CHƯƠNGV: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

Chia sẻ: Sang Sang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

949
lượt xem 80
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNGV: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

CHÖÔNGV PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) Caù c h giaû i Ñaët t = sin x + cos x vôùi ñieàu kieän t ≤ 2 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ Thì t = 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ Ta coù : t 2 = 1 + 2 sin x cos x neân (1) thaønh b 2 at + 2 ( ) t −1 = c ⇔ bt 2 + 2at − b − 2c = 0 Giaû i (2) tìm ñöôïc t, roà i so vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎛ π⎞ giaû i phöông trình 2 sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm ñöôï c x ⎝ 4⎠ Baø i 106 : Giaû i phöông trình sin x + sin2 x + cos3 x = 0 ( *) ( (*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x 1 − sin2 x = 0 ) ⇔ (1 + sin x ) = 0 hay sin x + cos x (1 − sin x ) = 0 ⎡sin x = −1 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x − sin x cos x = 0 ( 2 ) ⎣ π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) 2 ⎛ π⎞ •Xeùt ( 2 ) : ñaët t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ñieàu kieän t ≤ 2 thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 − 1 Vaä y (2) thaø n h t − =0 2 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⎡t = 1 − 2 ⇔⎢ ⎢ t = 1 + 2 ( loaïi ) ⎣ ⎛ π⎞ Do ñoù ( 2 ) ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 1 − 2 ⎝ 4⎠
⎛ π⎞ 2 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 1 = cos ϕ vôùi 0 < ϕ < 2π ⎝ 4⎠ 2 π 2 ⇔ x− = ±ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1 4 2 π 2 ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1 4 2 3 Baø i 107 : Giaû i phöông trình −1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2x ( *) 2 3 ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x 2 ⎛ π⎞ Ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 + 2sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ 3 2 Vaä y (*) thaø n h : −1 + t ⎜ 1 − ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟= ( t −1 ) ⎝ ⎠ ( ) ( ⇔ −2 + t 3 − t 2 = 3 t 2 − 1 ) ⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + 4t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 + 3 ∨ t = −2 − 3 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 1 π vôùi t = 1 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ⎝ 4⎠ 2 4 π π π 3π ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ 4 4 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ 2 ⎛ π⎞ 3−2 vôù i t = 3 − 2 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 π π 3−2 ⇔ x+ = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ 4 4 2 π 3π 3−2 ⇔ x =ϕ− + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ 4 4 2 Baø i 108 :Giaû i phöông trình 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) ⎧sin x ≠ 0 Ñieà u kieä n ⎨ ⇔ sin 2x ≠ 0 ⎩cos x ≠ 0 sin x cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = + cos x sin x
sin2 x + cos2 x 1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x ⎛ π⎞ Ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x vôùi t ≤ 2 vaø t 2 ≠ 1 2 (*) thaøn h 2t = 2 t −1 3 ⇔ 2t − 2t − 2 = 0 (Hieå n nhieâ n t = ±1 khoâ n g laø nghieä m ) ( ⇔ t− 2 )( ) 2t 2 + 2t + 2 = 0 ⎡t = 2 ⇔⎢ 2 ⎢ t + 2t + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎣ ⎛ π⎞ Vaä y ( *) ⇔ 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 1 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x + = + k2π, k ∈ 4 2 π ⇔ x = + k2π, k ∈ 4 Baø i 109 : Giaû i phöông trình 3 ( cot gx − cos x ) − 5 ( tgx − sin x ) = 2 ( *) Vôù i ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 , nhaâ n 2 veá phöông trình cho sinxcosx ≠ 0 thì : ( *) ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 2 sin x cos x ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x ⇔ 3 cos x ⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − 5 sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇔ 3 cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − 5 sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = 0 ⎡sin x + cos x − sin x cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢3 cos x − 5 sin x = 0 ⎣ ( 2) ( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D ) ⎛ π⎞ Giaû i (1) Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t2 = 1 + 2sin x cos x vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 t2 − 1 (1) thaøn h : t − = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 2 ( ⎡ t = 1 + 2 loaïi do t ≤ 2 ⇔⎢ ) ⎢ t = 1 − 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣
⎛ π⎞ 1− 2 Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin α ( 0 < α < 2π ) ⎝ 4⎠ 2 ⎡ π ⎡ π ⎢ x + = α + k2π ⎢ x = α − + k2π ⇔⎢ 4 ⇔⎢ 4 π ⎢ x + = π − α + k2π, k ∈ ⎢x = 3π − α + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎢ ⎣ 4 3 ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( vôùi 0 < β < π ) 5 Baø i 110 : Giaû i phöông trình 3 (1 + sin x ) ⎛π x⎞ 3tg3 x − tgx + = 8 cos2 ⎜ − ⎟ ( *) cos x ⎝4 2⎠ 2 Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ ( ) ( ) Luù c ñoù : (*) ⇔ tgx 3tg 2 x − 1 + 3 (1 + sin x ) 1 + tg 2 x = 4 ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = 4 (1 + sin x ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( tgx + 1 + sin x ) = 0 ⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = 0 ⎡3tg 2 x = 1 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣ (2) 1 3 π •(1) ⇔ tg 2 x = ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ 3 3 6 ⎛ π⎞ • Giaûi ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaøn h : t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⇔⎢ ( ⎡ t = −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2 ) ⎢ t = −1 + 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣ ⎛ π⎞ 2 −1 Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 ⎡ π ⎡ π ⎢ x + 4 = ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = ϕ − 4 + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = 3π − ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ ⎣ 4 ⎢ ⎣ 4
Baø i 111 : Giaû i phöông trình 2sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ 2 ( sin 3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin 2 x − cos2 x = 0 ⇔ sin x − cos x = 0 hay 2 (1 + sin x cos x ) − 1 + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin 2x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ • (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ 4 ⎛ π⎞ •xeùt ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 t 2 = 1 + sin 2x Vaäy ( 2 ) thaønh t + ( t 2 − 1) + 1 = 0 ⇔ t ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −1 ⎛ π⎞ Khi t = 0 thì cos ⎜ x − ⎟ = 0 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ¢ 4 2 3π ⇔x= + kπ, k ∈ ¢ 4 ⎛ π⎞ 1 3π Khi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ⎝ 4⎠ 2 4 π 3π ⇔ x− =± + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 π ⇔ x = π + k2 π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢ 2 Baø i 112 : Giaû i phöông trình sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin 2 x − cos2 x ) + ( sin 3 x − cos3 x ) + ( sin 4 x − cos4 x ) = 0 ⇔ ( sin x − cos x ) = 0 hay 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + 2 = 0 ( 2 ) ⎣ Ta coù : (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ 4
⎛ π⎞ Xeù t (2) : ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaø n h 2t + +2 = 0 2 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 1 3π khi t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ⎝ 4⎠ 2 4 ⎡ π 3π ⎢ x− = + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ 4 4 ⎢ x − π = − 3π + k2 π, k ∈ ¢ ⎢ ⎣ 4 4 ⎡ x = π + k2 π, k ∈ ¢ ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2 π, k ∈ ¢ ⎣ 2 ( ) Baø i 113 : Giaû i phöông trình tg 2 x 1 − sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 ( *) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 sin 2 x Luù c ñoù (*) ⇔ cos x 2 (1 − sin3 x ) + cos3 x − 1 = 0 ⇔ (1 − cos x )(1 − sin 3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin 2 x ) = 0 2 ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = 0 hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin 2 x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = 0 ⎡ cos x = 1 ( nhaän do ñieàu kieän ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = 1 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢ 2 ⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = 0 2 2 2 ⎣ ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = 0 2 ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = 0 hay sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ cos x = 1 ∨ tgx = 1 ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ x = k2 π, k ∈ ¢ ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ¢ ⎢ 4 ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣
xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = 0 ñaë t ⎛ ( π⎞ t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 ⎝ 4⎠ ) ⇒ t = 1 + 2 sin x cos x 2 t2 − 1 Ta ñöôï c phöông trình t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⎡ t = −1 − 2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢ t = − 1 + 2 ( nhaän so vôùi ñk ) ⎣ ⎛ π⎞ 2 −1 Vaä y cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ ⎝ 4⎠ 2 π π ⇔ x − = ±ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± ϕ + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 Baø i 114 : Cho phöông trình m ( sin x + cos x + 1) = 1 + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc ñoaï n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ , ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + sin 2 x 2 Vaä y (*) thaø n h : m ( t + 1) = t 2 π π π 3π Neá u 0 ≤ x ≤ thì ≤ x + ≤ 2 4 4 4 2 ⎛ π⎞ Do ñoù ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1 2 ⎝ 4⎠ ⇔1≤ t ≤ 2 ta coù m ( t + 1) = t 2 t2 ⇔m= (do t = -1 khoâ n g laø nghieä m cuû a phöông trình) t +1 t2 Xeù t y = treân ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ t +1 t 2 + 2t Thì y ' = > 0 ∀t ∈ ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ( t + 1) 2 Vaä y y taê n g treâ n ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π⎤ Vaä y (*) coù nghieä m treâ n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ( 2) 1 ⇔ ≤ m ≤ 2 2 −1 2 ( )
Baø i 115 : Cho phöông trình cos3 x + sin 3 x = m sin x cos x ( *) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m Ta coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ( Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ) Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ ⎛ t2 − 1 ⎞ Vaä y (*) thaø n h t ⎜ 1 − ⎟ = m⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⇔ t ( 3 − t 2 ) = m ( t 2 − 1) a/ Khi m = 2 ta coù phöông trình ( ) t ( 3 − t 2 ) = 2 ( t 2 − 1) ⇔ t 3 + 2t 2 − 3t − 2 = 0 ( )( ⇔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0 ) ⇔ t = 2 hay t = − 2 + 1 hay t = − 2 − 1( loaïi ) ⎛ π⎞ π π Vaä y • cos x ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢ ⎝ 4⎠ 4 4 ⎛ π ⎞ 1− 2 • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α ⎝ 4⎠ 2 π π ⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢ 4 4 b/ Xeù t phöông trình t ( 3 − t ) = k ( t − 1) ( **) 2 2 Do t = ±1 khoâ n g laø nghieä m cuû a (**) neâ n 3t − t 3 ( * *) ⇔ m = 2 t −1 3t − t 3 Xeù t y = 2 ( C ) treân ⎡− 2, 2 ⎤ \ {±1} ⎣ ⎦ t −1 −t 4 − 3 Ta coù y ' = < 0∀t = ±1 ( t 2 − 1) 2 suy ra y giaûm treân ( −1,1 ) vaø lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ 1 Do ñoù treân ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, 2 ⎤ \ {±1} ta coù ⎣ ⎦ 3t − t 3 (d) y = m caét (C) y = 2 vôùi ∀m ∈ R t −1 Vaä y (*) coù nghieä m ∀m ∈ R
Baø i 116 : Cho phöông trình 1⎛ 1 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ tgx + cot gx + + = 0 ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟⎠ 1 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎛ π⎞ b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Vôùi ñ ieàu kieän sin 2x ≠ 0 ta coù 1 ⎛ sin x cos x 1 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ + + + =0 2 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟ ⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + 1 + cos x + sin x = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 0 2 ⎡sin x + cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢ m sin 2x + sin x + cos x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ ⎛ π⎞ Xeù t (2) ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + sin 2 x 2 Do sin 2x ≠ 0 neân t ≤ 2 vaø t = ±1 ⎡t = 0 Vaä y (*) thaø n h : ⎢ ⎢ m ( t − 1) + t + 1 = 0 2 ⎣ ⎡ t = 0 ( nhaän so ñieàu kieän ) ⇔⎢ ⎢ m ( t − 1) + 1 = 0 ⎣ ( do t ≠ −1) 1 a/ Khi m = thì ta ñöôï c : 2 ⎡t = 0 ⎢ ⎢ t = − 1 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎣ Vaä y sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢ 4 π π π π b/ Ta coù : 0 < x < ⇔ − < x − < 2 4 4 4 Luù c ñoù 2 ⎛ π⎞ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 1 < t ≤ 2 2 ⎝ 4⎠ ( Do t = 0 ∉ 1, 2 ⎤ ⎦
Neâ n ta xeù t phöôn g trình : m ( t − 1) + 1 = 0 ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 1 ⇔ t = 1− (do m = 0 thì (**) voâ nghieä m ) m 1 Do ñoù : yeâ u caà u baø i toaùn ⇔ 1 < 1 − ≤ 2 m ⎧ 1 ⎧m < 0 ⎪− m > 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 1 ⎪1 − 2 ≤ 1 ⎪m ≤ 1 − 2 = − 2 − 1 ⎪ ⎩ m ⎩ ⇔ m ≤ − 2 −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + 2 ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m 3 a/ Giaû i phöông trình f(x) = 0 khi m = -3 b/ Tính theo m giaù trò lôù n nhaá t vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa f(x) 2 Tìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎛ π⎞ ( Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 ⎝ 4⎠ ) Thì t = 1 + sin 2 x 2 Vaø cos2 2x = 1 − sin 2 2x = 1 − ( t 2 − 1) = −t 4 + 2t 2 2 Vaä y f ( x ) thaønh g ( t ) = − t 4 + 2t 2 + 2t 3 − 3 ( t 2 − 1) + m a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0 ( ⇔ −t 2 t 2 − 2t + 1 = 0) ⇔ t = 0∨ t =1 vaäy khi m = -3 thì f( x) = 0 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 1 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 hay cos ⎜ x − ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢ 4 2 4 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢ 4 2 b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t 2 − 3t + 1) 3 2 ⎧g ' ( t ) = 0 1 ⎪ Vaä y ⎨ ⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t = ⎪t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ ⎩ ⎣ ⎦ 2 ⎛ 1 ⎞ 47 Ta coù : g ( 0 ) = 3 + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ 2 ⎠ 16 g ( 2) = 4 2 − 3 + m, g ( 2) = m −3−4 2
Vaä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + 3 x∈ ¡ t∈ ⎡ − 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ Minf ( x ) = Min g ( t ) = m − 3 − 4 2 x∈ R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ 2 Do ñoù : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎧Max f ( x ) ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ R ⎪Min f ( x ) ≥ − 6 ⎩ R ⎧m + 3 ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ ⎪m − 3 − 4 2 ≥ −6 ⎩ ⇔ 4 2 −3 ≤ m ≤ 3 ( ) 2 Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = −t 2 t 2 − 2t + 1 + 3 + m = − ⎡ t ( t − 1) ⎤ + 3 + m ⎣ ⎦ Ñaë t u = t 2 − t ⎡ 1 ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + 2 ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ 4 ⎦ Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + 3 + m 2 Max f ( x ) = Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + 3 R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ u∈D ⎣ ⎦ Min f ( x ) = Min g ( t ) = Min h ( u ) = m − 3 − 4 2 R ⎡ ⎤ t ∈ ⎣− 2 , 2 ⎦ u∈D Chuù yù 1 : Phöông trình giaû ñoá i xöù n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = 0 ñaë t t = sinx – cosx ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ thì t = 2 sin ⎜ x − ⎟ = − 2 cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 Baø i 118 : Giaû i phöông trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1 ( *) Ñieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 sin x + = 4 sin x cos x + 1 sin x ⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x ⇔ 2 sin2 x − sin x − cos x 4 sin2 x − 1 = 0 ( ) ⇔ sin x ( 2 sin x − 1) − cos x ( 2 sin x − 1) ( 2 sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0 hay sin x − cos x ( 2 sin x + 1) = 0 ⎡2 sin x − 1 = 0 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin 2x = 0 ⎣ ( 2)
1 • Ta coù (1) ⇔ sin x = ( nhaän do sin x ≠ 0) 2 π 5π ⇔x= + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 6 ⎛ π⎞ • Xeùt ( 2 ) Ñaët t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ± 1 Thì t2 = 1 − sin 2x ( ) Vaä y (2) thaø n h : t − 1 − t 2 = 0 ⇔ t2 + t − 1 = 0 −1 + 5 −1 − 5 ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 2 π ⎞ −1 + 5 ⎛ Do ñoù : 2 sin ⎜ x − ⎟ = ⎝ 4⎠ 2 ( nhaän do t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 ) ⎛ π⎞ 5 −1 ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 2 ⎡ π ⎢ x − 4 = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎡ π ⎢ x = ϕ + 4 + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 Baø i 119 : Giaû i phöông trình cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡ 2 ( 2 − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − 5 = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − 5 = 0 ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 (*) thaøn h : t ( t + 4 ) − 5 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −5 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 1 π Vaä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ⎝ 4⎠ 2 4
π π π 3π ⇔ x− = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 4 4 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ 2 Baø i 120 : Giaû i phöông trình cos3 x + sin 3 x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = 0 hay 1 − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = 0 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0 ⎣ ( 2) Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 π ⇔x=− + kπ, k ∈ 4 ⎛ π⎞ Xeù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 − 2sin x cos x 1 − t2 (2) thaøn h t − + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 2 ⇔ t = −1 ⎛ π⎞ 1 ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠ 2 ⎝ 4⎠ ⎡ π π ⎢ x − = − + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈ ⇔⎢ 4 4 ⇔⎢ π 5π ⎢x − = ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ + k2π, k ∈ ⎣ 2 ⎢ ⎣ 4 4 Baø i 121 : Cho phöông trình cos3 x − sin 3 x = m (1 ) a/ Giaû i phöông trình (1) khi m = 1 baè n g caù c h ñaë t aå n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m sao cho (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m ⎛ π⎞ Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 − 2sin x cos x ⎛ 1 − t2 ⎞ Vaä y (1) thaø n h : t ⎜ 1 + ⎜ ⎟=m ⎝ 2 ⎟ ⎠ ( ) ⇔ t 3 − t 2 = 2m ( 2)
a/ Khi m = 1 thì (2) thaø nh t3 − 3t + 2 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 2 π π Vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 2 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 2 ⎡ π π⎤ π π b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì 0 ≤ x + ≤ ⎣ 4 4⎦ 4 2 ⎛ π⎞ neâ n 0 ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ ⇔ 0 ≤ t = 2 cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 ⎝ 4⎠ nhaä n xeù t raè n g vôù i moãi t tìm ñöôï c treâ n ⎡0, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm duy nhaá t moä t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ 3 ⎣ ⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + 3 2 ⎡ π π⎤ vaä y (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t 3 + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ taï i 2 ñieå m phaâ n bieä t ⎣ ⎦ ⇔ 2 ≤ 2m < 2 2 ⇔ ≤ m
⎛ π⎞ Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ (ñieà u kieä n t ≤ 2 ) ⎝ 4⎠ Thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 Ta coù : (1) ⇔ sin x = − cos x π ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 1 − t2 Ta coù : (2) thaø nh 2t + =m 2 ⇔ −t 2 + 4t + 1 = 2m ( * *) a/ Khi m = 2 thì (**) thaø n h t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 3 ( loaïi ) ⎛ π⎞ 2 π π vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 2 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = − + kπ, k ∈ 2 Do ñoù : π π ( *) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 4 2 ⎡ π⎤ π ⎡ π 3π ⎤ b/ Ta coù x ∈ ⎢0, ⎥ ⇔ x + ∈ ⎢ , ⎥ ⎣ 2⎦ 4 ⎣4 4 ⎦ 2 ⎛ π⎞ 2 vaä y − ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 ⎝ 4⎠ 2 ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 π ⎡ π⎤ Do nghieä m x = − + kπ ∉ ⎢0, ⎥ , ∀ k ∈ 4 ⎣ 2⎦ Neâ n yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ ( * *) coù nghieä m treâ n [ −1,1] Xeù t y = −t 2 + 4t + 1 thì y ' = −2t + 4 > 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ y taêng treân [ −1,1] Do ñoù : yeâ u caà u baø i toaùn ⇔ −4 = y ( −1) ≤ 2m ≤ y (1) = 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 * Chuù yù 2 : Phöông trình löôï n g giaù c daï n g a ( tgx ± cot gx ) + b ( tg 2 x + cot g 2 x ) = 0 ta ñaët t = tgx ± cot gx thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x ± 2 2 khi t = tgx + cot gx = thì t ≥ 2 ( do sin 2x ≤ 1) sin 2x Baø i 123 : Giaû i phöông trình 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 ( *)
2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x Vôù i ñieà u kieä n t ≥ 2 Thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 (*) thaøn h : 3 ( t 2 − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t 2 + 4t − 4 = 0 ⎡ 2 ⇔ ⎢ t = 3 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢ ⎣ t = −2 2 Ta coù : t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 2 sin x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Baø i 124 : Giaû i phöông trình tgx + tg 2 x + tg 3 x + cotgx + cotg 2 x + cotg 3 x = 6 ( *) Ta coù (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tg 2 x + cot g 2 x ) + ( tg 3 x + cot g 3 x ) = 6 2 ( ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) − 2 + ( tgx + cot gx ) tg 2 x + cot g 2 x − 1 = 6 ) 2 2 ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) ⎡( tgx + cot gx ) − 3⎤ = 8 ⎣ ⎦ 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x ( ñieàu kieän t ≥ 2) Vaä y (*) thaø n h : t + t 2 + t ( t 2 − 3) = 8 ⇔ t 3 + t 2 − 2t − 8 = 0 ⎡t = 2 ( ) ⇔ ( t − 2 ) t 2 + 3t + 4 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣ t + 3t + 4 = 0 ( voâ nghieäm ) ⇔t=2 2 Vaä y = 2 ⇔ sin 2x = 1 sin 2x π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 Baø i 125 : Giaû i phöông trình 2 + 2tg 2 x + 5tgx + 5 cot gx + 4 = 0 ( *) sin x 2 ( ) Caù c h 1 : (*) ⇔ 2 1 + cot g 2 x + 2tg 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 4 = 0
( ) ⇔ 2 tg 2 x + cot g 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 2 ⇔ 2 ⎡( tgx + cot gx ) − 2⎤ + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 ⎣ ⎦ 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = , vôùi t ≥ 2 sin 2x Ta ñöôï c phöông trình : 2t 2 + 5t + 2 = 0 1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaïi ) 2 2 Vaä y ( *) ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Caù c h 2 : Ñaë t u = tgx (vôù i ñieà u kieä n u ≠ 0 ) 2 5 Vaä y (*) thaø n h : 2 + + 2u 2 + 5u + + 4 = 0 u 2 u ⇔ 2 + 2u 4 + 5u 3 + 5u + 6u 2 = 0 ( ⇔ ( u + 1) 2u 3 + 3u 2 + 3u + 2 = 0 ) ⇔ ( u + 1) 2 ( 2u 2 ) +u+2 =0 ⎡u = −1 ( nhaän ) ⇔⎢ 2 ⎢2u + u + 2 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎣ Vaä y (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Baø i 126 : Cho phöông trình 1 + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 2 = 0 (1 ) cos x 2 5 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m Ta coù : (1) ⇔ tg 2 x + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 3 = 0 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x ( ñieàu kieän t ≥ 2) ⇒ t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 Vaä y (1) thaø n h : t 2 + mt + 1 = 0 ( 2) 5 a/ Khi m = ta ñöôï c phöông trình 2t 2 + 5t + 2 = 0 2
1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaïi ) 2 2 Do ñoù = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 b/ Caù c h 1 : Ta coù : (2) ⇔ mt = −1 − t 2 1 ⇔ m = − − t (do t = 0 khoâ n g laø nghieä m cuû a (2)) t 1 Xeù t y = − − t vôùi t ≥ 2 t 1 1 − t2 Thì y ' = 2 − 1 = t t2 Ta coù : y ' = 0 ⇔ t = ±1 Do ñoù (1) coù nghieäm ⇔ (d) caét ( C ) treân ( −∞, −2] U [ 2, +∞ ) 5 5 ⇔m≤− ∨m≥ 2 2 5 ⇔ m ≥ 2 Caù c h 2 : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ f ( t ) = t 2 + mt + 1 = 0 coù nghieä m t thoû a t ≥ 2 Nhaä n xeù t raè n g do P = 1 neâ n neá u f(t) coù hai nghieäm t1 , t 2 ( vôùi t1 ≤ t2 ) vaø coù ⎧ t1 ≤ 1 ⎧ t1 ≥ 1 ⎪ ⎪ nghieäm thì ta coù ⎨ ∨⎨ ⎪ t2 ≥ 1 ⎪ t2 ≤ 1 ⎩ ⎩ Do ñoù : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ t1 ≤ −2 < t1 < 2 ∨ −2 < t1 < 2 ≤ t 2 ⎪1f ( −2) ≤ 0 ⎪1f ( 2 ) ≤ 0 ⎧ ⎧ ⎧−2m + 5 ≤ 0 ⎧−2m + 5 > 0 ⇔⎨ ∨⎨ ⇔ ⎨ ∨⎨ ⎪1f ( 2 ) > 0 ⎩ ⎪1f ( −2 ) > 0 ⎩ ⎩2m + 5 > 0 ⎩2m + 5 ≤ 0 5 5 ⇔m≥ ∨m≤− 2 2
BAØI TAÄP 1. Giaû i caù c phöông trình : a/ 1 + cos3 x − sin 3 x = sin x b/ cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 = 0 c/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) d/ cot gx − tgx = sin x + cos x e/ sin 3 x − cos3 x = sin x − cos x f/ 1 + tgx = sin x + cos x ⎛ π⎞ g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 ⎝ 4⎠ k/ sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 sin x + cos x l/ =1 sin 2x + 1 1 − cos 2x 1 − cos3 x m/ = 1 + cos 2x 1 − sin3 x n/ 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 2 ( 2 + sin 2x ) o/ 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0 p/ sin 2 x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x r/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) s/ cos2 x + sin 3 x + cos x = 0 t/ 4 sin3 x − 1 = 3sin x − 3 cos 3x 2. Cho phöông trình sin 2x ( sin x + cos x ) = m (1) a/ Chöù n g minh neá u m > 2 thì (1) voâ nghieä m b/ Giaû i phöông trình khi m = 2 3. Cho phöông trình sin 2x + 4 ( cos x − sin x ) = m a/ Giaû i phöông trình khi m = 4 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m 4. Cho phöông trình : sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + 1 = 0 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m ( ÑS : m ≥ 1) 3 5. Cho phöông trình + 3tg 2 x = m ( tgx + cot gx ) = 1 sin x 2 Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m ( ÑS : m ≥ 4 ) Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn