Tr
ng Đ i h c Bách khoa tp. H Chí
ườ
ạ ọ
ồ
Ứ
ụ
ộ
Minh B môn Toán ng d ng
Đ i s tuy n tính
ạ ố
ế
Ch
ng 0
ươ
: S ph c ố ứ
ả
• Gi ng viên Ts. Đ ng Văn Vinh (9/2007) ặ dangvvinh@hcmut.edu.vn
M c tiêu c a môn h c Toán 2
ủ
ụ
ọ
ọ ấ ế
ế ứ ơ ả ủ ạ ố ế ữ ế ứ ề ọ ắ
t gi ứ ả ị
riêng, đ a d ng toàn ư ạ
Môn h c cung c p các ki n th c c b n c a đ i s tuy n tính. Sinh viên sau khi k t thúc môn h c n m v ng các ki n th c n n t ng và bi i các bài toán c b n: tính đ nh th c, làm vi c v i ệ ớ ơ ả ế ả ng trình tuy n tính, không gian ma tr n, bài toán gi i h ph ế ậ ả ệ ươ , ánh x tuy n tính, tìm tr riêng véc t véct ơ ị ế ạ ơ ng v chính t c. ph ươ ề ắ
S ph c ố ứ
Ma tr nậ
Đ nh th c ứ ị
H ph ng trình tuy n tính ệ ươ ế
Không gian véc tơ
Không gian Euclide
Phép bi n đ i tuy n tính ổ ế ế
Tr riêng, véct riêng ị ơ
D ng toàn ph ng ạ ươ
Nhi m v c a sinh viên. ụ ủ ệ
ọ ầ ủ ắ ổ ọ ị c m ấ ố ổ
Đi h c đ y đ (v ng 20% trên t ng s bu i h c b thi!).
Làm t ấ ả t c các bài t p cho v nhà. ậ ề
Đ c bài m i tr c khi đ n l p. ớ ướ ọ ế ớ
Đánh giá, ki m tra. ể
Thi gi a h c kỳ: hình th c tr c nghi m (20%) ữ ọ ứ ệ ắ
Thi cu i kỳ: hình th c t ứ ự ậ lu n + đi n k t qu (80%) ề ế ả ố
ả
ươ
ng, Nguy n Minh H ng. Đ i s tuy n ằ
ạ ố
ễ
ế
ệ ỗ
ố
ng, Nguy n Minh H ng. Bài t p toán cao c p 2.
ươ
ễ
ằ
ậ
ấ
2. Ngô Thu L 3. Đ Công Khanh. Đ i s tuy n tính. NXB Đ i h c qu c gia ế
ạ ọ
ạ ố
ố
ỗ
4. Meyer C.D. Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, 2000.
5. Kuttler K. Introduction to linear algebra for mathematicians,
6 Usmani R. Applied linear algebra, Marcel Dekker, 1987.
7. Kaufman L. Computational Methods of Linear Algebra ,2005.
8. Muir T. Theory of determinants, Part I. Determinants in general
9. Golub G.H., van Loan C.F. Matrix computations. 3ed., JHU, 1996.
10. Nicholson W.K. Linear algebra with applications , PWS Boston, 1993. 11. Proskuriyakov I.V. Problems in Linear algebra.
12. www.tanbachkhoa.edu.vn
Tài li u tham kh o 1. Đ Công Khanh, Ngô Thu L tính. NXB Đ i h c qu c gia ạ ọ
ộ
N i dung
ạ 0.1 – D ng đ i s c a s ph c ạ ố ủ ố ứ
0.2 – D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
0.3 – D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ ạ
0.4 – Nâng s ph c lên lũy th a ố ứ ừ
0.5 – Khai căn s ph c ố ứ
0.6 – Đ nh lý c b n c a Đ i s ơ ả ủ ạ ố ị
ạ
0.1 D ng đ i s c a s ph c ạ ố ủ ố ứ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
i m t s th c nào mà bình ph ng c a nó là ồ ạ ươ
Không t n t ộ ố ự m t s âm. Hay, không t n t i s th c ủ ồ ạ ố ự x sao cho x2 = -1. ộ ố
th k th 17, ng i ta đ nh nghĩa m t s o. Ở ế ỷ ứ ườ ộ ố ả ị
ộ ố ả ượ c ch n ọ
ự i đ –1. Bình ph ủ đ ký hi u m t s mà bình ph ộ ố ể ng c a m t s o là m t s âm. Ký t ộ ố ng c a nó b ng ủ ươ ệ ươ ằ
ố i c g i là Đ nh nghĩa s ị S ố i, đ ượ ọ đ n v o ơ ị ả , là m t s sao cho ộ ố
i2 = -1
ạ
Đ nh nghĩa s ph c
ị ả
ơ
ố ự a đ ph n o
i là đ n v o, khi đó c g i là ọ ượ ầ ả c a s ph c ủ ố ứ
ầ
ố ứ ị Cho a và b là hai s th c và ố ự c g i là s ph c. S th c z = a + bi đ ứ ố ọ ượ c g i là ố ự b đ ự và s th c ph n th c ượ ọ z.
0.1 D ng Đ i s c a s ph c ạ ố ủ ố ứ -----------------------------------------------------------------
Re(z).
Ph n th c c a s ph c Ph n o c a s ph c Im(z). ầ ầ ả ủ ố ứ z = a + bi đ ự ủ ố ứ z = a + bi đ ượ c ký hi u là ượ ệ c ký hi u là ệ
ậ ố ự ế ậ ở
T p s th c là t p h p con c a t p s ph c, b i vì n u cho ợ b = 0, thì a + bi = a + 0i = a là m t s ph c. ủ ậ ố ứ ộ ố ứ
ạ
ố
ộ ố ự
ớ
c g i là
ạ s thu n o ố
ượ ọ
T t c các s có d ng 0 + bi, v i b là m t s th c khác ấ ả ầ ả . Ví d : ụ i, -2i, 3i là nh ng ữ không đ s thu n o. ố
ầ ả
d ng
z = a + bi đ
c g i là
ở ạ
ượ ọ
d ng đ i s ạ
ạ ố
S ph c ghi ứ ố ủ ố ứ z. c a s ph c
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
ạ
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
Đ nh nghĩa s b ng nhau ự ằ ị
c g i là b ng nhau n u chúng có ph n th c và ằ ố ứ ượ ọ ự ế ầ
ầ ả ươ ứ ng ng b ng nhau. ằ
Ví dụ
Cho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i. Tìm t
t c các s th c
ấ ả
ố ự m đ ể z1 = z2.
Gi
iả
Hai s ph c đ ph n o t Nói cách khác, hai s ph c nhau khi và ch khi ỉ ố ứ z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 b ng ằ a1 = a2 và b1 = b2.
= (cid:236) 2 = (cid:219) + = (cid:219) (cid:219) (cid:237) 2 + = 2 3 i m 3 i m z 1 z 2 (cid:238) m = 3 3
ạ
Đ nh nghĩa phép c ng và phép tr c a hai s ph c.
ộ
ố ứ
ừ ủ
ố ứ
ộ
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i
ị Cho a + bi và c + di là hai s ph c, khi đó Phép c ng: Phép tr : ừ
Ví dụ
ầ
ầ ả ủ ố ứ
Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c ự z = (3 + 5i) + (2 - 3i).
Gi
iả z = (3 + 5i) + (2 - 3i)
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i.
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
(cid:222) Re( ) 5; Im( ) 2. = z = z
ạ
Đ nh nghĩa phép nhân hai s ph c.
ố ứ
ố ứ
ị Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai s ph c, khi đó
z1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i
Ví dụ
ạ ố ủ ố ứ
Tìm d ng đ i s c a s ph c ạ z = (2 + 5i).(3+ 2i)
Gi
iả z = (2 + 5i)(3 + 2i)
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 4i + 15i + 10 i2
= 6 + 19i + 10(-1) = -4 + 19i
V y d ng đ i s c a s ph c là:
z = -4 + 19i.
ạ ố ủ ố ứ
ậ ạ
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
ạ
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
C ng, tr , nhân hai s ph c:
ố ứ
ừ
ộ
Khi c ng (tr ) hai s ph c, ta c ng (tr ) ph n ố ứ
ừ
ừ
ầ
ộ
ộ
th c và ph n o t
ng ng.
ầ ả ươ ứ
ự
ố ứ
ư
ố
Nhân hai s ph c, ta th c hi n gi ng nh nhân hai ệ ự i2 = −1. bi u th c đ i s v i chú ý ứ ạ ố ớ
ể
ạ
ị
ợ
ượ ọ
c g i là s ph c liên h p c a s ợ ủ ố
ố ứ
ố ứ
Đ nh nghĩa s ph c liên h p ố ứ = - S ph c đ z a bi ph c ứ z = a + bi.
Ví dụ.
ố
ủ ố
ứ
ợ
ứ z = (2 + 3i) (4 -
Tìm s ph c liên h p c a s ph c 2i).
Gi
iả . z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i
=
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
i 14 8 .
= 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i. z V y s ph c liên h p là
ậ ố ứ
ợ
-
ạ
Tính ch t c a s ph c liên h p ợ ấ ủ ố ứ
w
z
ợ
ố
ứ
ứ
ộ ố ự
2. là m t s th c.
ộ ố ự
3. khi và ch khi
z là m t s th c.
ộ ố ự
ỉ
Cho z và w là hai s ph c; và là hai s ph c liên h p ố t ng ng. Khi đó: ươ ứ z+ z 1. là m t s th c. z z(cid:215) z= z + = + z w z w 4. (cid:215) = (cid:215) z w z w 5.
z= 6. z z= n ( )
z
n 7. v i m i s t
nhiên
n
ọ ố ự
ớ
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
ạ
Phép chia hai s ph c.
ố ứ
=
+ +
z 1 z
a 1 a 2
ib 1 ib 2
2
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
-
=
2
+ + - z 1 z ) ) a ( 1 a ( 2 ib a )( 2 1 a ib )( 2 2 ib 2 ib 2
+ -
= + i
2
+ + z 1 z a a 1 2 2 a 2 b b 1 2 2 b 2 b a 1 2 2 a 2 a b 2 1 2 b 2
và m u cho s ph c ố ử ố ứ ẫ
Mu n chia s ph c z liên h p c a m u. (Gi ố ứ 1 cho z2, ta nhân t z „ 0 s ) ả ử2 ợ ủ ẫ
ạ
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c -----------------------------------------------------------------
Ví d . ụ Th c hi n phép toán ệ ự
+ 23 i 5 i
-
Gi iả .
ử + ẫ =
2
- - + 23 i i 5 + i 5)(23( + 5)( i 5( i ) ) i và m u cho s Nhân t ố ẫ ph c liên h p c a m u là ợ ủ ứ 5 + i.
+ 15 i 2 =
++ i 3 25 i 10 + 1
+ 13 13 i = i Vi d ng Đ i s t ế ở ạ ạ ố
26 1 += 2 1 2
ạ
ạ ố ủ ố ứ 0.1 D ng Đ i s c a s ph c ------------------------------------------------------------------
ớ ố ứ
ườ ộ
ố ự ườ ể
ng s th c. Bi u th c ng s ph c ạ ừ ườ
L u ýư : So sánh v i s ph c. Trong tr ệ ố ứ cách khác, không th so sánh hai s ph c ể = a2 + ib2 nh trong tr ư ≥ z1 không có nghĩa trong tr ta đ nh nghĩa khái ni m so sánh m t cách khác. ng s ph c không có khái ni m so sánh. Nói m t ố ứ z1 = a1 + ib1 và z2 ứ z1 < z2 ho c ặ z2 ố ứ C ngo i tr chúng ộ ệ ị
0.2 D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
y tr c o ụ ả
• b M a b ( , ) ” = + z a bi
j r
tr c th c ự ụ
a o x
(cid:236) = j cos (cid:239)
2
2 mod( ) z
j (cid:237) : = + = r a b (cid:239) = j sin (cid:238) a r b r
ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
ng c đ nh ố ự ươ đ ượ ị
2
2
+
z mod( )
|= = z |
a
b
0.2 D ng l ạ Đ nh nghĩa Môdun c a s ph c ủ ố ứ ị Môdun c a s ph c ủ ố ứ z = a + bi là m t ộ s th c d nghĩa nh sau: ư
Ví dụ Tìm môđun c a s ph c ủ ố ứ z = 3 - 4i.
2
2
Gi iả
2 =
2 3
+ = + - a b ( 4) 5. a = 3; b = -4. V y mod( z) = |z| = ậ
ng giác c a s ph c 0.2 D ng l ạ ượ ủ ố ứ
Chú ý:
2
2
N u coi s ph c ố ứ z = a + bi là m t đi m có t a đ (a, b), thì ế ộ
+
=
|
z
= |
a
b
(
a
0)
b (
0)
ọ ộ 2 ể + 2 - -
t là kho ng cách ả ừ ể đi m (a, b) đ n g c t a đ . ế ố ọ ộ
2
Cho z = a + bi và w = c + di.
= | z w
|
+ 2 a c )
(
b d (
)
- - -
là kho ng cách gi a hai đi m ể (a, b) và (c,d). ữ ả
ạ
0.3 D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
Tìm t ấ ả
|
z
= i 2 3 | 5
Gi
iả
t c các s ph c z th a ỏ ố ứ - +
- + | z = 2 3 | 5 i
đ
ng tròn tâm (2,-3) bán kính b ng 5.
ườ
ằ
= (cid:219) - - | z (2 3 ) | 5 i
0.2 D ng l ạ ượ ủ ố ứ ng giác c a s ph c
---------------------------------------------------------------------------- Đ nh nghĩa argument c a s ph c ủ ố ứ ị
j Góc đ là arg( )
c g i là argument c a s ph c c ký hi u ủ ố ứ z và đ ượ ệ
ượ ọ .j=z
L u ý.ư j Góc đ c gi i h n trong kho ng ượ ớ ạ ả
£ < j
0
p 2
- < £ j p p ho cặ
Công th c tìm argument c a s ph c. ủ ố ứ ứ
2
2
(cid:236) j cos (cid:239) a 2 a = = r (cid:239) + a b ho cặ (cid:237) tgj = b a (cid:239) j sin (cid:239) b 2 b = = r + (cid:238) a b
0.2 D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
= + Tìm argument c a s ph c z 3 i . ủ ố ứ
Gi
j iả = = . Ta tìm góc th a: ỏ a 3; 1 b
= = j c os = p j = Suy ra
=
=
j sin =
6
3 2 1 2 a r b r
V y arg( ậ
3 + 3 1 1 + 3 1 p z) = 6
ng giác c a s ph c 0.2 D ng l ạ ượ ủ ố ứ
2
2
= +
+
>
z
a bi a ;
b
0
2
2
=
+
+
z
a
b
(
i
)
2
2
a + 2
b + 2
a
b
a
b
=
j
+
j
z
(cos
r
i sin )
+
j (cos
j sin )
= z r
i
D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
0.2 D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
= - + 1 i 3. Tìm d ng l z ng giác c a s ph c ạ ượ ủ ố ứ
2
2
Gi iả
+
=
r Môđun:
= |
= |
z
a
b
2.
= - a 1; = b 3.
- - = = = = j sin = j c os = b r 3 2 3 + 3 1 Argument: a r 1 2 1 + 3 1
j = Suy ra
= - + 1
i
= 3 2(cos
i
sin
)
z ng giác:
p 2 3
p 2 + 3
p 2 3
D ng l ạ ượ
ng giác c a s ph c 0.2 D ng l ạ ượ ủ ố ứ
1
2
1
2
2
= j + = (cos j sin i ); z j (cos + j i sin ) z 1 r 1 r 2
S b ng nhau gi a hai s ph c ng giác ố ứ ở ạ ự ằ ữ ượ
d ng l = (cid:236)
2
1
= (cid:219) (cid:237) z z 1 r 1 = j j k (cid:238) r 2 + p 2 2
Phép nhân d ng l ng giác ở ạ ượ
2
2
2
= (cid:215) z j (cos( + ) j j sin( i )) z 1 r r 1 2 + j 1 + 1
ng giác: môđun nhân v i nhau ố ượ ớ
Nhân hai s ph c và argument c ng l d ng l ứ ở ạ ạ . i ộ
0.2 D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
Tìm d ng l ạ ượ ng giác, môđun và argument c a s ph c ủ ố ứ
z
= + (1
i
)(1
i
3).
-
Gi iả
z
= + (1
i
)(1
i
3)
p
-
=
+
+
- -
z
c 2( os
p p in ) 2( os
c
is
p is in
)
4
4
3
p
p
3 p
(cid:215)
+
+
=
+
)
is
p in(
z
c 2 2[ os(
)]
3
4
3
p
4 p
- -
=
+
).
2 2( os
c
is
in
z ng giác:
- -
12
12
D ng l ạ ượ
ng giác c a s ph c 0.2 D ng l ạ ượ ủ ố ứ
1
2
1
2
2
= j + = (cos j sin i ); z j (cos + j i sin ) z 1 r 1 r 2
2
„ (cid:219) z 0 > 0. r 2
ng giác
1
2
1
2
d ng l j = - - + ) ượ j j sin( i ))
2
z 1 z Phép chia hai s ph c ố ứ ở ạ r j 1 (cos( r 2
d ng l ng giác: môđun chia cho nhau và ố ứ ở ạ ượ
Chia hai s ph c argument tr raừ .
0.2 D ng l ạ ượ ng giác c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
Tìm d ng l ạ ượ
2
=
z
.
-
i + 3
- ng giác, môđun và argument c a s ph c ủ ố ứ 12 i
+
p sin
i
4(cos
)
Gi iả
=
=
z
-
i 2 2 3 + i 3
+
2(cos
i
sin
)
- 3 p 5 6
p
=
+
z
2[cos(
-
i
)
p - 3 p 5 6 p sin(
)]
-
p - 3
p 5 6
5 6
-
=
+
c 2( os
is
in
).
z ng giác:
- -
- 3 p 7 6
p 7 6
D ng l ạ ượ
ạ
0.3 D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ
=
j
+
j ie
cos
j sin
i
= +
a bi
z
Đ nh lý Euler (1707-1783) ị
=
j
+
D ng đ i s c a s ph c z ạ ố ủ ố ứ ạ
z
r
(cos
j sin )
i
j i
ng giác c a s ph c ủ ố ứ ượ
=
z
re
D ng l ạ z D ng mũ c a s ph c z ủ ố ứ ạ
ạ
0.3 D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
Tìm d ng mũ c a s ph c sau ủ ố ứ ạ
= -
z
+ 3
i
=
+
2(cos
ng giác:
z
i
D ng l ạ
ượ
p 5 6
p 5 sin ) 6
=
p 5 i 62 e
z
D ng mũ:
ạ
ạ
0.3 D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
+
j i
2
=
j
Bi u di n các s ph c sau lên m t ph ng ph c ứ ố ứ ể ễ ặ ẳ
z
e
;
R
+
j 2(cos
j sin )
= z e
i
Môđun không thay đ i, suy ra t p h p các đi m là đ
ng tròn.
ậ ợ
ể
ổ
ườ
˛
ạ
0.3 D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ
Ví dụ
+
a
=
Bi u di n các s ph c sau lên m t ph ng ph c ứ ố ứ ể ễ ặ ẳ
e
z
i 3 ;
a R
+
(cos3
sin3)
= a z e
i
ử
ể
ổ
Argument không thay đ i, suy ra t p h p các đi m là n a đ
ng th ng n m trong góc ph n t
ậ ợ th 2.
ầ ư ứ
ườ
ẳ
ằ
˛
ố ứ
ừ 0.4 Nâng s ph c lên lũy th a
Đ nh nghĩa phép nâng s ph c lên lũy th a b c n ố ứ ừ ậ ị
2
2
= + z a bi
2 + )
3
3
3
2
3
+ - z = (cid:215) = z z + a bi a bi )( = ) ( ( a b (2 ab i )
2 a bi 3
= = + + + = z + a bi ( ) a a bi 3 ( ) ( bi ) ...
n
n
n
n
1
n
2
2
n
0 C a n
1 C a n
2 n
n C bi ( n
- - = = + z + a bi ( ) + bi C a ) ( ( bi ) + + ... )
nz
= + A iB
ố ứ
Ví dụ. Cho z = 2 + i. Tính z5.
5
5
=
+
=
z
2(
i
)
4
=
+
+
++
+
=
50 C 2 5
41 C 2 5
+ 232 Ci i 2 5
323 C i 2 5
4 iC 2 5
55 iC 5
=
+
+
+
+
ừ 0.3 Nâng s ph c lên lũy th a
32
.16.5 i
)1.(8.10
.(4.10
i
1.2.5)
=+ i
-=
38 +
i41
- -
ố ứ
ừ 0.3 Nâng s ph c lên lũy th a --------------------------------------------------------------
5
4
Lũy th a b c n c a s ph c ủ ố ứ i: ừ ậ
i =(cid:215)=(cid:215)= i 1 i i i
6
2
i =1 i
(cid:215)= -= - i (cid:215)= 4 i i )1(1 1
7
-=i 2 1
3
2
8
4
4
2
-= - i (cid:215)= 4 i (cid:215)= (13 i i ) i i -=(cid:215)= i i )1( -=(cid:215) i i
=(cid:215)= i (cid:215)= 4 i i 111 -= = - (cid:215) i (cid:215)= 2 i i 1)1()1(
Lũy th a b c n c a ừ ậ ủ i
nhiên, khi đó ả ử n là s t ố ự in = ir, v i ớ r là ph n d c a ầ ư ủ n
Gi s chia cho 4.
ạ
0.3 D ng mũ c a s ph c ủ ố ứ
=z
1987 i
Ví dụ
= (cid:215)
+
1987 4 496 3
1987
z i=
+
Tính
=
=
= -
4496 3 i
3 i
i
(cid:215)
ố ứ
Ví dụ
Cho z = 1 + i.
a) Tìm z3; b) Tìm z100.
= +
= +
+
+
3 ) a z
3 (1 ) i
3 i
= +
ừ 0.3 Nâng s ph c lên lũy th a
2 1 3 3i i 1 3 3 i
i
z
= - +
2 2
i
z
) Tính töông töï raát phöùc taïp. Ta söû duïng caùch khaùc
b
- -
ố ứ
=
j sin )
j (cos
= + z a bi
i
r
= (cid:215) =
+
j 2(cos2
j sin2 )
2 z
z z r
i
2
=
+
j 3(cos3
j sin3 )
3 z
(cid:215) = z z r
i
ừ 0.3 Nâng s ph c lên lũy th a +
1
=
+
(cos
n z
n z
(cid:215) = n z r
j n
j sin ) n
i
-
ứ
n
Công th c De Moivre Cho r > 0, cho n là s t
j
+
n sin )]
r
i
r [ (cos
n
j sin
i
n
)
ố ự j + nhiên. Khi đó = j (cos
ố ứ
Ví dụ. S d ng công th c de Moivre’s, tính:
ử ụ
ứ
200
ừ 0.3 Nâng s ph c lên lũy th a
a) (1 + i)25
b)
1(
i+
)3
-
c)
20
+
3( 12
(
17 i ) )2 i
Gi
iả .
ng giác
ế
ượ
d ng l p
ướ . Vi a) B c 1 =+=
t 1 + i ở ạ p +
1
i
sin
)
2
(cos
z
i
4
4
B c 2
ử ụ p
ứ 25
25
=
+
+
)2(
(cos
(cos
2[
sin
)]
i
z
)
i
4
p 25 4
ướ . S d ng công th c de Moivre’s: p p 25 = 25 4 p
sin p
25
=
+
z
212
2
(cos
i
sin
)
B c 3
ướ . Đ n gi n ả
4 ơ
4
4
-
Đ nh nghĩa căn b c n c a s ph c ủ ố ứ ậ
ị
ậ
ố ứ w, sao cho wn = z,
trong đó n là s t
nhiên.
Căn b c n c a s ph c z là s ph c ủ ố ứ ố ự
ố ứ 0.4 Khai căn s ph c
= + = j + z a bi r (cos i
n
n
n
k
j sin ) + j + p k = j + = = + z r (cos j sin ) i r (cos z j sin i )
v i ớ k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Căn b c n c a s ph c z
có đúng n nghi m phân bi
ủ ố ứ
ậ
ệ
ệ . t
p 2 k n 2 n
ố ứ 0.4 Khai căn s ph c
ể ể
Ví d . ụ Tìm căn b c n c a các s ph c sau. Bi u di n các ậ nghi m lên trên m t ph ng ph c. ố ứ ứ ệ ặ
3 8
8 16 i i+ 1
c) b) ủ ẳ 4 3 + i a)
6
+ i
d) 5 12i+ 1 2i+ e) f) - 1 3 i
Gi i câu a) ả
= + 8 8(cos 0 i sin 0) b) Vi t s ph c d ng l ng giác: ế ố ứ ở ạ ượ
S d ng công th c: ử ụ ứ
3
k
p k + = = + 8(cos 0 i sin 0) 2(cos z i sin )
+ p 0 2 k 3
+ 0 2 3 k = 0,1, 2.
ố ứ 0.4 Khai căn s ph c Gi i câu b) ả
p
+ 3 + = i 2(cos i b) Vi t s ph c d ng l ng giác: ế ố ứ ở ạ ượ
6 p sin ) 6
S d ng công th c: ử ụ ứ
4
4
k
p p + p + 2 k p k 2 p 6 6 + = = + 2(cos i z 2(cos i sin )
6 p sin ) 6 4
1 z•
0 z•
2 z•
3 z•
4 =k 0,1, 2,3.
0.5 Đ nh lý c b n c a Đ i s ơ ả ủ ị ạ ố
ứ ọ
Nhà bác h c ng ch ng minh r ng m i đa th c có ít nh t m t nghi m. ứ i Đ c Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ộ ườ ọ ứ ệ ấ ằ
ệ ộ
S nghi m c a m t đa th c ứ ủ ố Đa th c ứ P(z) b c n có đúng n nghi m k c nghi m b i. ể ả ệ ệ ậ ộ
ơ ả ủ ạ ố ị
0.5 Đ nh lý c b n c a Đ i s
t đ ơ ả ệ
c s nghi m c a ủ ng trình mà không ch cách tìm các nghi m đó nh th ư ế ế ượ ố ệ ạ ố ỉ
Đ nh lý c b n c a Đ i s cho bi ị ủ ph ươ nào.
ứ v i h s th c ớ ệ ố ự , chúng ta có m t h qu r t quan ộ ệ ả ấ
N u đa th c tr ng sau đây ế ọ
ộ ứ P(z) v i ớ h s ệ ố
H quệ ả N u ế a + bi là m t nghi m ph c c a đa th c th cự , thì a – bi cũng là m t nghi m ph c. ứ ủ ệ ệ ộ ứ
0.5 Đ nh lý c b n c a Đ i s ơ ả ủ ị ạ ố
Ví dụ
ử ụ
ệ ố ự nh n ậ z1 = 3i và z2 = 2+i
(s d ng h qu c a đ nh lý c b n) ơ ả ệ ả ủ ị 1) Tìm đa th c ứ b c 3ậ v i ớ h s th c làm nghi m.ệ
ệ ố ự nh n ậ z1 = 3i và z2 = 2+i
2) Tìm đa th c ứ b c 4ậ v i ớ h s th c làm nghi m.ệ
1) Không t n t i đa th c th a yêu c u bài toán. ồ ạ ứ ầ ỏ
)(
)
( )( z z z z z z z z 1 2
)( 1
=
- - - - 2) Đa th c c n tìm là: ứ ầ = ( ) P z
2 + (2 ))(
(2 ))
i z
i
( ) P z
( z
+ 3 )( i z
=
+
- - - -
9)(
4
5)
( ) P z
2 ( z
2 z
3 )( i z + z
-
0.5 Đ nh lý c b n c a Đ i s ơ ả ủ ị ạ ố
Ví dụ
3
2
+
+
ử ụ ệ ả ủ ị
zP )(
14
36
4
z
z
z
- - ơ ả = 4 z 45 t c các nghi m c a ấ ả ệ
(s d ng h qu c a đ nh lý c b n) Tìm t bi ủ t ế 2 + i là m t nghi m. ộ ệ
iả . B i vì đa th c v i h s th c và 2 + i là m t nghi m, ộ ệ
(z – (2 + i))(z - (2 – i)) = Gi ứ ớ ệ ố ự ở theo h qu ta có 2 –i là m t nghi m. ộ ệ ả ể
ệ P(z) có th phân tích thành = z2 – 4z + 5
d ng ể ở ạ
P(z) có th ghi P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)
z2 + 9 có hai nghi m 3i và –3i. V y ta tìm đ c c 4 ệ ậ ượ ả
nghi m c a ủ P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. ệ
0.5 Đ nh lý c b n c a Đ i s ơ ả ủ ị ạ ố
Ví dụ
0
9 z
i+ =
p
Gi i ph ng trình sau trong C. ả ươ
(cid:219) = -
9 cos
sin
9z
i= -
9z
i
(cid:219) = z
i
p + 2
2
p
p
- -
+
+
k
p 2 k
2
2
p 2 +
- -
cos
sin
i
= z k
9
9
0,1,...,8.
k =
(cid:222)
0.5 Đ nh lý c b n c a Đ i s ơ ả ủ ị ạ ố
Ví dụ. Gi ả
i
0
z 2
ng trình sau trong C. ươ = a)
2
b)
z 4 z z
z
0
2
+
c) d) i các ph -+ 15 =++ z 01 + z =+ 2 02 + -+ = 2 1 i
bz
=+ c
0
Gi i ph iả . Gi ả ươ
az 2 -
ac
ng trình =D B c 1 ướ . Tính
D=
- B c 2 ướ . Tìm
b
2,1
1
2
- -
b 4 2 4 ac + D b 2 a
= = ướ . B c 3 ; z 2 z 1
=D + D b 2 a
ế ậ
K t lu n
ạ
+= a
1. D ng Đ i s c a s ph c ạ ố ủ ố ứ z bi
2. D ng L ạ ượ
n
n
= + ng giác c a s ph c ủ ố ứ j j z i ) (cos sin r
n )]
3. Nâng lên lũy th aừ = + j j = j + j [ r (cos z i sin r (cos n i sin n )
n
n
j + j + p k p k ậ n = + = = + 4. Căn b c n c a s ph c ủ ố ứ j j i (cos ) sin r z z r (cos i sin )
=
k ,...,3,2,1
n
k
.1
2 n 2 n -
