Chương 8: Không gian vectơ

Chia sẻ: Tran Manh Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

388
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa 8.1. Một tập hợp gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự có dạng: X = (x1, x2, x3,..., xn) được gọi là một vectơ dòng n chiều; hoặc có dạng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 8: Không gian vectơ

Ch¬ng 8: Kh«ng gian vect¬ 8.1. Kh«ng gian vect¬ n chiÒu 8.1.1.Vect¬ n chiÒu. §Þnh nghÜa 8.1. Mét tËp hîp gåm n sè thùc ®îc s¾p xÕp cã thø tù cã d¹ng: X = (x1, x2, x3,..., xn) ®îc gäi lµ mét vect¬ dßng n chiÒu; hoÆc cã d¹ng:  x1  ÷  x2 ÷ . ÷ X =  ÷®îc gäi lµ mét vect¬ cét n chiÒu. . ÷ . ÷ ÷ x ÷  n xj (j = 1, n ) ®îc gäi lµ thµnh phÇn thø j cña vect¬. Hai vect¬ n chiÒu ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu c¸c thµnh phÇn t¬ng øng b»ng nhau vµ ®îc gäi kh¸c nhau nÕu cã Ýt nhÊt mét thµnh phÇn kh¸c nhau. X = (1, 0, −3) lµ vect¬ dßng 3 chiÒu víi x1 = 1, x2 = 0, x3 = −3. VÝ dô 8.1  2 Y =  ÷ lµ vect¬ cét 2 chiÒu víi x1 = 2, x2 = 1. 1  Mét vect¬ n chiÒu mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã ®Òu b»ng 0 ® îc gäi lµ vect¬ kh«ng n chiÒu vµ ký hiÖu lµ 0n= (0, 0, ..., 0). Mét vect¬ n chiÒu cã thµnh phÇn thø j b»ng 1, cßn c¸c phÇn tö kh¸c ®Òu b»ng 0 ®îc gäi lµ vect¬ ®¬n vÞ n chiÒu thø j vµ ký hiÖu lµ Ej. Ej = (0, 0, ..., 1, 0,..., 0). Nh vËy cã n vect¬ dßng ®¬n vÞ vµ n vect¬ cét ®¬n vÞ E1, E2, ...., En. 8.1.2. C¸c phÐp tÝnh vÒ vect¬.
Cho hai vect¬ n chiÒu X = (x1, x2, ...., xn), Y = (y1, y2, ...., yn); k lµ sè thùc bÊt kú. Th× phÐp céng hai vect¬ X, Y vµ phÐp nh©n vect¬ X víi sè k ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: X + Y = (x1 + y1, x2+ y2,..., xn+ yn); kX = (kx1, kx2, ...., kxn). TÝch v« híng cña hai vect¬ X vµ Y ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: < X,Y > = x1 y1 + x2y2 + ...+ xnyn. VÝ dô 8.2. Cho X = (1, 3, −2, 0), Y = (−4, 2, 6, 3). Th×: X + Y = (−3, 5, 4, 3); 2X = (2, 6, −4, 0). 8.1.3. Kh«ng gian vect¬ n chiÒu. §Þnh nghÜa 8.2. TËp hîp tÊt c¶ c¸c vect¬ n chiÒu, trªn ®ã x¸c ®Þnh phÐp céng vect¬ vµ phÐp nh©n mét vect¬ víi mét sè ® îc gäi lµ kh«ng gian vect¬ n chiÒu. Ký hiÖu lµ R n. VÝ dô 8.3. R1 lµ trôc sè; vect¬ 0 lµ sè 0; vect¬ ®¬n vÞ lµ sè 1. R2 lµ mÆt ph¼ng to¹ ®é; vect¬ 02 lµ (0,0); hai vect¬ ®¬n vÞ lµ E1= (1,0) vµ E2= (0,1). §Þnh nghÜa 8.3. Trong R n cho tËp hîp C . NÕu C ≠ ∅, tæng cña hai vect¬ bÊt kú trong C vµ tÝch cña mét sè víi mét vect¬ bÊt kú trong C còng lµ mét vect¬ cña C .Th× tËp C ®ù¬c gäi lµ mét kh«ng gian con cña Rn. VÝ dô 8.4. C¸c tËp hîp sau ®©y lµ c¸c kh«ng gian con cña Rn. C1 = {( x1, x2, ...., xn) ∈ Rn: xi = xj; 1 ≤ i < j ≤ n}, C2 = {( x1, x2, ...., xn) ∈ Rn: x1 + x2 + ... + xn = 0; 1 ≤ i < j ≤ n}.
VÝ dô 8.5. DÔ dµng chøng minh ®îc c¸c kÕt qu¶ sau: (i) Mäi ®êng th¼ng trong R2 ®i qua ®iÓm (0,0) ®Òu lµ kh«ng gian con cña R2. (ii) Mäi ®êng th¼ng (mÆt ph¼ng) trong R3 ®i qua ®iÓm (0,0,0) ®Òu lµ kh«ng gian con cña R3. NhËn xÐt 8.1. (i) TËp { 0n} lµ mét kh«ng gian con cña Rn vµ lµ kh«ng gian con nhá nhÊt cña Rn. Kh«ng gian con lín nhÊt cña Rn lµ Rn. (ii) Mäi kh«ng gian con Rn cña ®Òu chøa vect¬ 0n. 8.2. ®éc lËp tuyÕn tÝnh-phô thuéc tuyÕn tÝnh 8.2.1. Tæ hîp tuyÕn tÝnh. Trong Rn cho tËp hîp C . XÐt c¸c vect¬ cã thÓ nhËn ®îc tõ C qua c¸c phÐp céng vect¬ vµ phÐp nh©n mét vect¬ víi mét sè. §Þnh nghÜa 8.4. Mét vect¬ X ∈ Rn ®îc gäi lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ C (hay X ®îc biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ thuéc C thuéc ) nÕu X cã thÓ viÕt díi d¹ng: X = a1x1 + a2x2 + ...+ amxm trong ®ã xj ∈ C, aj ∈ R (j = 1, 2,..., m). C trong Rn v× 0.X = VÝ dô 8.6. (i) Vect¬ 0n lu«n lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña mäi tËp 0n víi mäi X ∈ C. (ii) Trong Rn cho tËp C = {E1, E2,..., En c¸c vect¬ ®¬n vÞ}. Mäi vect¬ trong Rn ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ thuéc tËp C .
(iii) Trong Rn cho hÖ {A1, A2,..., Am}. Vect¬ Aj (1 < j < m) biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ nÕu tån t¹i c¸c sè k1, k2,..., kj-1, kj+1,..., km sao cho: Aj = k1A1 + k2A2 + ...+ kj-1Aj-1 + kj+1Aj+1 + ...+ kmAm . Chó ý 8.1. (i) Do h¹n chÕ cña ch¬ng tr×nh m«n häc, ta chØ h¹n chÕ xÐt tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ thuéc tËp C, víi tËp C chØ cã h÷u h¹n phÇn tö. (ii) Trong ch¬ng nµy ta lu«n gi¶ thiÕt sè vÐct¬ cña mét hÖ vÐct¬ lµ mét sè nguyªn, d¬ng. C §Þnh nghÜa 8.5. TËp hîp tÊt c¶ c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ thuéc tËp ®îc gäi lµ bao tuyÕn tÝnh cña C, ký hiÖu lµ l(C). VÝ dô 8.7. (i) l(0n) = 0n . (ii) Cho vect¬ X bÊt kú trong Rn th× l(X) = {kX: k ∈ R} NhËn xÐt 8.2. (i) Cho E1, E2,..., En lµ c¸c vect¬ ®¬n vÞ trong Rn th× l(E1, E2,..., En) = Rn. (ii) Cho A1, A2,..., Am lµ c¸c vect¬ trong Rn th× l(A1, A2,..., Am) lµ mét kh«ng gian con cña Rn.( l(A1, A2,..., Am) ®îc gäi lµ kh«ng gian con sinh bëi hÖ {A1, A2,..., Am}). 8.2.2. §Þnh nghÜa hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh. C, aj ∈ R (j = 1, §Þnh nghÜa 8.6. Mét rµng buéc a1x1 + a2x2 + ...+ amxm víi xj ∈ C. Quan hÖ tuyÕn tÝnh trªn ®îc 2,..., m) ®îc gäi lµ mét quan hÖ tuyÕn tÝnh cña gäi lµ kh«ng tÇm thêng nÕu cã Ýt nhÊt mét hÖ sè aj ≠ 0. §Þnh nghÜa 8.7. HÖ {A1, A2,..., Am} c¸c vect¬ trong Rn ®îc gäi lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu cã mét quan hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng tÇm th êng. HÖ {A1, A2,..., Am} c¸c vect¬ trong Rn ®îc gäi lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu nã kh«ng ph¶i lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. NhËn xÐt 8.3.
(i) HÖ {A1, A2,..., Am} c¸c vect¬ trong Rn lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu: k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm = 0n ⇔ k1= k2= ...= km= 0. (ii) §Ó xÐt sù ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ phô thuéc tuyÕn tÝnh cña hÖ vect¬ {A1, A2,..., Am} trong Rn ta ®i gi¶i hÖ k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm = 0n. NÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt k1= k2= ...= km= 0 th× hÖ {A1, A2,..., Am}lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. NÕu ngoµi nghiÖm k1= k2= ...= km= 0 cßn cã nghiÖm víi Ýt nhÊt mét kj nµo ®ã kh¸c 0 th× hÖ {A1, A2,..., Am}lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 8.8. XÐt sù ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ phô thuéc tuyÕn tÝnh cña c¸c hÖ vect¬ sau: (i) {E1, E2,..., En} c¸c vect¬ ®¬n vÞ trong Rn. (ii) A1= (1, 0, 3, −2), A2= (−2, 2, 0, 1), A3= (−1, 2, 3, −1). Gi¶i. k1E1 + k2E2 + ...+ knEn = 0n (i) Ta cã : ⇔ k1(1,0,0,...,0) + k2(0,1,0,...,0) + ...+ kn(0,0,0,...,0,1) = 0n ⇔ (k1,0,0,...,0) + (0, k2,0,...,0) + ...+ (0,0,0,...,0, kn) = 0n ⇔ (k1, k2,..., kn) = 0n ⇔ k1 = k2 =...= kn = 0. VËy hÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ trong Rn lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. k1A1 + k2A2 + k3A3 = 04. (ii) Ta cã : ⇔ k1(1, 0, 3, −2) + k2(−2, 2, 0, 1) + k3(−1, 2, 3, −1) = 04 ⇔ (k1 −2k2− k3, 2k2+ 2k3, 3k1 + 3k3, −2k1 + 3k2− k3) = 04 ⇔ k1 = k2 = − k3, k3 tuú ý. VËy hÖ c¸c vect¬ {A1, A2, A3} trong R4 lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. 8.2.3. TÝnh chÊt cña hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh. TÝnh chÊt 1. Cho X ∈ Rn. HÖ {X} lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh ⇔ X ≠ 0n.
TÝnh chÊt 2. HÖ {A1, A2,..., Am} ⊂ Rn lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× hÖ ®ã kh«ng chøa vect¬ 0n. Do ®ã, mét hÖ vect¬ trong R n chøa vect¬ 0n lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. TÝnh chÊt 3. Cho hÖ {A1, A2,..., Am} ⊂ Rn lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. Th× mäi hÖ chøa nã còng lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. Chøng minh. V× {A1, A2,..., Am} ⊂ Rn lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh nªn tån t¹i bé sè k1, k2,..., km kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho: k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm = 0n. Gi¶ sö hÖ {B1, B2,..., Bp} ⊂ Rn lµ hÖ chøa hÖ {A1, A2,..., Am}. Th× m ≤ p vµ b»ng c¸ch s¾p xÕp l¹i vÞ trÝ cña c¸c vect¬ trong hÖ ta cã: {B1, B2,..., Bp} = {A1, A2,..., Am, Cm+1, Cm+2,..., Cp}. Khi ®ã, k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm + 0.Cm+1 + 0.Cm+2 + ...+ 0.Cp = 0n. Chøng tá hÖ {B1, B2,..., Bp} lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. NhËn xÐt 8.4. Tõ tÝnh chÊt 3 suy ra mét hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong R n th× mäi hÖ con cña nã còng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 8.2.4. C¸c ®Þnh lý. §Þnh lý 8.1. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét hÖ m vect¬ n chiÒu (m ≥ 2) phô thuéc tuyÕn tÝnh lµ trong hÖ ®ã cã Ýt nhÊt mét vect¬ biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ. Chøng minh. Gi¶ sö hÖ {A1, A2,..., Am}⊂ Rn lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. VËy tån t¹i bé sè k1, k2,..., km kh«ng ®ång thêi b»ng 0 (ch¼ng h¹n k1 ≠ 0) sao cho: k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm = 0n. k k2 k ⇒ A1 = − A 2 − 3 A 3 − ... − m A m . k1 k1 k1 Chøng tá A1 biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ.
Ngîc l¹i, nÕu trong hÖ cã Aj biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ. Th× tån t¹i c¸c sè k1, k2,..., kj-1, kj+1,..., km sao cho: Aj = k1A1 + k2A2 + ...+ kj-1Aj-1 + kj+1Aj+1 + ...+ kmAm . ⇒ k1A1 + k2A2 + ...+ kj-1Aj-1 + (−1) Aj + kj+1Aj+1 + ...+ kmAm = 0n víi kj = −1 ≠ 0. VËy {A1, A2,..., Am} lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. NhËn xÐt 8.5. §Þnh lý 8.1 cho ta thÊy ®Ó chøng minh mét hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh ta chØ cÇn chØ ra trong hÖ cã mét vect¬ biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ lµ ®ñ. Ch¼ng h¹n, trong vÝ dô 8.8 ( ii) kh«ng cÇn lµm dµi dßng nh vËy mµ chØ cÇn nãi A3 = A1 + A2 suy ra hÖ ®ã phô thuéc tuyÕn tÝnh. §Þnh lý 8.2. NÕu hÖ {A1, A2,..., Am} ⊂ Rn lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, vect¬ X biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1, A2,..., Am}. Th× c¸ch biÓu thÞ ®ã lµ duy nhÊt. Chøng minh. Gi¶ sö vect¬ X cã hai c¸ch biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1, A2,..., Am} lµ: X = k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm vµ X = h1A1 + h2A2 + ...+ hmAm . ⇒ X − X = (k1−h1)A1 + (k2 −h2)A2 + ...+ (km −hm)Am = 0n. (8.1) Mµ hÖ {A1, A2,..., Am} lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn tõ (8.1) suy ra kj= hj (j = 1,2,...,m).(®pcm) NhËn xÐt 8.6. Theo kÕt qu¶ cña vÝ dô 8.8 (i) th× hÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1, E2,..., En} trong R n lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. NÕu X = (x1, x2,..., xn) ∈ R n. Th× X = x1E1 + x2E2 + ...+ xnEn . Hay X biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh {E1, E2,..., En}. KÕt hîp víi ®Þnh lý 8.2 ta cã thÓ kÕt luËn r»ng: “ Mçi vect¬ trong Rn ®Òu ®îc biÓu thÞ tuyÕn tÝnh duy nhÊt qua c¸c vect¬ cña hÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1, E2,..., En}”. Chóng ta c«ng nhËn ®Þnh lý sau:
§Þnh lý 8.3. Trong Rn cho hai hÖ vect¬ {A1, A2,..., Am} vµ {B1, B2,..., Bk} víi k > m. §ång thêi mçi vect¬ cña hÖ {B1, B2,..., Bk} ®Òu biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1, A2,..., Am}. Th× hÖ {B1, B2,..., Bk} phô thuéc tuyÕn tÝnh. 8.3. c¬ së vµ sè chiÒu cña kh«ng gian vect¬ 8.3.1. HÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn. §Þnh nghÜa 8.7. HÖ vect¬ {A1, A2,..., Am}⊂ Rn ®îc gäi lµ hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn nÕu hÖ ®ã ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ khi bæ sung thªm bÊt kú mét vect¬ n chiÒu nµo kh¸c vµo hÖ th× ®îc hÖ míi phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 8.9. (i) HÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1,E2,...,En}trong R n lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong R n (®iÒu nµy ®îc suy ra tõ nhËn xÐt 8.6 vµ ®Þnh lý 8.1). (ii) Trong R n cho hÖ vect¬: A1 = (1,0,0,...,0), A2 = (0,2,0,...,0),..., An = (0,0,0,...,n). CMR: hÖ {A1, A2,..., An} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong R n . k1A1 + k2A2 + ...+ knAn = 0n ThËt vËy, ⇔ k1(1,0,0,...,0) + k2(0,2,0,...,0) + ...+ kn(0,0,0,...,n) = 0n ⇔ (k1,0,0,...,0) + (0,2 k2,0,...,0) + ...+ (0,0,0,...,n kn) = 0n ⇔ (k1,2 k2,...,n kn) = 0n ⇔ k1= k2=...= kn = 0 (8.2) MÆt kh¸c, Vect¬ bÊt kú X = (x1, x2,..., xn) ∈ R n. Th×: x x2 A2 + ...+ n An . X = x1A1 + n 2 Hay X biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1, A2,..., An}. KÕt hîp víi (8.2) ta ®îc hÖ {A1,A2,...,An} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong R n .
NhËn xÐt 8.7. NÕu mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong Rn vµ mäi vect¬ thuéc Rn ®Òu biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ ®ã. Th× hÖ ®ã ®éc lËp tuyÕn tÝnh cc ®¹i trong Rn. ThËt vËy, gi¶ sö hÖ {A1, A2,..., Am} ⊂ Rn lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ mäi vect¬ thuéc Rn ®Òu biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ ®ã. LÊy vect¬ bÊt kú X ∈ R n th× tån tai c¸c sè k1, k2,..., km sao cho: X = k1A1 + k2A2 + ...+ kmAm. Bæ sung X vµo hÖ {A1, A2,..., Am} th× ®îc hÖ míi {A1, A2,..., Am,X} lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh (v× X biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ). Do ®ã hÖ {A1, A2,..., Am} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn. §inh lý 8.4 (TÝnh chÊt cña hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn). Trong Rn cã nhiÒu hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i. Nh ng mçi hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn ®Òu cã sè vect¬ b»ng nhau vµ b»ng n. Sè n ® - îc gäi lµ sè chiÒu cña Rn. Chøng minh. Theo kÕt qu¶ cña vÝ dô 8.9 (i) th× hÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1,E2,...,En} lµ hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong R n víi sè vect¬ cña hÖ lµ n. Gi¶ sö hÖ {A1, A2,..., Am}⊂ Rn lµ hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn kh¸c víi hÖ {E1,E2,...,En} ta cÇn chøng minh m = n. Gi¶ sö m > n. V× hÖ {A1,A2,...,Am} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn nªn nã lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ mçi vect¬ trong hÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1,E2,...,En} cña Rn ®Òu ®îc biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1, A2,..., Am}. ¸p dông ®Þnh lý 8.3 ta ®îc hÖ {A1, A2,..., Am} phô thuéc tuyÕn tÝnh. Tr¸i víi gi¶ thiÕt ⇒ m ≤ n. MÆt kh¸c, nÕu n > m chøng minh t¬ng tù nh trªn nhng ®æi vai trß cña hai hÖ {A1, A2,..., Am} vµ {E1,E2,...,En} cho nhau ta l¹i ®îc n ≤ m tõ ®ã suy ra m = n. (®pcm)
§Þnh nghÜa 8.8. Mçi hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn ®îc gäi lµ mét c¬ së cña kh«ng gian Rn. VÝ dô 8.10. Tõ ®Þnh nghÜa 8.8 vµ vÝ dô 8.9 ta cã: (i) HÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1,E2,...,En} lµ mét c¬ së cña kh«ng gian Rn. (ii) HÖ {A1, A2,..., An} ®îc cho bëi: A1 = (1,0,0,...,0), A2 = (0,2,0,...,0),..., An = (0,0,0,...,n) lµ mét c¬ së cña kh«ng gian Rn. §Þnh nghÜa 8.9. Gi¶ sö hÖ {A1, A2,..., An} lµ mét c¬ së cña Rn, X lµ mét vect¬ trong Rn vµ X = k1A1 + k2A2 + ...+ knAn. Th× bé sè (k1, k2,..., kn) lµ duy nhÊt (®Þnh lý 8.2) vµ ®îc gäi lµ to¹ ®é cña vect¬ X theo c¬ së {A1, A2,..., An}, hay vect¬ hÖ sè ph©n tÝch cña vect¬ X theo c¬ së {A1, A2,..., An}. VÝ dô 8.11. (i) HÖ c¸c vect¬ ®¬n vÞ {E1,E2,...,En} lµ mét c¬ së cña kh«ng gian Rn, X = (x1,x2,...,xn) ∈ Rn. Th× X = x1 E1 + x2E2 + ...+ xnEn VËy (x1,x2,...,xn) lµ to¹ ®é cña vect¬ X theo c¬ së {E1,E2,...,En}. (ii) HÖ {A1, A2,..., An} ®îc cho bëi: A1 = (1,0,0,...,0), A2 = (0,2,0,...,0),..., An = (0,0,0,...,n) lµ mét c¬ së cña kh«ng gian Rn, X = (x1,x2,...,xn) ∈ Rn. Th× x x2 A2 + ...+ n An . X = x1A1 + n 2  x x VËy  x1 , 2 ,..., n ÷ lµ to¹ ®é cña X theo c¬ së {A1, A2,..., An}. 2 n  NhËn xÐt 8.8. Tõ c¸c kÕt qu¶ cña vÝ dô 8.11 ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:
(i) To¹ ®é cña mét vect¬ trong Rn theo c¬ së ®¬n vÞ lµ chÝnh nã. (ii) Mét vect¬ trong Rn nhng to¹ ®é cña nã theo hai c¬ së kh¸c nhau cña R n th× kh¸c nhau. 8.3.2. C¬ së vµ sè chiÒu cña kh«ng gian con. Trong phÇn nµy ta lu«n gi¶ thiÕt C lµ mét kh«ng gian con cña Rn. C ®îc gäi lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc §Þnh nghÜa 8.9. HÖ {A1, A2,..., Am}⊂ ®¹i trong C nÕu hÖ ®ã lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ®ång thêi khi bæ sung thªm bÊt kú mét vect¬ nµo kh¸c cña C vµo hÖ ®ã th× ®îc mét hÖ míi phô thuéc tuyÕn tÝnh. C = {X = (a, a + b, a − b) ∈ R3 b ∈ R }, A1 = (1, 1, 1) vµ A2 = VÝ dô 8.12. Cho a, (0, 1, −1). Chøng minh r»ng: C lµ mét kh«ng gian con cña R3. (i) (ii) HÖ {A1, A2} lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong C. Gi¶i. (i) Ta cã: 03 = (0,0,0) = (0, 0+ 0, 0−0) ∈ C. ⇒ C ≠ ∅. (8.3) C th× X = (a, a+ b, a−b), Y = (c, c+ d, c−d) víi a, b, c, d LÊy X, Y bÊt kú trong lµ c¸c sè thùc bÊt kú. Khi ®ã, X + Y = [(a+ c), (a+ c)+ (b+ d), (a+ c)−(b+ d)] ∈ C ; (8.4) k X = (ka, ka+ kb, ka−kb) ∈ C. (∀k ∈R) (8.5) Tõ (8.3), (8.4) vµ (8.5) ⇒ C lµ kh«ng gian con cña R3. A1 = (1, 1, 1) = A1 = (1, 1+ 0, 1−0) ∈ C ; (ii) Ta cã: (8.6) A2 = (0, 1, −1) = A2 = (0, 0+ 1, 0−1) ∈ C . (8.7) C. Tõ (8.6), (8.7) ⇒ hÖ {A1, A2} ⊂
Ta l¹i cã: k A1 + h A2 = 03 ⇔ (k, k+ h, k−h) = 03 ⇔ k = h = 0. (8.8) LÊy X bÊt kú thuéc C th× X = (a, a+ b, a−b) víi a, b lµ c¸c sè thùc, nªn X = (a, a+ b, a−b) =(a,a,a) + (0, b, −b) = aA1+ bA2. (8.9) C. Tõ (8.8), (8.9) ⇒ hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong §inh lý 8.5 (TÝnh chÊt cña hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong kh«ng gian con). Trong kh«ng gian con C cña Rn cã nhiÒu hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc C ®¹i. Nhng mçi hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong ®Òu cã sè vect¬ b»ng nhau. §Þnh nghÜa 8.10. Mçi hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong kh«ng gian con C ®îc gäi lµ mét c¬ së cña kh«ng gian con ®ã . Sè vect¬ trong mét c¬ së cña C kh«ng gian con ®îc gäi lµ sè chiÒu cña kh«ng gian con ®ã vµ ký hiÖu lµ dim C. C = {X = (a+ c, a+ b, −b+ c, 2a+ b+ c) ∈ R4a, b, c ∈ R }. VÝ dô 8.13. Cho C lµ mét kh«ng gian con cña R4. (i) Chøng minh r»ng (ii) T×m mét c¬ së vµ tinh sè chiÒu cña C. Gi¶i. (i) Ta cã: 03 = (0,0,0,0) = (0+ 0, 0+ 0, −0+ 0.2.0+ 0+ 0) ∈ C. ⇒ C ≠ ∅. C th× X = (x1+ x3, x1+ x2,−x2+ x3, 2x1+ x2+ x3), Y = LÊy X, Y bÊt kú trong (y1+ y3, y1+ y2,−y2+ y3, 2 y1+ y2+ y3) víi xj, yj (j =1, 2, 3) lµ c¸c sè thùc bÊt kú. Khi ®ã, X+ Y ∈C; k X ∈ C. (∀k ∈R) ⇒ C lµ kh«ng gian con cña R4.
(ii) LÊy X bÊt kú thuéc C th× X = (a+ c, a+ b, −b+ c, 2a+ b+ c) = (a,a,0,2a) + (0,b,−b,b) + (c,0,c,c) = a A1 + b A2 + c A3, A1 = (1,1,0,2) = (1+ 0,1+ 0, −0+ 0,2+ 0+ 0) ∈ C ; trong ®ã A2 = (0,1,−1,1) = (0+ 0,0+ 1,−1+ 0,2.0+ 1+ 0) ∈ C ; A3 = (1,0,1,1) = (0+ 1,0+ 0, −0+ 1, 2.0+ 0+ 1) ∈ C . C vµ VËy hÖ {A1, A2, A3} ⊂ A1 − A2 = A3. Ta l¹i cã: a A1 + b A2=04 ⇔ (a, a+ b, −b,2a+ b)=04 ⇔ a= b = 0. Do ®ã hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. LÊy X bÊt kú thuéc C th× X = (a+ c, a+ b, −b+ c, 2a+ b+ c) víi a, b, c lµ c¸c sè thùc, nªn X = (a,a,0,2a) + (0,b,−b,b) + (c,0,c,c) = (a+ c)A1 + (b−c)A2 C . V× vËy hÖ {A1, A2} lµ ⇒ hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong mét c¬ së cña C vµ dim C = 2. 8.4. h¹ng cña hÖ vect¬ 8.4.1. PhÐp biÕn ®æi s¬ cÊp thùc hiÖn vµo mét hÖ vect¬. §Þnh nghÜa 8.10. Trong Rn, cho hÖ vect¬ {A1, A2,..., Am}. C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y thùc hiÖn vµo hÖ vect¬ {A1, A2,..., Am} ®îc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp thùc hiÖn vµo hÖ vect¬ ®ã: §æi chç hai vect¬ cho nhau; Nh©n mét vect¬ trong hÖ víi mét h»ng sè tuú ý kh¸c 0; Nh©n mét vect¬ trong hÖ víi mét h»ng sè tuú ý råi céng vµo mét vect¬ kh¸c cña hÖ.
Khi thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vµo mét hÖ vect¬ trong R n th× Chó ý 8.2. hÖ ®· cho ®îc ®a vÒ mét hÖ míi. Trong hÖ míi ®ã cã vect¬ thay ®æi vµ vect¬ kh«ng thay ®æi, cô thÓ lµ: §èi víi phÐp biÕn ®æi thø nhÊt, vect¬ ®îc céng vµo lµ vect¬ thay ®æi, c¸c vect¬ kh¸c kh«ng ®æi. §èi víi phÐp biÕn ®æi thø hai vect¬ ® îc nh©n víi h»ng sè lµ vect¬ thay ®æi, c¸c vect¬ kh¸c kh«ng ®æi. §èi víi phÐp biÕn ®æi thø ba, vect¬ ® îc céng thªm vµo lµ vect¬ thay ®æi, c¸c vect¬ kh¸c kh«ng ®æi. VÝ dô 8.14. Trong R4 cho hÖ{A1, A2, A3} víi A1 = (1,0,2,1); A2 = (1,3,0,0) vµ A3 = (0,1,1,2). Céng A1 vµo A2 th× ®îc hÖ míi lµ: A1 = (1,0,2,1); A′ 2 = (2,3,2,1); A3 = (0,1,1,2). Nh©n A1 víi 2 th× ®îc hÖ míi lµ: A′ 1 = (2,0,4,2); A2 = (1,3,0,0); A3 = (0,1,1,2). Nh©n A1 víi 2 råi céng vµo A3 th× ®îc hÖ míi lµ: A1 = (1,0,2,1); A2 = (1,3,0,0); A′ 3 = (2,1,5,4). 8.4.2. HÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña mét hÖ vect¬. Cho m vµ p lµ c¸c sè nguyªn, d¬ng, 1 ≤ p ≤ m vµ hÖ {A1, A2,..., Am}⊂ Rn. Tõ hÖ {A1, A2,..., Am} lÊy ra p vect¬ gi¶ sö ®ã lµ c¸c vect¬ B 1, B2,..., Bp. Th× hÖ {B1, B2,..., Bp} ®îc gäi lµ hÖ con cña hÖ {A1, A2,..., Am}. §Þnh nghÜa 8.11. HÖ {B1, B2,..., Bp} ®îc gäi lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1, A2,..., Am} ⊂ Rn nÕu hÖ {B1, B2,..., Bp} ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ khi bæ sung thªm bÊt kú mét vect¬ nµo kh¸c trong hÖ {A1,A2,..., Am} vµo hÖ {B1, B2,..., Bp} th× ®îc hÖ míi phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 8.15. Trong R5 cho hÖ {A1, A2, A3, A4} víi:
A1 = (1,0,2,1,0); A2 = (1,3,0,0,1); A3 = (2,3,2,1,1); A4 = (0,−3,2,1, −1). CMR hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1, A2, A3, A4}. Gi¶i. §Ó chøng minh hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1, A2, A3, A4} ta cÇn chøng minh hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ c¸c hÖ {A1,A2,A3}, {A1,A2,A4} phô thuéc tuyÕn tÝnh. Ta cã: a A1 + b A2 = 05 ⇔ (a+ b,3b,2a,a,b) = 05 ⇔ a = b = 0. Hay hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. A3 = A1 + A2; A4 = A1 − A2. Chøng tá c¸c hÖ {A1,A2,A3}, {A1,A2,A4} lµ nh÷ng hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh do ®ã hÖ {A1, A2} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1, A2, A3, A4}. VÝ dô 8.16. (i) HÖ {0n} kh«ng cã hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i. (ii) HÖ {X} víi X ≠ 0ncã hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i lµ chÝnh nã. (iii) Trong Rn cho hÖ {A1, A2, ..., Am} lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1, A2, ..., Am} lµ chÝnh nã. NhËn xÐt 8.9. Víi A1, A2, A3, A4 ®îc cho nh trong vÝ dô 8.15, ta còng chøng minh ®îc mçi hÖ trong c¸c hÖ {A1, A3}, {A1, A4}, {A2, A3}, {A2, A4}, {A3, A4} ®Òu lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1, A2, A3, A4}. Qua ®ã ta thÊy hÖ vect¬ {A1, A2, A3, A4} cã nhiÒu hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i, mçi hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i ®ã ®Òu cã sè vect¬ b»ng nhau vµ b»ng 2. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ kÕt luËn trªn cã ®óng cho mäi hÖ vect¬ hay kh«ng? §Þnh lý sau ®©y kh¼ng ®Þnh ®iÒu ®ã.
§inh lý 8.6 .Mét hÖ vect¬ trong Rn cã thÓ cã nhiÒu hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i. Nhng mçi hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña nã ®Òu cã sè vect¬ b»ng nhau. §Þnh nghÜa 8.12. Mçi hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña mét hÖ vect¬ trong Rn ®îc gäi lµ mét c¬ së cña hÖ vect¬ ®ã. NhËn xÐt 8.10. Tõ nhËn xÐt 8.9 vµ ®Þnh lý 8.6 ta thÊy mét hÖ vect¬ trong R n cã thÓ cã nhiÒu c¬ së. VÝ dô 8.17. Cho hÖ 4 vect¬: A = (2,1,2,3); B =(1,3,4,4); C = (1,1,6,2); D = (2,5,−2,−7). T×m mét c¬ së cña hÖ vect¬ {A,B,C,D}. Gi¶i. Ta cã D = A + 2B −2C nªn hÖ {A,B,C,D} lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. aA + bB + cC = 04 XÐt (2a + b+ c, a+ 3b+ c, 2a+ 4b+ 6c, 3a+ 4b+ 2c) = 04 ⇔ ⇔ a = b = c = 0. Chøng tá hÖ {A,B,C} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Do ®ã, nã ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A,B,C,D}. VËy hÖ {A,B,C} lµ mét c¬ së cña hÖ {A,B,C,D}. T¬ng tù, chóng ta còng chøng minh ®îc mçi hÖ con gåm ba vect¬ trong bèn vect¬ cña hÖ {A,B,C,D}, ®Òu lËp thµnh mét c¬ së cña hÖ {A,B,C,D}. 8.4.3. H¹ng cña hÖ vect¬. §Þnh nghÜa 8.13. H¹ng cña mét hÖ vect¬ trong Rn lµ sè vect¬ cña mét hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ vect¬ ®ã. Ký hiÖu h¹ng cña hÖ vect¬ {A1, A2, ..., Am}⊂ Rn lµ: hg(A1, A2, ..., Am) hoÆc h(A1, A2, ..., Am). Cho hÖ vect¬ {A1,A2, ...,Am}⊂ Rn; r = hg(A1, A2, ..., Am). Th× trong hÖ {A1,A2, ..., Am} cã Ýt nhÊt mét hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i gåm r vect¬ vµ ta cã: 0≤ r ≤ m.
∗ r = 0 ⇔ A1= A2 = ...= Am =0n. ∗ r = m ⇔ hÖ vect¬ {A1,A2, ...,Am} ®«c lËp tuyÕn tÝnh. ∗ r < m ⇔ hÖ vect¬ {A1,A2, ...,Am} phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 8.18. (i) hg(0n) = 0, hg(X) = 1 (∀X ∈Rn\{0n}). (ii) hg(A1, A2, A3, A4) =2 víi A1, A2, A3, A4 ®îc cho nh trong vÝ dô 8.15. (iii) hg(E1, E2, ..., En) =n víi E1, E2, ..., En lµ c¸c vect¬ ®¬n vÞ trong Rn. §inh lý 8.7. NÕu thªm vµo hoÆc bít ®i ë mét hÖ vect¬ trong Rn, mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ trong hÖ ®ã th× kh«ng lµm thay ®æi h¹ng cña hÖ vect¬ ®ã. Chøng minh. Gi¶ sö hÖ vect¬ {A1,A2, ...,Am}⊂ Rn cã r = hg(A1, A2, ..., Am). VËy trong hÖ {A1,A2, ...,Am} cã mét hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i gåm r vect¬, kh«ng gi¶m tæng qu¸t gi¶ sö ®ã lµ c¸c vect¬ A 1,A2, ...,Ar. Khi ®ã, mäi vect¬ cßn l¹i cña hÖ {A1,A2, ...,Am} ®Òu biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1,A2, ...,Ar}. NghÜa lµ, tån t¹i c¸c sè thùc α ij (j = 1,2,...,m; i = 1,2,...,r) sao cho: Aj = α1j A1 + α 2 A 2 + ... + α rj A r (j = 1,2,...,m). j Gi¶ sö vect¬ X0 = k1A1 + k2A2 + ... + kmAm. Th× X0 = k1A1 + k2A2 + ... + krAr + kr+1( α1 +1 A1 + α 2+1 A 2 + ... + α r +1 A r ) r r r + kr+2( α1 + 2 A1 + α 2+ 2 A 2 + ... + α r + 2 A r ) + ... + km( α1 A1 + α 2 A 2 + ... + α m A r ) r r m m r r = α1 A1 + α 2 A 2 + ... + α 0 A r , 0 0 r trong ®ã α i0 = ( i = 1,2,...,r) lµ c¸c sè thùc. chøng tá X 0 ®îc biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1,A2, ...,Ar}. NÕu thªm vµo hÖ {A1,A2,...,Am} vect¬ X0 th× ®îc hÖ míi {A1,A2,...,Am, X0}. Ta cÇn chøng minh hg(A1,A2, ...,Am, X0) = r. ThËt vËy, theo kÕt qu¶ trªn th× hÖ {A1,A2, ...,Ar} ®éc lËp tuyÕn tÝnh, c¸c hÖ {A1,A2, ...,Ar, Aj} (víi r < j ≤ m) vµ hÖ {A1,A2, ...,Ar, X0} phô thuéc tuyÕn tÝnh v×
cã Aj hoÆc X0 biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cña hÖ {A1,A2, ...,Ar}. Nªn hÖ {A1,A2, ...,Ar} ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1,A2, ...,Am,X0}, hay hg(A1,A2,...,Am,X0) = r. NÕu bít ®i tõ hÖ {A1,A2, ...,Am} vect¬ X0 ta chøng minh t¬ng tù. §inh lý 8.8. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp thùc hiÖn vµo mét hÖ vect¬ trong R n kh«ng lµm thay ®æi h¹ng cña hÖ vect¬ ®ã. NhËn xÐt 8.11. (i) Gi¶ sö hÖ vect¬ {A1,A2, ...,Am}⊂ Rn cã r = hg(A1,A2, ...,Am), hÖ {A1,A2, ...,Ar} lµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong hÖ {A1,A2, ...,Am}. Khi ®ã, r = hg(A1,A2, ...,Ar) = hg(A1,A2, ...,Am). (ii) Gi¶ sö hÖ vect¬ {A1,A2, ...,Am}⊂ Rn cã Am biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ th× hg(A1,A2, ...,Am-1) = hg(A1,A2, ...,Am). (iii) §Ó t×m h¹ng cña mét hÖ vect¬ trong Rn, ngêi ta thêng sö dông c¸c ®Þnh lý 8.7 vµ 8.8 ®a viÖc t×m h¹ng cña mét hÖ vect¬ phøc t¹p vÒ viÖc t×m h¹ng cña mét hÖ vect¬ ®¬n gi¶n h¬n. VÝ dô 8.19. T×m h¹ng cña hÖ vect¬ sau: A1= (1,0,−2,3,0); A2= (2,1, −4, −6,0); A3= (3, −1, 2, 9,0); A4= (3, 1,−6,−3,0). Gi¶i. Ta cã A4 = A1 + A2 nªn theo nhËn xÐt 8.11 (ii) ta cã: hg(A1,A2, A3,A4) = hg(A1,A2,A3). Nh©n A1 víi (−2) råi céng vµo A2 ®îc A′ 2= (0,1,0,−12,0). Nh©n A1 víi (−3) råi céng vµo A3 ®îc A′ 3= (0, −1,8,0,0). Theo ®Þnh lý 8.8 ta cã: hg(A1,A2,A3) = hg(A1, A′ 2, A′ 3). k1 A1 + k2A′ 2 + k3A′ 3 = 05 MÆt kh¸c, ⇔ k1(1,0,−2,3,0) + k2 (0,1,0,−12,0) + k3(0, −1,8,0,0) = 05 ⇔ (k1,k2−k3,−2k1+ 8 k3,3 k1,−12k2,0) = 05
⇔ k1= k2= k3= 0. VËy hÖ {A1, A′ 2, A′ 3} ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn hg(A1, A′ 2, A′ 3) = 3. Do ®ã, hg(A1,A2, A3,A4) = hg(A1,A2,A3) = hg(A1, A′ 2, A′ 3) = 3. C©u hái «n tËp ch¬ng 8 C©u 1. Chøng minh bao tuyÕn tÝnh cña m vÐc t¬ trong Rn lµ mét kh«ng gian con cña Rn. C©u 2. §Þnh nghÜa hÖ vÐc t¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh (PTTT), hÖ vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh (§LTT). Cho vÝ dô minh ho¹ b»ng c¸c hÖ 3 vÐc t¬ 4 chiÒu. C©u 3. H·y chØ ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó 1 hÖ gåm: mét vÐc t¬ trong Rn; hai vÐc t¬ trong Rn lµ hÖ PTTT. C©u 4. Ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt liªn quan ®Õn c¸c hÖ §LTT vµ PTTT. Nªu c¸c hÖ qu¶ cña chóng. C©u 5. Ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c ®Þnh lý 8.1 vµ 8.2. C©u 6. Nªu hai ®Þnh nghÜa hÖ vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i trong Rn. Gi¶i thÝch v× sao chóng t¬ng ®¬ng nhau. Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý 8.4. C©u 7. Nªu c¸c ®Þnh nghÜa hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña hÖ vÐc t¬. §Þnh nghÜa h¹ng cña hÖ vÐc t¬. Chøng minh c¸c tÝnh chÊt vÒ h¹ng cña hÖ vÐc t¬. C©u 8. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp víi hÖ vÐc t¬. Ph¸t biÓu ®Þnh lý vÒ sù b¶o toµn h¹ng cña hÖ vÐc t¬ qua c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp. Chøng minh ®Þnh lý trªn cho phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp lo¹i 3. C©u 7. §Þnh nghÜa hÖ vÐc t¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i vµ sè chiÒu cña kh«ng gian con cña Rn. C©u 10. Cho hÖ vÐc t¬ {A1,A2,...,Am,A} ⊂ Rn, trong ®ã hÖ con {A1,A2,...,Am}
lµ hÖ §LTT. Chøng minh hÖ vect¬ ®· cho lµ PTTT khi vµ chØ khi A lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐc t¬ ®øng tríc nã. C©u 11. Sö dông ®Þnh lý 3 vÒ sù §LTT vµ PTTT, chøng minh trong Rn: a) Mäi hÖ vÐc t¬ §LTT chøa kh«ng qu¸ n vÐc t¬. b) Mäi hÖ cã sè vÐc t¬ lín h¬n n ®Òu PTTT. c) Mäi hÖ §LTT gåm ®óng n vÐc t¬ lµ mét c¬ së. C©u 12. NÕu mét hÖ vÐc t¬ trong Rn cã h¹ng b»ng r, h·y chøng tá r»ng mäi hÖ con §LTT cña nã nÕu chøa ®óng r vÐc t¬ sÏ lµ mét c¬ së. C©u 13. Cho hÖ vÐc t¬ {A1,A2,...,Am}⊂ Rn. Chøng minh r»ng: hÖ (A1,A2,...,Am) §LTT ⇔ hg(A1,A2,...,Am)= m hÖ (A1,A2,...,Am) PTTT ⇔ hg(A1,A2,...,Am) < m C©u 14. Chøng minh r»ng nÕu vÐc t¬ A ⊂ Rn biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vÐc t¬ cña mét hÖ PTTT th× c¸ch biÓu thÞ ®ã kh«ng ph¶i lµ duy nhÊt.