Đáp án, thang điểm đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn: Toán - Khối B

Chia sẻ: Ngọc Khánh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn và quý thầy cô hãy tham khảo đáp án, thang điểm đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn "Toán - Khối B" sau đây nhằm giúp các em củng cố kiến thức của mình và thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc ra đề thi. Chúc các em thành công và đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án, thang điểm đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn: Toán - Khối B

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 1, ta có: y = x3 − 3x 2 + 3 . • Tập xác định: D = \. 0,25 • Sự biến thiên: − Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Các khoảng đồng biến: (− ∞; 0) và (2; + ∞) , khoảng nghịch biến: (0; 2). − Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −1. 0,25 − Giới hạn: lim y = −∞ và lim y = + ∞. x→−∞ x→+ ∞ − Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 – 0 + 3 +∞ 0,25 y −∞ –1 • Đồ thị: y 3 0,25 2 O x −1 b) (1,0 điểm) y ' = 3 x 2 − 6mx; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2m. 0,25 Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 0 (*). Các điểm cực trị của đồ thị là A(0; 3m3 ) và B (2m; − m3 ). 0,25 Suy ra OA = 3 | m3 | và d ( B, (OA)) = 2 | m | . S ∆OAB = 48 ⇔ 3m4 = 48 0,25 ⇔ m = ± 2, thỏa mãn (*). 0,25 Trang 1/4
2 Phương trình đã cho tương đương với: cos 2 x + 3 sin 2 x = cos x − 3 sin x 0,25 (1,0 điểm) ( π ⇔ cos 2 x − = cos x + 3 π 3 ) ( ) 0,25 π π ( ) ⇔ 2 x − = ± x + + k 2π (k ∈]). 3 3 0,25 2π 2π ⇔ x= + k 2π hoặc x = k (k ∈]). 0,25 3 3 3 Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2 − 3 hoặc x ≥ 2 + 3 (*). (1,0 điểm) Nhận xét: x = 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0,25 1 1 Với x > 0, bất phương trình đã cho tương đương với: x+ + x + − 4 ≥ 3 (1). x x ⎡3 − t < 0 1 Đặt t = x + (2), bất phương trình (1) trở thành t − 6 ≥ 3 − t ⇔ ⎢⎢⎧3 − t ≥ 0 2 0,25 ⎢⎣⎩⎨t 2 − 6 ≥ (3 − t ) 2 x 5 1 5 1 ⇔ t ≥ . Thay vào (2) ta được x+ ≥ ⇔ x ≥ 2 hoặc x≤ 0,25 2 x 2 2 1 ⇔0< x≤ hoặc x ≥ 4. Kết hợp (*) và nghiệm x = 0, ta được tập nghiệm của bất phương 4 0,25 1 trình đã cho là: ⎡⎢0; ⎤⎥ ∪ [4; +∞). ⎣ 4⎦ 4 Đặt t = x 2 , suy ra dt = 2 xdx. Với x = 0 thì t = 0; với x =1 thì t =1. 0,25 (1,0 điểm) 1 1 1 x 2 .2 xdx 1 td t Khi đó I = ∫ = ∫ 2 ( x 2 +1)( x 2 + 2) 2 (t +1)(t + 2) 0,25 0 0 ∫( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 = − dt = ln|t + 2| − ln|t +1| 0,25 2 t + 2 t +1 2 0 0 3 = ln3 − ln2. 0,25 2 5 S Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC. Ta có (1,0 điểm) 0,25 AB ⊥ CD và AB ⊥ SO nên AB ⊥ ( SCD ), do đó AB ⊥ SC . Mặt khác SC ⊥ AH , suy ra SC ⊥ ( ABH ). 0,25 a 3 a 3 a 33 H Ta có: CD = , OC = nên SO = SC 2 −OC 2 = . 2 3 3 0,25 SO.CD a 11 1 11a 2 Do đó DH = = . Suy ra S ∆ABH = AB.DH = . SC 4 2 8 A C 7a O Ta có SH = SC − HC = SC − CD 2 − DH 2 = . D 4 0,25 1 7 11a 3 B Do đó VS . ABH = SH .S ∆ABH = . 3 96 Trang 2/4
6 Với x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1, ta có: (1,0 điểm) 1 0 = ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x( y + z ) + 2 yz =1− 2 x 2 + 2 yz , nên yz = x 2 − . 2 0,25 y 2 + z 2 1 − x2 1 1 − x 2 6 6 Mặt khác yz ≤ = , suy ra: x 2 − ≤ , do đó − ≤ x≤ (*). 2 2 2 2 3 3 Khi đó: P = x5 + ( y 2 + z 2 )( y 3 + z 3 ) − y 2 z 2 ( y + z ) 12 ( = x5 + (1− x 2 ) ⎡⎣( y 2 + z 2 )( y + z ) − yz ( y + z )⎤⎦ + x 2 − 2 x ) 0,25 ⎣⎢ ( ) ( ) 1 = x5 + (1− x 2 )⎡− x(1− x 2 ) + x x 2 − ⎤ + x 2 − 2 ⎦⎥ 1 2 2 5 x = (2 x3 − x). 4 ⎡ 6 6⎤ 6 Xét hàm f ( x) = 2 x3 − x trên ⎢ − ; 2 ⎥ , suy ra f '( x) = 6 x − 1; f '( x) = 0 ⇔ x = ± . ⎢⎣ 3 3 ⎦⎥ 6 ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6 ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6 6 Ta có f ⎜ − ⎟= f ⎜ ⎟=− , f ⎜ ⎟ = f ⎜− ⎟ = . Do đó f ( x) ≤ . 0,25 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 9 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 9 9 5 6 Suy ra P ≤ . 36 6 6 5 6 Khi x = , y = z =− thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là . 0,25 3 6 36 7.a (C1) có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn (C) (C) (1,0 điểm) cần viết phương trình, ta có AB ⊥ OI . Mà AB ⊥ d và 0,25 A d O ∉ d nên OI//d, do đó OI có phương trình y = x. I Mặt khác I ∈ (C2 ), nên tọa độ của I thỏa mãn hệ: B ⎧⎪ y = x ⎧x = 3 0,25 ⎨ 2 2 ⇔⎨ ⇒ I (3;3). ⎪⎩x + y −12 x +18 = 0 ⎩ y = 3 (C1) Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R = d ( I , d ) = 2 2. 0,25 (C2) Vậy phương trình của (C) là ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 8. 0,25 8.a Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S). (1,0 điểm) 0,25 Do I ∈ d nên tọa độ của điểm I có dạng I (1+ 2t ; t ; − 2t ). Do A, B∈( S ) nên AI = BI , suy ra (2t −1) 2 + (t −1) 2 + 4t 2 = (2t + 3) 2 + (t −3) 2 + (2t + 2) 2 ⇒ t =−1. 0,25 Do đó I (−1; − 1; 2) và bán kính mặt cầu là IA = 17. 0,25 Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 17. 0,25 9.a 4 (1,0 điểm) Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là C25 =12650. 0,25 1 Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là C15 .C103 + C152 .C102 + C153 .C10 1 0,25 = 11075. 0,25 11075 443 Xác suất cần tính là P = = . 0,25 12650 506 Trang 3/4
7.b x2 y2 y Giả sử ( E ): + =1( a > b > 0). Hình thoi ABCD có (1,0 điểm) 0,25 B a 2 b2 H AC = 2 BD và A, B, C, D thuộc (E) suy ra OA = 2OB. A Không mất tính tổng quát, ta có thể xem A(a;0) và C O ( ) x B 0; a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB, 2 0,25 suy ra OH là bán kính của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 4. D 1 1 1 1 1 4 Ta có: = = + = + . 0,25 2 2 2 2 4 OH OA OB a a2 x2 y 2 Suy ra a 2 = 20, do đó b2 = 5. Vậy phương trình chính tắc của (E) là + = 1. 0,25 20 5 8.b Do B ∈ Ox, C ∈ Oy nên tọa độ của B và C có dạng: B(b; 0; 0) và C (0; c; 0). 0,25 (1,0 điểm) b c ( Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G ; ; 1 . 3 3 ) 0,25 JJJJG x y z−3 Ta có AM = (1;2; −3) nên đường thẳng AM có phương trình = = . 1 2 −3 0,25 b c −2 Do G thuộc đường thẳng AM nên = = . Suy ra b = 2 và c = 4. 3 6 −3 x y z Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là + + = 1, nghĩa là ( P) : 6 x + 3 y + 4 z − 12 = 0. 0,25 2 4 3 9.b Phương trình bậc hai z 2 − 2 3 i z − 4 = 0 có biệt thức ∆ = 4. 0,25 (1,0 điểm) Suy ra phương trình có hai nghiệm: z1 = 1 + 3 i và z2 = −1 + 3i. 0,25 π π • Dạng lượng giác của z1 là z1 = 2⎛⎜cos + isin ⎞⎟. 0,25 ⎝ 3 3⎠ 2π 2π • Dạng lượng giác của z2 là z2 = 2⎛⎜cos + isin ⎞⎟. 0,25 ⎝ 3 3⎠ ---------- HẾT ---------- Trang 4/4