Đại số sơ cấp (Phần 3): Lượng giác

Chia sẻ: đinh Công Chánh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số sơ cấp (Phần 3) gồm các bài tập và lời giải phần lượng giác giúp các em học sinh yêu thích môn Toán tham khảo học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số sơ cấp (Phần 3): Lượng giác

Chương III. LƯỢNG GIÁC Trong chương III, mỗi biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức được xét chỉ trên tập R các số thực, nên từ “ trên R” sẽ được bỏ đi. Trong chương III các chữ k, l, m, n, r, s là các số nguyên nên từ “ k Z ” và “ l Z ”, … cũng sẽ được bỏ đi. 15. CHỨNG MINH ĐỒNG NHẤT THỨC LƯỢNG GIÁC TRÊN MỘT TẬP Ví dụ 64. Tìm miền xác định của vế trái và vế phải của đồng nhất thức (1) ctg = 1 trên D (1) tgx Giải. Miền xác định của vế trái đồng nhất thức (1) trên D(1) (vế trái ) : sin 0 ~ m (m Z) Miền xác định của vế phải đồng nhất thức (1) trên D(1) (vế phải ): cos 0 + k l (l Z) 2 2 sin 0 m Trả lời. D(v.t) = { R| m, m Z }; l D(v.p) = { R| , l Z } 2 Ví dụ 65. Chứng minh đồng nhất thức : 2tgx (1) tg2x = trên D(1) và tìm miền xác định của vế trái và vế phải của đồng 1 tg 2 x nhất thức này trên D(1) giải. sin 2 2 sin cos 2tg tg2 = = = cos 2 cos 2 sin 2 1 tg 2 D(v.t): cos2 0 ~ 2 + k ~ + k2 (k Z) 2 4 128
D(v.p): cos 0 cos 0 ~ 1tg2 0 tg 1 + n (n Z) ~ 2 k + (k Z) 4 2 Trả lời k D(v.t) = { R| + , k Z }; 4 2 k D(v.p) = { R| + n, + , k,n Z } 2 4 2 Ví dụ 66. chứng minh đồng nhất thức 2 2 3 cos2x + cos2( + x) + cos2( x) = 3 3 2 Giải 2 2 1 1 4 1 cos2x + cos2( + x) + cos2( x) = (1 + cos2x) + (1 + cos( + 2x)) + (1 + 3 3 2 2 3 2 4 3 1 1 4 4 3 1 cos( 2x)) = + cos2x + ( cos( + 2x)) + cos( 2x)) = + cos2x + 3 2 2 2 3 3 2 2 4 3 1 1 3 cos cos2x = + cos2x cos2x = 3 2 2 2 2 Ví dụ 67. Không dung bảng số hãy tính: 2 cos cos 5 5 Giải: 129
1 1 2 2 2 3 cos cos = (2sin ( cos cos ) = ( sin sin + sin ) 5 5 2 sin 5 5 5 2 sin 5 5 5 5 5 1 2 2 1 = ( sin sin + sin ) = 2 sin 5 5 5 2 5 Tìm miền xác định của vế phải và vế trái của đồng nhất thức trên miền xác định của nó (cácbài từ 783 – 790). 783. tg cos = sin 784. tg cotg = 1 2tg 1 2 785. tg = 786. tg = cot g 1 tg 2 2 2tg 1 tg 2 787.sin = 2 788. cos = 2 1 tg 2 1 tg 2 2 2 1 cos sin 789. tg = 790. tg = 2 sin 2 1 cos Chứng minh đồng nhất thức trên miền xác định của nó (các bài 791 – 799) 3 791. cotg( )(1+sin2 ) = cos2 4 792. cos3 = 3sin 4 sin3 793. cos3 = 4cos3 3cos 794. sin2 .cos( + ).cos( ) = cos cos … 6 2 6 2 2 2 2 3 795. sin2 + sin2( + ) + sin2( ) = 3 3 2 5 3 796. sin6 + cos6 = + cos4 8 8 1 797. sin(cotg ) + sin(tg ) = 2sin( ).cos(cotg2 ) sin 2 130
798. tg2 .tg( ) + tg2 . tg( ) + tg( ). tg( ) = 1 6 3 6 3 789. cotg tg 2tg2 4tg4 = 8cotg8 Không dùng bảng tính hãy chứng minh rằng: (các bài 800 – 808) 3 800. cos100cos500cos700 = 8 4 5 1 801. cos cos cos = 7 7 7 2 2 4 6 1 802. cos + cos + cos = 7 7 7 2 803. cotg700 + 4cos700 = 3 2 4 7 1 804. cos + cos cos cos = 15 15 15 15 2 1 1 1 805. = 2 + 3 sin sin sin 7 7 7 806. tg550 .tg650 .tg750 = tg850 807. tg200 + tg400 + tg800 3 = 8.sin400 808. cos200.cos300 = cos2100.tg400 không dung bảng, hãy tính: (các bài 809 – 812) 3 5 7 809. sin4 + sin4 + sin4 + sin4 8 8 8 8 810.sin100sin500sin700 3 811. sin sin 10 10 sin 80 0 3 812. M sin 20 0 2 sin 80 0 Đơn giản biểu thức (các bài 813 – 819) sin 160 0 cos 70 0 cos 200 0 sin 70 0 cos 235 0 sin 215 0 813. tg 55 0 cot g 215 0 131
sin 190 0 cos( 320 0 ) sin( 170 0 ) cos( 140 0 ) 814. cot g ( 110 0 ) cot g ( 140 0 ) tg ( 338 0 ) tg 230 0 cos 5 cos 6 cos 7 815. sin 5 sin 6 sin 7 816. sin 6x.cos3 2x + cos 6x.sin3 2x 1 2 1 2 817. (sinx + ) + (cosx + ) tg2x – cotg2x sin x cos x 818. 2(sin4x + sin2xco2x + cos4x)2 – sin8x – cos8x 1 cos x 1 cos x 819. ( + ).sinx 1 cos x 1 cos x cot g 1 7 820. Tìm giá trị của biểu thức , nếu sin = và
829. Chứng minh rằng, nếu sin sin 2 sin( ) , k 2 , , k 2 , 1 k Z thì tg tg 2 2 3 830. Chứng minh rằng, nếu , thì sin sin sin 4 cos cos cos . 2 2 2 831. Chứng minh rằng, nếu , thì cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos 1 832. Chứng minh rằng, nếu , , , k , k Z thì 2 tg tg tg tg .tg .tg 833. Chứng minh rằng, nếu , , , k 2 , k Z thì: tg tg tg tg tg tg 1 2 2 2 2 2 2 Chứng minh đồng nhất thức trên miền xác định của nó (các bài 834 – 840) 834. sin 2 sin 2 2 sin sin cos sin 2 2 2 2 2 835. 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos 4 cos cos cos cos 2 2 2 2 sin 2 n 836. cos cos 2 cos 2 2 ... cos 2 n 1 , n N 2 n sin 1 1 1 837. ... cot g cot g 2 n , n N sin 2 sin 2 2 sin 2 n 1 (n 1) n sin sin 2 ... sin n sin sin 838. 2 2 , n N sin 2 1 ( n 1) n cos cos 2 ... cos n cos sin 839. 2 2 , n N sin 2 133
840. sin 2nx sin 2ny sin 2nz ( 1) n 4 sin nx sin ny sin nz , nếu x + y + z = 16. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRÊN MỘT TẬP 1 Ví dụ 68. chứng minh rằng, nếu và , , 0 thì sin sin sin 2 2 2 8 Giải. 1 1 1 sin sin sin sin (cos cos ) sin (1 sin ) (**) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 (vì cos 1 và 0) 2 2 1 (**): vì giá trị lớn nhất của hàm cho bởi biểu thức x(1x) bằng 4 3 Ví dụ 69. chứng minh rằng, nếu 3x2 – 31x + 80 ~ 1
Nghĩa là: , , [0, ] 2 2 2 2 Khi đó: sin , sin , sin >0 2 2 2 Sử dụng bất đẳng thức trung bình vộng và trung bình nhân đối với hai số không âm, ta có: 1 1 1 3 (1) sin sin sin . 3 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Nhưng (2) suy ra: 1 1 1 6 , nếu và , , 0. sin sin sin 2 2 2 Ví dụ 71. Chứng minh rằng: (1)| sin nx | n | sin x |, với n N Giải. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp. (1) n = 1 khí đó | sinx | | sinx | (2) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k N) nghĩa là (2) | sin kx | k | sinx |. Ta sẽ chứng minh rằng , bất đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là: (3) | sin( k + 1) x | (k + 1)| sin x | Vì | sin( k + 1) x | = | sin( kx + x) | = | sinkx cosx + coskx sinx | | sinkx cosx | + | coskx sinx | = | sinkx | | cosx | + | coskx | | sinx | | sinkx | + | sinx | k | sinx | + | sinx | = (k +1) | sinx |, thì | sin(k + 1)x | (k + 1)| sinx |, (vì | cosx | 1, | coskx | 1) Từ (1) và (2) suy ra | sin nx | n | sinx | với n N ( ) cos cos 841. Chứng minh rằng nếu , [ , ] , thì cos 2 2 2 2 ( ) sin sin 842. Chứng minh rằng, nếu , [0; ] thì sin 2 2 1 843. chứng minh rằng, nếu và , , [0; ] thì cos cos cos 2 8 135
3 845. chứng minh rằng, nếu và , , 0 , thì cos cos cos 2 k cos cot g 846. chứng minh rằng, nếu , trong đó k Z thì 0 2 sin tg 847. chứng minh rằng, nếu thì sin 2 sin 2 sin 2 1 848. chứng minh rằng, nếu , 0, 0 , thì tg tg 3 1 1 3 849. chứng minh rằng, nếu 0 thì + 4 . 3 sin( ) sin( ) 3 3 3 1 1 850. chứng minh rằng, nếu 0 thì (1 + ) + (1 + ) 3 + 2 2 2 sin cos sin sin 2 851. Chứng minh rằng, nếu , [0; ] thì sin sin sin 2 1 852. Chứng minh rằng, nếu 2cos2x – 3cosx > 3, thì sin( )
860. Chứng minh rằng, nếu 0
872. Chứng minh rằng: | sin(sinx) |
3 cosx 0 sinx 2 ~ x = x = + m 2 3 ~ x = Trả lời + n 2 { n |n Z } {+ m |m Z} 2 3 Ví dụ 73. Giải phương trình (1) tg2x + 3cotgx = 0 Giải Phương pháp thứ nhất: sử dụng đồng nhất thức (xem các ví dụ 64, 65, chương III bài 15) x = + m 2 2tgx 3 (1) tg2x + 3cotgx = 0 ~ 0 1 tg 2 x tgx x = + m 2 2 3 tg x ~ 0 ~ (1 tg 2 x)tgx tg( + 2m ) + 3cotg( + m ) = 0 2 x = + m ~ tgx = 3 2 ~ x = + l + m 3 2 Trả lời { l |l Z} { m |m Z} 3 2 sin 2 x 3 cos x Phương pháp thứ hai: (1) ~ 0 cos 2 x sin x cos2x 0 ~ sinx 0 sin2x sinx + 3cos2x cosx = 0 nx x + 4 2 ~ x kx 139
(sin2x sinx + cos2x cosx) + 2cos2x cosx = 0 (*) (*) (*) ~ ~ ~ 1 cosx = 0 cos2x = x = + m 2 2 (*) ~ 2 2x = + 2l 3 ~ x = + m x = + l 2 3 Trả lời { m | m Z} { l |l Z} 2 ~ 3 Ví dụ 74. Giải phương trình: 1 (1) sinx + tgx = + cos (x + ) cos x Giải cosx (1) ~ 0 sinx cosx + sinx = 1 – cos2x x + n x + n ~ 2 ~ 2 sinx cosx + sinx = sin2x sinx (sinx – 1 – cosx) = 0 x + n x + n ~ 2 ~ 2 sinx = 0 sinx – cosx – 1 = 0 x + n x + n ~ 2 2 2 2 2 x = k sinx cosx = 2 2 2 ~ x = k x + n 2 2 sin( x ) = 4 2 140
~ x= k x + n x + n 2 2 3 x = + 2 l x = + 2m 4 4 4 4 ~ x = k x + n x + n 2 2 x = + 2l x = + 2m 2 ~ x = k x = + 2m ~ (*) x = k (*): Vì { + 2m | m Z } { k | k Z } Trả lời { k | k Z } 7 Ví dụ 75. Giải phương trình: (1) sin4x + cos4x = 8 Giải. Phương pháp thứ nhất: 7 1 7 1 (1) ~ ( sin2x + cos2x )2 – 2sin2xcos2x = = 1 sin22x = ~ sin22x = ~ sin2x = 8 2 8 4 1 ~ 2x = + k ~ x = + k 2 6 12 2 k Trả lời: { + | k Z } 12 2 Phương pháp thứ hai: 7 1 cos 2 x 2 cos 2 x 2 7 (1) ~ (sin2x)2 + (cos2x)2 = ~ ( ) + ( ) = 8 2 2 8 3 3 ~ cos22x = ~ cos2x = ~ x = + k 4 2 6 k ~ x = + 12 2 k Trả lời: { + | k Z } 12 2 Ví dụ 76. Giải phương trình: (1) asinx + bcosx = 0 trong đó a 0 và b 0 141
Giải Phương pháp thứ nhất: x x 2tg tg (1) ~ a 2 + 2 x = + 2k (1) x x 1 tg 2 1 tg 2 2 2 x ~ ( b + c ) tg 2 2tg – b = 0 x = + 2k 2 b c b c b = c b = c x a2b 2 a tg x = b x = + 2k ~ tg = a 2 b c 2 a2 + b2 – c2 0 ~ x b a2 + b2 c = b a2 b2 b x =2acrtg a 2l x =2arctg + 2n b c a x = + 2k Ta nhận thấy rằng: nếu c = b, thì a2 + b2 c2; nếu a2 + b2
a a |b| ta đưa thêm vào góc = arctg (2). Khi đó tg = và cos = 0 (3); b b a2 b2 c sin sin x cos cos x c c tg sinx + cosx = ~ = ~ cos( x ) = cos b cos b b Từ (2) và (3) ta có: a c|b| (1) ~ cos( x arctg ) = b b a2 b2 c|b| ~ | | 1 b a2 b2 a c|b| x arctg = arccos 2k b b a2 b2 ~ a2 + b2 c2 a c|b| x = arctg arccos 2k b b a2 b2 Trả lời a c|b| Nếu a2 + b2 c2 thì { arctg arccos 2k | k Z } b b a2 b2 Nếu a2 + b2
~ sinx 1 sinx 1 ~ a 1 a Sinx = a sinx = sinx = a 2 a 2 a sinx = 2 a 2 a 1 a | | 1 | a | 1 2 a x = (1)karcsin( ) + k x = (1)narcsine + n 2 ~ | a |
3 879. cotg3x = 3 1 880. cos (3x – 2) = 2 881. 4cos3x + 8cos ( x) = 0 882. 2sinxcotgx + 1 = cos (x) sin x 883. = 2 – cotg (x + ) 1 cos x 884. 4sinx + 5cosx = 3 885. 7sinx – 5cosx = 5 2 886. sinx – cosx = 2 887. cos3xtgx = 0 1 cos( x) sin x 888. sin x 2 1 889. tgx + 1 = 2sinx + cos x x 890. sin2x + 3sinx = tg 2 1 891. cosx + cotgx = + sin(x + ) sin x 2(cos x sin x) 892. cotgx + tg( x) = sin 2 x 893. cos5x.cos3x = cos4x.cos2x sin 4 x cos 2 x 894. 6 sin 2 xtg ( x) cos 2 x 895. sin2x + sin3x = 3sin( x) 1 896. cos2x – tg2( x) = 6 cos 2 x 1 897. 2cos2x – 8cosx + 7 = cos x 145
898. sinx + cosx = 2 2 sinx.cosx 899. cos7x – sin5x = 3 (cos5x – sin7x) 900. 7 x x x 901. cos = cos2 + sin 4 4 4 2 3 902. sin4x = sin2x + cos(x ),
3 919. cos3x sin3x + sin3x cos3x = 4 1 920. 1 sin x cos x 2 921. 2 cos 2 x sin 2 x 3 sin 2 x 3 cos x 922. 1 sin 2 x 1 sin 2 x 1 923. 1 cos x 1 cos x 1 sin 2 x 3 924. cos 2 x 0, x 2 2 2 925. 3 sin 2 x 3 cos 2 x 3 4 1 3 926. 2tgx 1, x cos 2 x 2 2 927. sin x cos x tgx cot gx . 3 928. 1 sin 2 x 2 cos 3 x, x 2 929. sin 2 x sin 3x 2. 930. sin x sin 4 x 1. 3 3 931. 4 sin 3 x sin x sin 3 x 5. 932. cos x 120 sin 120 1. 933. cos x 88 sin 69 1 934. log 1 1 sin 2 x log 1 1 sin 2 x 1. 3 3 935. sin lg x cos lg x 1. 936. tg tgx cot g cot gx . 937. sin cos x cos sin x . 938. x 2 4 x cos xy 4 0. 147