intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương II: Nguyên hàm và tích phân

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
69
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các đề thi Đại học chủ đề vềNguyên hàm và tích phân vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương II: Nguyên hàm và tích phân

  1. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N I. CÔNG TH C TÍCH PHÂN T N G PH N u = u ( x ) ; v = v(x) có Gi s o hàm liên t c trong mi n D, khi ó ta có: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • d ( uv ) = udv + vdu ⇔ d ( uv ) = udv + vdu ⇔ uv = udv + vdu b b b ∫ udv = uv − ∫ vdu ⇒ ∫ udv = ( uv ) ∫ ⇒ − vdu a a a Nh n d n g: Hàm s dư i d u tích phân thư ng là tích 2 lo i hàm s khác nhau Ý nghĩa: ưa 1 tích phân ph c t p v tích phân ơ n gi n hơ n (trong nhi u trư ng h p vi c s d ng tích phân t ng ph n s kh b t hàm s dư i d u tích phân và cu i cùng ch còn l i 1 lo i hàm s dư i d u tích phân) Chú ý: C n ph i ch n u, dv sao cho du ơn gi n và d tính ư c v ng th i ∫ vdu ∫ udv ơ n gi n hơn tích phân tích phân II. CÁC D N G TÍCH PHÂN T N G PH N C Ơ B N VÀ CÁCH CH N u, dv 1 . D ng 1: u = P ( x )  sin ( ax + b ) dx   sin ( ax + b ) dx  cos ( ax + b ) dx  cos ( ax + b ) dx ∫ P (x)  ⇒ (trong ó P(x) là a th c) dv =  ax + b  e dx  ax + b  e dx  ax + b dx   m  ax + b m dx   2 . D ng 2: dv = P ( x ) dx  arcsin ( ax + b ) dx  arcsin ( ax + b )  arccos ( ax + b ) dx  arccos ( ax + b )  arctg ( ax + b ) dx    P (x)  ∫ arctg ( ax + b ) ⇒ ( ax + b ) dx u =  (trong ó P(x) là a th c)  arc cotg  arc cotg ( ax + b )  ln ( ax + b ) dx  ln ( ax + b )   log m ( ax + b ) dx    log m ( ax + b )    3 . D ng 3:  sin ( ln x )  eax+b sin ( αx + β) dx  eax+b sin ( ln x ) dx  cos ( ln x )  ax+b u =  ax+b ()  e cos ( αx + β) dx ⇒  m u = sin ( log x ) k cos ln x dx ∫ ∫ x ⇒ sin ( loga x) dx  cos ( log x)  max+b sin ( αx + β) dx  ; a dv = sin ( αx + β) dx   cos ( loga x ) dx   k  ax+b cos ( αx + β) dx a m cos ( αx + β) dx      dv = x dx 2 10
  2. Bài 8. Phương pháp tích phân t ng ph n III. CÁC BÀI T P M U MINH H A : ∫ P ( x ) {sin ( ax + b ) ; cos ( ax + b ) ; e ; m ax+b } dx ax+b 1 . D ng 1: ∫ • A1 = x 3 cos x dx . u = x 3 du = 3x 2 dx   ⇒ Cách làm ch m: t . Khi ó ta có: dv = cos x dx  v = sin x   u = x 2  du = 2x dx  ∫ 3 2 ⇒ t A1 = x sin x − 3 x sin x dx . . Khi ó ta có: dv = sin x dx  v = −cosx   u = x du = dx   A1 = x sin x − 3  − x cos x + 2 x cos x dx  . ∫ 3 2 ⇒ t .   dv = cos x dx  v = sin x   ( ) ∫ 3 2 3 2 A1 = x sin x + 3x cos x − 6 xsin x − sin xdx = x sin x + 3x cos x − 6 ( xsin x + cos x ) + c ∫ P ( x ) L ( x ) dx = ∫ P ( x ) du Cách làm nhanh: Bi n i v d ng A1 = x3 cos x dx = x 3 d ( sin x ) = x 3 sin x − sin x d ( x3 ) = x3 sin x − 3 x 2 sin x dx ∫ ∫ ∫ ∫ = x sin x + 3 x d ( cos x ) = x sin x + 3  x cos x − cos x d ( x )  ∫ ∫ 3 2 3 2 2   ∫ ∫ 3 2 3 2 = x sin x + 3x cos x − 6 x cos x dx = x sin x + 3x cos x − 6 x d ( sin x ) ( ) ∫ 3 2 3 2 = x sin x + 3x cos x − 6 xsin x − sin xdx = x sin x + 3x cos x − 6 ( xsin x + cos x) + c 1 3 ( 5 x −1 ) 1  3 5 x −1 − e5 x −1 d ( x3 )  ∫ ∫ ∫ • A2 = x 3 e 5x − 1 dx = = xe xd e 5  5 1 3 2 ( 5x −1 )  1 =  x 3 e5x −1 − 3 x 2 e5x −1 dx  =  x 3 e5x −1 − ∫ ∫ xde    5  5 5 1 3 1 3 6 = x 3 e5x −1 −  x 2 e5x −1 − e5x −1 d ( x 2 )  = x 3 e5x −1 − x 2 e5x −1 + ∫ ∫ xe5x −1 dx  5 5 25 25 25 1 3 6 1 3 ∫ x d ( e5x −1 ) = x 3 e5x −1 − x 2 e5x −1 + = x 3 e5x −1 − x 2 e5x −1 + 5 25 125 5 25 6  5x −1 1 3 6 6 5x −1 − e5x −1 dx  = x 3 e5x −1 − x 2 e5x −1 + ∫ xe5x −1 − + +c xe e 125  5 25 125 625 Nh n xét: N u P(x) có b c n thì ph i n l n s d ng tích phân t ng ph n. 2 11
  3. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π2/4 x 0 π2 /4 ∫ t t = x ⇒t = x ⇒ • A3 = x sin x dx . 2 t 0 π/2 0 dx 2tdt π2 π2 π2 π2 π2 + 2 ∫ cos td ( t ) = 6 ∫ t cos t dt ∫ ∫ 3 3 3 3 2 A3 = 2 t sin t dt = −2 t d ( cos t ) = −2t cos t 0 0 0 0 0 π2 π2 π2 π2 3π2 3π2 π2 = 6 t 2 d ( sin t ) = 6t 2 sin t 0 − 6 sin td ( t 2 ) = ∫ ∫ ∫ ∫ + 12 td ( cos t ) −12 t sin t dt = 2 2 0 0 0 0 π2 3π 2 3π2 3π2 π2 π2 ∫ = + 12t cos t 0 − 12 cos t dt = − 12 sin t 0 = − 12 2 2 2 0 π6 π6 π6 π6 x cos3 x 1 1 ∫ ∫ ∫ cos x d ( cos3 x ) = − 2 • A4 = x sin x cos xdx = − 3 + x dx 3 3 3 0 0 0 0 π6 π6 (1 − sin x ) d ( sin x ) = − π 3 + 1  sin x − sin x  = 11π − π 3  3 π3 1 ∫ 2  =− + 48 3  3 0 48 3 72 48 0 u = x 2 e x du = x ( x + 2 ) e x dx 1 2 x  x e dx  ∫ ( x + 2) dx ⇒  • A5 = t . 1 2 dv = v = − 0 ( x + 2 )2   x+2 2 x1 1 1 1 xe e e + xe dx = − + xe dx = − + xd ( e ) ∫ ∫ ∫ x x x A5 = − x+20 0 30 30 1 1 1 e e e ∫ x x x = − + xe − e dx = − + e − e =1− 0 0 3 3 3 0 ∫ P ( x ) {arcsin u; arccos u; arctg u; arc cotg u ; ln u ; log u u = ax + b} dx 2 . D ng 2: m   e e e e 1 ( ln x ) 2 d ( x 3 ) = 1  x3 ( ln x )2 1 − x3 d ( ln x ) 2  2 ∫ ∫ ∫ • B1 = x 2 ( ln x ) dx = 3  31   1 1 1 dx  1  3  1 3 2 e  e e ln x d ( x 3 )  ∫ ∫ ∫ =  e3 − 2x 3 ln x 2  =  e − 2x ln x dx  =  e − 3 x  3  3  31       1 1 e 2 ( 3 3 e e e 3 3 3 e ) 1 − x3d ( ln x ) = e − 2 e3 + 2 x2 dx = e + 2 x3 = 5e − 2 ∫ ∫ = −  x ln x 3 9 39 91 9 27 1 27 27   1 2 12
  4. Bài 8. Phương pháp tích phân t ng ph n  1 + x  ( 2 ) 1  2 1 + x  1 + x  12 12 12 12  1+ x  2 1 ∫ ∫ ∫  d x =  x ln  • B2 = x ln   dx =  − x d  ln ln   1− x   1− x  2  1− x  0  1 − x  2   0 0 0 12 12 2 x 1 − x dx 1 1 ∫ ∫ 2   dx = ln 3 − x⋅ ⋅ = ln 3 − 1+ x  2 1+ x 1− x 8 8 0 0 12 12 2  1  2 1 1 1 ∫ ∫ 1 + (1 + x ) 1 −  dx = ln 3 − = ln 3 − − dx 1+ x   1+ x  2 8 8   0 0 12   1 1 ln 3 35 = ln 3 −  x − − 2 ln 1 + x  = + 2 ln −  0 1+ x 8 8 26 1 1 1 ) dx =  x ln ( x + ) 0 − ∫ xd ln ( x + 1 + x2 ) • B3 = ∫ ln ( x + 2 1+ x 2 1+ x     0 0 1 1  x dx x dx = ln (1 + 2 ) − x  1 + = ln (1 + 2 ) − ∫ ∫ 2 2 2 0 1+ x  x + 1+ x 0 1+ x 1 d (1 + x 2 ) 1 1 = ln (1 + 2 ) − = ln (1 + 2 ) − 1 + x = ln (1 + 2 ) + 2 − 1 ∫ 2 0 2 0 1+ x 2 x ln ( x + 1 + x 2 ) dx = 1 ln ( x + 1 1 + x2 ) d ( 1 + x2 ) ∫ ∫ • B4 = 2 1+ x 0 0 1 1 1 + x d  ln x + 1 + x  ln ( x + ) ( ) ∫ 2 2 2 2 = 1+ x 1+ x −    0 0 1 dx 1 + x 1 +  = 2 ln (1 + 2 ) − x ∫ 2  2 2  1+ x  x + 1+ x 0 1 = 2 ln (1 + 2 ) − dx = 2 ln (1 + 2 ) − 1 ∫ 0 u = ln x + 1 + x 2 ( ) x ln ( x + 1 + x 2 ) dx . 1  ∫ • B5 = t ( ) x dx 2 dv = =x 1 + x − x dx x + 1 + x2 0 2  x + 1+ x   (x + ) x dx 1 + x2 = ⇒ du =  1 +  dx 2 2   1+ x 1+ x 2 13
  5. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương (1 + x 2 )1 2 d (1 + x 2 ) − ∫ x 2 dx = 1 (1 + x 2 )3 2 − x 3  1 ∫   v= 2 3 1 1 1 2 B5 =  (1 + x ) − x  ln x + 1 + x  − 1 ( 3 ( ) dx 2 32 2 32  1+ x ) − x  ∫ 3   3 0 3 0 2 1+ x (2 2 − 1) ln (1 + 2 ) 1 1 1 1 x 3 dx dx ∫ ∫ = − + 3 0 1 + x2 3 0 1 + x2 3 1 (1 + x ) − 1 ( (2 2 − 1) ln (1 + 2 ) 1 1 1 2 d 1+ x ) ∫ 2 = − arctg x + 3 3 60 2 1+ x 0 (2 2 − 1) ln (1 + 2 ) π 1 ( 1 2 −1 2  2 12  1 + x ) − (1 + x )  d (1 + x ) ∫ 2 = − + 3 12 6 0 (2 2 − 1) ln (1 + 2 ) π 1  2 ( 1 2 12 2 32 +  1 + x ) − 2 (1 + x )  = − 12 6  3 0 3 (2 2 − 1) ln (1 + 2 ) π 2 − 2 = − + 3 12 9 1 1 • B6 = ∫ x ln ( x + ) dx = 1 ∫ ln ( x + 1 + x2 ) d ( x2 ) 2 1+ x 2 0 0 1  x 2 ln x + 1 + x 2 ) ( 1 1 2 x d  ln x + 1 + x  ( ) ∫ =  2 −   0 2   2 0 1 1 2 1 2  1 x dx 1 1 x dx ln (1 + 2 ) − = ln (1 + 2 ) − ∫ ∫ = x 1+ 20  2 2 2 2 2 2  1+ x  x + 1+ x 1+ x 0 0 1 x 1 x 2 dx ) t x = tg t ; t ∈  0, π ⇒ ∫ Xét I = 0 t . π/4 2  1 + x2 0 dx dt cos 2 t π4 π4 π4 1 2 2 2 2 x dx tg t dt sin t sin t ∫ ∫ ∫ cos ∫ cos ⇒I= d ( sin t ) = ⋅ = dt = 2 3 4 2 2 1 + tg t cos t t t 1+ x 0 0 0 0 π4 2 22 22 2 2  (1 + u ) − (1 − u )  sin t d ( sin t ) u du 1 ∫ ∫ ∫ = = =  (1 + u ) (1 − u )  du   (1 − sin 2 t )2 (1 − u 2 )2 4 0 0 0 2 14
  6. Bài 8. Phương pháp tích phân t ng ph n 22 22 2 1 1 1 2 1 1 1 ∫ ∫ =  −  du = + − du ( (1 + u ) 1 − u 2  1− u 1+ u  2 2  1 − u) 4 4  0 0 22 1 1 1+ u  1 2 − ln (1 + 2 ) = − − 2 ln =  4 1− u 1+ u 1− u  0 2 1 2  1 1 1 2 ⇒ B6 = ln (1 + 2 ) − I = ln (1 + 2 ) −  − ln (1 + 2 )  = − + ln (1 + 2 ) 2 2  2 2 2 4 0 0 0 1 1 1 0 x 2 d ( ln 1 − x ) ∫ ∫ ∫ ln 1 − x d ( x2 ) = x2 ln 1 − x −8 − • B7 = x ln 1 − xdx = 2 −8 2 2 −8 −8 0 0 2 −1 1 dx 1 x dx ∫ ∫ x2 ⋅ = −32ln 3 − ⋅ = −32 ln 3 + 4 −8 1 − x 2 −8 2 1− x 1− x 1 1 − (1 − x ) 0 0 2 1 1  ∫ ∫ − (1 + x )  dx = −32ln 3 + dx = −32 ln 3 + 4 −8 1 − x   4 −8 1 − x 0 1 1 2 l 63 = −32ln 3 +  − ln 1 − x − x − 2 x  = −32 ln 3 + 6 + 2 ln 3 = 6 − 2 ln 3 4  −8 x 0 −3 0 ln 1 − x ∫ (1 − x ) t t = 1− x ⇒ • B8 = dx . t 2 1 1− x −3 dx −2tdt 1 2 2 (t) ln t ( −2t dt ) = 2 ln t dt = 2 ln t d −1 ∫ ∫2∫ Khi ó ta có: B8 = 3 t t 2 1 1 2 2 2 2 −2 ln t −1 dt 2 ∫ ∫ d ( ln t ) = − ln 2 + 2 2 = − ln 2 − = −2 = 1 − ln 2 t1 t t1 1t 1 3 1 ln x d ( x 2 + 1) 1 3 3 x ln x dx  −1  ∫ (x ∫ ∫ • B9 = = = ln x d  2  2  x + 1 2 + 1) 2 1 ( x 2 + 1) 21 2 1 3 3 3 − ln x − ln 3 1 1 1 dx ∫ ∫ d ( ln x ) = = + + 2 ( x + 1) 1 2 1 x ( x 2 + 1) 2 2 2 1 x +1 20 − ln 3 1 ( x + 1) − x 3 3 2 2 − ln 3 1  1 x ∫ ∫ = + dx = + −2  dx 2 1 x ( x + 1) 2 1  x x +1 2 20 20 3 − ln 3 1   12 9 ln 3 + ln x − ( x + 1)  = = −2 2 1 20 2 20 2 15
  7. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 3 . D ng 3: Tích phân t ng ph n luân h i 1 1 13 ∫ ∫ ∫ sin ( ln x ) d ( x3 ) = x 3 sin ( ln x ) − • C 1 = x 2 sin ( ln x ) dx = x d ( sin ( ln x ) ) 3 3 3 1 1 dx 1 1 ∫ ∫ = x3 sin ( ln x ) − x3 cos ( ln x ) = x3 sin ( ln x ) − x2 cos ( ln x ) dx 3 3 x3 3 13 1 13 13 13 = x sin ( ln x ) − cos ( ln x ) d ( x ) = x sin ( ln x ) − x cos ( ln x ) + x d ( cos ( ln x ) ) ∫ ∫ 3 3 9 3 9 9 13 13 12 13 13 1 ∫ = x sin ( ln x ) − x cos ( ln x ) − x sin ( ln x) dx = x sin ( ln x ) − x cos ( ln x ) − C1 3 9 9 3 9 9 10 1 1 1 C1 = x3 sin ( ln x ) − x3 cos ( ln x ) ⇒ C1 = 3x3 sin ( ln x ) − x3 cos ( ln x )  + c ⇒   9 3 9 10 π π π π e2π −1 1 e2 x 1 2x 1 2x ∫ ∫ ∫ 2x 2 • C2 = e sin x dx = e (1 − cos 2x ) dx = − e cos 2 x dx = −J 20 4 20 4 2 0 0 π π π π 1 2x 1 2x 1 sin 2x d ( e ) ∫ ∫ ∫ 2x e d ( sin 2x ) = e sin 2x − J = e 2 x cos 2 x dx = 20 2 20 0 0 π π π π 1 2x 1 1 cos 2x d ( e 2x ) ∫ ∫ ∫ = − e 2x sin 2x dx = e d ( cos 2x ) = e 2x cos 2x − 20 2 20 0 0 π 2π 2π 2π 2π −1 e −1 e −1 e −1 e ∫ 2x − J ⇒ 2J = ⇒J= = − e cos 2x dx = 2 2 2 4 0 e2 π − 1 1 e2π − 1 e2 π − 1 e2 π − 1 ⇒ C2 = − J= − = 4 2 4 8 8 eπ eπ eπ eπ ∫ cos ( ln x ) dx = ∫ xd ( cos ( ln x )) = − ( e ∫ sin ( ln x ) dx + 1) + π • C3 = x cos ( ln x ) 1 − 1 1 1 π π e e eπ = − ( e + 1) + ∫ sin ( ln x ) dx = − ( e + 1) + ∫ − xd ( sin ( ln x ) ) π π x sin ( ln x ) 1 1 1 π e −1 ( π ) = − ( e + 1) − cos ( ln x ) dx = − ( e + 1) − C3 ⇒ 2C3 = − ( e + 1) ⇒ C3 = ∫ π π π e +1 2 1 eπ eπ eπ eπ eπ −1 1 1 1 1 • C4 = ∫ cos ( ln x ) dx = ∫ [1 + cos ( 2ln x)] dx = x ∫ 2 cos ( 2ln x) dx = − −I 2 2 21 2 2 1 1 1 2 16
  8. Bài 8. Phương pháp tích phân t ng ph n eπ eπ eπ 2sin ( 2lnx) eπ ∫ ∫ ∫ Xét I = cos ( 2 ln x ) dx = xcos( 2lnx) 1 − xd( cos( 2lnx) ) = e −1+ x π dx x 1 1 1 π π e e π e = e − 1 + 2 ∫ sin ( 2 ln x ) dx = e − 1 + 2x sin ( 2 ln x ) 1 − 2 ∫ xd ( sin ( 2 ln x ) ) π π 1 1 π π e e 2 cos ( 2 ln x ) ∫ ∫ π π π dx = e − 1 − 4 cos ( 2 ln x ) dx = e − 1 − 4I = e −1− 2 x x 1 1 eπ − 1 eπ − 1 6 ( π = e − 1) ⇒ 5I = eπ − 1 ⇒ I = ⇒ C4 = e π − 1 + I = e π − 1 + 5 5 5 1 + sin x ) ( 1 + sin x ( x ) x 1 + sin x − e x d 1 + sin x ∫ ∫ ∫ • C5 = e x dx = d e =e 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x x x 1 + sin x x 1 + cos x + sin x x 1 + sin x e dx e sin x dx ∫ ∫ ∫ x =e −e dx = e − − 2 (1 + cos x )2 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x (1 + cos x ) x x 1 + sin x e dx e sin x dx ∫ ∫ x − I − J (1) ; I = =e ;J= (1 + cos x ) 2 1 + cos x 1 + cos x du = e x dx u = e x   e x sin x dx ∫ (1 + cos x ) sin x dx ⇒  t Xét J = . −d (1 + cos x ) 1 ∫ 2 dv = v = = 2 (1 + cos x ) 2  1 + cos x (1 + cos x )  x x x e e dx e ∫ ⇒ J= (2). Thay (2) vào (1) ta có: − = −I 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x  ex  x 1 + sin x x 1 + sin x e ⇒ C5 = e x −I− − I + c = e − +c  1 + cos x  1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x π π π sin 2 x π 1 −x 1 −x 1 −x ∫ ∫ ∫ ∫ • C6 = dx = e (1 − cos 2 x ) dx = e dx − e cos 2 x dx x e 20 20 20 0 −x π π π −π −π −e 1− e 1− e 1 −x 1 −x 1 ∫ ∫ = − e cos 2 x dx = − e cos 2 x dx = − J 2 20 2 20 2 2 0 π π π π −x 1 −x e sin 2x 1 sin 2x d ( e ) ∫ ∫ ∫ −x −x e d ( sin 2x ) = J= e cos 2 x dx = − 20 2 20 0 0 π π π π e− x cos 2 x −1 − x 1 −x 1 ∫ ∫ ∫ cos 2 x d ( e − x ) e d ( cos 2 x ) = − = e sin 2 x dx = + 20 40 4 40 0 2 17
  9. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π 1 − e −π 1 − x 1 − e −π 1 1 − e −π 1 − e −π 5 ∫ − J ⇒ J= ⇒J= = − e cos 2 x dx = 4 40 4 4 4 4 5 1 − e −π 1 1 − e −π 1 − e −π 2 ( = 1 − e −π ) ⇒ C6 = − J= − 2 2 2 10 5 a ∫ a 2 − x 2 dx ; ( a > 0 ) • C7 = 0 a2 − ( a2 − x2 ) a a a x 2 dx a − x d ( a2 − x2 ) = ∫ ∫ ∫ C7 = x a 2 − x 2 = dx 0 a2 − x2 a2 − x2 0 0 0 a a a a πa 2 dx x ∫ ∫ ∫ = a2 a 2 − x 2 dx = a 2 arcsin a 2 − x 2 dx = − − − C7 2 a a2 − x2 0 0 0 0 2 2 πa πa ⇒ 2C7 = ⇒ C7 = 2 4 a ∫ a 2 + x 2 dx ; ( a > 0 ) • C8 = 0 a a x2 a ( ) = a2 0 − ∫ xd ∫ 2 2 2 2 C8 = x a + x a +x 2− dx a2 + x2 0 0 ( a2 + x2 ) − a2 a a a dx ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 =a 2− dx = a 2− a + x dx + a 2 2 a + x2 2 a +x 0 0 0 a a a 2 + x 2 dx = a 2 2 + a 2 ln (1 + 2 ) − C8 ∫ = a 2 2 + a 2 ln x + a 2 + x 2 − 0 0 2 + ln (1 + 2 ) 2 ⇒ 2C8 = a 2 2 + a 2 ln (1 + 2 ) ⇒ C8 = a 2 du = dx u = x a   ∫ 2 2 2 ⇒ • C9 = x a + x dx ; ( a > 0 ) . t 3 dv = x a 2 + x 2 dx  v = 1 ( a + x ) 2 2 2  0  3 a a 3 3 x2 1 (2 C9 = ( a + x ) 2 a + x ) 2 dx ∫ 2 2 − 3 30 0 a a 2 2 4 a2 2 2 4 a2 122 1 ∫ ∫ 2 2 2 = a− a + x dx − x a + x dx = a− C8 − C9 3 3 30 3 3 3 0 2 18
  10. Bài 8. Phương pháp tích phân t ng ph n 2 + ln (1+ 2 ) 3 2 − ln (1+ 2 ) 3 2 − ln (1+ 2 ) 2 4 224 a ⇒ C13 = ⇒ C9 = a− ⋅ = 3 3 3 2 6 8 du = dx u = x a   ∫ 2 2 2 ⇒ • C 10 = x a − x dx ; ( a > 0 ) . t 3 dv = x a 2 − x 2 dx  v = −1 ( a − x ) 2 2 2  0  3 a 1  a a a 3 3 −x ( 2 1 (2 a − x2 ) 2 a − x 2 ) 2 dx =  a 2 a 2 − x 2 dx + x 2 a 2 − x 2 dx  ∫ ∫ ∫ C10 = + 30  3 30   0 0 2 2 4 4 πa πa a 1 2 a ⇒ C10 = C7 = ⇒ C10 = = C7 + C10 3 3 3 3 12 8 2a 2a 2a x d ( x2 − a2 ) ∫ ∫ x 2 − a 2 dx = x x 2 − a 2 • C 11 = − a2 a2 a2 a + (x − a ) 2a 2a 2 2 2 x = (2 3 − 2 ) a − dx = ( 2 3 − 2 ) a − ∫ ∫ 2 2 x dx 2 2 2 2 x −a x −a a2 a2 2a 2a dx = (2 3 − 2 ) a − a ∫ ∫ 2 2 2 2 − x − a dx 2 2 x −a a2 a2 2a 2a = ( 2 3 − 2 ) a − a ln x + x − a ∫ 2 2 2 2 2 2 − x − a dx a2 a2 2+ 3 = ( 2 3 − 2 ) a − a ln 2 2 − C11 1+ 2 a 2+ 3 2 2+ 3 ⇒ 2C11 = ( 2 3 − 2 ) a − a ln ( 2 3 − 2 ) − ln 2 2 ⇒ C11 =  2 1+ 2  1+ 2 π2 π2 π2 π2 dx ∫ cotg x d ( sin x ) 1 cotg x 1 ∫ ∫d ( cotg x ) = − • C 12 = =− + 3 sin x sin x sin x π 4 π4 π4 π 4 π2 π2 cos x 1 ∫ sin x  sin  1 ∫ cotg x sin =− 2 − dx = − 2 − − 1 dx  2 2   x x π4 π4 π2 π2 π2 dx dx sin x dx ∫ ∫ ∫ =− 2 + − =− 2 + − C12 sin x π 4 sin 3 x 2 1 − cos x π4 π4 π2 − 2 + ln (1 + 2 ) 1 1 + cos x = − 2 + ln (1 + 2 ) ⇒ C12 = ⇒ 2C12 = − 2 − ln 2 1 − cos x 2 π4 2 19
  11. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 4 . D ng 4: Các bài toán t ng h p 3 x3 ( x 2 + 2 ) x 3 ( x 2 + 1) 3 3 3 x 5 + 2x 3 x3 ∫ ∫ ∫ ∫ • D1 = dx = dx = dx + dx x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 0 0 0 0 3 3 x dx ∫ ∫x 2 2 2 = x .x x + 1 dx + =I+J 2 x +1 0 0 du = 2x dx u = x 2 3   ∫x ⇒ 2 2 t Xét I = .x x + 1 dx . 12 32 dv = x x 2 + 1 dx  v = ( x + 1)  0  3 3 3 3 12 2 2 1 32 32 32 I = x ( x + 1) x ( x + 1) dx = 8 − ∫ ( x + 1) d ( x + 1) ∫ 2 2 2 − 3 3 3 0 0 0 3 2( 2 2 ( 32 − 1) = 58 52 x + 1) =8− =8− 15 15 15 0 u = x 2 du = 2x dx  3   x dx ∫x x dx ⇒  2 t Xét J = . dv = x2 + 1 v = x 2 + 1  0  x2 + 1  3 3 3 3 22 4 32 + 1 d ( x + 1) = 6 − ( x + 1) ∫ 2x ∫ 2 2 2 2 2 J=x x +1 0 − x + 1 dx = 6 − = x 3 3 0 0 0 58 4 26 ⇒ D1 = I + J = += 15 3 5 2 1 d ( 1 + x3 ) 2 2 2 1 + x3 3  = − 1+ x 1 1 + x3 d  13 ∫ ∫ ∫ • D2 = dx = − +   4 x x  3 x3 x3 31 31 1 1 2 1 1 d (1 + x ) 2 2 2 3 211 x dx ∫ ∫ = −+ = −+ 3 8 2 1 x3 1 + x3 3 8 6 1 x3 1 + x3 d (u2 ) 3 3 211 211 du ∫ (u ∫u = −+ = −+ − 1) u 2 2 386 3 83 −1 2 2 3 2 1 1 1  2 1 1 u −1 − +  ln + 2 ln (1 + 2 )  = − + ln = 8 3 2  3 8 3 u +1 3 2 2 20
  12. Bài 8. Phương pháp tích phân t ng ph n π2 π2 1 sin 2 x ∫e ∫ 2 cos 2 3 x ( 2 sin x cos x ) esin • D3 = sin x cos x dx = 2 x dx 4 0 0 π2 π2 π2 1 ) = 1 (1 + cos 2x ) esin 1 (1 + cos 2x ) d ( esin 2 2 sin 2 x ∫ ∫e x x d (1 + cos 2x ) = − 4 4 4 0 0 0 π2 π2 π2 −1 1 11 1 1 sin e ∫ d (e ) = − + e sin 2 x 2 2 ∫e sin x x = + sin 2x dx = − + = −1 22 22 2 2 2 0 0 0 π2 π2 ∫ ∫ ln (1 − cos x ) d ( sin x ) • D4 = cos x ln ( 1 − cos x ) dx = π3 π 3 π2 π2 3 sin x dx π2 ∫ ∫ sin xd ( ln (1 − cos x ) ) = = sin x ln (1 − cos x ) − ln 2 − sin x 1 − cos x 2 π3 π3 π3 π2 π2 2 1 − cos x 3 3 ∫ ∫ ln 2 − (1 + cos x ) dx = ln 2 − dx = 1 − cos x 2 2 π3 π3 π 3 3 3 π2 ln 2 − ( x + sin x ) = = ln 2 − − 1 + 2 2 6 2 π3 π3 π3 π3 π3 ∫ sin x ln( tg x) dx = −π∫ ln ( tg x) d ( cos x) = − cos x ln ( tg x) π ∫ cos x d ( ln ( tg x)) • D5 = + 4 π4 π4 4 π3 π3 π3 1 cos x dx 1 dx 1 sin x dx ∫ ∫ ∫ = − ln 3 + = − ln 3 + = − ln 3 + 2 2 4 4 sin x 4 π 4 cos x tg x π 4 sin x π4 π3 π3 d ( cos x ) 1 1 + cos x 1 1 3 = ln (1 + 2 ) − ∫ = − ln 3 − = − ln 3 − ln ln 3 2 2 1 − cos x 4 4 4 π 4 1 − cos x π4 π4 π4 π4 π4 π4 x + sin x d (1 + cos x ) ∫ xd ( tg 2 ) sin x dx x dx x ∫ ∫ ∫ 2 cos ∫ • D6 = dx = + =− + 1 + cos x x 1 + cos x 1 + cos x 2 0 0 0 0 0 2 π4 π4 π4  x ππ x 4 x ∫ =  − ln 1 + cos x + x tg  − dx = ln + tg + 2 ln cos tg  20 2 2+ 2 4 8 2 0 0 π ( 2 − 1) + ln 2 + 2 = π ( 2 − 1) + ln1 = π ( 2 − 1) 4 = ln + 4 4 4 4 2+ 2 2 21
  13. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π2 π2 π2 • D7 = ∫ sin 2x cos ( sin x ) dx = 2 ∫ sin x cos x cos4 ( sin x) dx = 2 ∫ sin x cos4 ( sin x) d( sin x) 4 0 0 0 1 1 1 1 1( t 1 + 2 cos 2t + cos 2t ) dt ∫ ∫ ∫ 4 2 2 = 2 t ( cos t ) dt = t (1 + cos 2t ) dt = 20 20 0 1 1 1 1 + cos 4t  1 ∫ ∫ t ( 2 + 4 cos 2t + cos 4t ) dt t  1 + 2 cos 2t +  dt = = 20   2 40 21 1 1 1   1 1 t 1 1 ∫ ∫ ∫ t ( 4 cos 2t + cos 4t ) dt = t d  2 sin 2t + sin 4t  = 2t dt + + 40   40 40 4 4 0 1 1 1 1  1  1 1 ∫ = + t  2 sin 2t + sin 4t  −  2 sin 2t + sin 4t  dt 4 4 0 4 0  4 4 1 1 1  1  1 1 +  2 sin 2 + sin 4  −  − cos 2t − cos 4t  = 4 4  4 0 4 16 1 1 1 1 31 = sin 2 + cos 2 + sin 4 + cos 4 + 2 4 16 16 64 π4 π4 π4 tg x 2 − cos2 x sin x ∫ ∫ ∫ 1 + sin2 x dx = d ( cos x ) • D8 = 2 − cos2 x dx = − cos x 2 cos2 x cos x 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 () 2−u 2−u ( ) 1 2−u d 1 = ∫ ∫ ∫ 2 2 =− du = − 2−u d 2 u u u u 1 1 1 1 1 2 1 2 π du u ∫ = 3 −1− = 3 − 1 − arcsin = 3 −1− 12 2 2 2−u 1 1 π3 π3 x 2 dx x cos x x ∫ ( x sin x + cos x ) ∫ cos x ⋅ ( x sin x + cos x ) • D9 = = dx 2 2 0 0 π3 π3 π3 x ( ) x x 1 1 1 ∫ ∫ x sin x + cos x d  cos x  =− =− ⋅ + d   cos x x sin x + cos x cos x x sin x + cos x 0 0 0 π3 −4π cos x + x sin x  dx = −4π + tg x π 3 = 3 3 − π ∫ x sin x + cos x  1 = +   0 2   3+ π 3 3+ π 3 3+ π 3 cos x 0 2 22
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2