Công thức Itô và một vài ví dụ minh họa cách tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Công thức Itô và một vài ví dụ minh họa cách tính phân tích, nghiên cứu công thức Itô trường hợp một chiều và công thức Itô tổng quát, với các ví dụ chi tiết rõ ràng tương ứng với từng công thức. Các ví dụ cụ thể về công thức Itô sẽ có ích cho việc tiếp cận giải tích ngẫu nhiên, từ đó có thể đi sâu nghiên cứu hơn về vi tích phân ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức Itô và một vài ví dụ minh họa cách tính

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 CÔNG THỨC ITÔ VÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÍNH Nguyễn Thành Tâm1 TÓM TẮT Bài viết phân tích, nghiên cứu công thức Itô trường hợp một chiều và công thức Itô tổng quát, với các ví dụ chi tiết rõ ràng tương ứng với từng công thức. Các ví dụ cụ thể về công thức Itô sẽ có ích cho việc tiếp cận giải tích ngẫu nhiên, từ đó có thể đi sâu nghiên cứu hơn về vi tích phân ngẫu nhiên. Từ khóa: Itô, vi phân, tích phân, quá trình ngẫu nhiên 1. Mở đầu Wt  (Wt1 , Wt 2 ,...,Wt m )t (W ti , i  1, 2,..., m là Vi tích phân Itô là một trong những các quá trình Wiener độc lập nhau) [1]. khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu Các quá trình Fsi , Gsij là các quá trình nhiên, đã có rất nhiều nghiên cứu từ lý Ft đo được dần và thỏa điều kiện: thuyết đến ứng dụng về nó. Công thức t t Itô là nền tảng cơ bản để nghiên cứu sâu F  G  ij 2 s i ds  ; s ds   hơn về giải tích ngẫu nhiên, bài viết 0 0 nhằm phân tích các ví dụ chi tiết công h.c.c t  ; i, j (1) thức Itô theo hướng dễ tiếp cận với hy vọng tạo thêm nguồn tài liệu tham khảo (h.c.c: Hầu chắc chắn) cho những sinh viên quan tâm đến giải Nếu các quá trình X t1 , X t2 ,..., X tn là tích ngẫu nhiên. Phạm vi bài viết đề cập Ft - thích nghi và thỏa hệ thức: công thức Itô một chiều và công thức t m t Itô tổng quát cùng với các ví dụ minh X ti  X 0i   Fsi ds    Gsij dWs j (2) họa cho các công thức sẽ giúp cho việc 0 j 1 0 tiếp cận quá trình Itô dễ dàng hơn, từ đó Khi đó ta nói X t  ( X t1 , X t2 ,..., X tn ) ' khai thác sâu hơn nữa ứng dụng vi tích là quá trình Itô n – chiều. phân Itô. Ta có thể viết quá trình Itô ở dạng 2. Nội dung và phương pháp ma trận là: nghiên cứu t t 2.1. Quá trình Itô X t  X 0   Fs ds   Gs dWs (3) 0 0 Xét trên không gian xác suất được Hoặc viết dưới dạng vi phân Itô là: lọc (, F , Ft t 0 , P) , ta xác định một quá trình Wiener m-chiều dX t  Ft dt  Gt dWt (4) Với 1 Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp Email: nttam@dtcc.edu.vn 95
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482  Fs1   dWs1    t t     K t  K t0   ( s, X s )ds   ( s, X s )dX s Fs    ; Gs   Gsik  ; dWs    t0 s t0 x nm  Fsn   dWsm  1  2 t     2 t0 x 2  ( s, X s )  (t ,  )ds 2.2. Công thức Itô trường hợp một chiều và các ví dụ minh họa 2.2.2. Ví dụ minh họa 2.2.1. Công thức Itô trường hợp một a) Xét quá trình ngẫu nhiên chiều K t  tWt n . Áp dụng công thức Itô tìm Cho X t là một quá trình Itô có vi dK t ? phân ngẫu nhiên Itô dạng: Kt  tWt n   (t ,  )  0,  (t ,  )  1 dX t   (t ,  )dt   (t ,  )dWt Ta xét  (t , x)  tx n Giả sử  (t , x) : R  R là hàm một 2 lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất t,   (t , x)  x n ; (t , x)  ntx n 1; hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai t x x . Khi đó quá trình ngẫu nhiên  2 (t , x)  n(n  1)tx n 2 Kt   (t , X t ) có vi phân Itô tính theo x 2 công thức sau: Áp dụng công thức Itô (5) ta được:   dKt  (t , X t )dt  (t , X t )dX t dKt  d (tWt n )  Wt n dt  ntWt n 1dWt t x (5) 1  2 1  n(n  1)tWt n 2 dt  . 2 (t , X t ). 2 (t ,  )dt 2 x 2 Hay viết theo cách khác là: b) Xét quá trình ngẫu nhiên   Wt dK t  [ (t , X t )   (t ,  ) (t , X t ) Yt  t x 1 t 1 2  (t , X t )  2 (t ,  )]dt (6) Tìm dYt ? 2 x 2    (t ,  ) (t , X t )dWt x x Ta xét  (t , x )  1 t Công thức Itô cho trường hợp này còn Ta có: có thể viết ở dạng tích phân như sau [2]: 96
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482  x  1 u '(t , x )  u (t , x)   ; (t , x)  ; Trong đó (t , x ) và t (1  t ) x 2 1 t t  2 u (t , x)  0 ui (t , x)  (t , x) . x 2 x i Để giảm bớt độ phức tạp của tính Áp dụng công thức Itô (5) ta được: toán, ta viết lại công thức Itô dạng vi phân Itô như sau [2], [3]: W  Wt 1 d Yt   d  t    dt  dWt  1 t  1  t  1 t 2 du (t , X t )  u '(t , X t )dt  (t , X t )* dX t Yt 1 (8)  dt  dWt 1  Tr  2u (t , X t )dX t (dX t )*  1 t 1 t 2 2.3. Công thức Itô tổng quát và các Trong đó: Tr(A): Vết của ma trận A; ví dụ minh họa ( dX t )* ma trận chuyển vị của dX t . 2.3.1. Công thức Itô tổng quát Với: Cho X t là một quá trình Itô thỏa phương trình vi phân ngẫu nhiên (4) u(t , x) là vectơ cột với các phần tử dX t  Ft dt  Gt dWt . u :[0, )  Rn  R là ui (t , x) . một hàm thỏa u (t , x) hai lần khả vi liên  2u (t , x) là ma trận với các phần tử tục theo x , một lần khả vi liên tục theo uij (t , x ) . t, và xác định hàm u (t , X t ) . Khi đó dX ti dX t j được tính như sau: u (t , X t ) là một quá trình Itô thỏa: dt.dt  dWt i .dt  dt.dWt i  0, u (t , X t )  u (t0 , X t0 ) dWt i .dWt j   ij dt n m t    ui ( s, X s )Gsik dWsk i 1 k 1 t0 (  ij  1 khi i  j ;  ij  0 khi i  j ) t n (7)   {u '( s, X s )   ui ( s, X s ) Fsi 2.3.2. Ví dụ minh họa t0 i 1 n m a) Cho X t , Yt là hai quá trình Itô một 1    uij ( s, X s )Gsik Gsjk }ds 2 i , j 1 k 1 chiều. Xem u(t , z)  u(t, x, y)  xy . Khi đó u là hàm hai lần khả vi liên tục theo x, y . Công thức Itô được viết là: 97
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 X tYt  X t0 Yt0   m t   X sGs2k  YsGs1k  dWsk   Tr  2u(t , Zt )dZ t  dZt  *   2dX dY t t k 1 t0 Thế tất cả vào công thức (8) ta được:   t m    X s Fs2  Ys Fs1   Gs1k Gs2 k ds t0  k 1  d ( X tYt )  u '(t , zt )dt  u (t , zt )dZ t 1 Viết dạng công thức vi phân của tích  Tr ( 2u (t , Z t )dZ t (dZ t )* ) 2 là: d ( X tYt )  X t dYt  Yt dX t  dX t dYt  Yt dX t  X t dYt  dX t dYt Đặc biệt khi X t , Yt là các quá trình có Với vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; dYt   2 (t , X t )dt   2 (t , X t )dWt dYt   2 (t , X t )dt   2 (t , X t )dWt  dX t dYt  1 2  dt   1 2 dtdWt 2 Khi đó ta sẽ có:  1 2 dWt dt  1 2 dWt dWt  1 2 dt d ( X tYt )  X t dYt  Yt dX t  1 2 dt Chứng minh: Vậy d ( X tYt )  X t dYt  Yt dX t  12dt Xét u(t, z)  u(t, x, y)  xy với z  ( x, y) b) Cho X t , Yt là hai quá trình Itô một chiều và Yt  0 , xem u u u '(t , z )  (t , z )  0 u1 (t , z )  (t , z )  y t x u (t , z )  u (t , x, y )  x ; y  0 . Khi đó u y u u2 (t, z)  (t, z)  x u(t, Zt )*  Yt X t  là hàm hai lần khả vi liên tục theo x, y . y Công thức Itô được viết là:  dX  u (t , Zt )* dZt  Yt Xt  t  X t X t0 m  1 1k X s 2 k  t  dYt       Gs  2 Gs  dWsk Yt Yt0 k 1 t0  Ys Ys   Yt dX t  X t dYt t 1 X   { Fs1  2s Fs2 0 1 Ys Ys  2u (t , Z t )   t0  X  1 0 m 1    3s Gs2 k Gs2 k  2 Gs1k Gs2 k }ds k 1  Ys Ys   2u (t , Z t )dZ t (dZ t )*  0 1   dX t  Viết lại công thức vi phân của     dX t dYt   1 0  dYt  thương là:  dY   dX t dYt  dYt 2    t   dX t dYt      dX t    dX 2 dX dY   t t t  98
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 X  1 Xt 1  1   d t   dX t  2 dYt  2 dX t dYt  0 Yt 2   Yt  Yt Yt Yt  u (t , Zt )   2   1 2Xt  X  3t  dYt  2 Y2 Yt 3   t Yt  2u (t , Z t )dZ t (dZt )* Đặc biệt khi X t , Yt là các quá trình  1   0  có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: Yt 2   dX t    1    dX t dYt  2 X t   dYt  dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; Y2 Yt 3   t dYt   2 (t , X t )dt   2 (t , X t )dWt  1    2 dYt  Khi đó ta sẽ có: Yt   dX t  dYt   1 2Xt    Y 2 dX t  Y 3 dYt   X  Y dX  X dY  X   Y  t  d  t   t t 2 t t  2 t 3 1 t  2 dt ; t  Yt  Yt Yt Yt  0   Tr   2u (t , Z t )dZ t (dZ t )*  2 2X  dX t dYt  3 t  dYt  2 Chứng minh: 2 Yt Yt x Xét u(t , x)  u(t , x, y)  , y  0, Thế tất cả vào công thức Itô (8) ta y được: với z  ( x, y) . X  u d  u (t , Zt )   d  t  u '(t , z )  (t , z )  0  Yt  t  u '(t , Z t )   (t , Z t )* dZ t u 1 u1 (t , z )  (t , z )  x   y 1  Tr  2u (t , Z t )dZ t  dZ t  * 2 u x u2 (t , z )  (t , z )   2 y y 1 X 1 X  dX t  2t dYt  2 dX t dYt  3t  dYt  2 Yt Yt Yt Yt 1 x  u (t , z )*     Với: y y2  u (t , Zt )* dZ t dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; 1 X  dX  dYt   2 (t , X t )dt   2 (t , X t )dWt   2t  t   dX t dYt  1 2  dt   1 2 dtdWt  Yt Yt   dYt  2 1 X  dX t  2t dYt  1 2 dWt dt  1 2 dWt dWt  1 2 dt Yt Yt 99
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 Và của H t để đưa ra các quyết định. Việc phân tích sâu hơn về các ứng dụng về giải  dYt    22  dt   2 2  2 dtdWt 2 2 tích Itô sẽ được nghiên cứu thêm ở các  22  dWt   22 dt 2 bài nghiên cứu sau. Vậy: 3. Kết luận X  1 Xt Lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên d t   dX t  2 dYt  Yt  Yt Yt đóng vai trò rất quan trọng trong chương 1 X trình xác suất thống kê, vi tích phân Itô  2 1 2 dt  3t  22 dt Yt Yt là khái niệm nền tảng để đi sâu nghiên Yt dX t  X t dYt  2 X t  1Yt cứu giải tích ngẫu nhiên. Nghiên cứu và    2 dt Yt 2 Yt 3 phân tích kỹ về quá trình Itô, công thức Itô trường hợp một chiều và tổng quát sẽ Giải tích Itô trong đó đặc biệt là công tạo nền tảng cơ bản để tiến đến phân tích thức Itô có ý nghĩa và ứng dụng cao trong sâu hơn về khai triển Itô-Taylor, từ đó lĩnh vực kinh tế, đặc biệt là lĩnh vực tài xây dựng các phương pháp số để giải các chính, theo dõi, phân tích sự thay đổi của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Với giá cả, thị trường chứng khoán. Giá cổ việc phân tích chi tiết ví dụ tính theo công phiếu và các tài sản chính giao dịch khác thức Itô, tác giả bài báo hy vọng sẽ bổ có thể mô hình hóa bằng các quá trình sung một phần nhỏ vào đề tài nghiên cứu ngẫu nhiên. Công thức Itô, tích phân toán ứng dụng, góp phần làm phong phú ngẫu nhiên Itô đại diện cho lợi nhuận của thêm nguồn tham khảo về công thức Itô, chiến lược giao dịch thời gian liên tục. giúp cho việc tiếp cận giải tích ngẫu Qua phân tích ta sẽ nắm được quá trình nhiên dễ dàng hơn. H t tại thời điểm t (quá trình tích phân), từ đó theo dõi thông tin và sự biến động TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dương Tôn Đảm (2010), Quá trình ngẫu nhiên (Phần II: Các phép toán Malliavin), Nxb. Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Hồ Chí Minh 2. Nguyễn Thành Tâm (2010), “Các phép tính vi tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình Itô”, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Hồ Chí Minh 3. Bernt Oksendal (2005), Stochastic Differential Equations – An introduction with Application, Dover Publications, Inc, Mineola, New York 100
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 ITO FORMULA AND EXAMPLES OF CALCULATION ABSTRACT The paper analyzes and studies the one-dimensional case and the General Ito formula, with examples that correspond to each formula. Specific examples of the Ito formula will be useful for accessing random arithmetic, from there, we can go deeper into the study of random integrals. Keywords: Ito, differential, integral, random process (Received: 27/1/2021, Revised: 16/6/2022, Accepted for publication: 31/8/2022) 101