Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

Chia sẻ: Hà Trung Hưng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

476
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên tóm tắt lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn. Chúc bạn học tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PhÇn I: Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A. Tãm t¾t lý thuyÕt. 1.Sè 2 lµ sè nghuyªn tè ch½n duy nhÊt. 2.Ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng f(x).g(x) = k víi f(x) vµ g(x) lµ c¸c ®a thøc hÖ sè nguyªn. Ta ph©n tÝch k ra thõa sè nguyªn tè råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh. f ( x) = m víi m.n = k. g ( x) = n 3.Ph¬ng tr×nh ®èi xøng c¸c Èn cña x, y, z.....Khi t×m nghiÖm nguyªn d¬ng ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ ..... 4.Kh«ng tån t¹i sè chÝnh ph¬ng n»m gi÷a hai sè chÝnh ph¬ng liªn tiÕp. B. c¸c d¹ng to¸n Thêng gÆp. D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d. Hai vÕ cña ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn khi chia cho cïng mét sè cã sè d kh¸c nhau th× ph¬ng tr×nh ®ã kh«ng cã nghiÖm nguyªn. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. x 2 = 2 y 2 (1) Gi¶i: Râ rµng x = y = 0 lµ nghiÖm cña (1). � y � x NÕu x0 , y0 0 vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiÖm cña (1). Gäi d = ( x0 , y0 ) , suy ra � 0 , 0 � 1. = �d d � 2 2 2 x� � � � y x0 y � � x0 Ta cã: x02 = 2 y02 � � 0 �= 2 � 0 �� ch½n 2 � 0 �M4 ch½n, v« lý. d � � d � � d d � � d VËy ph¬ng tr×nh (1) chØ cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt lµ (0,0). VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. x 2 − 2 y 2 = 5 (1) Gi¶i: 1)NÕu xM5 th× 2 y = ( x − 5) M5 �� 5 (x − 2 y 2 ) M25 v« lý. 2 2 2 yM / / 2)NÕu x M5 th× tõ y M5 ta cã x 2 1(mod 5) vµ y 2 1(mod 5) suy ra x 2 − 2 y 2 1, 3(mod 5) . VËy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 1
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn trong phÐp chia cho 8 kh«ng thÓ cã d lµ 7 tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh 4 x 2 + 25 y 2 + 144 z 2 = 2007 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Gi¶i: Gi¶ sö: x 2 + y 2 + z 2 = 7(mod 8) mµ x 0, 1, 2, 3 , 4(mod 8) nªn x 2 0,1, 4(mod 8) suy ra / y 2 + z 2 = 7, 6,3(mod 8) nhng y 2 + z 2 = 0,1, 2, 4,5, (mod 8) v« lý. VËy x 2 + y 2 + z 2 M7(mod 8) Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt: (2 x) 2 + (5 y ) 2 + (12 z ) 2 = 6 125 + 7 Tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè nguyªn: x14 + x2 4 + .... + x7 4 = 2008. Gi¶i: 1)NÕu x = 2k th× xM . 16 2)NÕu x = 2k + 1 th× x 4 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)M v× ( x − 1)( x + 1)M vµ ( x 2 + 1)M2 . 16, 8 VËy x 4 0;1(mod16) Do ®ã khi chia tæng x1 + x2 + .... + x7 cho 16 cã sè d kh«ng vît 4 4 4 qu¸ 7, trong khi ®ã 2008 8(mod16) . Suy ra ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c ∈ Z ) (1) a a2 Ta cã: (1) � cxy − −ay = b � y (cx − a ) − (cx − a ) = +b c c � (cx − a )(cy − a ) = a 2 + bc. cx − a = m Ph©n tÝch a 2 + bc = m.n víi m, n ∈ Z, sau ®ã lÇn lît gi¶i c¸c hÖ: cy − a = n VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 2( x + y ) + 16 = 3xy Gi¶i: Ta cã: 2( x + y ) + 16 = 3xy � 3xy − 2 x − 2 y = 16 2 4 � y (3x − 2) − (3 x − 2) = 16 + � (3 x − 2)(3 y − 2) = 52 3 3 Gi¶ sö: x y khi ®ã 1 3x − 2 3 y − 2 vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hÖ sau: 3x − 2 = 1 3x − 2 = 2 3x − 2 = 4 ; ; ; 3 y − 2 = 52 3 y − 2 = 26 3 y − 2 = 13 Gi¶i c¸c hÖ trªn ta ®îc c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh lµ: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: (2 x + 5 y + 1)(2 x + y + x 2 + x) = 105. Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 2
Gi¶i: V× 105 lµ sè lÎ nªn 2 x + 5 y + 1 lÎ suy ra y ch½n mµ x 2 + x = x( x + 1) ch½n nªn 2 x lÎ ⇒ x = 0. Víi x = 0 ta cã ph¬ng tr×nh ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nªn 5 y + 1 = 21 5 y + 1 = −21 hoÆc � y = 4 Thö l¹i ta thÊy x = 0, y = - 4 lµ nghiÖm nguyªn y +1 = 5 y + 1 = −5 cña ph¬ng tr×nh. VÝ dô 3: T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh lµ sè nguyªn vµ cã diÖn tÝch b»ng chu vi. Gi¶i: Gäi x, y, z lµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng : 1 x y < z . Ta cã: x 2 + y 2 = z 2 (1) xy = 2( x + y + z )(2) Tõ (1) ta cã: z 2 = ( x + y )2 − 2 xy = ( x + y )2 − 4( x + y + z ) � ( x + y ) 2 − 4( x + y ) + 4 = z 2 + 4 z + 4 � ( x + y − 2) 2 = ( z + 2) 2 � x + y − 2 = z + 2 do ( x + y 2) Thay z = x + y − 4 vµo (2) ta ®îc: �x − 4 = 1 � �x = 5 � �� y − 4 = 8 ( x − 4)( y − 4) = 8 �� y = 12 � ( x, y, z ) = (5,12,13);(6,8,10); �x − 4 = 2 � �x = 6 vËy c¸c cÆp: � �� y − 4 = 4 � �y = 8 � VÝ dô 4: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: p( x + y ) = xy. víi p lµ sè nguyªn tè. Gi¶i: Ta cã: p( x + y ) = xy � xy − px − py + p = p � ( x − p ) ( y − p ) = p 2 2 2 Mµ p 2 = p. p = (− p).(− p) = 1. p 2 = (− p 2 ).(−1) .Tõ ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm nguyªn lµ: ( x, y ) = (0, 0);(2 p, 2 p);( p + 1, p 2 + p);( p 2 + p, p + 1);( p − p 2 , p − 1);( p − 1, p − p 2 ); D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng. §Ó t×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®èi xøng ta gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ ..... råi chÆn trªn mét Èn. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x + y + z = xyz (1). Gi¶i: Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 3
V× x, y ,z cã vai trß nh nhau nªn ta gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z . Tõ (1) suy ra: 1 1 1 3 1= + + �� x = 1. xy yz zx x 2 � −1 = 1 y � =2 y Víi x = 1 ta cã 1 + y + z = yz � ( y − 1)( z − 1) = 2 �� . � −1 = 2 z �=3 z VËy (1) cã nghiÖm nguyªn d¬ng ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã. VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 5( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt (1). Gi¶i: V× x, y ,z cã vai trß nh nhau nªn ta gi¶ sö x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1 . Tõ (1) suy ra: 5 5 5 10 30 t =1 2= + + + . xyz xzt xyt xyzt t3 t=2 z =1 5 5 5 15 30 *)Víi t = 1 ta cã: 5( x =� � +15 + = xyz= + + + y z) + 2 2 � 2 z 15 z 2. xy yz xz xyz z2 z=3 �2 x − 5 = 65 � �x = 35 � �� 2 y − 5 = 1 � �y = 3 � 1)Víi z = 1 ta cã: 5( x + y ) + 20 = 2 xy � (2 x − 5)(2 y − 5) = 65 �� 2 x − 5 = 13 �x = 9 � � �� 2 y − 5 = 5 � �y = 5 � Ta cã c¸c nghiÖm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, 1 ),( 9, 5, 1, 1 ) vµ c¸c ho¸n vÞ cña chóng, 2) Víi z = 2, z= 3, ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng. 5 5 5 20 35 35 *) Víi t = 2 , ta cã: 5( x > y� z ) + + =� = + + +4 + 20 4 xyz xy yz xz xyz z2 z2 4 9 � z = 2. v× ( z t = 2) . Khi ®ã: 5( x + y ) + 30 = 8 xy � (8 x − 5)(8 y − 5) = 265. Do x y z t 2 nªn 8 x − 5 8 y − 5 11 , mµ 265 = 53.5 Trêng hîp nµy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng. VÝ dô 3: Mét tam gi¸c cã sè ®o ®é dµi cña ®êng cao lµ mh÷ng sè nguyªn d- ¬ng vµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c cã b¸n kÝnh b»ng 1. Chøng minh tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu. Gi¶i: §Æt a = BC, b = CA, c = AB. Gäi ®é dµi c¸c ®êng cao øng víi c¸c c¹nh a, b, c cña tam gi¸c. B¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp b»ng 1 nªn x, y, z > 2. Gi¶ sö x ≥ y ≥ z > 2. Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 4
1 1 1 DiÖn tÝch tam gi¸c ABC: S = a.x = b. y = c.z (1) 2 2 2 1 MÆt kh¸c: S = S AOB + S BOC + S AOC = (a + b + c)(2) 2 a b c a +b+c a.x = b. y = c.z = a + b + c � a + b + c = = = = Tõ (1) vµ (2) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 + + x y z x y z 1 1 1 3 1 1 1 =� � = + + 1 z 3 z 3. Thay z = 3 vµo � + + = 1. ta ®îc: x y z z x y z �2 x − 3 = 9 � �x = 6 � �� ( Loai ) 1 1 2 �2 y − 3 = 1 + = � 3( x + y ) = 2 xy � (2 x − 3)(2 y − 3) = 9 �� =2 � y x y 3 �2 x − 3 = 3 � �x = 3 � �� 2 y − 3 = 3 � �y = 3 � VËy x = y = z = 3, khi ®ã a = b = c. VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ. TÝnh chÊt: NÕu cã sè nguyªn m sao cho m 2 < n < (m + 1)2 th× n kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 1!+ 2!+ 3!+ 4!.... + x ! = y 2 . Gi¶i: Víi x ≥ 5 th× x! cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 nªn: 1!+ 2!+ 3!+ 4!+ 5!.... + x ! = 33 + 5!+ ... + x !. Cã ch÷ sè tËn cïng lµ 3 nªn kh«ng thÓ lµ sè chinh, VËy x ≥ 5 th× ph¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖn nguyªn d¬ng. Víi 1 ≤ x < 5, b»ng c¸ch thö trùc tiÕp x = 1, 2, 3, 4 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (1,1) vµ (3,3). VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 6 + 3 x3 + 1 = y 4 . Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = ± 1 lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh. +)Víi x > 0 ta cã: ( x 3 + 1) 2 = x 6 + 2 x 3 + 1 < x 6 + 3 x 3 + 1 = y 4 < ( x 3 + 2) 2 � x 3 + 1 < y 2 < x 3 + 2 ( v« lý ). +)Víi x ≤ - 2 th× : ( x + 2) < y < ( x + 1) � x + 2 < y < x + 1 ( v« lý ). 3 2 4 3 2 3 2 3 +)Víi x = - 1 th× : y 4 = −1 , ( v« lý ). VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai cÆp nghiÖm ( 0; 1 ); ( 0; -1 ). VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 2 + ( x + 1) 2 = y 4 + ( y + 1) 4 . Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 5
Gi¶i: Khai triÓn vµ rót gän hai vÕ ta ®îc: x( x + 1) = y 4 + 2 y 3 + 3 y 2 + 2 y � x 2 + x = y 2 ( y + 1) 2 + 2 y ( y + 1). � x 2 + x + 1 = ( y 2 + y + 1) 2 (1) +)NÕu x > 0 th× tõ x 2 < 1 + x + x 2 < ( x + 1) 2 . suy ra 1 + x + x 2 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng nªn (1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. +)NÕu x < - 1 th× tõ ( x + 1)2 < 1 + x + x 2 < x 2 suy ra (1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. y=0 +)NÕu x = 0 hoÆc x = - 1 th× tõ (1) suy ra y + y + 1 = 1 2 . y = −1 VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm nguyªn ( x; y ) = ( 0; 0 ); ( 0; -1 ); ( -1; 0 ); (-1; -1 ); D¹ng 5: Ph¬ng ph¸p xuèng thang. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x3 − 3 y 3 − 9 z 3 = 0. Gi¶i: Gi¶ sö ( x0 , y0 , z0 ) lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh khi ®ã x0 M3 ®Æt x0 = 3x1. thay x0 = 3 x1. vµo (1) ta ®îc: 9 x13 − y03 − 9 z03 = 0 y0 M ®Æt y0 = 3 y1 3. z0 M khi ®ã: 3, 9 x13 − 27 y13 − 3z0 3 = 0 � 3x13 − 9 y13 − z03 = 0 � z0 M ®Æt z0 = 3 z1 khi ®ã: x13 − 3 y13 − 9 z13 = 0 . 3. �x y z � VËy � 0 , 0 , 0 �còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. � 3 3� 3 �x y z � Qu¸ tr×nh nµy tiÕp tôc th× ®îc: � k , k0 , k � c¸c nghiÖm nguyªn cña (1) víi mäi k 0 0 lµ � 3 3 � 3 ®iÒu nµy chØ x¶y ra khi x0 = y0 = z0 = 0. VËy ( 0, 0, 0 ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 2 xyzt (1). Gi¶i: Gi¶ sö ( x0 , y0 , z0 , t0 ) lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh khi ®ã: x0 2 + y0 2 + z0 2 + t0 2 = 2 x0 y0 z0t 0 (1). lµ sè ch½n nªn trong c¸c sè x0 , y0 , z0 , t0 ph¶i cã sè ch½n sè lÎ (0; 2 hoÆc 4 ). / +)NÕu x0 , y0 , z0 , t0 ®Òu lÎ th× ( x0 2 + y0 2 + z0 2 + t0 2 )M4 , trong khi ®ã 2 x0 y0 z0t0 M4 . +)NÕu trong c¸c sè x0 , y0 , z0 , t0 cã hai sè lÎ th× ( x0 2 + y0 2 + z0 2 + t0 2 ) 2(mod 4) , trong khi ®ã 2 x0 y0 z0t0 M4 . VËy x0 , y0 , z0 , t0 ph¶i lµ c¸c sè ch½n, ®Æt x0 = 2 x1. , y0 = 2 y1. , z0 = 2 z1. , t0 = 2t1. ph¬ng tr×nh trë thµnh: Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 6
x12 + y12 + z12 + t12 = 8 x1 y1 z1t1 (1). Lý luËn t¬ng tù ta cã: x2 2 + y2 2 + z2 2 + t2 2 = 8x2 y2 z2t 2 (1). x1 y z t x y z t Víi x2 = , y2 = 1 , z2 = 1 , t2 = 1 , tiÕp tôc ta cã: xn = 0 , yn = 0 , zn = 0 , tn = 0n , n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 Lµ sè nguyªn v¬i mäi n, ®iÒu nµy chØ x¶y ra khi x0 = y0 = z0 = t0 = 0. VËy ( 0, 0, 0, 0 ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh ®· cho. D¹ng 6: H¹n chÕ tËp hîp chøa nghiÖm dùa vµo ®iÒu kiÖn cña c¸c Èn. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x + y = 50. Gi¶i: Ta thÊy 0 x, y 50 tõ y = 50 − x . ta cã y = 50 + x − 2 50 x = 50 + x −10 2 x . V× y nguyªn nªn 2 x = 4k 2 � x = 2k 2 .(k � ) víi 2k 2 �� 2 25.(k Z ) Z 50 k k chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lùa chän k trong c¸c sè trªn ®Ó tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ta ®îc c¸c nghiÖm: ( x; y ) = (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32; 2);(50;0) . D¹ng 7: Mét sè d¹ng kh¸c. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3 x 2 + 5 y 2 = 12(1). Gi¶i: Ta cã: (1) � 3( x 2 + 1) = 5(3 − y 2 ). Do (3, 5) = 1 nªn ( x 2 + 1)M vµ (3 − y 2 )M3. 5. §Æt x 2 + 1 = 5k . , 3 − y 2 = 3l. Ta cã: 3.5k = 5.3l � k = l (k , l �Z ) . 1 � = 5k − 1 0 � x2 k Do ®ã: � 2 � � 5 � k = l = 1 . VËy x = ± 2, y = 0. y = 3 − 3l 0 l 1 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn ( 2, 0 ); ( -2, 0 ). VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 16. Gi¶i: Tac cã: x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 16 � ( x − 2 y ) 2 + y 2 = 16 . x − 2y = 4 x − 2y = 0 V×: 16 = 42 + 02 nªn hoÆc y=0 y= 4 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ: ( x; y ) = (4;0);( −4;0);(8; 4);( −8; −4); VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3( x 2 + xy + y 2 ) = x + 8 y. Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt l¹i lµ: 3 x 2 + (3 y −1) x + 3 y 2 − 8 y = 0(1) . Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 7
Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi: ∆ = (3 y − 1) 2 − 12(3 y 2 − 8 y ) �� −27 y 2 + 90 y + 1 � 0 0. { Do y nguyªn nªn 0 �y � � y � 0;1; 2;3} . 3 +)Víi y = 0 ta cã x = 0. +)Víi y = 1 ta cã x = 1. +)Víi y = 2 vµ y = 2 ta cã kh«ng t×m ®îc x nguyªn. VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn lµ ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ; 1 ); PhÇn II: Bµi tËp D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. a) x 2 − 3 y 2 = 17 . b) x 2 − 5 y 2 = 17 . c) x 2 − 2 y 2 = 1 . d) 2 x + 122 = y 2 − 32 . e) 15 x 2 − 7 y 2 = 9 . f) x 2 + 2 x + 4 y 2 = 37 . D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. a) 5( x + y ) + 2 = 3xy . b) 2( x + y ) = 3xy . c) x 2 − y 2 = 91 . d) x 2 + x + 6 = y 2 . e) x 2 − y 2 = 169 . e) x 2 − y 2 = 1999 . D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau. a) x + y + 1 = xyz . b) x + y + + z + 9 = xyz . c) x + y + z + t = xyzt . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d) x + y = 2 . e) x + y + z + t = 1 . f) x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1 . D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. a) x 2 − 6 xy + 13 y 2 = 100 . b) 1 + x + x 2 + x3 = y 3 . c) 1 + x + x 2 + x3 + x 4 = y 2 . d) x 2 = y ( y + 1)( y + 2)( y + 3) . e) ( x − 2)4 − x 4 = y 3 . f) x( x + 1)( x + 7)( x + 8) = y 2 . D¹ng 5: Ph¬ng ph¸p xuèng thang. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. a) x3 − 2 y 3 − 4 z 2 = 0 . b) 8 x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = u 4 . c) x 2 + y 2 + z 2 = 2 xyz . D¹ng 6 vµ D¹ng 7. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 8
a) ( x + y + 1)2 = 3( x 2 + y 2 + 1) . b) x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 z = 4 . c) 1 x + y −1 + z − 2 = ( x + y + z) . 2 Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 9