ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - KỲ THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2002

Chia sẻ: Phạm Vũ Long | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

165
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đáp án môn toán - kỳ thi đại học khối a năm 2002', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - KỲ THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2002

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ------------------------------------- m«n to¸n khèi A C©u ý Néi dung §H C§ ∑1 ,0 ® ∑1 ,5 ® m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2 I 1 x = 0 y' = 0 ⇔  1 TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) , 0,25 ® 0,5®  x2 = 2 y" = −6 x + 6 = 0, y" = 0 ⇔ x = 1 B¶ng biÕn thiªn −∞ +∞ x 0 1 2 + − − y' 0 0 0,5 ® 0,5 ® + − y" 0 +∞ y lâm U 4 CT 2 C§ −∞ 0 låi x = 0 y=0⇔ y (−1) = 4 , x = 3 §å thÞ: y 4 0,25 ® 0,5 ® 2 1 2 3 0 -1 x ( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 1
∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = −k 3 + 3k 2 . I 2 §Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3 x 2 = a cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4 0,25 ® 0,25 ®  −1 < k < 3 0≠k 0 2 C¸ch II. Ta cã ----------- ----------- [ − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0 0,25® cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0 0,25 ® cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k  −1 < k < 3  ∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0 0,25 ® ⇔ 2 ⇔ 0,25 ® k ≠ 0 ∧ k ≠ 2 k + k − 3k + k − 3k ≠ 0 2 2 ∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ® 3 C¸ch I.  x = m −1 0,25 ® 0,25 ® y' = 0 ⇔  1 y ' = −3 x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,  x2 = m + 1 Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i 0,25 ® 0,25 ® x1 vµ x 2 . y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ ( ) ( ) 0,25 ® 0,25 ® M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2 vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2 lµ: x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2 0,25 ® 0,25 ® = ⇔ y = 2x − m2 + m 2 4 ---------- ----------- C¸ch II. y = −3 x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 , ' 2 Ta thÊy ∆' = 9m 2 + 9(1 − m 2 ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2 0,25 ® 0,25 ® vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 . Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 ( ) 1 m =  x −  − 3x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m. 0,25 ® 0,25® 3 3 Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m . 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m . ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® II 1. Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0 2 2 3 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã 2 t = −3 0,25 ® 0,5 ® ⇔1 t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 .  t2 = 2 2
t 2 = 2 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ± 0,25 ® 0,5 ® t1 = −3 (lo¹i) , 2 3 x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 . (ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c) ∑1,0 ® ∑1,0 ® 2. log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2) 2 2 3 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã 2 t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0 0,25 ® 0,25 ® (3) x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 3 x + 1 ≤ 2. 2 VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t 0,25 ® 0,25 ® ----------- ---------- C¸ch 1. Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 . Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2] 0,25 ® 0,25 ®  f (1) ≤ 2m + 2 2 ≤ 2 m + 2 ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.  f (2) ≥ 2m + 2 2 m + 2 ≤ 6 0,25 ® 0,25 ® C¸ch 2. TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 , t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 . t +t 1 Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m . 0,25 ® 0,25 ® 2 2 TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 , t 2 tháa m·n t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2 ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® (ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c ) ∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ® III 1. cos 3 x + sin 3x   1 5  sin x +  = cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ − 0,25 ® 0,25 ® 1 + 2 sin 2 x  2   sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x  cos 3x + sin 3 x   Ta cã 5  sin x +  = 5  1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x     sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x   (2 sin 2 x + 1) cos x   =5  = 5 cos x =5  1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x    0,25 ® 0,25 ® VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0 2 π 1 cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ). 0,25 ® 0,25 ® 2 3 3
π 5π V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = vµ x 2 = . Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu 3 3 0,25 ® 0,25 ® π 5π 1 kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 = vµ x 2 = . 2 3 3 (ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c) 2. y ∑1 ,0 ® ∑1 ,0 ® 8 3 1 0 -1 1 2 5 3 x -1 Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5. MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy 0,25 ® 0,25 ® 5 1 3 ( ) ( ) ( ) S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx 0 0 1 5 ( ) + ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx 0,25 ® 0,25 ® 3 1 3 5 ( ) ( ) ( ) S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx 2 2 0 1 3 1 3 5 1 5 1  1 5 3 S =  − x3 + x 2  +  x3 − x 2 + 6x  +  − x3 + x 2  0,25 ® 0,25 ® 3 2 0 3 2 1  3 2 3 13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 0,25® 0,25® 6 3 3 6 (NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] ) ∑1 ® ∑1 ® IV 1. 4
S N I 0,25 ® 0,25 ® M C A K B Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt 1 a ⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN . 2 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN ⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN . (SBC )⊥( AMN )  (SBC ) ∩ ( AMN ) = MN 0,25 ® 0,25 ®  ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK . MÆt kh¸c  AI ⊂ ( AMN )   AI⊥MN  a3 Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK = . 2 3a 2 a 2 a 2 SK = SB − BK = − = 2 2 2 4 4 2 2 3a 2 a 2 a 10  SK  ⇒ AI = SA − SI = SA −  = − = 2 2 2 . 2 4 8 4 0,25 ® 0,25 ® a 2 10 1 = MN . AI = S ∆AMN Ta cã (®vdt) 2 16 0,25 ® 0,25 ® chó ý 1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI . 2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é: Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho   −a 3   −a 3  a a K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ;h    2 2 2 6    trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S . ABC . 5
∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 2a) C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 cã d¹ng: α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 ) ⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0 0,25 ® 0,5 ® r r VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2 rr α − β = 0  n P .u 2 = 0 0,25 ® 0,5 ® (P ) // ∆ 2 ⇔  VËy (P ) : 2 x − z = 0 ⇔ M 2 (1;2;1) ∉ (P )  M 2 ∉ (P ) ----------- ----------- Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ 1 sang d¹ng tham sè nh− sau: C¸ch II  x = 2t '  Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 :  y = 3t '−2  z = 4t '  r ⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 . (Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0 r −2 1 1 1 1 −2  2 − 2 ; − 2 1 ; 1 2  = (2;3;4) ). vµ tÝnh u1 =     r Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng ( P) lµ : 0,25 ® 0,5 ® r rr n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) ®i qua M 1 (0;−2;0 ) r vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 . 0,25 ® 0,5 ® MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0 ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 2b) b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) 0,25 ® 0,5 ® ⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5 2 2 2 2 2 0,25 ® 0,5 ® t = 1 ⇒ H (2;3;3) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ----------- ----------- C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) . 0,25 ® 0,5 ® r MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4) 0,25 ® 0,5 ® ∑1 ® V 1. Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ ( ) xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 .  1  xG = 3 ( x A + x B + x C )  2a + 1 3 (a − 1)  ta cã G . 3; Tõ c«ng thøc  0,25 ®  1 3  yG = ( y A + y B + yC )    3 C¸ch I. Ta cã : AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã 6
1 3 (a − 1)2 . S ∆ABC = AB. AC = 0,25 ® 2 2 3 (a − 1) 2 | a −1| 2S r= = = 2. Ta cã = AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 | 3 +1 0,25 ® | a − 1 |= 2 3 + 2. VËy 7+4 3 6+2 3 TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1   ;  3 3    − 4 3 −1 − 6 − 2 3  TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2  . ;   0,25 ® 3 3   ----------- C¸ch II. y C I O B A x Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 . x −1 Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) = ⇒ xI = 1 ± 2 3 . 0,25 ® 3 TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2 7+4 3 6+2 3 ⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1   ; 0,25 ®  3 3   TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù  − 4 3 −1 − 6 − 2 3  ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2   ;   3 3 0,25 ®   ∑1 ® 2. C n = 5C n ta cã n ≥ 3 vµ 3 1 Tõ 7
n(n − 1)(n − 2) n! n! =5 ⇔ = 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 0,25 ® 3!(n − 3)! (n − 1)! 6 ⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n2 = 7. 0,25 ® Víi n = 7 ta cã 3 4  −3x   x2 1  −  2  = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4. 2  3 C    7 0,5 ®     8