Đại số & Giải tích 11_HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.

Chia sẻ: Vu Manh Cuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo rất hữu ích cho các bạn học sinh phổ thông, củng cố nâng cao kiến thức vể môn toán là hành trang giúp ban hoàn thành môn này thật tốt. Chúc các bạn thành công

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số & Giải tích 11_HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đại số & Giải tích 11. : Tiểu luận HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. Nguyễn Công Tuấn . Người thực hiện : Lớp : A6
Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p ( p  N‫ ٭‬cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản :  Bƣớc 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.  Bƣớc 2 : Với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1. VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có: 1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = n 2 ( n + 1). (*) Giải :  Với n = 1 , ta có : 1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1.  Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = k 2 ( k + 1), Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là : 1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) = k  1 ( k + 2). 2 Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) = k 2  k  1 + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( k 2 + 3k +2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = k  1 (k + 2).  ĐPCM . 2 VD2: Chứng minh rằng : u n = 13n  1 chia hết cho 6  n  N*.(1) Giải :  Khi n = 1, ta có : u n = 13 – 1 = 12  6  1 đúng .  Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là : 13k  16  Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là : 13k 1  16   Thật vậy , ta có : 13k 1  1 = 13k .13  13  12 = 13 13k  1  12  6  ĐPCM. 2. Dãy số : a) Các định nghĩa :  Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dƣơng N*.  Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dƣơng đầu tiên ( m là số nguyên dƣơng cho trƣớc).
Dãy số tăng : u n  là dãy số tăng  n, u n1  u n > 0.  Dãy số giảm : u n  là dãy số giảm  n, u n1  u n < 0.  Dãy số không đổi : u n  là dãy số không đổi  n, u n1  u n = 0.  Dãy số bị chặn trên : u n  là dãy số bị chặn trên nếu  M: u n  M ,  n  N*.  Dãy số bị chặn dƣới : u n  là dãy số bị chặn dƣới nếu  m: u n  m,  n  N*.   Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới . b) VD: 1) Cho dãy u n  với u n = n  1 .Chứng minh u n là dãy số tăng. 3 Ta có : u n1  u n = n  2  n  1 = 3n 2  9n  7 > 0,  n  N* 3 3  Dãy số tăng. 5n  6 2) Cho dãy số u n  với u n = . Chứng minh u n là dãy số giảm. 6n  5 5n  11 5n  6  11 Ta có: u n1  u n =  < 0,  n  N* = 6n  116n  5 6n  11 6n  5  Dãy số giảm. n2 1 3) Chứng minh rằng dãy v n  với v n = , là dãy số bị chặn. 2n 2  3 1  2n 2  2  1  51 5 Ta có : v n =  2  2 n  3  = 2 1  2 n 2  3  = 2  2 2 n 2  3 .      2  1 1  . Do đó  -2 ≤ v n ≤ 1 (  n  1). Dễ thấy  n  N* , thì  1  2 2n  3 5 Vì vậy, v n  là dãy số bị chặn. 3. Cấp số cộng & Cấp số nhân: a) Cấp số cộng : Định nghĩa : dãy u n  là cấp số cộng  n , u n 1 = u n + d ( d là một hằng số & đƣợc gọi là công sai). Các tính chất của cấp số cộng :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng : u n  là cấp số cộng  u k = u k 1  u k 1 k  2 . 2  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng u n  : u n = u1  n  1d (d là công sai)  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng u n  : n2u1  n  1d  nu1  u n  hoặc S n = Sn = . 2 2 VD : Cho dãy u n  với u n = 20n – 2010.
 Chứng minh rằng u n là cấp số cộng. Tìm công sai.  Tính u 2 009 & u 2 011. Từ đó suy ra u 2 010.  Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. Giải :  Ta có : u n1  u n = 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20.  u n  là cấp số cộng , công sai d = 20.  u 2 009 = 20.2009 – 2010 = 38170. u 2 011 = 20.2011- 2010 = 38210. u 38170  38210 u  u 2 010 = 2009 2011 = = 38190. 2 2 2u1  12  120.12 .  Ta có : S1 2 = 2 Mà : u1 = 20.1 – 2010 = - 1990.  S1 2 = - 22560. b) Cấp số nhân : Định nghĩa : dãy u n  là cấp số nhân  n , u n 1 = u n .q ( q là hằng số & đƣợc gọi là công bội). Các tính chất của cấp số nhân :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân : u n  là cấp số nhân  u k 2 = u k 1 .u k 1 (k ≥ 2 ).  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân u n  : u n = u1 .q n 1 ( q là công bội ).  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân u n  với q  1: 1 qn S n = u1 . . 1 q VD: Cho cấp số nhân v n  có v3 = 24 , v 4 = 48.  Tìm v1 , công bội q của dãy số. Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát.  Tính tổng 200 số hạng đầu tiên. Giải: v  Vì v n là cấp số nhân  q = 4 = 2. v3 v 48  v1 = 4 = 3 = 6.  Số hạng tổng quát : v n = 6.2 n1 (  n  1). 3 q 2     v1 1  q 200 6 1  2 200    Ta có : S 2 00 = = 6 2200  1 . = 1 q 1 2
II. Các dạng bài tập : Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học : nn  12n  1 ( n  N * ). Bài1 : Chứng minh rằng : 12  2 2  32  ....  n 2 = 6 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có bất đẳng thức sau : 1 1 1   ...  > 1. n 1 n  2 3n  1 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau : 1 1 1 1   ....  i. > n; 2 3 n 11 1 1    ....  n ii. < n. 2 1 23 Bài 4: Cho số thực x  k 2 . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có : n  1x cos nx sin 2 2. 1  cos x  cos 2 x  ....  cos nx = x sin 2 n 1 2 n 1 Bài 5 : Chứng minh rằng : 11  12  133 (  n  N*). Bài 6: Tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1). ( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải ). Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n 2 , (  n  N*). Bài 8: Chứng minh rằng : U n = 7.2 2n2  32n1  5 (  n  N*). Bài 9: Chứng minh rằng : k 2 k  1 2 13  23  33  ...  k 3 = , (  k  N*). 4 Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , nếu 8 k  1  7 thì 8 k 1  1 7” Một bạn học sinh chứng minh nhƣ sau :   Ta có : 8 k 1  1 = 8 8 k  1  7 . Từ giả thiết “ 8 k  1  7”  8 k 1  1 7 . Hỏi rằng từ lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận đƣợc “ 8 k  1  7 , (  k  N*)” hay không ? Vì sao ? Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số : Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : 3n i. Dãy số v n  với v n = . n3 ii. Dãy số u n  với u n = 2010 n  2009 n . n sin Dãy số v n  với v n = 2 . (HD : Thay lần lƣợt n = 1,2,3,4,5,6). iii. 3
Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau : Dãy số  f n  , với f n = 2n 3  5n  1 ; i. Dãy số u n  , với u n = n ii. . 2n 3n Dãy số v n  , với v n = n 1 . iii. 2 (HD : Xét hiệu : u n1  u n ); m.n 2  1 Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số u n  , với u n = là dãy số tăng. 2n 2  3 Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số u n  , với u n = n  n 2  1 ; 1 (HD : viết lại u n = ) n  n 1 2 7n  5 Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số v n  , với v n = là dãy số tăng và bị chặn. 5n  7 n n Bài 6: Cho dãy số  f n  , với f n = sin  cos , chứng minh rằng f n = f n 1 2 , n  1. 3 6 Bài 7 : Cho dãy số u n  xác định bởi : u 4 2 ( n  1) . Chứng minh rằng u n  là dãy số không đổi. u1 = 2 và u n 1 = n 4 Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi: Bài 1 : Cho dãy số u n  xác định bởi : u1 = 1 và u n 1 = u n  7 , n  1. u n = 7n  6 .( HD : chứng minh bằng quy nạp ). Chứng minh rằng : Bài 2: Cho dãy u n  , có u n = 2 , v n  có : v1 = u1 và v n 1 = vn  u n1 . 2 n  4n  3 Tính v n theo n. Bài 3:Cho dãy u n  có : u1 = 1 và u n 1 = u n + 2. Tìm u n theo n.( HD: viết ra một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau). Bài 4 :Cho dãy số a n  xác định bởi a1 = 2 và a n 1 = 3an  2n  1 , n  1. Chứng minh rằng : a n = 3n  n . Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp số cộng:  Để chứng minh dãy số u n  là cấp số cộng ta chứng minh rằng : u n1  u n = d (d không đổi ). Bài 1:Cho dãy số s n  , xác định bởi : s1 = 1 , và s n 1 = s n - 3. n  1. Chứng minh rằng s n  là cấp số cộng . Tìm công sai.
Bài 2:Cho cấp số cộng u n  với công sai d và cho các số nguyên dƣơng m, k với m  k . Chứng minh rằng u m = u k  m  k d . Rút ra nhận xét . Bài 3: Cho cấp số cộng u n  và cho các số nguyên dƣơng m, k với m < k .Chứng u k m  u k m minh rằng u k = . Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số 2 hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10. Bài 4: Cho cấp số cộng u n  có u5  u 2 = 90 . Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của u n  . ( HD : viết tổng u5  u 2 thành u1  u 2 3 = 90 ) Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng v n  có v13  v15 = 302094 và S1 5 = 585. 3 Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó .( ĐS : v1 = 11, d = 4). Bài 6 : Xét dãy số u n  xác định bởi u1 = m và u n 1 = 5 - u n , n  1. Trong đó m là số thực . Hãy xác định tất cả các giá trị của m để u n  là một cấp số cộng. Bài 7: Cho dãy số u k  , có u k 1 = 13k  3 . Tính tổng sau : S = u12  u13  u14  ...  u 21   u19  u 20  ...  u30  . Bài 8 :Cho cấp số cộng u n  có u1 0 = 12 và có công sai d = 6 . Tính u 2 0 . (HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 ) Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số các số hạng của cấp số cộng đã cho thì u k = 999). Bài 10 : Cho cấp số cộng u n  có u17  u 2 0 = 9 và u17  u20 = 153 . Hãy tìm 2 2 số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó .   ( HD : có thể viết lại u17  u20 = u17  u 20   u17  u 20  , sau đó 1 2 2 2 2 2 xét 2 TH khi u17  u 2 0 < 0  u17  u 2 0 > 0. ) Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân: f Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số  f n  xác định bởi f 1 = 1 và f n 1 = n là 7 cấp số nhân. Xác định công bội . Bài 2 : Xét dãy số u n  xác định bởi u1 = a và u n 1 = 12 , n  1 , a là số un thực khác 0 . Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số u n  là cấp số nhân. (HD : giả sử u n  là cấp số nhân, khi đó  q > 0 sao cho u n 1 = u n .q , từ 12 đó tính đƣợc un = 2 ). q Bài 3 :Cho cấp số nhân u n  và các số nguyên dƣơng m,k với m < k .Chứng minh rằng : u k = u k m .u k  m . Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 18. (HD : viết u k  m và u k  m với công bội q  0 ).
Bài 4 :Cho cấp số nhân u n  công bội q  0 và u1  0 . Cho các số nguyên dƣơng m , k , với m  k . Chứng minh rằng : u m = u k . q mk . Áp dụng : tìm công bội q của cấp số nhân u n  có u 4 = 2 và u 7 = -686. Bài 5 :Cho cấp số nhân u n  có 3 3.u 2  u5 = 0 và u3  u 6 = 63. Hãy tính 2 2 tổng S = u1  u 2  u3  ...  u1 0 . Bài 6: Cho cấp số nhân u n  có 6u 2  u5 = 1 và 3u3  2u 4 = -1. i. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. ii. Tính tổng : S =  u5  u6  ...  u9    u8  u9  ...  u12  u14  . Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lƣợt là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng . Hãy tìm ba số đó , biết tổng x + y + z = 13. ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân  y 2 = x.z ; từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y ). Bài 8 : Cho cấp số nhân u n  có 7 số hạng , u 4 = 6 và u 7 = 243u 2 , tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó . Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2 . (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k ). Bài 10: Cho dãy số u n  xác định bởi u1 = 2 và u n 1 = 4u n  9 , n  1 Chứng minh rằng dãy số v n  , xác định bởi v n = u n + 3, n  1 là cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó. (HD : dễ thấy u n 1 +3 = 4u n  9 + 3 = 4( u n + 3) ). III. Một số bài tập trắc nghiệm : Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phƣơng án trả lời: Câu1: Cho dãy u n  xác định bởi u1 = 32 và un1  un  2 , n  2, n   * . Tổng 120 số hạng đầu tiên của dãy u n  là : A. 45632 B. 65212 C. 18120 D.19630 Câu2: Cho dãy  an  xác định bởi a1 = 1 và an  2n.an1  n  2  .Khi đó a12 bằng : C. 211.12! D. 413.11! A. 211.12! B. 413.11! Câu3: Cho cấp số cộng u n  có u1  2 và u3  6 , Tổng : S  u12  u13  ...  u17 bằng : A. 170 B. 180 C.132 D. 174. f Câu4: Cho dãy số  f n  xác định bởi f n  n 1  n  2  và f1  12 , tổng 15 số hạng đầu 3 tiên của dãy trên là : 28697812 28697813 7174453 28697813 A. B. C. D. . 1594323 1594324 398581 1594323 Câu5: Cấp số cộng  uk  có : u45  3 và u47  7 , thì u46 bằng : B. 10 A. 5 C. 2 D. Chƣa đủ dữ kiện trả lời.
Câu6: Cho cấp số nhân  vn  có công bội q = 4 và v17  15 thì v21 bằng : A. 15 B.2120 C. 41160 D. Kết quả khác. 1 n Câu7: Dãy số  un  cho bởi un  là dãy số : 2n A. Tăng B. Giảm C.Không tăng không giảm D. Có thể tăng có thể giảm . Câu8: Cho cấp số nhân  un  có u10 = 2 có u12 là nghiệm nguyên của bất phƣơng trình 10u12  163u12  660  0 . Công bội q của  un  là : 2 A. 4 B.2 C. 8 D. 10. Câu9: Cho dãy  un  xác định bởi : u1  18 và un1  un  n . Khi đó un 1 đƣợc biểu thị theo n là : n2  n  36 C. un1  18  n  1  n D. un1  2n  1 . B. un 1  A. un1  2n  n 2 v1  1 Câu10: Cho dãy  vn  có  số hạng thứ vn là : v1  14  vn 1 C. 5n  3 D. Chƣa đủ dữ kiện để trả lời. A. B. 15 n ……………..HẾT……………….. Học sinh : Nguyễn Công Tuấn.