ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI A NĂM 2003

Chia sẻ: Bui Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

2.776
lượt xem 54
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học, cao đẳng - ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI A NĂM 2003

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI A NĂM 2003

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003 −−−−−−−−−−−−− ®¸p ¸n −thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n thi : to¸n Khèi A Néi dung ®iÓm C©u 1. 2®iÓm 1) 1 ®iÓm − x2 + x − 1 1 Khi m = −1 ⇒ y = = −x − . x −1 x −1 + TËp x¸c ®Þnh: R \ { 1 }. − x2 + 2 x x=0 1 + y ' = −1 + = y'= 0 ⇔  . 0,25 ®  x = 2. 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 1 + lim [ y − (− x)] = lim = 0 ⇒ tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ lµ: y = − x . x →∞ x − 1 x →∞ lim y = ∞ ⇒ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ: x = 1 . x →1 B¶ng biÕn thiªn: −∞ +∞ 0 1 2 x −0 0− y’ + + +∞ +∞ −3 0,5 ® y CT C§ −∞ −∞ 1 §å thÞ kh«ng c¾t trôc hoµnh. §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; 1). y 1 0, 25 ® x O 1 2 −1 −3 1
2) 1 ®iÓm 2 mx + x + m §å thÞ hµm sè y = c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x −1 d−¬ng ⇔ ph−¬ng tr×nh f ( x) = mx 2 + x + m = 0 cã 2 nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt kh¸c 1 0,25 ®  m≠0 m≠0    m 0    1 2 ⇔  f (1) = 2m + 1 ≠ 0 ⇔ ⇔ − < m < 0.  m ≠ − 1 0,75 ® 2   S = − 1 > 0, P = m > 0  2   m
 1  1  y=−x  xy = −1  y=−x (3)   ⇔ ⇔ TH2:  3  2 y = x + 1  − 2 = x3 + 1  4  x + x + 2 = 0 (4). x  Ta chøng minh ph−¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm. 2 2  1  1 3 x 4 + x + 2 =  x 2 −  +  x +  + > 0, ∀ x . C¸ch 1. 2  2 2  0, 25 ®  −1  C¸ch 2. §Æt f ( x) = x 4 + x + 2 ⇒ f ( x) ≥ min f ( x) = f  > 0. 3 x∈R  4 Tr−êng hîp nµy hÖ v« nghiÖm. VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ:  −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  ( x; y ) = (1;1),  ; ,  ; .  2 2 2 2    C©u 3. 3®iÓm 1 ®iÓm B’ C’ A’ D’ H B C I A D 1) C¸ch 1. §Æt AB = a . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn A’C, suy ra BH ⊥ A’C, mµ BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do ®ã A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH. VËy gãc ph¼ng nhÞ diÖn [ B, A ' C , D ] lµ gãc BHD . 0, 25 ® XÐt ∆A ' DC vu«ng t¹i D cã DH lµ ®−êng cao, ta cã DH . A ' C = CD. A ' D CD. A ' D a.a 2 a 2 = = . T−¬ng tù, ∆A ' BC vu«ng t¹i B cã BH lµ ®−êng ⇒ DH = A'C a3 3 0, 25 ® a2 cao vµ BH = . 3 MÆt kh¸c: 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 = BD 2 = BH 2 + DH 2 − 2 BH .DH cos BHD = + − 2. cos BHD , 0, 25 ® 3 3 3 1 ⇒ BHD = 120o . do ®ã cos BHD = − 0, 25 ® 2 C¸ch 2. Ta cã BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (§Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc). hoÆc T−¬ng tù, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C . Gäi H lµ giao ®iÓm cña A ' C vµ ( BC ' D) ⇒ BHD lµ gãc ph¼ng cña [ B; A ' C ; D ] . 0, 25® C¸c tam gi¸c vu«ng HA’B, HA’D, HA’C’ b»ng nhau ⇒ HB = HC’ = HD 0,25 ® o 0,5 ® ⇒ H lµ t©m ∆BC’D ®Òu ⇒ BHD = 120 . 3
2) 2 ®iÓm a) Tõ gi¶ thiÕt ta cã b C (a; a; 0); C ' (a; a; b) ⇒ M (a; a; ) . z 0, 25 ® 2 A’ D’ b VËy BD = (− a; a; 0), BM = (0; a; ) 2 B’ C’  ab ab  ; − a2  . ⇒  BD, BM  =  ; 0, 25 ®   2 2  A y D −3a 2b 0, 25 ® BA ' = ( − a; 0; b ) ⇒  BD, BM  .BA ' = .   2 B C x a 2b 1  BD, BM  .BA ' = Do ®ã VBDA ' M = 0, 25 ® . 6  4   ab ab ; − a2  ,  b) MÆt ph¼ng ( BDM ) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ n1 =  BD, BM  =  ; 2 2  mÆt ph¼ng ( A ' BD) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ n2 =  BD, BA ' = (ab; ab; a 2 ) .   0, 5 ® a 2b 2 a 2 b 2 a − a4 = 0 ⇔ a = b ⇔ = 1. Do ®ã ( BDM ) ⊥ ( A ' BD) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ + 0, 5 ® 2 2 b C©u 4. 2®iÓm 1) 1 ®iÓm ( ) n+ n +1 Ta cã Cn + 1 − Cn + 3 = 7(n + 3) ⇔ Cn + 3 + Cn + 3 − Cn + 3 = 7(n + 3) n n n 4 (n + 2)(n + 3) ⇔ = 7(n + 3) ⇔ n + 2 = 7.2! = 14 ⇔ n = 12. 0, 5 ® 2! 12 − k 60 −11k  5 (x ) k −3 . x 2  k k = C12 x2 C12 Sè h¹ng tæng qu¸t cña khai triÓn lµ .   60 −11k 60 − 11k = x8 ⇒ = 8 ⇔ k = 4. Ta cã x 2 0, 25 ® 2 12! 4 Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng chøa x 8 lµ 0, 25 ® C12 = = 495. 4!(12 − 4)! 23 xdx ∫ 2) TÝnh tÝch ph©n I = . 1 ®iÓm 2 2 x +4 x 5 xdx §Æt t = x 2 + 4 ⇒ dt = vµ x 2 = t 2 − 4. 0, 25 ® 2 x +4 Víi x = 5 th× t = 3 , víi x = 2 3 th× t = 4 . 0, 25 ® 23 4 4 11 1 xdx dt ∫ =∫ ∫  t − 2 − t + 2  dt I= = Khi ®ã 2 0,25 ® 4 3  −4 x2 x2 + 4 3t 5 4 1 t −2  15 =  ln  = 4 ln 3 . 0, 25 ® 4 t +2 3 4
C©u 5. 1®iÓm Víi mäi u, v ta cã | u + v | ≤ | u | + | v | (*) ( ) 2 2 2 (v× | u + v |2 = u + v + 2u.v ≤ | u |2 + | v |2 +2 | u | . | v |= | u | + | v | ) →  1 →  1 →  1 §Æt a =  x; , b =  y;  , c =  z;  .  y  x  z   ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta cã | a | + | b | + | c | ≥ | a + b | + | c | ≥ | a + b + c | . VËy 2 1 1 1 1 1 1 P = x2 + + y2 + + z2 + ≥ ( x + y + z )2 +  + +  . 0, 25 ® x2 y2 z2 x y z C¸ch 1. Ta cã 2 2  1 1 1 1 ( ) 9 2 2 3 3 xyz P ≥ ( x + y + z) +  + +  ≥ + 3 3  = 9t + , víi   0, 25 ® x y z xyz  t  2  x+ y+ z ( ) 1 2 t = 3 xyz ⇒ 0 < t ≤  ≤ . 3 9    1  1 9 9 0, 25 ® §Æt Q(t ) = 9t + ⇒ Q '(t ) = 9 − < 0, ∀t ∈  0;  ⇒ Q(t ) gi¶m trªn  0;  2 t  9  9 t 0, 25 ® 1 ⇒ Q(t ) ≥ Q   = 82. VËy P ≥ Q(t ) ≥ 82. 9 1 ( ) DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = . 3 hoÆc C¸ch 2. 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta cã ( x + y + z )2 +  + +  = 81( x + y + z )2 +  + +  − 80( x + y + z )2 0,25 ® x y z x y z 1 1 1 ≥ 18( x + y + z )  + +  − 80( x + y + z )2 ≥ 162 − 80 = 82. x y z VËy P ≥ 82. 0,5 ® 1 (DÊu “=” x¶y ra ) khi x = y = z = . 3 Ghi chó: C©u nµy cßn cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c. 5