Đại số Nguyễn Tất Thu P1

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

272
lượt xem 104
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số Nguyễn Tất Thu P1 nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số Nguyễn Tất Thu P1

M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s S GIÁO D C & ðÀO T O ð NG NAI Trư ng THPT BC Lê H ng Phong Giáo viên th c hi n NGUY N T T THU Năm h c: 2008 – 2009 -1-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s M CL C M C L C.................................................................................................................................... 1 L IM ð U.............................................................................................................................. 3 I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. ............................................................ 4 II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S ........... 24 III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI TOÁN V DÃY S -T H P............................................................................................... 30 BÀI T P ÁP D NG ................................................................................................................. 41 K T LU N – KI N NGH ...................................................................................................... 45 TÀI LI U THAM KH O ........................................................................................................ 46 -2-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s L IM ð U Trong chương trình toán h c THPT các bài toán liên quan ñ n dãy s là m t ph n quan tr ng c a ñ i s và gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn khi gi i các bài toán liên qua ñ n dãy s và ñ c bi t là bài toán xác ñ nh công th c s h ng t ng quát c a dãy s . Hơn n a m t s l p bài toán khi ñã xác ñ nh ñư c công th c t ng quát c a dãy s thì n i dung c a bài toán g n như ñư c gi i quy t. Do ñó xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t ñ nh trong các bài toán dãy s . Chuyên ñ “M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ” nh m chia s v i các b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s mà b n thân ñúc rút ñư c trong quá trình h c t p và gi ng d y. N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c : I: S d ng CSC – CSN ñ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s có d ng công th c truy h i ñ c bi t. II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s III: ng d ng c a bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s bài toán v dãy s - t h p . M t s k t qu trong chuyên ñ này ñã có m t s sách tham kh o v dãy s , tuy nhiên trong chuyên ñ các k t qu ñó ñư c xây d ng m t cách t nhiên hơn và ñư c s p x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp các em h c sinh n m b t ki n th c d dàng hơn và phát tri n tư duy cho các em h c sinh. Trong quá trình vi t chuyên ñ , chúng tôi nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ nhi t thành c a BGH và quý th y cô t Toán Trư ng THPT BC Lê H ng Phong. Chúng tôi xin ñư c bày t lòng bi t ơn sâu s c. Vì năng l c và th i gian có nhi u h n ch nên chuyên ñ s có nh ng thi u sót. R t mong quý Th y – Cô và các b n ñ ng nghi p thông c m và góp ý ñ chuyên ñ ñư c t t hơn. -3-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. Trong m c này chúng tôi xây d ng phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s có công th c truy h i d ng ñ c bi t. Phương pháp này ñư c xây d ng d a trên các k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p. Trư c h t chúng ta nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC . 1. S h ng t ng quát c a c p s c ng và c p s nhân 1.1: S h ng t ng quát c a c p s c ng ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un = un −1 + d ∀n ≥ 2 , d là s th c không ñ i g i là c p s c ng . d : g i là công sai c a CSC; u1 : g i s h ng ñ u, un g i là s h ng t ng quát c a c p s ð nh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n − 1)d (1). ð nh lí 2: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSC (un ) có công sai d. Ta có: n Sn = [2u + (n − 1)d ] (2). 2 1 1. 2: S h ng t ng quát c a c p s nhân ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * g i là c p s nhân công b i q. n −1 ð nh lí 3: Cho CSN (un ) có công b i q . Ta có: un = u1q (3). ð nh lí 4: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSN (un ) có công b i q . Ta có: 1 - qn Sn = u1 (4). 1 -q -4-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 2. Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s ñ c bi t Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = 1, un = un −1 − 2 ∀n ≥ 2 . Gi i: Ta th y dãy (un ) là m t CSC có công sai d = −2 . Áp d ng k t qu (1) ta có: un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3 . Ví d 1.2: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = 3, un = 2un −1 ∀n ≥ 2 . Gi i: Ta th y dãy (un ) là m t CSN có công b i q = 2 . Ta có: un = 3.2n −1 . Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: u1 = −2, un = 3un −1 − 1 ∀n ≥ 2 . Gi i: Trong bài toán này chúng ta g p khó khăn vì dãy (un ) không ph i là CSC hay CSN! Ta th y dãy (un ) không ph i là CSN vì xu t hi n h ng s −1 VT. Ta tìm cách làm m t −1 ñi và chuy n dãy s v CSN. 3 1 Ta có: −1 = − + nên ta vi t công th c truy h i c a dãy như sau: 2 2 1 3 1 un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1). 2 2 2 1 5 ð t vn = un − ⇒ v1 = − và vn = 3vn −1 ∀n ≥ 2 . Dãy (vn ) là CSN công b i q = 3 2 2 5 1 5 1 ⇒ vn = v1.q n −1 = − .3n −1 . V y un = vn + = − .3n + ∀n = 1,2,...,.. . 2 2 2 2 3 1 Nh n xét: M u ch t cách làm trên là ta phân tích −1 = − + ñ chuy n công th c 2 2 truy h i c a dãy v (1), t ñó ta ñ t dãy ph ñ chuy n v dãy (vn ) là m t CSN. Tuy nhiên vi c làm trên có v không t nhiên l m! Làm th nào ta bi t phân tích 3 1 −1 = − + ? Ta có th làm như sau: 2 2 -5-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 1 Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = . 2 u = x 0  V i cách làm này ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) :  1 . un = aun −1 + b ∀n ≥ 2  Th t v y: * N u a = 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b . ab b * N u a ≠ 1 , ta vi t b = − . Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như a −1 a −1 b b b b sau: un + = a(un −1 + ) , t ñây ta có ñư c: un + = (u1 + )a n −1 a −1 a −1 a −1 a −1 a n −1 − 1 Hay un = u1a n −1 + b . a −1 V y ta có k t qu sau: D ng 1: Dãy s (un ) : u1 = x 0 , un = aun −1 + b ∀n ≥ 2 (a,b ≠ 0 là các h ng s ) có CTTQ là: u1 + (n − 1)b khi a = 1  un =  a n −1 − 1 . n −1 u1.a +b khi a ≠ 1  a −1 Ví d 1.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1 . Gi i: ð tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t 3n − 1 ñ chuy n v dãy s là m t CSN. Mu n làm v y ta vi t : 3n − 1 = −3n − 5 + 2 3(n − 1) + 5 (2).   Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như sau: un + 3n + 5 = 2 un + 3(n − 1) + 5  .   ð t vn = un + 3n + 5 , ta có: v1 = 10 và vn = 2vn −1 ∀n ≥ 2 ⇒ vn = v1.2n −1 = 10.2n −1 V y CTTQ c a dãy (un ) : un = vn − 3n − 5 = 5.2n − 3n − 5 ∀n = 1,2, 3,... . Chú ý : 1) ð phân tích ñư c ñ ng th c (2), ta làm như sau: -6-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s a − b = 2  a = −3  3n − 1 = an + b − 2 a(n − 1) + b  . Cho n = 1; n = 2 ta có:    ⇔ .  −b = 5 b = −5   u ( ) 2) Trong trư ng h p t ng quát dãy un :  1  un = aun −1 + f (n ) ∀n ≥ 2 , trong ñó f (n )   là m t ña th c b c k theo n , ta xác ñ nh CTTQ như sau: Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) v i g(n ) cũng là m t ña th c theo n . Khi ñó ta có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = ... = a n −1 u1 − g(1)     n −1 V y ta có: un = u1 − g (1) a   + g (n ) . V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ? Ta th y : *N u a = 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c có b c nh hơn b c c a g(n ) m t b c và không ph thu c vào h s t do c a g(n ) , mà f (n ) là ña th c b c k nên ñ có (3) ta ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 , có h s t do b ng không và khi ñó ñ xác ñ nh g(n ) thì trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n b t kì ta ñư c h k + 1 phương trình, gi i h này ta tìm ñư c các h s c a g(n ) . * N u a ≠ 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c cùng b c v i g(n ) nên ta ch n g(n ) là ña th c b c k và trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n thì ta s xác ñ nh ñư c g(n ) . V y ta có k t qu sau: u = x 0  D ng 2: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:  1 , trong un = a.un −1 + f (n )  ñó f (n ) là m t ña th c b c k theo n ; a là h ng s . Ta làm như sau: Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) v i g(n ) là m t ña th c theo n . Khi ñó, ta ñ t vn = un − g(n ) ta có ñư c: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n ) .   Lưu ý n u a = 1 , ta ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 có h s t do b ng không, còn n u a ≠ 1 ta ch n g(n ) là ña th c b c k . u = 2  Ví d 1.5: Cho dãy s (un ) :  1 . Tìm CTTQ c a dãy (un ) . un = un −1 + 2n + 1  Gi i: Ta phân tích 2n + 1 = g(n ) − g(n − 1) = a n 2 − (n − 1)2  + b n − (n − 1)     -7-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ( trong ñó g(n ) = an 2 + bn ).  −a + b = 1  a = 1  Cho n = 0, n = 1 ta có h :  ⇔  ⇒ g(n ) = n 2 + 2n . a +b = 3 b =2   ⇒ un = n 2 + 2n − 1 . u1 = 1  Ví d 1.6: Cho dãy s (un ) :  .Tìm CTTQ c a dãy (un ) . un = 3un −1 + 2n ; n = 2, 3,...  Gi i: Ta v n b t chư c cách làm trong các ví d trên, ta phân tích: 2n = a.2n − 3a.2n −1 . Cho n = 1 , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1 Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = ... = 3n −1(u1 + 4) V y un = 5.3n −1 − 2n +1 . Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 v i (a ≠ α ) . ( ) Khi ñó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = ... = a n −1 u1 − bk( ) Suy ra un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n . Trư ng h p α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1 ( ) ⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = ... = α n −1(u1 − bα ) ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . V y ta có k t qu sau. u1  D ng 3: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm như un = a.un −1 + b.α n ∀n ≥ 2  sau: • N u a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . • N u a ≠ α , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 . Khi ñó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n α Ta tìm ñư c: k = . α −a -8-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s u1 = −2  Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  . un = 5un −1 + 2.3n − 6.7n + 12 ; n = 2, 3,...   3 3n = k .3n − 5k .3n −1  k = −  Gi i: Ta có:  n cho n = 1 , ta ñư c:  2 n −1 7 = l .7 − 5l .7 n 7  l =   2 Hơn n a 12 = −3 + 5.3 nên công th c truy h i c a dãy ñư c vi t l i như sau: ( ) un + 3.3n + 21.7n + 3 = 5 un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + 3 = ... = 5n −1 (u1 + 9 + 147 + 3) V y un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − 3 . u1 = 1  Ví d 1.8: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  . un = 2un −1 + 3n − n; ∀n ≥ 2  3n = 3.3n − 2.3.3n −1  Gi i: Ta phân tích:  nên ta vi t công th c truy h i c a dãy n = −n − 2 + 2 (n − 1) + 2     như sau: un − 3.3n − n − 2 = 2 un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = ... = 2n −1(u1 − 12)   V y un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + 2 . u1 = p  D ng 4: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , trong un = a.un −1 + b.α n + f (n ); ∀n ≥ 2  ñó f (n ) là ña th c theo n b c k , ta phân tích α n và f (n ) như cách phân tích d ng 2 và d ng 3. Ví d 1.9: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − 2 ∀n ≥ 2. Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy (un ) b ng m t dãy s khác là m t CSN. Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy như sau: -9-
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s x + x 2 = 5  un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1un − 2 ) , do ñó ta ph i ch n x1, x 2 :  1 hay x1, x 2 là x1x 2 = 6  nghi m phương trình : x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3 . Ta ch n x1 = 2; x 2 = 3 . Khi ñó: un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − 2 ) = ... = 3n −1(u1 − 2u 0 ) = 5.3n −1 ⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 . S d ng k t qu d ng 3, ta tìm ñư c: un = 5.3n − 6.2n . Chú ý : Tương t v i cách làm trên ta xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i: u 0 ; u1   , trong ñó a,b là các s th c cho trư c và a 2 − 4b ≥ 0 un − a.un −1 + b.un − 2 =0 ∀n ≥ 2  như sau: G i x1, x 2 là hai nghi m c a phương trình : x 2 − ax + b = 0 (4) ( phương trình này ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy). Khi ñó: un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1.un − 2 ) = ... = x 2 −1(u1 − x1.u0 ) . n S d ng k t qu c a d ng 3, ta có các trư ng h p sau: x .u − u1 n u1 − x .u0 n • N u x1 ≠ x 2 thì un = 2 0 x1 + x 2 . Hay un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó n n x 2 − x1 y −x k + l = u0  k, l là nghi m c a h :  . x1.k + x 2 .l = u1  u a au  • N u x1 = x 2 = α thì un = α n −1  0 + (u1 − 0 )n  , hay un = (kn + l )α n −1 , trong  2  2   l = α .u0  ñó k, l là nghi m c a h :  . k + l = u1  V y ta có k t qu sau: u ; u  D ng 5: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  0 1 , trong un − a.un −1 + b.un − 2 = 0 ∀n ≥ 2  ñó a,b, c là các s th c khác không; a 2 − 4b ≥ 0 ta làm như sau: G i x1, x 2 là nghi m c a phương trình ñ c trưng: x 2 − ax + b = 0 . - 10 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s k + l = u0  • N u x1 ≠ x 2 thì un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó k, l là nghi m c a h :  n n . x1.k + x 2 .l = u1  l = α .u 0  • N u x1 = x 2 = α thì un = (kn + l )α n −1 , trong ñó k, l là nghi m c a h :  . k + l = u1  u = 1; u1 = 2 Ví d 1.10: Cho dãy s ( )  un ñư c xác ñ nh b i :  0 un +1 = 4un + un −1 ∀n ≥ 1 .   Hãy xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) . Gi i: Phương trình x 2 − 4x − 1 = 0 có hai nghi m x1 = 2 + 5; x 2 = 2 − 5 . k + l = 1  ⇒ un = k .x1 + l .x 2 . Vì u 0 = 1; u1 = 2 nên ta có h :  n n (2 + 5)k + (2 − 5)l = 2  1 1 ⇔k =l = . V y un = (2 + 5)n + (2 − 5)n  . 2 2   u = 1; u1 = 3  Ví d 1.11: Xác ñ nh CTTQ c a dãy: (un ) :  0 . un − 4un −1 + 4un − 2 = 0 ∀n = 2, 3,...  Gi i: Phương trình ñ c trưng x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (kn + l )2n −1 l = 2  Vì u 0 = 1; u1 = 3 nên ta có h :  ⇔ k = 1; l = 2 . k + l = 3  V y un = (n + 2)2n −1 . u0 = −1; u1 = 3  Ví d 1.12: Cho dãy (un ) :  . Xác ñ nh un − 5un −1 + 6un − 2 = 2n + 2n + 1; ∀n ≥ 2 2  CTTQ c a dãy (un ) . Gi i: V i cách làm tương t như Ví d 1.4, ta phân tích: 2n 2 + 2n + 1 = - 11 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s = (kn 2 + ln + t ) − 5 k (n − 1)2 + l (n − 1) + t  + 6 k (n − 2)2 + l (n − 2) + t  (5)     19k − 7l + 2t = 1 k = 1   (5) cho n = 0; n = 1; n = 2 ta có h : 7k − 5l + 2t = 5 ⇔ l = 8 .  −k − 3l + 2t = 13 t = 19   ð t vn = un − n 2 − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25 và vn − 5vn −1 + 6vn − 2 = 0 α + β = −20  α = 15  ⇒ vn = α .3n + β .2n . Ta có h :  ⇔ 3α + 2β = −25   β = −35  ⇒ vn = 15.3n − 35.2n ⇒ un = 15.3n − 35.2n + n 2 + 8n + 19 . u ; u  Chú ý : ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s : (un ) :  0 1 , un + 1 + a.un + b.un −1 = f (n ) ; ∀n ≥ 2  ( trong ñó f (n ) là ña th c b c k theo n và a 2 − 4b ≥ 0 ) ta làm như sau: • Ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) (6) r i ta ñ t vn = un − g(n ) v = u0 − g(0); v1 = u1 − g(1)  Ta có ñư c dãy s (vn ) :  0 . ðây là dãy s mà ta ñã xét vn + avn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2  trong d ng 5. Do ñó ta s xác ñ nh ñư c CTTQ c a vn ⇒ un . • V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ñ có (6) ? Vì f (n ) là ña th c b c k nên ta ph i ch n g(n ) sao cho g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) là m t ña th c b c k theo n . Khi ñó ta ch c n thay k + 1 giá tr b t kì c a n vào (6) ta s xác ñ nh ñư c g(n ) . Gi s g(n ) = am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a 0 (am ≠ 0 ) là ña th c b c m . Khi ñó h s c a x m và x m −1 trong VP là: am .(1 + a + b) và  −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1  .   Do ñó : i ) N u PT: x 2 + ax + b = 0 (1) có nghi m hai nghi m phân bi t khác 1 thì 1 + a + b ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c m . ii ) N u PT (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó có m t nghi m x = 1 ⇒ 1 + a + b = 0 và −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1 = −(a + 2b ).m.am ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c m −1 . iii ) N u PT (1) có nghi m kép x = 1 ⇒ a = −2;b = 1 nên VP(6) là m t ña th c b c m − 2. V y ñ ch n g(n ) ta c n chú ý như sau: - 12 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s N u (1) có hai nghi m phân bi t, thì g(n ) là m t ña th c cùng b c v i f (n ) N u (1) có hai nghi m phân bi t, trong ñó m t nghi m b ng 1 thì ta ch n g(n ) = n.h(n ) trong ñó h(n ) là ña th c cùng b c v i f (n ) . N u (1) có nghi m kép x = 1 thì ta ch n g (n ) = n 2 .h (n ) trong ñó h(n ) là ña th c cùng b c v i f (n ) . u ; u  D ng 6: ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  0 1 , un + a.un −1 + b.un − 2 = f (n ) ; ∀n ≥ 2  ( trong ñó f (n ) là ña th c theo n b c k và b 2 − 4ac ≥ 0 ) ta làm như sau: Xét g(n ) là m t ña th c b c k : g(n ) = ak n k + ... + a1k + a 0 . • N u phương trình : x 2 + ax + b = 0 (1) có hai nghi m phân bi t, ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) r i ñ t vn = un − g(n ) . • N u (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó m t nghi m x = 1 , ta phân tích f (n ) = n.g(n ) + a(n − 1)g(n − 1) + b(n − 2)g(n − 2) r i ñ t vn = un − n.g(n ) . • N u (1) có nghi m kép x = 1 , ta phân tích f (n ) = n 2 .g(n ) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2) r i ñ t vn = un − n 2 .g(n ) . u = 1; u1 = 4  Ví d 1.13: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  0 . un − 3un −1 + 2un − 2 = 2n + 1 ∀n ≥ 2  Gi i: Vì phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghi m x = 1; x = 2 nên ta phân tích 2n + 1 = n(kn + l ) − 3(n − 1) k (n − 1) + l  + 2(n − 2) k (n − 2) + l  , cho n = 0; n = 1 ta     5k − l = 1  có h :  ⇔ k = −1; l = −6 . 3k − l = 3  ð t vn = un + n(n + 6) ⇒ v0 = 1; v1 = 11 và vn − 3vn −1 + 2vn −2 = 0 α + β = 1  ⇒ vn = α .2n + β .1n v i α , β :  ⇔ α = 10; β = −9 2α + β = 11  ⇒ vn = 10.2n − 9 ⇒ un = 5.2n +1 − n 2 − 6n − 9 ∀n = 0,1,2,... . - 13 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s u0 = −1; u1 = 3  Ví d 1.14: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  . un − 4un −1 + 3un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2  Gi i: Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n −1 + 3a.2n − 2 . Cho n = 2 ta có: 4 = 4a − 8a + 3a ⇔ a = −4 ð t vn = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43 và vn − 4vn −1 + 3vn − 2 = 0 Vì phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 có hai nghi m x = 1, x = 3 nên vn = α .3n + β .1n α + β = 19  V i α, β :  ⇔ α = 12; β = 7 ⇒ vn = 12.3n + 7 . 3α + β = 43  V y un = 4.3n +1 − 5.2n + 2 + 7 ∀n = 1,2,... . Chú ý : V i ý tư ng cách gi i trên, ta tìm CTTQ c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i: u 0 ; u1   (v i a 2 − 4b ≥ 0 ) như sau: un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ∀n ≥ 2 n  Ta phân tích α n = kα n + a.k .α n −1 + b.k .α n − 2 (7). Cho n = 2 thì (7) tr thành: k (α 2 + a.α + b) = α 2 α2 T ñây, ta tìm ñư c k = khi α không là nghi m c a phương trình : α + aα + b 2 x 2 + ax + b = 0 (8). v = u0 − kc; v1 = u1 − kcα  Khi ñó, ta ñ t vn = un − kc.α n , ta có dãy (vn ) :  0 vn + a.vn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2  ⇒ vn = p.x1 + q.x 2 (x1, x 2 là hai nghi m c a (8)). n n ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kc.α n . n n V y n u x = α là m t nghi m c a (8), t c là: α 2 + aα + b = 0 thì ta s x lí th nào ? Nhìn l i cách gi i d ng 3, ta phân tích : α n = kn.α n + a.k (n − 1)α n −1 + bk (n − 2)α n − 2 (9). α a Cho n = 2 ta có: α k (2α + a ) = α 2 ⇔ k (2α + a ) = α ⇔ k = (α ≠ − ) . 2α + a 2 ⇒ (2) có nghi m k ⇔ α là nghi m ñơn c a phương trình (8). Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kcn.α n . n n - 14 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s a Cu i cùng ta xét trư ng h p x = α = − là nghi m kép c a (8). V i tư tư ng như trên, 2 ta s phân tích: α n = kn 2 .α n + a.k (n − 1)2 α n −1 + bk (n − 2)2 α n − 2 (10). α 1 Cho n = 2 ta có: (10) ⇔ α 2 = 4k .α 2 + ak .α ⇒ k = = . 4α + a 2 1 Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + cn 2 .α n . n n 2 V y ta có k t qu sau: u 0 ; u1  D ng 7: Cho dãy s (un ) xác ñ nh b i:  . un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ; ∀n ≥ 2 n  ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ta làm như sau: Xét phương trình : x 2 + ax + b = 0 (11) • N u phương trình (11) có hai nghi m phân bi t khác α thì α2 un = n p.x1 + q.x 2 n + kc.α v i k = n . α 2 + aα + b • N u phương trình (11) có nghi m ñơn x = α thì α un = p.x 1 + q.x 2 + kcn.α n v i k = n n . 2α + a 1 • N u x = α là nghi m kép c a (11) thì : un = (p + qn + cn 2 ).α n . 2 u0 = −1; u1 = 3  Ví d 1.15: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  . un − 5un −1 + 6un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2  Gi i: Phương trình x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghi m x1 = 2; x 2 = 3 , do ñó un = p.2n + q.3n + 5kn.2n . - 15 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  α 2 k = = = −2  2α + a 4 − 5 V i  p + q = −1 ⇔ k = −2; p = −26;q = 25 . 2p + 3q + 10k = 3   V y un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1(5n + 13) ∀n = 1,2,... . u0 = 1; u1 = 3  Ví d 1.16: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  . un − 4un −1 + 4un − 2 = 3.2n  Gi i: 3 2 n Phương trình x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (p + qn + n )2 2 p = 1  D a vào u 0 , u1 ta có h :  ⇔ p = 1; q = −1 .  p +q = 0  V y un = (3n 2 − 2n + 2)2n −1 ∀n = 1,2,... . V i cách xây d ng tương t ta cũng có ñư c các k t qu sau: u , u , u  D ng 8: Cho dãy (un ) :  0 1 2 .ð xác ñ nh CTTQ un + aun −1 + bun − 2 + cun − 3 = 0 ∀n ≥ 3  c a dãy ta xét phương trình: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (12) . • N u (12) có ba nghi m phân bi t x1, x 2 , x 3 ⇒ un = α x1 + β x 2 + γ x 3 . D a vào n n n u0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ . • N u (12) có m t nghi m ñơn, 1 nghi m kép: x1 = x 2 ≠ x 3 ⇒ un = (α + β n )x1 + γ .x 3 n n D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ . • N u (12) có nghi m b i 3 x1 = x 2 = x 3 ⇒ un = (α + β n + γ n 2 )x1 . n D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ . u = 0, u2 = 1, u3 = 3,  Ví d 1.17: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  1 un = 7un −1 − 11.un − 2 + 5.un − 3 , ∀n ≥ 4  - 16 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s Gi i : Xét phương trình ñ c trưng : x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0 Phương trình có 3 nghi m th c: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5 V y an = α + β n + γ 5n Cho n = 1, n = 2, n = 3 và gi i h phương trình t o thành, ta ñư c 1 3 1 α=− , β = , γ = 16 4 16 1 3 1 V y an = − + ( n − 1) + .5n −1 . 16 4 16 u = 2; un = 2un −1 + vn −1  Ví d 1.18: Tìm CTTQ c a dãy s (un ),(vn ) :  0 ∀n ≥ 1 . v0 = 1; vn = un −1 + 2vn −1  Gi i: Ta có: un = 2un −1 + un − 2 + 2vn − 2 = 2un −1 + un − 2 + 2(un −1 − 2un − 2 ) ⇒ un = 4un −1 − 3un − 2 và u1 = 5 1 + 3n +1 −1 + 3n +1 T ñây, ta có: un = ⇒ vn = un +1 − 2un = . 2 2 Tương t ta có k t qu sau: x = pxn −1 + qyn −1 ; x1  D ng 9: Cho dãy (xn ),(yn ) :  n . ð xác ñ nh CTTQ c a hai dãy yn = ryn −1 + sx n −1; y1  (xn ),(yn ) ta làm như sau: Ta bi n ñ i ñư c: x n − (p + s )x n −1 + (ps − qr )xn − 2 = 0 t ñây ta xác ñ nh ñư c x n , thay vào h ñã cho ta có ñư c yn . Chú ý : Ta có th tìm CTTQ c a dãy s trên theo cách sau:  q − λr x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − y )  Ta ñưa vào các tham s ph λ , λ ' ⇒  λs − p n −1 x + λ ' y = (p + λ ' s )(x q + λ 'r n −1 + y )   n n p + λ ' s n −1 - 17 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s  q − λr λ = Ta ch n λ , λ ' sao cho   λs − p ⇒ x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − λyn −1 )   λ ' = q + λ ' r x n + λ ' yn = (p + λ ' s )(x n −1 + λ ' yn −1 )    λ 's + p x − λy = (p − λs )n −1(x − λy )  n  n n −1 1 1 gi i h này ta tìm ñư c ( xn ) , ( yn ) . x n + λ ' yn = (p + λ ' s ) (x1 + λ ' y1 )  u1 = 1  Ví d 1.19: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  2un −1 . un = ∀n ≥ 2  3un −1 + 4 1 3u +4 3 1 1 Gi i: Ta có = n −1 = +2 . ð t xn = , ta có: un 2un −1 2 un −1 un x1 = 1  5.2n −1 − 3 2  3 ⇒ xn = ⇒ un = . x n = 2x n −1 + n −1  2 5.2 −3  2 u1 = 2  Ví d 1.20: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  −9un −1 − 24 . un = 5u + 13 ∀n ≥ 2  n −1 Gi i: Bài toán này không còn ñơn gi i như bài toán trên vì trên t s còn h s t do, do ñó ta tìm cách làm m t h s t do trên t s . Mu n v y ta ñưa vào dãy ph b ng cách ñ t un = xn + t . Thay vào công th c truy h i, ta có: −9x n −1 − 9t − 24 (−9 − 5t )xn −1 − 5t 2 − 22t − 24 xn + t = ⇒ xn = 5x n −1 + 5t + 13 5x n −1 + 5t + 13 Ta ch n t : 5t 2 + 22t + 24 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ x1 = 4 x n −1 1 3 1 11.3n −1 − 10 4 ⇒ xn = ⇒ =5+ ⇒ = ⇒ xn = 5xn −1 +3 xn x n −1 xn 4 11.3n −1 − 10 −22.3n −1 + 24 ⇒ un = x n − 2 = . n −1 11.3 − 10 - 18 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s pun −1 + q D ng 10: Cho dãy ( un ): u1 = α ; un = ∀n ≥ 2 . ð tìm CTTQ c a dãy (xn) run −1 + s ta làm như sau: ð t un = x n + t , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có: px n −1 + pt + q (p − rt )x n −1 − rt 2 + (p − s )t + q xn = −t = (13). run −1 + rt + s rx n −1 + rt + s 1 1 Ta ch n t : rt 2 + (s − p)t − q = 0 . Khi ñó ta chuy n (13) v d ng: =a +b xn x n −1 1 T ñây ta tìm ñư c , suy ra un . xn u = 2  Ví d 1.21: Xác ñ nh CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) :  1 và v1 = 1  u = u 2 + 2v 2  n n −1 n −1 ∀n ≥ 2 .  vn = 2un −1vn −1  Gi i:   un = un −1 + 2vn −1 un + 2vn = (un −1 + 2vn −1 ) 2 2 2 Ta có:  ⇒  2vn = 2 2un −1vn −1 un − 2vn = (un −1 − 2vn −1 ) 2    2n − 1 n −1 un + 2vn = (u1 + 2v1 ) = (2 + 2)2 ⇒ n −1 n −1 un − 2vn = (u1 − 2v1 )2 = (2 − 2)2   1 n −1 n −1  un = (2 + 2)2 + (2 − 2)2   2  . ⇒ 1  n −1 n −1  vn = (2 + 2) − (2 − 2)2  2   2 2  - 19 -
M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s 2  un −1   v  +2  u = u 2 + 2v 2  n u u 2 + 2vn −1 2 Nh n xét: T  n −1 n − 1 ⇒ n = n −1 =  n −1  vn = 2un −1vn −1  vn 2un −1vn −1 u  2  n −1  v   n −1  x1 = 2 un  Do v y n u ta ñ t x n = ta ñư c dãy s (xn ) :  x n −1 + 2 . Ta có bài toán sau: 2 vn x n =  2x n −1 x1 = 2  Ví d 1.22: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (xn ) :  x n −1 + 2 2 . xn = ∀n ≥ 2  2x n −1 Gi i: u1 = 2 un = un −1 + 2vn −1  2 2  Xét hai dãy (un ),(vn ) :  và  ∀n ≥ 2 . v1 = 1 vn = 2un −1vn −1   u Ta ch ng minh x n = n (14). vn u2 • n = 2 ⇒ x2 = = 2 ⇒ n = 2 (14) ñúng. v2 un −1 x n −1 + 2 2 un −1 + 2vn −1 2 2 un • Gi s x n −1 = ⇒ xn = = = ⇒ (14) ñư c ch ng vn −1 2x n −1 2un −1vn −1 vn minh n −1 n −1 (2 + 2)2 + (2 − 2)2 Theo k t qu bài toán trên, ta có: x n = 2 . 2n − 1 2n − 1 (2 + 2) − (2 − 2) D ng 11: 1) T hai ví d trên ta có ñư c cách tìm CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) ñư c xác ñ nh u = u 2 + a.v 2 ; u = α  b i:  n n −1 n −1 1 (trong ñó a là s th c dương) như sau: vn = 2vn −1un −1 ; v1 = β  - 20 -