Chuyên đề : ước và bội

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

274
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ước và bội số là hai khái niệm quan trọng trong chương trình số học THCS, chuyên đề này giới thiệu những khái niệm và tính chất cơ bản về ước, ước số chung, ước chung lớn nhất, bội , bội số chung, bội chung nhỏ nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề : ước và bội

Chương 1 Ư c và B i 1.1 Ư cs ,ư c s chung, ư c s chung l n nh t 1 1.2 B is ,b i s chung, b i s chung 1.3 nh nh t Bài t p đ 4 ngh 6 .v n h Nguy n M nh Trùng Dương (duongld) Nguy n Tr n Huy (yeutoan11) 2 4 c Ư c và b i là 2 khái ni m quan tr ng trong chương trình s h c THCS. Chuyên đ này s gi i thi u nh ng khái ni m và tính ch t cơ b n v o ư c, ư c s chung, ư c chung l n nh t, b i, b i s chung, b i chung nh nh t. M t s bài t p đ ngh v các v n đ này cũng s đư c đ c p đ n cu i bài vi t. h 1.1 u i Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t V Trong ph n này, chúng tôi s trình bày m t s khái ni m v ư c s , ư c s chung và ư c s chung l n nh t kèm theo m t vài tính ch t c a chúng. M t s bài t p ví d cho b n đ c tham kh o cũng s đư c đưa ra. 1.1.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1.1 S t nhiên d = 0 đư c g i là m t ư c s c a s t nhiên a khi và ch khi a chia h t cho d. Ta nói d chia h t a, kí hi u d|a. T p h p các ư c c a a là: U (a) = {d ∈ N : d|a}. 1
2 1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t Tính ch t 1.1– N u U (a) = {1; a} thì a là s nguyên t . Đ nh nghĩa 1.2 N u U (a) và U (b) có nh ng ph n t chung thì nh ng ph n t đó g i là ư c s chung c a a và b. Ta kí hi u: U SC(a; b) = {d ∈ N : (d|a) ∧ (d|b)} = {d ∈ N : (d ∈ U (a)) ∧ (d ∈ U (b))}. Tính ch t 1.2– N u U SC(a; b) = {1} thì a và b nguyên t cùng nhau. n Đ nh nghĩa 1.3 S d ∈ N đư c g i là ư c s chung l n nh t c a a và b (a; b ∈ Z) khi d là ph n t l n nh t trong t p U SC(a; b). Ký hi u ư c .v chung l n nh t c a a và b là U CLN (a; b), (a; b) hay gcd(a; b). 1.1.2 Tính ch t Sau đây là m t s tính ch t c a ư c chung l n nh t: 4 h • N u (a1 ; a2 ; . . . .; an ) = 1 thì ta nói các s a1 ; a2 ; . . . ; an nguyên t cùng nhau. c 2 • N u (am ; ak ) = 1, ∀m = k, {m; k} ∈ {1; 2; . . . ; n} thì ta nói các o a1 ; a2 ; . . . ; an đôi m t nguyên t cùng nhau. a b (a; b) h • c ∈ U SC(a; b) thì ; = . c c c • d = (a; b) ⇔ u i a b ; d d • (ca; cb) = c(a; b). = 1. V • (a; b) = 1 và b|ac thì b|c. • (a; b) = 1 và (a; c) = 1 thì (a; bc) = 1. • (a; b; c) = ((a; b); c). • Cho a > b > 0 – N u a = b.q thì (a; b) = b. – N u a = bq + r(r = 0) thì (a; b) = (b; r). Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t 3 1.1.3 Cách tìm ư c chung l n nh t b ng thu t toán Euclide Đ tìm (a; b) khi a không chia h t cho b ta dùng thu t toán Euclide sau: a = b.q + r1 thì (a; b) = (b; r1 ). b = r1 .q1 + r2 thì (b; r1 ) = (r1 ; r2 ). ··· rn−2 = rn−1 .qn−1 + rn thì (rn−2 ; rn−1 ) = (rn−1 ; rn ). rn−1 = rn .qn thì (rn−1 ; rn ) = rn . .v n h (a; b) = rn . (a; b) là s dư cu i cùng khác 0 trong thu t toán Euclide. 1.1.4 Bài t p ví d 2 4 Ví d 1.1. Tìm (2k − 1; 9k + 4), k ∈ N∗ . c L i gi i. Ta đ t d = (2k − 1; 9k + 4). Theo tính ch t v ư c s chung o ta có d|2k − 1 và d|9k + 4. Ti p t c áp d ng tính ch t v chia h t ta l i h có d|9(2k − 1) và d|2(9k + 4). Suy ra d|2(9k + 4) − 9(2k − 1) hay d|17. i V y (2k − 1; 9k + 4) = 1. u Ví d 1.2. Tìm (123456789; 987654321). L i gi i. Đ t b = 123456789; a = 987654321. Ta nh n th y a và b đ u chia h t cho 9. V Ta l i có : a + b = 1111111110 = 1010 − 10 9 ⇔ 9a + 9b = 1010 − 10 . (1.1) M t khác : 10b + a = 9999999999 (1.2) = 1010 − 1. Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
4 1.2. B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t Tr (1.2) và (1.1) v theo v ta đư c b−8a = 9. Do đó n u đ t d = (a; b) . thì 9. .d. Mà a và b đ u chia h t cho 9, suy ra d = 9. D a vào thu t toán Euclide, ta có l i gi i khác cho Ví d 1.2 như sau : L i gi i. 987654321 = 123456789.8+9 thì (987654321; 123456789) = (123456789; 9). n 123456789 = 9.1371421. .v (123456789; 987654321) = 9. Ví d 1.3. Ch ng minh r ng dãy s An = 1 2 4 nh ng dãy s vô h n nh ng s đôi m t nguyên t cùng nhau. h n(n + 1), n ∈ N∗ ch a 2 L i gi i. Gi s trong dãy đang xét có k s đôi m t nguyên t cùng nhau là t1 = 1; t2 = 3; . . . ; tk = m(m ∈ N∗ ). Đ t a = t1 t2 . . . tk . Xét s h ng t2a+1 trong dãy An : c t2a+1 = h o 1 2 (2a + 1)(2a + 2) i = (a + 1)(2a + 1) ≥ tk V u M t khác ta có (a + 1; a) = 1 và (2a + 1; a) = 1 nên (t2a+1 ; a) = 1. Do đó t2a+1 nguyên t cùng nhau v i t t c k s {t1 ; t2 ; . . . tk }. Suy ra dãy s An ch a vô h n nh ng s đôi m t nguyên t cùng nhau. 1.2 B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t Tương t như c u trúc đã trình bày ph n trư c, trong ph n này chúng tôi cũng s đưa ra nh ng đ nh nghĩa, tính ch t cơ b n c a b i s , b i s chung, b i s chung nh nh t và m t s bài t p ví d minh h a. Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
1.2. B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t 5 1.2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1.4 S t nhiên m đư c g i là m t b i s c a a = 0 khi và ch khi m chia h t cho a hay a là m t ư c s c a m. Nh n xét. T p h p các b i s c a a = 0 là: B(a) = {0; a; 2a; . . . ; ka}, k ∈ Z. Đ nh nghĩa 1.5 S t nhiên m đư c g i là m t b i s c a a = 0 khi n và ch khi m chia h t cho a hay a là m t ư c s c a m .v Đ nh nghĩa 1.6 N u 2 t p B(a) và B(b) có ph n t chung thì các ph n t chung đó g i là b i s chung c a a và b. Ta ký hi u b i s chung c a a và b: BSC(a; b). 4 h Đ nh nghĩa 1.7 S m = 0 đư c g i là b i chung nh nh t c a a và b khi m là ph n t dương nh nh t trong t p BSC(a; b). Ký hi u : BCN N (a; b), [a; b] hay lcm(a; b). c 2 o 1.2.2 Tính ch t M t s tính ch t c a b i chung l n nh t: i • N u [a; b] = M thì h M M ; = 1. u a b • [a; b; c] = [[a; b]; c]. 1.2.3 V • [a; b].(a; b) = a.b. Bài t p ví d Ví d 1.4. Tìm [n; n + 1; n + 2]. L i gi i. Đ t A = [n; n + 1] và B = [A; n + 2]. Áp d ng tính ch t [a; b; c] = [[a; b]; c], ta có: B = [n; n + 1; n + 2]. D th y (n; n + 1) = 1, suy ra [n; n + 1] = n(n + 1). Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
6 1.3. Bài t p đ ngh a.b L i áp d ng tính ch t [a; b] = th thì (a; b) n(n + 1)(n + 2) [n; n + 1; n + 2] = (n(n + 1); n + 2) . G i d = (n(n + 1); n + 2). Do (n + 1; n + 2) = 1 nên d = (n; n + 2) Xét hai trư ng h p: = (n; 2). .v n n(n + 1)(n + 2) h • N u n ch n thì d = 2, suy ra [n; n + 1; n + 2] = . 2 2 4 • N u n l thì d = 1, suy ra [n; n + 1; n + 2] = n(n + 1)(n + 2) . Ví d 1.5. Ch ng minh r ng [1; 2; . . . 2n] = [n + 1; n + 2; . . . ; 2n]. o c L i gi i. Ta th y đư c trong k s nguyên liên ti p có m t và ch m t s chia h t cho k. Do đó b t trong các s {1; 2; . . . ; 2n} đ u là ư c c a m t s nào đó trong các s {n + 1; n + 2; . . . ; 2n}. Do đó [1; 2; . . . n; 2n] = [n + 1; n + 2; . . . ; 2n]. i h 1.3 u Bài t p đ ngh Thay cho l i k t, chúng tôi xin g i đ n b n đ c m t s bài t p đ ngh V đ luy n t p nh m giúp các b n quen hơn v i các khái ni m và các tính ch t trình bày trong chuyên đ . Bài 1. a. Cho A = 5a + 3b; B = 13a + 8b(a; b ∈ N∗ ) ch ng minh (A; B) = (a; b). b. T ng quát A = ma+nb; B = pa+qb th a mãn |mq −np| = 1 v i a, b, m, n, p, q ∈ N∗ . Ch ng minh (A; B) = (a; b). Bài 2. Tìm (6k + 5; 8k + 3)(k ∈ N). Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
1.3. Bài t p đ ngh 7 Bài 3. T các ch s 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành l p t t c s có sáu ch s (m i s ch vi t m t l n). Tìm U CLN c a t t c các s đó. n(n + 1) Bài 4. Cho A = 2n + 1; B = (n ∈ N∗ ). Tìm (A; B). 2 Bài 5. a. Ch ng minh r ng trong 5 s t nguyên liên ti p bao gi cũng ch n đư c m t s nguyên t cùng nhau v i các s còn l i. n b. Ch ng minh r ng trong 16 s nguyên liên ti p bao gi cũng ch n đư c m t s nguyên t cùng nhau v i các s còn l i. Bài 6. Cho 1 ≤ m ≤ n(m; n ∈ N). n n a. Ch ng minh r ng (22 − 1; 22 + 1) = 1. h .v 4 b. Tìm (2m − 1; 2n − 1). 2 Bài 7. Cho m, n ∈ N v i (m, n) = 1. Tìm (m2 + n2 ; m + n). c Bài 8. Cho A = 2n +3; B = 2n+1 +3n+1 (n ∈ N∗ ); C = 2n+2 +3n+2 (n ∈ N∗ ). Tìm (A; B) và (A; C). h o Bài 9. Cho sáu s nguyên dương a; b; a ; b ; d; d sao cho (a; b) = d; (a ; b ) = d . Ch ng minh r ng (aa ; bb ; ab ; a b) = dd . u i 1 Bài 10. Ch ng minh r ng dãy s Bn = n(n + 1)(n + 2)(n ∈ N∗ ) ch a 6 vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau. V Bài 11. Ch ng minh r ng dãy s 2n − 3 v i m i n ∈ N và n ≥ 2 ch a dãy s vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau. Bài 12. Ch ng minh dãy Mersen Mn = 2n − 1(n ∈ N∗ ) ch a dãy s vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau. n Bài 13. Ch ng minh r ng dãy Fermat Fn = 22 + 1(n ∈ N) là dãy s nguyên t cùng nhau. n Bài 14. Cho n ∈ N; n > 1 và 2n − 2 chia h t cho n. Tìm (22 ; 2n − 1). Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
8 1.3. Bài t p đ ngh 21n + 1 Bài 15. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ N, phân s t i gi n. 14n + 3 Bài 16. Cho ba s t nhiên a; b; c đôi m t nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng (ab + bc + ca; abc) = 1. Bài 17. Cho a; b ∈ N∗ . Ch ng minh r ng t n t i vô s n ∈ N sao cho (a + n; b + n) = 1. Bài 18. Gi s m; n ∈ N(m ≥ n) th a mãn (199k−1; m) = (1993−1; n). Ch ng minh r ng t n t i t(t ∈ N) sao cho m = 1993t .n. Bài 19. Ch ng minh r ng n u a; m ∈ N; a > 1 thì (m; a − 1). am − 1 a−1 .v n ;a − 1 = a. 1 , h Bài 20. Tìm s nguyên dương n nh nh t đ các phân s sau t i gi n: 4 n1996 b. 1996 n + 1995n + 2 2 + 1995n + 3 , c 2 o 1994 c. 1996 , n + 1995n + 1995 d. 1996 n 1995 i h + 1995n + 1996 . u Bài 21. Cho 20 s t nhiên khác 0 là a1 ; a2 ; . . . an có t ng b ng S và U CLN b ng d. Ch ng minh r ng U CLN c a S − a1 ; S − V a2 ; . . . ; S − an b ng tích c a d v i m t ư c nào đó c a n − 1. Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c