Chuyên đề 9: Nguyên hàm, tích phân - GV. Nguyễn Bá Trung

Chia sẻ: Nguyễn Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề 9 "Nguyên hàm, tích phân" cung cấp cho các bạn các công thức tính tích phân, các phương pháp tính tích phân, bài tập về tích phân,... Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 9: Nguyên hàm, tích phân - GV. Nguyễn Bá Trung

Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n 9. tÝch ph©n *Tãm t¾t c«ng thøc: TÝch ph©n s¬ cÊp TÝch ph©n hµm hîp Ghi chó dx 1  dx  x  C  du  u  C   ax  b   a ln  ax  b   C  x 1  u 1  x .dx  (  1)  u .du  (  1)  ax  b  1 ax b  1  1 e .dx  e   C dx du a   ln x  C   ln u  C 1 x x x u u u  cos  ax  b  .dx  a sin  ax  b   C  e .dx e C  e .du e C 1 x ax u au  s.in  ax  b  .du   a cos  ax  b   C  a .dx  ln a  C (0  a  1)  a .du  ln a C dx 1  cos2  ax  b   a tg  ax  b   C  cos x.dx  sin x  C  cosu.du  sin u  C dx 1  s.inx.dx   cos x  C  sinu.du   cos u  C  sin  ax  b    a cot gx  C 2 dx du  cos 2  tgx  C  cos u  tgu  C 2 dx 2 x  x  a  ln x  x  a  C 2 dx du  sin 2   cot gx  C  sin u   cot gu  C 2 x C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n 9.1 TÝch ph©n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b  f ( x) dx a Ph¬ng ph¸p: - Gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) = 0. lÊy c¸c nghiÖm thuéc (a;b) ®îc x1,x2,...xn. - Chia kho¶ng tÝch ph©n råi bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b x1 x2 b  f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  ....   f ( x) dx a a x1 xn Bµi 1 : TÝnh c¸c tÝch ph©n : 3 1 1 1 a) I =  x 2  6 x  5 dx . b) J =  x 2  2 x dx . c) I =  x. x  .dx 0 1 0 2 Bµi 2 : TÝnh c¸c tÝch ph©n víi m lµ h»ng sè : 2 2 a) I =  x. m  x .dx . b) J = x 2  a  1.x  a .dx 0 1 Bµi 3 : TÝnh c¸c tÝch ph©n : TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 1
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n  2  3 3 3 a) I   sin x dx . b) J   cosx dx . c) K   sin x  cosx dx   0 4 4 9.2 TÝch ph©n h÷u tû 9.2.1 Hµm ®a thøc  Ph¬ng ph¸p: - Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®a vÒ tÝch ph©n c¬ b¶n x dx - Sö dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ tÝch ph©n  u  du n   ax  b  dx . §Æt u = ax+b n   ax  b  x dx . §Æt u = ax k mk 1 k b Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n : 1 1 1  x 1  x  dx . n 3 6 20 a) I =  1  x  dx . b) J = 5 c) I =  x1  x  dx 0 0 0 9.2.2 Hµm ph©n thøc P( x)  Q( x) .dx . Trong ®ã P(x), Q(x) lµ ®a thøc: Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn lo¹i 2  kn 1 x dx n  ax n  b §Æt u= ax  b   2ax  b  dx ĐÆt u= ax 2  bx  c   ax 2  bx  c dx 1 d ax  b  1  ax  b = a  ax  b  a ln ax  b  C Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn lo¹i 1 b dx     a  mx  n 2  R 2 §Æt mx+n = Rtant , t   2 ; 2  Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 3 dx dx x 2  3x  5 a) I =  . b) J =  3x  1 . c) L =  .dx x 1 1 x Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1 1 3 1 x 1 x  3x  2 2 x a) A =  .dx . b) B =  .dx . c) C = x 2 .dx 0 x 1 0 x 1 0 1 Bµi 3 : TÝnh c¸c nguyªn hµm sau: x 1 x 2  2x  3 a) A=  5 dx b) B =  dx x x  16 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 2
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n dx TÝch ph©n d¹ng I =  2 ax  bx  c Ph¬ng ph¸p: *NÕu mÉu cã nghiÖm ph©n tÝch mÉu sè vÒ d¹ng tÝch cña c¸c nh©n tö bËc nhÊt 1 dx 1  1 1       dx a  x  x1  x  x2  a  x2  x1   x  x2 x  x1  1 1 dx  1 1  1 9 VD1: TÝnh: I =  2    dx   ln x  2  ln x  3  0  ln 0 x  5x  6 0 x  2 x  3 8 * NÕu mÊu sè v« nghiÖm ta biÕn ®æi tÝch ph©n I vÒ d¹ng sau du    I=  2 2 ®Æt u = m tant víi t    ;  u m  2 2 2 du =m( 1+ tan t).dt m. 1  tan 2 t  dt 1 1 Khi ®ã : I =  2 2   dt  t  C m (1  tan t ) m m 1 dx VD2: (§æi biÕn sè theo tant) TÝnh I   2 2 0 (1  3 x ) 1     Gi¶i §Æt x  tan t , t   ;  3  2 2 1  th× dx  (1  tan 2 t )dt ; 1  3 x 2  1  tan 2 t x  0  t  0; x  1 t  3 3     3 3 3 1 dt 1 2 1 1 sin 2t 3 Ta cã: I   cos t .dt  (1  cos 2t ).dt  (t  ) 3 0 1  tan t 3 0 2 3 0 2 2 3 2 0 Bµi 1 : TÝnh: dx dx a) A = x 2 b) B =  2  3x  2 x  7 x  10 Bµi 2 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1 1 1 1 dx dx dx dx a) A =  2 b) B =  2 c) C =  2 d) D = x 2 0 x  1 0 x  3 0 x  x 1 0  x 1 (mx  n).dx TÝch ph©n d¹ng I=  ax 2  bx  c Ph¬ng ph¸p : * NÕu mÉu cã nghiÖm dïng hÖ sè bÊt ®Þnh đÓ t¸ch (mx  n).dx 1 (mx  n)dx 1  A B   ax2  bx  c  a   x  x1  x  x2   a   x  x2  x  x1 dx * NÕu mÉu v« nghiÖm ta tiÕn hµnh biÕn ®æi nh sau  2ax  b    (2ax  b) dx I = 2 dx    2 dx    2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 3
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n Bµi 1 : TÝnh tÝch ph©n sau (§HSP TPHCM 2000) 1 1 4 x  11 x7 a) I =  2 .dx b) J =  2 .dx 0 x  5x  6 0 x  6x  8 Bµi 2 : TÝnh tÝch ph©n sau (§HYHN 2000) 1 2 4x  1 I = 2 .dx 0 x  3x  2 Bµi 3 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1 1 1 1 2x  3 3x  2 5x  6 4x  3 a) I =  2 dx b) J =  2 .dx c) K =  2 .dx d ) L =  2 dx 0 x 1 0 x  x 1 0 x  x 1 0 x 3 Bµi 4 : TÝnh tÝch ph©n sau: 1 1 1 x 3  2 x 2  10 x  1 x 2  3x  10 x 5 dx a) A   .dx b) B  0 x 2  2 x  9 .dx c) C = 0 x 2  1 0 x 2  2x  9 TÝch ph©n víi mÉu lµ ®a thøc bËc lín h¬n 2 Ph¬ng ph¸p : BiÕn ®æi mÉu sè vÒ d¹ng tÝch cña c¸c nh©n tö bËc nhÊt vµ bËc 2 sau ®ã sö dông ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt dÞnh ®Ó chuyÓn vÒ c¸c tÝch ph©n d¹ng trªn. Nh©n, chia, céng, trõ thªm vµo tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn thõa sè ë mÉu, sau đã gi¶n íc ®Ó gi¶m bËc, Nh©n, chia, céng, trõ thªm vµo tö ®Ó t¹o ra ®¹o hµm cña mÉu, nh»m ®Æt mÉu b»ng t (®æi biÕn) *Mét sè d¹ng hÖ sè bÊt đÞnh thêng dïng: p ( x)dx p ( x).dx   q ( x) a1 x  b1 . a 2 x  b2 ...a n  bn  p( x) A1 A2 An *    ...  a1 x  b1 . a 2 x  b2 ...a n x  bn  a 1 x  b1 a 2 x  b2 a n x  bn p ( x) A B C *    ax  b  ax  b ax  b  ax  b  3 3 2 p( x) A Bx  C *     ax  b . mx  nx  p ax  b mx  nx  p 2 2 p ( x) A Bx  C Dx  E *     2  ax  b . mx 2  nx  p ax  b (mx  nx  p) mx 2  nx  p 2 2 p ( x) A B Cx  D *    2  2 2  ax  b  . mx  nx  p (ax  b) ax  b mx 2  nx  p T×m c¸c h»ng sè A , B, C , D ,E b»ng c¸ch c©n b»ng c¸c hÖ sè cña c¸c luü thõa cïng bËc ë tö. dx Adx Bx n1 dx *TÝch ph©n d¹ng:  ®a vÒ   n x xn  a  x  x a Bµi 1 : TÝnh c¸c nguyªn hµm sau: 5 x  14 x2 a) I   3 .dx b) I   3 .dx x  x 2  4x  4 x  5x 2  8x  4 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 4
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n 2x x 1 c) k   42 .dx d) L   4 .dx x  3x  2 x 1 e) E   5 3x 4  x 3  x  1 dx 3x 2  3x  3   x  x4  x3  x2  x  1 . f) F =  x 3  3x  2 .dx dx dx g) G =  3 h) H=  x x 5 x(1  x) 2 Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1 1 1 xdx dx dx a) A =  b) B =  c) C =  0 2x  1 3 4 2 0 x  4x  3 2 0 x  3x  2   2 4 1 1 dx xdx 3dx d) D =  x x  1 e) E=  f) F = 1 x 1 2 0 x  x2 1 4 0 3 2 2 1 dx dx dx g) G =  xx h) H =  xx i) I =  x 1 3 1  1 4 1  1 2 1  2 Bµi 3 : TÝnh nguyªn hµm sau: A=  2 x2 1  .dx   x  5 x  1 .( x 2  3 x  1)  n  x  a  dx xa 1 dx xa TÝch ph©n d¹ng   x  b n  k ®a vÒ    k 2 2 ®Æt u =  x  b   x  b  x  b xb 2 1  x  1 dx 1  x  1 2 dx 3 1  x 1  1 8 1 x 1 VD1: 0  x  2 4  0  x  2   x  2 2   3 x  2  0  81 24 ®Æt u = x2 VD2: 2 2 2 1  x  1 1  x 1   x 1  dx   x  1 4 1 3 2  x  1   x  1   dx   x  2    1      2      6 x2 x2  x  2 2  x  2   x  2   x  2    x  2  2 0 0  0   1  x  1  5 1  x  1  4 1  x  1 3  1 x 1           ĐÆt u =  5 x  2 2 x  2 3 x  2  0 x2   2 m 1 m TÝch ph©n d¹ng :   x dx  x2  ®a vÒ   xdx ®Æt u = x2 2 m2 2  2 2 1  x  1 x  1  x  1  x2 1 1 1003 x 2007 dx  x2  xdx x2 1 1 xdx VD3: I =  1005   2  2 ĐÆt u = 2  1 2  du = 2 0 1  x  2 0 1 x  1  x  2 1 x 1 x 2  1  x2  1 1 1 1 1003 u1004 2 x = 0  u = 0, x = 2  u =  I =  u du  2 2 20 2008 0 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 5
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n 9.2.3 Mét sè bµi to¸n tÝch ph©n h÷u tû cã c¸ch gi¶i ®Æc biÖt Bµi tËp : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1 5 2 2 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x2  1 A=  dx B=  dx C=  dx D=  dx 1 x4  1 1 x4  1 1 x  x2  1 4 1 x4  x2  1 1 Hướng dẫn: Chia c¶ tö vµ mÉu cho x2 sau ®ã ®Æt Èn phô t = x  x b x2 1 Tổng quát :  .dx a x 4  kx 2  1 xdx dx x4  1 dx 6 x 2 dx x5  x E=  F=  G=  dx H =  I =  1  x6 K =  x8  1 dx x8  1 6 x 1 x6  1 4 x 1 9.3 tÝch ph©n v« tû §Ó tÝnh tÝch ph©n v« tû ta ph¶i biÕn ®æi ®Ó lµm mÊt c¨n thøc. C¸c ph¬ng ph¸p thêng sö dông:  §Æt biÕn sè lµ c¨n thøc.  ViÕt biÓu thøc trong c¨n díi d¹ng b×nh ph¬ng ®óng.  Lµm mÊt biÓu thøc trong c¨n b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ *C¸c trêng hîp riªng : nhiÒu bµi to¸n chøa tam thøc bËc 2 nÕu gi¶i theo ph¬ng ph¸p chung sÏ rÊt phøc t¹p, do vËy víi nh÷ng bµi to¸n cô thÓ ta cã mét sè c¸ch lµm riªng. dx a) D¹ng  biÕn ®æi tam thøc bËc 2 vÒ tæng hoÆc hiÖu c¸c b×nh ph¬ng sau ax 2  bx  c ®ã dïng c«ng thøc tÝch ph©n c¬ b¶n. b) D¹ng   Ax  B dx BiÕn ®æi thµnh 2 tÝch ph©n sao cho mét tÝch ph©n cã tö lµ ®¹o ax 2  bx  c hµm cña tam thøc bËc hai cña mÉu mét tÝch ph©n cã tö lµ h»ng sè. c) D¹ng   Ax  B dx t¸ch thµnh tæng hai tÝch ph©n, mét tÝch ph©n cã tö lµ x    ax 2  bx  c x    và mét tÝch ph©n cã tö lµ h»ng sè Chó ý: C¸ch gi¶i ®Æt t lµ toµn bé c¨n thøc lµ c¸ch gi¶i träng t©m cÇn chó ý. Th«ng thêng c¸ch gi¶i nµy thêng lµ ngoµi c¨n bËc lÎ biÓu thøc trong c¨n lµ bËc ch½n I. NhËn d¹ng ®æi biÕn sè lo¹i 1 2 dx 1) NÕu tÝch ph©n lµ  R 2   ax  b  dx hoÆc  , §Æt ax+b = Rsint 2 R 2   ax  b  dx e x dx 2) NÕu tÝch ph©n lµ  th× biÕn ®æi thµnh e råi ®Æt e x  R 2 = Rtant x 2 x x 2 e R e R a 3) NÕu tÝch ph©n cã chøa x2  a2 th× ®Æt x = hoÆc ®Æt u = xa  xa sin t TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 6
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n a ( còng cã thÓ ®Æt x = a.cost, x = a.cotgt, x = lÇn lît cho ba trêng hîp trªn) cos t ax a b a b 4)NÕu tÝch ph©n cã chøa th× ®Æt x   cos t b x 2 2 1 a  ln x ab ab 5) NÕu tÝch ph©n cã chøa th× ®Æt ln x   cos t x b  ln x 2 2 a  ex ab ab 6) NÕu tÝch ph©n cã chøa e x x th× ®Æt e x   cos t be 2 2 dx 7) NÕu tÝch ph©n lµ  x  ln th× ®Æt ln x  R tan t 2 x  R2  dx xdx 8) NÕu tÝch ph©n lµ x th× ®a vÒ x ®Æt x 2  R 2  R tan t x2  R2 2 x2  R2 II. NhËn d¹ng ®æi biÕn sè lo¹i 2 dx xdx dx 1) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ; ; x a  xdx; ... th× ®Æt u = a  x a x ax x ax  dx xdx dx 2) NÕu tÝch ph©n lµ  3 ; 3 ; 3 ;  x 3 a  xdx; ... th× ®Æt u = 3 a  x ax ax x ax xdx x3 dx dx 3) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ; ; x a  x 2 dx;  x3 a  x 2 dx ... th× 2 2  2  ax ax x ax ®Æt u = a  x2 x 2 dx x 5 dx dx 4) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ; ;  x 2 a  x 3 dx;  x5 a  x3 dx ... th× 3 3 3 ax ax x ax 3 ®Æt u = ax xdx x3 dx dx 5) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ; ;  x 3 a  x 2 dx;  x 3 3 a  x 2 dx ... th× 3 2 3 2 3 2 ax ax x ax 3 ®Æt u = a  x2 x 2 dx x 5 dx dx 6) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ; ;  x 2 3 a  x 3 dx;  x5 3 a  x3 dx ... th× 3 3 3 3 3 3 ax ax x ax 3 ®Æt u = a  x3 dx dx 7) NÕu tÝch ph©n lµ  ;  a  e x dx;  ;  3 a  e x dx; ... th× nh©n thªm bít ex x 3 x ae ae ®Æt u = a  ex , u = 3 a  ex 3 dx a  ln xdx dx a  ln dx 8) NÕu tÝch ph©n lµ  x ln x  a ; ;  3 ;  ; ... th× x x a  ln x x ®Æt u = a  ln x , u = 3 a  ln x TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 7
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n ln xdx ln x a  ln 2 xdx ln xdx ln x 3 a  ln 2 xdx 9) NÕu tÝch ph©n lµ x ; ; ; ; ... th× ln 2 x  a x x 3 a  ln 2 x x ®Æt u = a  ln 2 x , u = 3 a  ln 2 x x 1 dx a  x 2 2 10)NÕu tÝch ph©n lµ  th× biÕn ®æi thµnh  dx råi ®Æt t = x  a 2  x 2 2 2 2 2 a x x a  x dx dx 11) NÕu tÝch ph©n lµ  th× biÕn ®æi thµnh   x  a   x  a  x  b   x  a 2 xb xa xb ®Æt u = xa dx 12) NÕu tÝch ph©n lµ  th× ®Æt u = x  a  x  b  x  a  x  b  VD1: (§æi biÕn sè theo sint) 1 TÝnh I   x 2 4  3x 2 dx 0 LG: 2    2  §Æt : x  sint ; t   ;  dx  cost.dt ; 4  3x 2  4  4 sin2 t  2 cost ; x  0 t  0;x  1t  3  2 2 3 3     3 3 3 4 2 2 4 2 2  1 2 3 Khi ®ã: I   4 sin t . cos t .dt   sin 2t .dt   (1  cos 4t ).dt   t  sin 4t  3 30 3 30 3 30 3 3 4 0 VD2: TÝnh: ln12 I1   e x  3.dx ln 4 dx I2   2 x  2x  3 LG: Đặt t  e x  3.dx 2tdt 2tdt  e x  t 2  3 ; e x dx  2tdt  dx   2 ; x  ln 4  t  1; x  ln12  t  3 ex t 3 3 3 3 3 2t 2 dt 1 dt I  2  2  dt  6  2 dt  4  6 I 1 TÝnh I1   2 Híng dÉn: §Æt t  3tgu , 1 t 3 1 1 t 3 1 t 3 dx dt Ta biÕn ®æi I2 =  ®Æt t=x-1+ x 2  2 x  3 ta cã I2=   ln x  1  x 2  2 x  3 2 ( x  1)  2 t TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 8
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n Bµi 1 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 3 1 1 5 2 3 A= x 1  x .dx B= x 1  x .dx C= x 1  x 2 .dx 0 0 0 4 2 §/S: B  ;C  15 15 Bµi 2 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 2 2 3 4 dx dx dx A=  x. B=  C= x 2 x2 1 5 x x2  4 7 x2  9 3 1 5 1 7 §/S: A  ;B  ln ; C  ln 12 4 3 6 4 Bµi 3 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 7 7 3 3 1 x .dx x 1 xdx A=  B=  3 dx C=  3 1  3x 0 1  x2 0 0 2x  1 141 1 §/S: A  ;C  20 3 Bµi 4 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: ln 3 2 7 dx xdx dx A=  B=  C=  0 ex 1 1 1 x 1 2 1 2 x Bµi 5 : TÝnh c¸c nguyªn hµm sau: 1 x 1 dx dx A=  .dx B =  C = 1 3 x 1 3 2x  1  2x  1 x2  x 1 Bµi 6 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 2 a 1 2 x 2 .dx  1  x  .dx 2 2 2 2 3 A=  0 1  x2 B= x 0 a  x .dx C= 0 1 1 3 4 2 2 D=  x 1  x .dx E=  x 2  1.dx F=  x 2  1.dx G=  x 3  2 x 2  x .dx 0 0 2 1 Bµi 7 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: A=  3 dx B=  3 x 2  1 .dx C=  2 dx  D=   ln 2 e 2 x .dx 1 x 1  x 1 0 x 1 1 x 1 x 3 0 1 ex 9.4 tÝch ph©n lîng gi¸c * CÇn nhí 4 c«ng thøc lîng gi¸c c¬ b¶n * Sö dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ tÝch ph©n ®a thøc, tÝch ph©n h÷u tû. *BiÕn tÝch thµnh tæng *Ph©n tÝch ra thõa sè ®Ó khö mÉu *H¹ bËc *Mét sè d¹ng ®æi biÕn thêng gÆp: TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 9
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n a)  f  sin x  .cos x.dx  ®Æt t = sinx. b)  f  cos x  .sin x.dx  ®Æt t = cosx. c)  f  tan x  .dx  ®Æt t = tanx. x  f  sin  2k d) x, cos 2 n x .dx , víi k, n  N  ®Æt t = tan . 2 I. NhËn d¹ng ®æi biÕn sè lo¹i 1: dx dx b 1) NÕu tÝch ph©n lµ  2 2 ®a vÒ  a ®Æt tanx = tant a sin x  b 2cos 2 x 2 2 2 2 tan x  b cos x  a  2 dx  Chó ý:  sin 22 v× cËn cña tÝch ph©n lµ 0 vµ nªn nÕu rót cos2x hoÆc sin2x th× tÝch 0 x  3cos x 2 ph©n kh«ng x¸c ®Þnh v× vËy ph¶i t¸ch nh sau      2 4 2 4 2 dx dx dx dx dx     0 sin 2 x  3cos 2 x 0 sin 2 x  3cos 2 x  sin 2 x  3cos 2 x 0 cos 2 x ta n 2 x  3  sin 2 x 3cot 2 x  1    4 4   4 2 dx dx  cos x  ta n ®Æt tanx = 3 tant  ®Æt 3 cotx = tant   sin x  3cot  2 2 2 2 0 x3 x 1 4 cos xdx b 2)NÕu tÝch ph©n lµ 2 a 2 ®Æt sinx = tant 2 sin x  b a sin xdx b 3) NÕu tÝch ph©n lµ  2 2 2 ®Æt cosx = tant a co s x  b a  sin x  cosx  dx  sin x  cosx  dx 4) NÕu tÝch ph©n lµ  ®a vÒ  ®Æt sinx - cosx = asint a 2  1  sin 2 x a 2   sin x  cosx  2  sin x  cosx  dx  sin x  cosx  dx 5) NÕu tÝch ph©n lµ  ®a vÒ  ®Æt sinx + cosx = asint a 2  1  sin 2 x a 2   sin x  cosx  2 II. NhËn d¹ng ®æi biÕn sè lo¹i 2: sin xcosxdx sin xcosxdx 1) NÕu tÝch ph©n lµ  2 2 hoÆc  a sin x  b 2 cos 2 x a sin 2 x  b 2cos 2 x 2 ®Æt u = a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x hoÆc u= a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x cos xdx cos xdx 2) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ... ®Æt u = asinx + b, u = a sin x  b ... a sin x  b a sin x  b sin xdx sin xdx 3) NÕu tÝch ph©n lµ  ; ;... ®Æt u = aco s x  b ; u = aco s x  b ... aco s x  b aco s x  b dx dx 4) NÕu tÝch ph©n lµ  ®a vÒ  ®Æt u = a + bcotx 2 a sin x  b sin xcosx  a  b cot x  sin 2 x TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 10
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n dx dx 5) NÕu tÝch ph©n lµ  aco s 2 ®a vÒ ®Æt u = a + btanx   a  b tan x  co s 2 x  b sin xcosx x m sin x  n cos x aco s x  b sin x 6) NÕu tÝch ph©n lµ  dx ®a vÒ A dx  B  dx a sin x  b cos x a sin x  b cos x ®Æt u=asinx+bcosx m sin x  n cos x  p 7) NÕu tÝch ph©n lµ  dx ®a vÒ a sin x  b cos x  c aco s x  b sin x dx A dx  B  dx  C  a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c tÝch ph©n thø 2 ®Æt u=asinx+bcosx + c x tÝch ph©n thø 3 ®Æt t = tan 2 dx dx dx x 8) NÕu tÝch ph©n lµ  ®a vÒ    ln tan  C sin x x x x x 2 2sin cos 2 tan cos 2 2 2 2 2 dx co s xdx co s xdx 9) NÕu tÝch ph©n lµ  ®a vÒ   ®Æt sinx = u co s x co s 2 x  1  sin 2 x dx 1 dx b 10) NÕu tÝch ph©n lµ  ®a vÒ  víi   arcsin a sin x  bco s x a 2  b 2 sin  x    a2  b2 1 dx 1 dx   2   a  b 2sin  x    co s  x    2 a  b 2ta n  x    co s 2  x    2 2          2   2   2   2  1 x  = ln tan C 2 a b 2 2 11) TÝch ph©n lµ dx ®a vÒ  sin x sin  x    dx dx  sin x sin xcos  co s x sin     sin x  cos  cot x sin   2 ®Æt u = cos  cot x sin  12) TÝch ph©n lµ dx ®a vÒ  co s x sin  x    dx dx  co s x  sin xcos  co s x sin     co s x  cos tan x  sin   2 ®Æt u = cos tan x  sin  9.4.1 Sö dông biÕn ®æi lîng gi¸c ®Ó ®a vÒ c¸c tÝch ph©n c¬ b¶n. Bµi 1: T×m c¸c nguyªn hµm sau: A =  sin 2 x.dx B =  sin 3 x.dx C =  sin 4 x.dx D =  sin 5 x.dx Bµi 2: T×m c¸c nguyªn hµm sau: A =  cos 2 x.dx B =  cos 3 x.dx C =  cos 4 x.dx D =  cos 5 x.dx Bµi 3: T×m c¸c nguyªn hµm sau: TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 11
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n 2 3 A =  tan x.dx B =  tan x.dx C=  tan x.dx D =  tan 4 x.dx E =  tan 5 x.dx Bµi 4: T×m c¸c nguyªn hµm sau: A =  cot x.dx B =  cot 2 x.dx C =  cot 3 x.dx D =  cot 4 x.dx E =  cot 5 x.dx Bµi 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:  4  a)A=  cos 3 x  sin 3 x .dx b)B  0  2    =  cos 2 x cos 4 x  sin 4 x .dx c)C=  2sin 2 x  sin x. cos x  cos 2 x .dx 0 0 Bµi 6: TÝnh c¸c nguyªn hµm : dx dx dx dx a) A =  4 b) B =  c) C =  cos d) D =  sin cos x sin 4 x x x Bµi 7 : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 3   8 4 2 4 dx  tan x  1  2 a) A =  b) B =    .dx c) C =  sin x cos 4 x.dx  sin x cos 2 x 2 o  tan x  1  0 8   2 2 2 2 2 2 Bµi 8 : Cho hai tÝch ph©n I =  cos x cos 2 x.dx , J =  sin x cos 2 x.dx 0 0 TÝnh I + J, I - J, I, J. Bµi 9: T×m c¸c nguyªn hµm sau: sin 3 x.sin 4 x  sin   4 a) A =  .dx b) B = x  cos 4 x . sin 6 x  cos 6 x dx tan x  cot 2 x c) C =  sin x. sin 3 x. sin 2 x.dx  sin  3 d) D = x. cos 3 x  cos 3 x. sin 3 x .dx Bµi 10: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:   a) A =  2 cos x.dx b) B = 2 1  sin 2 x  cos 2 x .dx 0 1  cos x   sin x  cos x 6  2 Bµi 11: TÝnh I =  (sin 10 x  cos 10 x  sin 4 x. cos 4 x).dx ; J =  cos 3x. tan x.dx ; K 0 =  cos 5 x.tan x.dx Bµi 12: TÝnh 3. 1. 2 4 2 3 4. 2 2.  sin x cos xdx  sin x cos xdx 3 3  sin x cos 3xdx  sin x cos xdx 5. 7. 2 3 8.  cos x  sin x   1  2 cos x  dx 7 dx 6.  cos xdx 2 2  sin x cos xdx TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 12
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n 12. 5 cos 3 x dx dx 9.  sin xdx 10.  dx 11.  sin 2 x sin 2 x  4 sin 3 x cos 5 x 13. 16. dx tgx 6 dx 15.  cot g xdx  cos x 14.  sin 2 x dx  sin 3 3 2 sin x x cos 5 x 17. 20. dx dx cos x  sin x 18.  19.  8 sin 3 2 x  sin 2 x dx sin x. cos 4 x 4 tg x  sin 5 x dx 21. 23. 24. dx dx dx sin 2 x  x x 22.  3 tgx  2 sin x  2 cos x  5  sin x  2 cos x dx sin cos 2 2 25. 26. 27. 28. dx dx dx a dx  sin 4 x  cos 4 x  (sin 2 x  2 cos 2 x) 2 2 sin x  b 2 cos 2 x 2  (a sin x  b cos x) 2 31. 32. 29. sin 2 x x x cos 2 x 30.  dx  sin x sin sin dx  cos x. cos 2 x. cos 3xdx  sin 4 x  cos 4 x dx 1  sin 4 x 2 3 33. 34. 35. 36. 3 2 2 dx sin x. cos x  sin 2 x. cos 2 3 xdx  cos ax. cos bxdx  sin x  a  sin x  b   sin x  cos x dx 37. sin x dx 38.  dx  sin x  sin a 2  sin 2 x 9.4.2 Sö dông ph¬ng ph¸p ®æi biÕn ®a vÒ hµm ®¹i sè: Bµi 1: TÝnh tÝch ph©n     3 3 2 sin x.dx 2 4 sin x.dx 4 4 sin x.dx 2 sin 3 x.dx A= 0 cos 2 x  3 B= 0 cos 2 x  1 C= 0 cos 4 x  1 D= 0 cos 2 x  1 Bµi 2: TÝnh tÝch ph©n.   2 6 sin 3x.dx cos x.dx A=  B=  6  5 sin x  sin 2 0 cos x  1 0 x Bµi 3: TÝnh tÝch ph©n.   2 3 sin x  cos x sin 2 x.dx A=  .dx B =  4  cos 2  sin x  cos x 0 x 4 dx Bµi 4: Tìm nguyªn hµm:  sin 2 x  2 sin x TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 13
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n Bµi 5 : TÝnh tÝch ph©n:   2 4 2 sin 4 x.dx A =  e sin x .sin x.cos3 x.dx 6 B=  sin 0 0 x  cos 6 x Bµi 6 : TÝnh nguyªn hµm vµ tÝch ph©n sau:  3 dx dx A = B=       cos x. cos x   6 sin x. sin  x    4  6 Tæng qu¸t: dx dx A = A = cos x. cos x    sin x. sin x    Híng dÉn : Nh©n thªm vµo tö vµ mÉu víi sin  vµ biÕn ®æi sin  ë tö nh sau : sin  = sin  x    x  = sin ( x+  ).cosx – sinx.cos( x+  ). Sau ®ã ®a tÝch ph©n A vÒ tæng hoÆc hiÖu hai tÝch ph©n cã d¹ng  tan u.du hoÆc  cot u.du 9.4.3 TÝch ph©n liªn kÕt. Trong nhiÒu trêng hîp viÖc tÝnh tÝch ph©n quy ®Þnh A rÊt phøc t¹p ta xÐt thªm tÝch ph©n B (gäi lµ liªn kÕt víi tÝch ph©n A) sao cho ta dÔ dµng tÝnh ®îc tÝch ph©n A + B vµ A - B Mét sè bµi to¸n vËn dông: Bµi 1. TÝnh tÝch ph©n sau :   3 cos xdx cos 4 x A=   sin x  cos x B= 0 cos 4 x  sin 4 xdx 6   6 2 cos x 2 cos n x C=  6 6 dx D=  n n dx 0 cos x  sin x 0 cos x  sin x Bµi 2 TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:   2 2 5 cos x  4 sin x 4 sin x A=  cos x  sin x  3 .dx B=  sin x  cos x  3 dx 0 0  2 cos x sin x.dx C=  .dx D =  sin 2 x  1 sin x  cos x 0 Bµi 3 TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:   2 6 sin x 6 cos 2 x I=  sin x  .dx J=  sin x  .dx 0 3 cos x 0 3 cos x TÝnh I + J vµ I -3J TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 14
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n 9.5 Mét sè d¹ng ®Æc biÖt a a 9.5.1 NÕu f(x) lµ hµm liªn tôc trªn [-a;a] víi a>0 th×:  f ( x)dx   ( f ( x)  f ( x))dx a 0 Chøng minh tÝnh chÊt nµy b»ng c¸ch ®Æt x=-t. VD1. Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn R tho¶ m·n: f(x)+f(-x)= 2  2 cos 2 x 3 2 TÝnh I =  f ( x)dx 3  2 HD: 3 3 3   2  2 2  Áp dông tÝnh chÊt trªn ta cã: I=  2  2 cos 2 x dx  2  sin x dx  2  sin xdx   sin xdx   6 0 0 0     9.5.2 Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn [-a; a] ; a > 0 a a - NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n th×:  f ( x)dx  2 f ( x)dx a 0 a - NÕu f(x) lµ hµm lÎ th×:  f ( x)dx  0 a ThËt vËy: §Æt t = - x th× f(-x) = f(x) (nÕu f(x) ch½n vµ f(-x) = -f(x) (nÕu f(x) lÎ) ta dÔ dµng cã kÕt qu¶ trªn. VD2: TÝnh I=  cos x. ln( x  x 2  1)dx HD: Ta thÊy cosx lµ hµm ch½n , ln ( x  x 2  1) lµ hµm lÎ nªn cosx. ln ( x  x 2  1) lµ hµm sè lÎ. Nhê kÕt qu¶ trªn ta cã I =0. a a f ( x) 1 9.5.3 Cho f(x) lµ hµm sè ch½n liªn tôc trªn R vµ a > 0 khi ®ã I=  x dx =  f ( x)dx a1  b 2 a a a a f (t ) b t . f (t )dt b x . f ( x)dx Thật vËy: ĐÆt x= -t ta cã dx= -dt =>I=  dt a 1  b t a 1  b t    1 bx a a VËy I+I=  f ( x)dx .(§PCM) a  2 sin x. sin 2 x. cos 5 x VD3: TÝnh I=  dx ex 1  2 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 15
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n HD: Ta thÊy :sinx.sin2x.cos5x lµ hµm ch½n ¸p dụng kÕt qu¶ trªn ta cã I =  sin x sin 2 x. cos 5 xdx  0  2 x2 VD4: Tính: I   x sin x dx  1  2 2 HD:  2 Ta cã f(x)= x 2 sin x lµ hµm sè ch½n nªn ¸p dông kÕt qu¶ trªn ta ®îc I=  x 2 sin xdx tiÕp tục tÝch 0  4 ph©n tõng phÇn hai lÇn ®îc I= 2 Bµi 1: TÝnh    sin 2 xdx 2 x 2 sin x 3 sin 6 x  cos 6 x I=  x J=  dx K=  dx  3  1  1 2x  1 6x 2 3 a a 9.5.4 NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn [0;a] víi a>0, th×  f ( x)dx   f (a  x)dx. 0 0 §æi biÕn sè t=a-x ,ta nhËn ®îc KQ trªn.  /4 VD5: TÝnh: I1   ln 1  tan x  dx 0   Do h/s : y  ln(1  tan x ) liªn tục / 0;  ¸p dông kÕt qu¶ 9.5.4 ta cã:  4  /4  / 4  /4       1  tan x  2 I1   ln 1  tan   x  dx =  ln 1   dx   ln dx 0  4  0  1  tan x  0 1  tan x  /4  /4  4 1      (ln 2)dx   ln(1  tan x)dx  ln 2.x 0  I1  I1  ln 2   0   ln 2 0 0 2 4  8 b b ab 9.5.5 NÕu f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn [a;b] tho¶ m·n f(x)=f(a+b-x) th×:  xf ( x)dx  f ( x)dx a 2 a ®Ó chøng minh kÕt qu¶ nµy ta chØ cÇn ®æi biÕn x=a+b-t .chän a=0,b=  vµ f(x) lµ f(sinx) tho¶ m·n    f(sinx) =f(sin(0+  -x)) th× tõ kÕt qu¶ 8) ta nhËn ®îc:  xf (sin x)dx  2  f (sin x)dx 0 0   2  MÆt kh¸c  f (sin x)dx   f (sin x)dx   f (sin x)dx 0 0 2 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 16
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n  §æi biÕn x=  -t cho tÝch ph©n  f (sin x)dx  2   2  Cã  f (sin x)dx  2  f (sin x)dx víi phÐp ®Æt x= -t 0 0 2    2 2 ta l¹i cã:  f (sin x)dx   f (sin x)dx   f (cos x)dx 0 0 0  VD6. TÝnh I=  x. sin x. cos 2 x.dx 0 LG:      Ta cã f(sinx)=sinx.(1-sin2x) vµ nhê kÕt qu¶ trªn ta cã: I=  sin x. cos 2 x.dx   cos 3 x  20 6 0 3  2 1 VD7. TÝnhI =  ( 2  tan 2 (sin x))dx 0 cos (cos x) LG:  2 Ta cã I=  (1  tan 2 (cos x)  tan 2 (sin x))dx .Xem hµm f(cosx)=tan2(cosx) vµ f(sinx)=tan2(sinx) 0    2 2 2 2 2  Sö dông kÕt qu¶ 9.5.5 ta cã:  tan (cos x)dx   tan (sin x)dx Do ®ã I=  dx  0 0 0 2 9.5.6 NÕu f(x) lµ hµm liªn tôc ,tuÇn hoµn víi chu kú T th× T a T T 2  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dxa  R a 0 T  2 T a T T 2 ThËt vËy ,®Æt J1=  f ( x)dx ,J =  f ( x)dx a 2 0 , J 3=  f ( x)dx T  2 a T 0 T a T a T J1=  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx +  f ( x)dx ®æi biÕn x=t+T ®èi víi tÝch ph©n  f ( x)dx ®îc a a 0 T a T J1=J2. Chän a=- ta ®îc J1=J3 2 2 VD8:TÝnh I=  ln(sin x  1  sin 2 x )dx 0 LG: NhËn xÐt r»ng f(x) = ln(sinx+ 1  sin 2 x ) lµ hµm liªn tôc,tuÇn hoµn víi chu kú T=2  TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 17
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n  Nhê kÕt qu¶ 9) ta ®îc I=  f ( x)dx mÆt kh¸c f(x) lµ hµm sè lÎ  do ®ã I=0. 2008 2007 VD12: TÝnh I=  sin x.dx 0 LG Hµm sè f(x)= sinx lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu kú 2  vµ 2 4 2008 2007 2007 2007 I=  sin x.dx +  sin x.dx +…+  sin x.dx sö dông nhiÒu lÇn kÕt qu¶ 9.5.6 ta thÊy c¸c sè 0 2  2006 2  h¹ng nµy b»ng nhau do ®ã I=1004  sin 2007 x.dx  1004  sin 2007 x.dx do f(x)=sin2007x lµ hµm sè lÎ 0  nÕu I=0 9.5 Ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn b b b  udv  uv a  v.du a a §Ó tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn ta cÇn x¸c ®Þnh u,v,du,dv Mét sè d¹ng tÝch ph©n tõng phÇn thêng gÆp: *  P ( x).a ax .dx  P( x). sin ax.dx  P( x). cos ax.dx  §Æt u = P(x), dv = PhÇn cßn l¹i *  P ( x). log a x.dx  ®Æt dv = P(x)dx, u = phÇn cßn l¹i; *  a ax . sin  x.dx *  a ax . cos  x.dx §Æt tuú ý.   f  x   f '  x   e dx t¸ch thµnh  f  x  e dx   f '  x  e dx x x x * x x TÝnh tõng phÇn  f  x  e dx ®Æt u = f(x); dv = e dx sÏ khö ®îc  f '  x  e dxx 9.5.1 NÕu hµm sè díi dÊu hµm sè tÝch ph©n cã d¹ng p(x).f(x) trong ®ã p(x) lµ mét ®a thøc, f(x) lµ mét hµm lîng gi¸c th× c¸ch gi¶i chung ®Æt: u  p( x) du  p , ( x)dx   dv  f ( x).dx v   f ( x).dx  2 VD1: TÝnh I   x. sin x cos 2 x.dx 0 LG: TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 18
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n  12 I x(sin 3x  sin x).dx 2 0  dx  x  du  u   2 §Æt  2  dv  (sin 3 x  sin x).dx v   1 cos 3 x  cos x  3    2 x  1  2 1 1 1 1 2 5 I   cos 3 x  cos x    ( cos 3x  cos x)dx  0   sin 3x  sin x    2 3 0 2 0 3  18 2 0 9 9.5.2 NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã d¹ng p ( x). f (e x ) trong ®ã p(x) lµ mét ®a thøc th× c¸ch gi¶i chung lµ ®Æt: u  p ( x) du  p , ( x)dx  Ï   x  dv  f ( e ).dx v   f (e ).dx 1 VD2: TÝnh I   (2 x  1).e x dx 0 LG: u  2 x  1 du  2dx ĐÆt  x   x dv  e .dx v  e 1 x 1 1 I  (2 x  1).e   2.e x .dx  e  1  2.e x  e  3 0 0 0 9.5.3 NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã d¹ng p(x).ln(f(x)) trong ®ã p(x) lµ mét ®a thøc hoÆc lµ hµm sè lîng gi¸c, th× c¸ch gi¶i chung lµ:  f , ( x) u  ln( f ( x))  du  dx §Æt   f ( x) dv  p ( x).dx v  p ( x).dx   1 ln( x  1) VD3: TÝnh I   2 0 ( x  2) LG:  dx u  ln( x  1)  du   x 1 §Æt  dx   dv  v   1  ( x  2) 2  x2 1 1 1 dx 1 I= . ln( x  1)     ln 2  I 1 Víi : x2 0 0 ( x  1)( x  2) 3 1 1 1 dx dx x 1 4 I1     ln  ln 0 ( x  1)( x  2) 0 x  2 x20 3 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 19
Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 9 nguyªn hµm – tÝch ph©n D¹ng 1 :T Ých ph©n cña hµm ®¹i sè + lîng gi¸c Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n   2 2  2 A=  x sin 2 xdx B =  ( x 2  1) sin xdx C= x 2 sin xdx 0 0 0 Bµi 2: TÝnh  2  4 4 4 2 2 I=  x tan 0 xdx J=  x sin 0 x dx K=  x(2 cos 0 x  1)dx   L =  ( x 2  1). cos 2 xdx M =  x. sin x. cos 2 xdx 0 0 Bµi 3: TÝnh   2 x  cos x .dx 3 x sin xdx  x  2 A=  B=  2 . sin 2 xdx C=    4  sin x 2   cos 2 x 2 3 Bµi 4: TÝnh xdx 2 x cos xdx A=  sin 2 x B=  x. cos xdx C=  sin 3 x D¹ng 2: TÝch ph©n lîng gi¸c + mò Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:   4 2  x 2x A=  5e sin 2 xdx B=  e sin 3xdx C =  e 2 x sin 2 xdx 0 0 0 Bµi 2: TÝnh:  2 x A= e . cos xdx B =  e 2 x . cos 3xdx 0  2 1  sin x x Bµi 3: TÝnh:  1  cos x .e 0 dx  cos x Bµi 4: TÝnh:  (e 0  x). sin x.dx D¹ng 3: TÝch ph©n ®¹i sè + mò Bµi 1. TÝnh: 1 1 A= x  e dx B =  ( x 2  1).e x dx 1 0 4 Bµi 2. TÝnh: TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 20