ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - KỲ THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2003

Chia sẻ: Phạm Vũ Long | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

404
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đáp án môn toán - kỳ thi đại học khối a năm 2003', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN - KỲ THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2003

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003 −−−−−−−−−−−−− ®¸p ¸n −thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n thi : to¸n Khèi A Néi dung ®iÓm C©u 1. 2®iÓm 1) 1 ®iÓm − x2 + x − 1 1 Khi m = −1 ⇒ y = = −x − . x −1 x −1 + TËp x¸c ®Þnh: R \ { 1 }. − x2 + 2 x x=0 1 + y ' = −1 + = y'= 0 ⇔  . 0,25 ®  x = 2. 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 1 + lim [ y − (− x)] = lim = 0 ⇒ tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ lµ: y = − x . x →∞ x − 1 x →∞ lim y = ∞ ⇒ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ: x = 1 . x →1 B¶ng biÕn thiªn: −∞ +∞ 0 1 2 x −0 0− y’ + + +∞ +∞ −3 0,5 ® y CT C§ −∞ −∞ 1 §å thÞ kh«ng c¾t trôc hoµnh. §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; 1). y 1 0, 25 ® x O 1 2 −1 −3 1
2) 1 ®iÓm 2 mx + x + m §å thÞ hµm sè y = c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x −1 d−¬ng ⇔ ph−¬ng tr×nh f ( x) = mx 2 + x + m = 0 cã 2 nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt kh¸c 1 0,25 ®  m≠0 m≠0    m 0    1 2 ⇔  f (1) = 2m + 1 ≠ 0 ⇔ ⇔ − < m < 0.  m ≠ − 1 0,75 ® 2   S = − 1 > 0, P = m > 0  2   m
 1  1  y=−x  xy = −1  y=−x (3)   ⇔ ⇔ TH2:  3  2 y = x + 1  − 2 = x3 + 1  4  x + x + 2 = 0 (4). x  Ta chøng minh ph−¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm. 2 2  1  1 3 x 4 + x + 2 =  x 2 −  +  x +  + > 0, ∀ x . C¸ch 1. 2  2 2  0, 25 ®  −1  C¸ch 2. §Æt f ( x) = x 4 + x + 2 ⇒ f ( x) ≥ min f ( x) = f  > 0. 3 x∈R  4 Tr−êng hîp nµy hÖ v« nghiÖm. VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ:  −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  ( x; y ) = (1;1),  ; ,  ; .  2 2 2 2    C©u 3. 3®iÓm 1 ®iÓm B’ C’ A’ D’ H B C I A D 1) C¸ch 1. §Æt AB = a . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn A’C, suy ra BH ⊥ A’C, mµ BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do ®ã A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH. VËy gãc ph¼ng nhÞ diÖn [ B, A ' C , D ] lµ gãc BHD . 0, 25 ® XÐt ∆A ' DC vu«ng t¹i D cã DH lµ ®−êng cao, ta cã DH . A ' C = CD. A ' D CD. A ' D a.a 2 a 2 = = . T−¬ng tù, ∆A ' BC vu«ng t¹i B cã BH lµ ®−êng ⇒ DH = A'C a3 3 0, 25 ® a2 cao vµ BH = . 3 MÆt kh¸c: 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 = BD 2 = BH 2 + DH 2 − 2 BH .DH cos BHD = + − 2. cos BHD , 0, 25 ® 3 3 3 1 ⇒ BHD = 120o . do ®ã cos BHD = − 0, 25 ® 2 C¸ch 2. Ta cã BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (§Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc). hoÆc T−¬ng tù, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C . Gäi H lµ giao ®iÓm cña A ' C vµ ( BC ' D) ⇒ BHD lµ gãc ph¼ng cña [ B; A ' C ; D ] . 0, 25® C¸c tam gi¸c vu«ng HA’B, HA’D, HA’C’ b»ng nhau ⇒ HB = HC’ = HD 0,25 ® o 0,5 ® ⇒ H lµ t©m ∆BC’D ®Òu ⇒ BHD = 120 . 3
2) 2 ®iÓm a) Tõ gi¶ thiÕt ta cã b C (a; a; 0); C ' (a; a; b) ⇒ M (a; a; ) . z 0, 25 ® 2 A’ D’ b VËy BD = (− a; a; 0), BM = (0; a; ) 2 B’ C’  ab ab  ; − a2  . ⇒  BD, BM  =  ; 0, 25 ®   2 2  A y D −3a 2b 0, 25 ® BA ' = ( − a; 0; b ) ⇒  BD, BM  .BA ' = .   2 B C x a 2b 1  BD, BM  .BA ' = Do ®ã VBDA ' M = 0, 25 ® . 6  4   ab ab ; − a2  ,  b) MÆt ph¼ng ( BDM ) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ n1 =  BD, BM  =  ; 2 2  mÆt ph¼ng ( A ' BD) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ n2 =  BD, BA ' = (ab; ab; a 2 ) .   0, 5 ® a 2b 2 a 2 b 2 a − a4 = 0 ⇔ a = b ⇔ = 1. Do ®ã ( BDM ) ⊥ ( A ' BD) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ + 0, 5 ® 2 2 b C©u 4. 2®iÓm 1) 1 ®iÓm ( ) n+ n +1 Ta cã Cn + 1 − Cn + 3 = 7(n + 3) ⇔ Cn + 3 + Cn + 3 − Cn + 3 = 7(n + 3) n n n 4 (n + 2)(n + 3) ⇔ = 7(n + 3) ⇔ n + 2 = 7.2! = 14 ⇔ n = 12. 0, 5 ® 2! 12 − k 60 −11k  5 (x ) k −3 . x 2  k k = C12 x2 C12 Sè h¹ng tæng qu¸t cña khai triÓn lµ .   60 −11k 60 − 11k = x8 ⇒ = 8 ⇔ k = 4. Ta cã x 2 0, 25 ® 2 12! 4 Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng chøa x 8 lµ 0, 25 ® C12 = = 495. 4!(12 − 4)! 23 xdx ∫ 2) TÝnh tÝch ph©n I = . 1 ®iÓm 2 2 x +4 x 5 xdx §Æt t = x 2 + 4 ⇒ dt = vµ x 2 = t 2 − 4. 0, 25 ® 2 x +4 Víi x = 5 th× t = 3 , víi x = 2 3 th× t = 4 . 0, 25 ® 23 4 4 11 1 xdx dt ∫ =∫ ∫  t − 2 − t + 2  dt I= = Khi ®ã 2 0,25 ® 4 3  −4 x2 x2 + 4 3t 5 4 1 t −2  15 =  ln  = 4 ln 3 . 0, 25 ® 4 t +2 3 4
C©u 5. 1®iÓm Víi mäi u, v ta cã | u + v | ≤ | u | + | v | (*) ( ) 2 2 2 (v× | u + v |2 = u + v + 2u.v ≤ | u |2 + | v |2 +2 | u | . | v |= | u | + | v | ) →  1 →  1 →  1 §Æt a =  x; , b =  y;  , c =  z;  .  y  x  z   ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta cã | a | + | b | + | c | ≥ | a + b | + | c | ≥ | a + b + c | . VËy 2 1 1 1 1 1 1 P = x2 + + y2 + + z2 + ≥ ( x + y + z )2 +  + +  . 0, 25 ® x2 y2 z2 x y z C¸ch 1. Ta cã 2 2  1 1 1 1 ( ) 9 2 2 3 3 xyz P ≥ ( x + y + z) +  + +  ≥ + 3 3  = 9t + , víi   0, 25 ® x y z xyz  t  2  x+ y+ z ( ) 1 2 t = 3 xyz ⇒ 0 < t ≤  ≤ . 3 9    1  1 9 9 0, 25 ® §Æt Q(t ) = 9t + ⇒ Q '(t ) = 9 − < 0, ∀t ∈  0;  ⇒ Q(t ) gi¶m trªn  0;  2 t  9  9 t 0, 25 ® 1 ⇒ Q(t ) ≥ Q   = 82. VËy P ≥ Q(t ) ≥ 82. 9 1 ( ) DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = . 3 hoÆc C¸ch 2. 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta cã ( x + y + z )2 +  + +  = 81( x + y + z )2 +  + +  − 80( x + y + z )2 0,25 ® x y z x y z 1 1 1 ≥ 18( x + y + z )  + +  − 80( x + y + z )2 ≥ 162 − 80 = 82. x y z VËy P ≥ 82. 0,5 ® 1 (DÊu “=” x¶y ra ) khi x = y = z = . 3 Ghi chó: C©u nµy cßn cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c. 5