ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2002

Chia sẻ: Bui Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

4.589
lượt xem 111
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học, cao đẳng - ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2002.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2002

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ------------------------------------- m«n to¸n khèi A C©u ý Néi dung §H C§ ∑1 ,0 ® ∑1 ,5 ® m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2 I 1 x = 0 y' = 0 ⇔  1 TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) , 0,25 ® 0,5®  x2 = 2 y" = −6 x + 6 = 0, y" = 0 ⇔ x = 1 B¶ng biÕn thiªn −∞ +∞ x 0 1 2 + − − y' 0 0 0,5 ® 0,5 ® + − y" 0 +∞ y lâm U 4 CT 2 C§ −∞ 0 låi x = 0 y=0⇔ y (−1) = 4 , x = 3 §å thÞ: y 4 0,25 ® 0,5 ® 2 1 2 3 0 -1 x ( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 1
∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = −k 3 + 3k 2 . I 2 §Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3 x 2 = a cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4 0,25 ® 0,25 ®  −1 < k < 3 0≠k 0 2 C¸ch II. Ta cã ----------- ----------- [ − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0 0,25® cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0 0,25 ® cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k  −1 < k < 3  ∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0 0,25 ® ⇔ 2 ⇔ 0,25 ® k ≠ 0 ∧ k ≠ 2 k + k − 3k + k − 3k ≠ 0 2 2 ∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ® 3 C¸ch I.  x = m −1 0,25 ® 0,25 ® y' = 0 ⇔  1 y ' = −3 x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,  x2 = m + 1 Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i 0,25 ® 0,25 ® x1 vµ x 2 . y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ ( ) ( ) 0,25 ® 0,25 ® M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2 vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2 lµ: x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2 0,25 ® 0,25 ® = ⇔ y = 2x − m2 + m 2 4 ---------- ----------- C¸ch II. y = −3 x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 , ' 2 Ta thÊy ∆' = 9m 2 + 9(1 − m 2 ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2 0,25 ® 0,25 ® vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 . Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 ( ) 1 m =  x −  − 3x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m. 0,25 ® 0,25® 3 3 Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m . 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m . ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® II 1. Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0 2 2 3 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã 2 t = −3 0,25 ® 0,5 ® ⇔1 t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 .  t2 = 2 2
t 2 = 2 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ± 0,25 ® 0,5 ® t1 = −3 (lo¹i) , 2 3 x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 . (ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c) ∑1,0 ® ∑1,0 ® 2. log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2) 2 2 3 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã 2 t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0 0,25 ® 0,25 ® (3) x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 3 x + 1 ≤ 2. 2 VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t 0,25 ® 0,25 ® ----------- ---------- C¸ch 1. Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 . Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2] 0,25 ® 0,25 ®  f (1) ≤ 2m + 2 2 ≤ 2 m + 2 ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.  f (2) ≥ 2m + 2 2 m + 2 ≤ 6 0,25 ® 0,25 ® C¸ch 2. TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 , t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 . t +t 1 Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m . 0,25 ® 0,25 ® 2 2 TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 , t 2 tháa m·n t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2 ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® (ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c ) ∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ® III 1. cos 3 x + sin 3x   1 5  sin x +  = cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ − 0,25 ® 0,25 ® 1 + 2 sin 2 x  2   sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x  cos 3x + sin 3 x   Ta cã 5  sin x +  = 5  1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x     sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x   (2 sin 2 x + 1) cos x   =5  = 5 cos x =5  1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x    0,25 ® 0,25 ® VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0 2 π 1 cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ). 0,25 ® 0,25 ® 2 3 3
π 5π V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = vµ x 2 = . Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu 3 3 0,25 ® 0,25 ® π 5π 1 kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 = vµ x 2 = . 2 3 3 (ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c) 2. y ∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ® 8 3 1 0 -1 1 2 5 3 x -1 Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5. MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy 0,25 ® 0,25 ® 5 1 3 ( ) ( ) ( ) S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx 0 0 1 5 ( ) + ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx 0,25 ® 0,25 ® 3 1 3 5 ( ) ( ) ( ) S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx 2 2 0 1 3 1 3 5 1 5 1  1 5 3 S =  − x3 + x 2  +  x3 − x 2 + 6x  +  − x3 + x 2  0,25 ® 0,25 ® 3 2 0 3 2 1  3 2 3 13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 0,25® 0,25® 6 3 3 6 (NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] ) ∑1 ® ∑1 ® IV 1. 4
S N I 0,25 ® 0,25 ® M C A K B Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt 1 a ⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN . 2 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN ⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN . (SBC )⊥( AMN )  (SBC ) ∩ ( AMN ) = MN 0,25 ® 0,25 ®  ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK . MÆt kh¸c  AI ⊂ ( AMN )   AI⊥MN  a3 Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK = . 2 3a 2 a 2 a 2 SK = SB − BK = − = 2 2 2 4 4 2 2 3a 2 a 2 a 10  SK  ⇒ AI = SA − SI = SA −  = − = 2 2 2 . 2 4 8 4 0,25 ® 0,25 ® a 2 10 1 = MN . AI = S ∆AMN Ta cã (®vdt) 2 16 0,25 ® 0,25 ® chó ý 1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI . 2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é: Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho   −a 3   −a 3  a a K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ;h    2 2 2 6    trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S . ABC . 5
∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 2a) C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 cã d¹ng: α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 ) ⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0 0,25 ® 0,5 ® r r VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2 rr α − β = 0  n P .u 2 = 0 0,25 ® 0,5 ® (P ) // ∆ 2 ⇔  VËy (P ) : 2 x − z = 0 ⇔ M 2 (1;2;1) ∉ (P )  M 2 ∉ (P ) ----------- ----------- Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ 1 sang d¹ng tham sè nh− sau: C¸ch II  x = 2t '  Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 :  y = 3t '−2  z = 4t '  r ⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 . (Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0 r −2 1 1 1 1 −2  2 − 2 ; − 2 1 ; 1 2  = (2;3;4) ). vµ tÝnh u1 =     r Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng ( P) lµ : 0,25 ® 0,5 ® r rr n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) ®i qua M 1 (0;−2;0 ) r vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 . 0,25 ® 0,5 ® MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0 ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 2b) b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) 0,25 ® 0,5 ® ⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5 2 2 2 2 2 0,25 ® 0,5 ® t = 1 ⇒ H (2;3;3) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ----------- ----------- C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) . 0,25 ® 0,5 ® r MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4) 0,25 ® 0,5 ® ∑1 ® V 1. Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ ( ) xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 .  1  xG = 3 ( x A + x B + x C )  2a + 1 3 (a − 1)  ta cã G . 3; Tõ c«ng thøc  0,25 ®  1 3  yG = ( y A + y B + yC )    3 C¸ch I. Ta cã : AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã 6
1 3 (a − 1)2 . S ∆ABC = AB. AC = 0,25 ® 2 2 3 (a − 1) 2 | a −1| 2S r= = = 2. Ta cã = AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 | 3 +1 0,25 ® | a − 1 |= 2 3 + 2. VËy 7+4 3 6+2 3 TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1   ;  3 3    − 4 3 −1 − 6 − 2 3  TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2  . ;   0,25 ® 3 3   ----------- C¸ch II. y C I O B A x Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 . x −1 Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) = ⇒ xI = 1 ± 2 3 . 0,25 ® 3 TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2 7+4 3 6+2 3 ⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1   ; 0,25 ®  3 3   TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù  − 4 3 −1 − 6 − 2 3  ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2   ;   3 3 0,25 ®   ∑1 ® 2. C n = 5C n ta cã n ≥ 3 vµ 3 1 Tõ 7
n(n − 1)(n − 2) n! n! =5 ⇔ = 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 0,25 ® 3!(n − 3)! (n − 1)! 6 ⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n2 = 7. 0,25 ® Víi n = 7 ta cã 3 4  −3x   x2 1  −  2  = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4. 2  3 C    7 0,5 ®     8