Đề KSCL ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014) khối D

Chia sẻ: Phan Thanh Thảo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

82
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm phục vụ quá trình học tập, giảng dạy của giáo viên và học sinh đề khảo sát chất lượng ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014) khối D sẽ là tư liệu ôn tập hữu ích, giúp các bạn hệ thống lại kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo để chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề KSCL ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014) khối D

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN THỨ 3 Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc NĂM HỌC 2013 – 2014 (Đề có 01 trang) Môn : Toán 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2 x - 1 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với ( C ) cách điểm A ( 0;1 ) một khoảng bằng 2 . Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình: (1 - tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình: ( 4 x - 1) ( ) x + 3 + 3 3 x + 5 = 4 x + 8 Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân : I = ò e (x 3 + 1) ln x + 2 x + 1 2 dx 1 2 + x ln x Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi , hai đường chéo AC = 8 3 , BD = 8 và cắt nhau tại O .Hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 3 , tính thể tích khối chóp S . ABCD . 4 Câu 6 (1 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1 £ . Tìm giá trị nhỏ ) 3 1 1 1 nhất của biểu thức: M = + + .. x + 1 y + 1 z + 1 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1; 2 ) và điểm B ( 3;5 . Viết phương trình ) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ( O là gốc toạ độ ) và xác định toạ độ trực tâm tam giác OAB . Câu 8a (1 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2 x - y + 2 z + 9 = 0 và các điểm uuur uuur A ( 3; -1; 2 ) , B (1; - 0 ) .Tìm toạ độ điểm M Î ( P ) sao cho MA.MB = 30 . 5; n æ 1 ö Câu 9a (1 điểm). Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển Niutơn của nhị thức ç 2 x - 2 ÷ biết è 2 x ø n Î ¥ và 2Cn + Cn = 90 * 1 2 B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elíp ( E ) có tâm sai 3 e = và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 2 5 . 3 Câu 8b (1 điểm). Trong không gian với hệ truc toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường x + 1 y + 1 z - 3 thẳng d : = = và tạo với mặt phẳng ( P ) : x + 2 y - z + 5 = 0 một góc nhỏ nhất. 2 1 1 Câu 9b (1 điểm). Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . HẾT
ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án gồm 5 trang) Câu Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 2,0 điểm a TXĐ: D = ¡ \ {-1 } 2 x - 1 2 x - 1 2 x - 1 0,25 Giới hạn: lim = 2 , lim = -¥ , lim = +¥ x ®±¥ x + 1 x ®-1 x + + 1 x ®-1 x + - 1 3 Chiều biến thiên: Ta có y ' = 2 > 0 "x Î D ( x + 1 ) BBT : x -¥ 1 +¥ +¥ 2 0,25 y 2 -¥ Hàm số luôn nghịch biến trên D = ¡ \ {-1 } Đồ thị hàm số có TCN là y = 2 0,25 Đồ thị hàm số có TCĐ là x = - 1 Đồ thị: 1 Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm A ;0) ( 2 Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm B ( 0; - ) 1 0,25 Nhận xét đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm I ( - 2 ) làm tâm đối xứng 1; Đồ thị học sinh tự vẽ b æ 3 ö Gọi M ç x0 ; 2 - ÷ Î ( C ) ( x0 ¹ - ) 1 è x0 + 1 ø 0,25 3 3 2 ( Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M là D : y = x - x ) + 2 - 0 ( x0 + 1 ) x + 1 0 2 2 æ 2x -1 ö 2 2 æ x - 2 ö A ( 0;1 theo bài ra MA = 2 hay x + ç 0 ) 0 - 1÷ = 4 Û x + ç 0 0 ÷ = 4 0,25 è x0 + 1 ø è x0 + 1 ø Û x0 ( x0 - 2 ) ( x2 + 4 x0 + 6 ) = 0 Þ x0 = 0 , x0 = 2 2 0,25 · x0 = 0 Û pt tiếp tuyến là D1 : y = y¢ ( 0 )( x - 0 ) + y ( 0 hay D : y = 3x - 1 ) 1 1 1 · x0 = 2 Û pt tiếp tuyến là D 2 : y = y ¢ ( 2 )( x - 2 ) + y ( 2 ) hay: D 2 : y = x+ 0,25 3 3 1 1 · Vậy có hai tiếp tuyến D : y = 3x - 1 và D : y = 1 2 x + . 3 3 2 1,0 điểm Giải phương trình (1 - tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x p 0,25 điều kiện cos x ¹ 0 Û x ¹ + hp ( h Î ¢ ) 2 Khi đó phương trình 2 Û ( cos x - sin x )( cos x + sin x ) = cos x + sin x Û ( cos x + sin x ) écos 2 x - sin 2 x - 1ù = 0 ë û 0,25
é cos x + sin x = 0 é tan x = -1 ê cos 2 x - 1 = 0 Û ê cos 2 x = 1 ë ë p · tan x = -1 Û x = - + kp ( k Î ¢ ) thỏa mãn đk 4 0,25 · cos 2 x = 1 Û x = kp ( k Î ¢ ) thỏa mãn đk p Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là: x = kp , x = - + kp ( k Î ¢ ) 0,25 4 3 1,0 điểm. ( Giải phương trình: ( x - 1) 2 x - 1 + 3 3 x + 6 = x + 6 . ) ĐK: x ³ - 3 4 x + 8 1 Khi đó phương trình Û é x + 3 + 3 3 x + 5 ù - ë û 4x -1 = 0 (* ) æ Do x = ö KTM ÷ ç è 4 ø 0,25 4 x + 8 é 1 ö æ 1 ö Xét hàm số f ( x ) = é x + 3 + 3 3 x + 5 ù - ë û 4x -1 ; x Î ê -3; ÷ È ç ; +¥ ÷ ë 4 ø è 4 ø 1 1 36 æ 5 ö æ 5 1 ö æ 1 ö f ¢( x) = + + 2 > 0 "x Î ç -3; - ÷ È ç - ; ÷ È ç ; +¥ ÷ ) ( 4 x - 1 ) 3 ø è 3 4 ø è 4 2 2 x + 3 3 ( 3x + 5 è ø 0,25 é 1 ö æ 1 ö vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ê -3; ÷ và ç ; +¥ ÷ ë 4 ø è 4 ø é 1 ö · Với x Î ê -3; ÷ phương trình (*) Û f ( x ) = f ( -2 ) Û x = -2 ë 4 ø 0,25 æ 1 ö · Với x Î ç ; +¥ ÷ phương trình (*) Û f ( x ) = f (1) Û x = 1 è 4 ø Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -2 , x = 1 0,25 4 1,0 điểm. Tính Tích phân I = ò e (x 3 + 1) ln x + 2 x + 1 2 dx 1 2 + x ln x I =ò e (x 3 + 1) ln x + 2 x + 1 2 e 2 e dx = ò x dx + ò 1 + ln x dx 0,25 1 2 + x ln x 1 1 2 + x ln x e 3 2 1 3 e e - 1 · ò x dx = x 1 = 0,25 1 3 3 e 1 + ln x e d ( 2 + x ln x ) e e + 2 · dx = ò ò 2 + x ln x 1 2 + x ln x = ( ln 2 + x ln x ) = ln ( e + 2 ) - ln 2 = ln 0,25 1 1 2 e3 - 1 e + 2 Vậy I = + ln 0,25 3 2 5 1,0 điểm Từ gt AC = 8 3 , BD = 8 và AC ^ BD tai trung điểm O của mỗi đường chéo. Tam giác ABO vuuông tại O và OA = 4 3 , OB = 4 Þ · = 60 hay D ABD 0 ABD đều 0,25 ( SAC ) ^ ( ABCD ) , ( SBD ) ^ ( ABCD ) , ( SAB ) Ç ( SBD ) = SO Þ SO ^ ( ABCD ) Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB , BH Þ DH ^ AB 1 0,25 và DH = 4 3 , OK P DH , OK = DH = 2 3 Þ OK ^ AB Þ AB ^ ( SOK ) , OI ^ SK 2
Ta có OI ^ SK , OI ^ AB Þ OI ^ ( SAB ) hay OI = d ( O, ( SAB ) ) = 3 . Tam giác 1 1 1 1 1 1 0,25 SOK vuông tại O đường cao OI Þ 2 = 2 + 2 Þ = + Þ SO = 2 OI OK OS 3 12 OS 2 1 1 64. 3 S Y ABCD = 4 S DOAB = 2.OA.OB = 32 3 Þ VS . ABCD = × SO × SY ABCD = × 2 × 32 3 = 3 3 3 0,25 64. 3 Vậy thể tích khối chóp S . ABCD bằng (đvtt) ( h/s tự vẽ hình) 3 6 1,0 điểm 2 æ 1 1 1 ö ÷ £ M ( x + y + z + 3 ) 2 Ta có 3 = ç x + 1 + y +1 + z +1 ç x +1 y +1 z + 1 ÷ è ø 0,25 9 Þ M ³ x + y + z + 3 4 Mặt khác giả thiét Û x 2 + y 2 + z 2 - ( x + y + z ) £ Û 3 0,25 4 1 2 ³ ( x + y + z ) - ( x + y + z ) Û 0 < x + y + z £ 4 3 3 9 9 9 Từ đó Þ M ³ ³ = dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x + y + z + 3 4 + 3 7 0,25 ì x + y + z = 4 4 í Û x = y = z = î x + 1 = y + 1 = z + 1 3 9 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng đạt được khi x = y = z = 0,25 7 3 7.a 1,0 điểm Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 0,25 ( C ) : x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 ( đ/k a 2 + b 2 - c > 0 ) ìO Î ( C ) ì c = 0 ì a = 21,5 ï ï2 ï Do í A Î ( C ) Û í1 + 2 2 - 2a - 4b + c = 0 Û íb = -9,5 thỏ mãn đ/k ï ï 2 2 ï c = 0 î B Î ( C ) î3 + 5 - 6a - 10b + c = 0 î Vậy ( C ) : x 2 + y 2 - 43 x + 19 y = 0 0,25 Gọi H là trực tâm tam giác OAB và H ( m ; n ) . Ta có uuur uuur uuu r uuu r AH = ( m - 1; n - 2 ) , BH = ( m - 3; n - 5 , OA = (1; 2 ) , OB = ( 3;5 , H là trực tâm tam giác ) ) uuur uuu r 0,25 ì AH .OB = 0 ï ì3 ( m - 1) + 5 ( n - 2 ) = 0 ìm = -39 ï íuuur uuur Ûí Ûí ï BH .OA = 0 ï1( m - 3) + 2 ( n - 5 ) = 0 în = 26 î î Vậy trực tâm H ( - ; 26 ) 39 0,25 8.a 1,0 điểm
4 + 3 + 2 + 9 18 Gọi I là trung điểm AB Þ I ( 2; - ) , Vậy khi đó d ( I , ( P ) ) = 3;1 = = 6 2 3 0,25 22 + ( -1) + 2 2 uu r uu r u uu r r u uu r r Và IA = (1; 2;1) , IB = ( -1; -2; -1) Þ I A.IB = -1 - 4 - 1 = -6 , I A + IB = O uuur uuur uuu uu uuu uu r r r r uuu uu uu uu uu r r r r r ( )( ) 30 = MA.MB = MI + IA MI + IB = MI 2 + MI IA + IB + IA.IB = MI 2 - 6 ( ) 0,25 MI 2 = 36 Þ MI = 6 = d ( I ; ( P ) ) Û M là hình chiếu của I trên ( P ) ì x = 2 + 2 t ì qua I ( 2; -3;1) ï ì qua I ( 2; -3;1 ï ) ï Đường thẳng d : í Þ d :í r r Þ d : í y = -3 - t 0,25 ï î ^ (P) ï î vtcp u = n = ( 2; -1; 2 ) P ï z = 1 + 2 î t ì x = 2 + 2t ì x = -2 ï y = -3 - t ï y = -1 ï ï M = d Ç ( P ) Þ Toạ độ M là nghiệm hpt í Ûí Û 0,25 ï z = 1 + 2t ï z = -3 ï2 x - y + 2 z + 9 = 0 ït = -2 î î Vậy M ( -2; -1; - ) 3 9.a 1,0 điểm n ( n - 1 ) 1 2 2Cn + Cn = 90 Û 2n + = 90 Û n 2 + 3n - 180 = 0 Û n = 12 (do n Î ¥ ) * 0,25 2 n 12 12 12 k æ 1 ö æ 1 ö 12 - k æ 1 ö k 12 ç 2 x - 2 ÷ = ç 2 x - 2 ÷ = å C12 ( 2 x ) ç - 2 ÷ = å 12 ( -1) 2 - 2 k x -3 k k Ck 12 0,25 è 2x ø è 2x ø k =0 è 2 x ø k = 0 k Số hạng Tk +1 = C12 ( - ) 2 - 2 k x12 -3 k không phụ thuộc vào x Û 12 - 3k = 0 Û k = 4 k 1 12 0,25 Vậy số hạng không phụ thuộc vào x là T5 = C12 .2 4 = 7920 4 0,25 7.b 1,0 điểm x 2 y 2 Giả sử phương trình ( E ) : + = 1 , a > b > 0 0,25 a 2 b 2 c 3 Ta có e = = Þ a 2 = 3c 2 Û a 2 = 3 ( a 2 - b 2 ) Û 2a 2 = 3b (1 2 ) 0,25 a 3 độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 2 5 . Û 4 ( a 2 + b 2 ) = 4.5 Û a 2 + b 2 = 5 ( 2 ) 0,25 x 2 y 2 Từ (1 và ( 2 suy ra a 2 = 3 , b 2 = 2 Vậy elip ( E ) có phương trình. ( E ) : ) ) + = 1 0,25 3 2 8.b 1,0 điểm r r d có vtcp u = ( 2;1;1 , ( P ) có vtpt m = (1; 2; -1 , ) ) r 0,25 2 ( 2 2 ( Q ) có vtpt n = ( a; b; c ) ; a + b + c > 0 ) r r rr r Do ( Q ) chứa d Þ n ^ u Û n.u = 0 Û 2 a + b + c = 0 Û c = -2a - b Û n = ( a; b; -2 - b ) a 0,25 Gọi a là góc hợp bởi ( P ) và ( Q ) r r r r n.m a + 2b + 2a + b 3a + 3 b Þ cos a = cos ( n; m ) = r r = = n m 2 6 a 2 + b 2 + ( 2 + b ) a 6 5a 2 + 4ab + 2 2 b 0,25 3 a+b 3 a + b 3 = £ = = cos 30 0 Û a ³ 30 Vậy a min = 30 0 0 6 3a 2 + 2 ( a + b ) 2 6 2 ( a + b ) 2 2
r Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 0 lúc đó ta chọn b = 1; c = -1 Þ n = ( 0;1; -1 ) ìQua A ( -1; -1;3 Î d ï ) 0,25 Mặt phẳng ( Q ) : í r Û ( Q ) y - z + 4 = 0 ïvtpt n = ( 0;1; -1 î ) 9.b 1,0 điểm 10 Gọi W là tập hợp cách chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ. Ta có W = C30 0,25 Gọi A là biến cố “ Có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 0,25 đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10 “ Để tính A ta làm như sau: Đầu tiên chọn 5 tấm trong 15 tấm mang số lẻ, tiếp đó chọn 4 tấm trong 12 tấm mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10, sau cùng chọn 1 trong 3 0,25 5 4 C1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.Theo quy tắc nhân ta có W A = C15 .C12 . 3 5 4 1 W A C15 .C12 . 3 99 C Vậy P ( A ) = = 10 = 0,25 W C30 667 Hết LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl