: σ1 - σ3 = K (5.11)
Mµ: σ1 = Px vµ σ3 = σx
V× vËy, Px - σx = K (5.12)
LÊy vi ph©n biÓu thøc (5.12), ta cã:
dPx = dσx (5.13)
Trªn c¬ së c¸c biÓu thøc (5.11), (5.12), (5.13) thay vµo biÓu thøc (5.6), ta cã
d¹ng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña qu¸ tr×nh c¸n däc khi biÕn d¹ng hai chiÒu:
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
62
0
ydx
dy
y
K
dx
dP xx =
τ
±− (5.14)
hay: 0
y
P.f
dx
dy
y
K
dx
dP xx =±− (5.15)
BiÓu thøc (5.15) do «ng Carman t×m ra vµ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Carman.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh Carman ta sÏ t×m ®−îc lùc c¸n trong qu¸ tr×nh biÕn d¹ng:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+= ∫∫∫
±dy.e
y
K
CeP dx
y
f
dx
y
f
x (5.16)
Trong biÓu thøc (5.16) th× C lµ h»ng sè tÝch ph©n, nã ®−îc x¸c ®Þnh theo ®iÒu
kiÖn biªn cña bµi to¸n. V× vËy ®Ó x¸c ®Þnh ®−îc h»ng sè C cÇn ph¶i cã c¸c ®iÒu kiÖn
biªn cña vïng biÕn d¹ng khi c¸n. VÊn ®Ò ®iÒu kiÖn biªn ®· ®−îc rÊt nhiÒu ng−êi ®Ò
cËp ®Õn, trong ®ã cã Sªlic«p. ¤ng ®−a ra mét sè gi¶ thiÕt ®Ó cã thÓ coi lµ ®iÒu kiÖn
biªn cña bµi to¸n:
- BiÕn d¹ng theo chiÒu cao cña vËt c¸n lµ ®ång ®Òu.
- Vïng biÕn d¹ng chØ tån t¹i hai vïng tr−ît (vïng trÔ vµ v−ît tr−íc),
kh«ng cã vïng dÝnh.
- HÖ sè ma s¸t f kh«ng ®æi theo däc cung ¨n.
- Quan hÖ gi÷a øng suÊt tiÕp ph¸p τ = f.P, tu©n theo ®Þnh luËt Am«t«n.
- Trë kh¸ng biÕn d¹ng σs lµ kh«ng ®æi trªn ®é dµi cung tiÕp xóc (thùc
chÊt lµ cã biÕn d¹ng khi c¸n nguéi).
- §é dµi cung tiÕp xóc ®−îc thay b»ng d©y cung.
Víi c¸c gi¶ thiÕt trªn, sau khi gi¶i ph−¬ng tr×nh (5.15) t¸c gi¶ t×m ®−îc gi¸ trÞ
cña øng suÊt ph¸p trong vïng trÔ vµ vïng v−ît tr−íc:
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−δ
δ
=
δ
1
h
H
1
K
P
x
x (5.17)
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+δ
δ
=
δ
1
h
H
1
K
P
x
x (5.18)
ë ®©y, δ lµ mét tham sè ®−îc ®Æc tr−ng bëi c¸c gi¸ trÞ:
h
l.f2 x
∆
=δ (5.19)
h
x: chiÒu cao vËt c¸n mµ t¹i ®ã x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn biªn.
Trªn ®©y chóng ta nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh vi ph©n trong vïng biÕn d¹ng ë
hÖ to¹ ®é XOY (§Òc¹c). Chóng ta còng nghiªn cøu ë mét hÖ täa ®é kh¸c nh− hÖ to¹
®é trô hoÆc hÖ to¹ ®é cùc, kÕt qu¶ ®em l¹i ®Òu gièng nhau. VÝ dô, nÕu ta viÕt
ph−¬ng tr×nh vi ph©n (5.6) trong hÖ to¹ ®é trô th× chØ viÖc thay thÕ chç c¸c ký hiÖu
øng suÊt: σx = σρ; Px = σθ; τx = τρθ (5.20)