Đề tài: Dãy số và các bài toán về dãy số

Chia sẻ: Tran Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:218

Thêm vào BST

Báo xấu

403
lượt xem 110
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chọn đề tài về dãy số, chúng tôi đã tự đứng trước mình một nhiệm vụ vô cùng khó khăn, bởi đây là một lĩnh vực rất khó và rất rộng sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Hơn thế, trước đó đã có nhiều cuốn sách khác nhau về chuyên khảo về đề tài này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Dãy số và các bài toán về dãy số

ĐỀ TÀI “DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ”
M cl c 1 Dãy s và các bài toán v dãy s 4 1.1 Gi i thi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đ nh nghĩa và các đ nh lý cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Dãy s th c: m t s d ng dãy s đ c bi t . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Dãy s nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Dãy s và phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 M t vài th thu t khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 M t s phương pháp xây d ng h th ng bài t p . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Xây d ng dãy h i t b ng phương trình . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Xây d ng dãy truy h i t c p nghi m c a phương trình b c 2 24 1.4.3 Xây d ng các dãy s nguyên t l i gi i các phương trình nghi m nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.4 Xây d ng dãy s là nghi m c a m t h phương trình ph thu c bi n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Lý thuy t dãy s dư i con m t toán cao c p . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 R i r c hóa các khái ni m và đ nh lý c a lý thuy t hàm bi n s th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm s h ng t ng quát . 29 1.5.3 Đ i s tuy n tính và phương trình sai phân . . . . . . . . . 30 1.5.4 S d ng x p x trong d đoán k t qu . . . . . . . . . . . . 31 1.6 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Phương trình sai phân 41 2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . 41 2.1.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . .............. . . . . . 41 2.1.2 Tính ch t . . . . . . . . . .............. . . . . . 41 2.2 Phương trình sai phân tuy n tính .............. . . . . . 43 2.2.1 M t s khái ni m chung v phương trình sai phân . . . . . 43 2.3 Phương trình sai phân tuy n tính b c nh t . . . . . . . . . . . . . 44 1
M CL C 2 2.3.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2 Phương pháp gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.3 Phương pháp tìm nghi m riêng c a phương trình sai phân tuy n tính c p 1 không thu n nh t khi v ph i f (n) có d ng đ c bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Phương trình sai phân tuy n tính c p 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Cách gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Phương trình sai phân tuy n tính c p 3 . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.2 Phương pháp gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.3 Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.4 Phương trình sai phân tuy n tính c p k . . . . . . . . . . . 58 3 Xác đ nh s h ng t ng quát c a m t dãy s 60 3.1 Tìm s h ng t ng quát c a dãy (d ng đa th c) khi bi t các s h ng đ u tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Công th c truy h i là m t bi u th c tuy n tính . . . . . . . . . . . 63 3.2.1 Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3 Công th c truy h i là m t h bi u th c tuy n tính . . . . . . . . . 70 3.3.1 Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 Công th c truy h i là bi u th c tuy n tính v i h s bi n thiên . . 72 3.5 Công th c truy h i d ng phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . 78 3.6 H th c truy h i phi tuy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.1 Quy trình tuy n tính hoá m t phương trình sai phân . . . . 82 3.6.2 Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6.3 M t s ví d khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.6.4 Bài t p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 Phương trình hàm sai phân b c hai 99 4.1 Hàm tu n hoàn và ph n tu n hoàn c ng tính . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Phương trình hàm sai phân b c hai v i hàm tu n hoàn và ph n tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3 Phương trình v i hàm s tu n hoàn, ph n tu n hoàn nhân tính . . 108 4.3.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.2 M t s bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.3 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
M CL C 3 5 Dãy s sinh b i hàm s 128 5.1 Hàm s chuy n đ i phép tính s h c và đ i s . . . . . . . . . . . . 128 5.2 V các dãy s xác đ nh b i dãy các phương trình . . . . . . . . . . 135 5.3 Đ nh lý v ba m nh đ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.4 M t s bài toán v ư c lư ng t ng và tích . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6M t s l p hàm chuy n đ i các c p s 145 6.1 C p s c ng, c p s nhân và c p s đi u hoà . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Dãy s tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3 Hàm s chuy n đ i c p s c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.4 Hàm s chuy n đ i c p s c ng vào c p s nhân . . . . . . . . . . . 154 6.5 Hàm s chuy n đ i c p s nhân vào c p s c ng . . . . . . . . . . . 155 6.6 Hàm s chuy n đ i c p s nhân vào c p s đi u hoà . . . . . . . . 156 7 M t s l p hàm chuy n đ i các c p s trong t p r i r c 158 7.1 Hàm s chuy n đ i c p s c ng thành c p s c ng . . . . . . . . . 158 7.2 Hàm s chuy n đ i c p s nhân thành c p s nhân . . . . . . . . . 161 8 M t s bài toán xác đ nh dãy s trong l p dãy tu n hoàn c ng tính và nhân tính. 167 8.1 M t s bài toán xác đ nh dãy s trong l p dãy tu n hoàn c ng tính 167 8.2 Hàm s xác đ nh trên t p các s nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.2.1 Hàm s chuy n đ i các phép tính s h c . . . . . . . . . . 170 8.2.2 Hàm s chuy n ti p các đ i lư ng trung bình . . . . . . . . 172 8.2.3 Phương trình trong hàm s v i c p bi n t do . . . . . . . 177 8.2.4 M t s d ng toán liên quan đ n dãy truy h i . . . . . . . . 180 8.3 Hàm s xác đ nh trên t p các s h u t . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.4 Phương trình trong hàm s v i c p bi n t do . . . . . . . . . . . . 191 8.5 S d ng gi i h n đ gi i phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . 198 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Chương 1 Dãy s và các bài toán v dãy s 1.1 Gi i thi u Ch n đ tài v dãy s , chúng tôi đã t trư c mình m t nhi m v vô cùng khó khăn, b i đây là m t lĩnh v c r t khó và r t r ng, s d ng nhi u ki n th c khác nhau c a toán h c. Hơn th , trư c đó đã có khá nhi u cu n sách chuyên kh o v đ tài này. Dù v y, chúng tôi v n mu n c g ng đóng góp m t s kinh nghi m và ghi nh n c a mình thu lư m đư c trong quá trình gi ng d y nh ng năm qua. T p tài li u này không ph i là m t giáo trình v dãy s , l i càng không ph i là m t c m nang hư ng d n gi i các bài toán dãy s . T p tài li u này đúng hơn h t là nh ng cóp nh t c a tác gi v nh ng phương pháp gi i các bài toán dãy s cùng v i nh ng nh n đ nh đôi khi mang đ y tính ch quan c a tác gi . Vì v y, hãy coi đây là m t tài li u m . Hãy ti p t c tri n khai, liên h và đúc k t kinh nghi m, ghi nh n nh ng cái hay và góp ý cho nh ng cái chưa hay, th m chí chưa chính xác. Trong tài li u này, không ph i t t c các v n đ c a dãy s đ u đư c đ c p t i. Ví d ph n dãy s và b t đ ng th c ch đư c nói đ n r t sơ sài, các bài toán dãy s mà th c ch t là các bài toán v đ ng dư cũng không đư c xét t i... Hai m ng l n mà t p tài li u này chú ý đ n nh t là bài toán tìm s h ng t ng quát c a m t dãy s và bài toán tìm gi i h n dãy s . Trong t p tài li u này, các v n đ và các bài toán có m c đ khó d khác nhau. Có nh ng bài cơ b n, có nh ng bài khó hơn và có nh ng bài r t khó. Vì v y, c n ph i l a ch n v n đ v i m c đ thích h p (ví d có m t s v n đ và bài toán ch đ ng ph i m c kỳ thi ch n đ i tuy n ho c qu c t ). Vi t t p tài li u này, tác gi đã s d ng r t nhi u ngu n tài li u khác nhau, tuy nhiên ch có m t s bài có ghi ngu n g c, m t s bài không th xác đ nh đư c. 4
5 1.2. Đ nh nghĩa và các đ nh lý cơ b n Tác gi cũng đã s d ng các bài gi ng c a các th y Phan Đ c Chính, Nguy n Văn M u, Lê Đình Th nh, Đ ng Hùng Th ng, Nguy n Minh Đ c... trong bài vi t c a mình. Cu i cùng, t p tài li u này không kh i có nh ng nh m l n và thi u sót, tác gi r t mong nh n đư c s góp ý c a t t c các th y cô giáo. Và r t mong r ng, v i n l c chung c a t t c chúng ta, t p tài li u s ti p t c đư c hoàn thi n và b sung. 1.2 Đ nh nghĩa và các đ nh lý cơ b n Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s là m t hàm s t N vào m t t p h p s (N, Q, R, C) hay m t t p con nào đó c a các t p h p trên). Các s h ng c a dãy s thư ng đư c ký hi u là un , vn, xn , yn thay vì u(n), v (n), x(n), v(n). B n thân dãy s đư c ký hi u là {xn }. Vì dãy s là m t trư ng h p đ c bi t c a hàm s nên nó cũng có các tính ch t c a m t hàm s . Đ nh nghĩa 1.2. Dãy s {xn } đư c g i là dãy tăng (gi m) n u v i m i n ta có xn+1 ≤ xn (xn+1 ≤ xn ). Dãy s tăng ho c dãy s gi m đư c g i chung là dãy đơn đi u. Dãy s {xn} đư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho v i m i n ta có xn ≤ M . Dãy s {xn } đư c g i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho v i m i n ta có xn ≥ m. M t dãy s v a b ch n trên, v a b ch n dư i đư c g i là dãy b ch n. Dãy s xn đư c g i là tu n hoàn v i chu kỳ k n u xn+k = xn v i m i n ∈ N. Dãy s tu n hoàn v i chu kỳ 1 g i là dãy h ng. Đ nh nghĩa 1.3. Ta nói dãy s {xn } có gi i h n h u h n a khi n d n đ n vô cùng n u v i m i > 0, t n t i s t nhiên N0 (ph thu c vào dãy s xn và ) sao cho v i m i n > N0 ta có |xn − a| nh hơn . lim xn = a ⇔ > 0∃N0 ∈ N : ∀n > N0|xn − a| < n→∞ Ta nói dãy s {xn } d n đ n vô cùng khi n d n đ n vô cùng n u v i m i s th c dương M l n tuỳ ý, t n t i s t nhiên N0 (ph thu c vào dãy s xn và M ) sao cho v i m i n > N0 ta có |xn | l n hơn M . lim xn = ∞ ⇔ ∀M > 0∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |x| > M. n→∞ Dãy s có gi i h n h u h n đư c g i là dãy h i t . Dãy s không có gi i h n ho c d n đ n vô cùng khi n d n đ n vô cùng g i là dãy phân kỳ.
6 1.2. Đ nh nghĩa và các đ nh lý cơ b n Đ nh lý 1.1 (T ng, hi u, tích, thương các dãy h i t ). N u {xn }, {yn } là các dãy h i t và có gi i h n tương ng là a, b thì các dãy s {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn } và {xn /yn } cũng h i t và có gi i h n tương ng là a + b, a − b, a.b, a/b. (Trong trư ng h p dãy s thương, ta gi s yn và b khác không) Đ nh lý 1.2 (Chuy n qua gi i h n trong b t đ ng th c). Cho dãy s {xn } có gi i h n h u h n l, n u ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b thì a ≤ xn ≤ b. Đ nh lý 1.3 (Đ nh lý k p). Cho ba dãy s {xn }, {yn}, {zn} trong đó xn và zn có cùng gi i h n h u h n 1, và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn . Khi đó yn cũng có gi i h n là 1. Đ nh lý 1.4 (Dãy đơn đi u). M t dãy tăng và b ch n trên hay m t dãy gi m và b ch n dư i thì h i t . Nói ng n g n hơn, m t dãy s đơn đi u và b ch n thì h it . Đ nh lý 1.5 (V dãy các đo n th ng l ng nhau). Cho hai dãy s th c {an }, {bn} sao cho a) ∀n ∈ N, an ≤ bn ; b) ∀nßN, [an+1 , bn+1] ⊂ [an , bn]; c) bn − an → 0 khi n → ∞. Khi đó t n t i duy nh t s th c l sao cho ∩ [an , bn] = 1. Đ nh lý 1.6 (Bolzano Veierstrass). T m t dãy b ch n luôn có th trích ra m t dãy con h i t . Đ nh nghĩa 1.4. Dãy {xn } đư c g i là dãy Cauchy n u ∀ > 0∃N0 ∈ N: ∀m, n > N0 |xm − xn | < . Đ nh nghĩa 1.5 (Tiêu chu n Cauchy). Dãy s {xn } có gi i h n h u h n khi và ch khi nó là dãy Cauchy. C p s c ng. Dãy s {xn } đư c g i là m t c p s c ng khi và ch khi t n t i d sao cho ∀n ∈ N, xn+1 = xn + d. d đư c g i là công sai c a c p s c ng, x0 là s h ng đ u, xn là s h ng th n. Ta có các công th c cơ b n sau: xn = x0 + nd Sn = x0 + x1 + · · · + xn−1 = nx0 + n(n − 1)d/2 = n(x0 + xn−1 )/2
7 1.2. Đ nh nghĩa và các đ nh lý cơ b n C p s nhân. Dãy s {xn } đư c g i là m t c p s nhân khi và ch khi t n t i q sao cho ∀n ∈ N, xn+1 = qxn . d đư c g i là công b i c a c p s nhân, x0 là s h ng đ u, xn là s h ng th n. Ta có các công th c cơ b n sau: x n = q n x0 Sn = x0 + x1 + · · · + xn−1 = (q n − 1)x0/(q − 1) N u |q | < 1 thì {xn } đư c g i là c p s nhân lùi vô h n. T ng c a c p s nhân lùi vô h n đư c tính theo công th c S = x0 /(1 − q ) Dãy Fibonacci. Dãy s Fibonacci là dãy s đư c đ nh nghĩa b i f0 = 0, f1 = 1, ∀n ∈ N, fn+2 = fn+1 + fn . Dãy s Fibonacci có r t nhi u tính ch t thú v và xu t hi n m t cách t nhiên trong nhi u lĩnh v c khác nhau. Chúng ta có công th c sau đây đ tìm s h ng t ng quát c a dãy s Fibonacci: Công th c Binet. √ √ n n 1+ 5 − 1−2 5 2 √ fn = . 5 Nói chung, các dãy s xác đ nh b i công th c truy h i fn+2 = fn+1 + fn (v i f0 , f1 b t kỳ) đư c g i là dãy Fibonacci m r ng. Dãy Farey. Dãy Farey Fn v i m i s nguyên dương n là t p h p các phân s t i gi n d ng a/b v i 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 x p theo th t tăng d n. Ví d 1.1. F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}. Ngo i tr F1 , Fn có s l các ph n t và 1/2 luôn n m gi a. G i p/q , p /q và p /q là các s h ng liên ti p trong dãy Farey thì pq − qp = 1, và p /q = (p + p )/(q + q ). S các s h ng N (n) trong dãy Farey đư c tính theo công th c n N (n) = 1 + ϕ(k) = 1 + φ(n). k =1
8 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s 1.3 M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s Phương pháp gi i các bài toán dãy s r t đa d ng như chính yêu c u c a chúng. Đó có th là m t tính ch t s h c, m t tính ch t đ i s hay m t tính ch t gi i tích. Dư i đây chúng ta s xem xét nh ng phương pháp cơ b n nh t. Tuy nhiên, có th đưa ra hai nguyên lý chung đ gi i các bài toán dãy s là - Đ ng ng i vi t ra các s h ng đ u tiên c a dãy s - Đ ng ng i t ng quát hóa bài toán 1.3.1 Dãy s th c: m t s d ng dãy s đ c bi t Dãy s d ng xn+1 = f (xn ) Đây là d ng dãy s thư ng g p nh t trong các bài toán v gi i h n dãy s . Dãy s này s hoàn toàn xác đ nh khi bi t f và giá tr ban đ u x0 . Do v y s h i t c a dãy s s ph thu c vào tính ch t c a hàm s f (x) và x0 . M t đ c đi m quan tr ng khác c a dãy s d ng này là n u a là gi i h n c a dãy s thì a ph i là nghi m c a phưng trình x = f (x). Chúng ta có m t s k t qu cơ b n như sau: Đ nh nghĩa 1.6. Hàm s f : D → D đư c g i là m t hàm s co trên D n u t n t i s th c q, 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y )| ≤ q |x − y | v i m i x, y thu c D. Đ nh lý 1.7. N u f (x) là m t hàm s co trên D thì dãy s {xn } xác đ nh b i x0 = a ∈ D, xn+1 = f (xn ) h i t . Gi i h n c a dãy s là nghi m duy nh t trên D c a phương trình x = f (x). Ch ng minh. V i m i n > m thì áp d ng đ nh nghĩa hàm s co, ta có |xn − xm | = |f (xn−1 ) − f (xm−1 )| ≤ q |xn−1 − xm−1 | ≤ · · · ≤ qm |xn−m − x0 | (1.1) T đây |xn − x0 | ≤ |xn − xn−1 | + · · · + |x1 − x0 | ≤ (qn−1 + · · · + 1)|x1 − x0|, suy ra {xn } b ch n. Xét > 0. T (1.1), do q < 1 và |xn−m − x0| b ch n nên ta suy ra t n t i N sao cho q N |xn−m − x0| < . Suy ra {xn } là dãy Cauchy và do đó h i t. Ví d 1.2 (Vi t Nam, 2000). Cho dãy s {xn } xác đ nh như sau √ x0 = 0, xn+1 = c− c + xn . Tìm t t c các giá tr c a c đ v i m i giá tr x0 ∈ (0, c), xn xác đ nh v i m i n và t n t i gi i h n h u h n limn→∞ xn .
9 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s √ Gi i. Đ x1 t n t i thì ta thì c − c + xn ≥ 0 v i m i x0 ∈ (0, c) hay c(c − 1) ≥ x0 √ √ v i m i x0 ∈ (0, c), suy ra c ≥ 2. V i c ≥ 2 thì 0 < x1 < c. N u 0 < xn < c √ √ √ thì c − c + xn > c − 2 c, suy ra xn+1 t n t i và ta cũng có 0 < xn+1 < c. √ √ √ Đ t f (x) = c − c + x thì f (x) = − 1 x + x c − c + x. 4 √ √ √ V i m i x ∈ (0, c) ta có (c + x)(c − c + x) > c(c − c + c) ≥ 2(2 − √ √ 2 + 2) > 1 . T đó suy ra |f (x)| ≤ q < 1 v i m i x ∈ (0, c), t c f (x) là √ 4 hàm s co trên (0, c), suy ra dãy s đã cho h i t . V y t t c các giá tr c c n tìm là c ≥ 2. M t trư ng h p n a cũng có th xét đư c s h i t c a dãy s {xn } là trư ng h p f đơn đi u. C th là N u f là hàm s tăng trên D thì {xn } s là dãy đơn đi u. Dãy s này tăng hay gi m tuỳ theo v trí c a x0 so v i x1 . N u f là hàm gi m trên D thì các dãy con {x2p}, {x2p+1} là các dãy đơn đi u (và ngư c chi u nhau). Ví d 1.3 (Vô đ ch sinh viên Moskva, 1982). Cho dãy s {xn } xác đ nh b i x0 = 1982, xn+1 = 1/(4 − 3xn ). Hãy tìm limn→∞ xn Gi i. Tính toán tr c ti p ta th y 0 < x2 < 1, x3 > x2 . Vì f (x) = 1/(4 − 3x) là m t hàm s tăng t [0, 1] vào [0, 1] nên t đây, {xn }n≥2 là m t dãy s tăng và b ch n trên b i 1 do đó có gi i h n. Gi s gi i h n là a thì ta có a = 1/(4 − 3a) hay a = 1 (giá tr a = 1/3 lo i do dãy tăng). Câu h i: V i nh ng giá tr nào c a x0 thì dãy s xác đ nh v i m i x và có gi i h n? Khi nào thì gi i h n là 1? Khi nào thì gi i h n là 1/3? Trong trư ng h p f là hàm gi m, ta có th ch ng minh dãy h i t b ng cách ch ng minh hai dãy con trên cùng h i t v m t gi i h n. Tuy nhiên, khó khăn nh t là g p các hàm s không đơn đi u. Trong trư ng h p này, ta ph i xét t ng kho ng đơn đi u c a nó và s h i t c a hàm s s tùy thu c vào giá tr ban đ u. Ví d 1.4. Tìm t t c các giá tr c a a đ dãy s {xn } xác đ nh b i x0 = a, xn+1 = 2 − x2 có gi i h n h u h n. n Gi i. Hàm s f (x) = 2 − x2 tăng trên (−∞, 0) và gi m trên (0, +∞). Phương trình f (x) = x có hai nghi m là x = −2 và x = 1. Đó là nh ng d ki n quan tr ng trong l i gi i bài toán này. Đ u tiên, ta nh n xét r ng n u a < −2 thì do f : (−∞, −2) → (−∞, −2) và là hàm tăng, x1 = 2 − a2 < x0 nên dãy s {xn } gi m. N u dãy {xn } b ch n dư i thì nó h i t v nghi m c a phương trình x = 2 − x2 , đi u này mâu thu n vì dãy gi m và x0 < −2. V y {xn } không b ch n dư i, t c không có gi i h n h u h n. N u a > 2 thì x1 < −2 và ta cũng suy {xn } không có gi i h n h u h n.
10 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s V i a = −2, 1 thì dãy s có gi i h n. Xét x0 ∈ [−2, 2]. Ta ch ng minh dãy s có gi i h n h u h n khi và ch khi t n t i n sao cho xn = −2 ho c xn = 1. Th t v y, gi s xn có gi i h n h u h n là b và xn ∈ {−2, 1} v i m i n. Khi đó b = −2 / ho c b = 1. Gi s b = −2 thì t n t i N0 sao cho xn n m trong lân c n −2 v i m i n ≥ N0. Nhưng n u xn = −2 + thì xn+1 = −2 + 4 − 2 > xn , suy ra dãy xn tăng k t N0 và không th d n v 2. N u b = 1 k t n ≥ N0 nào đó xn thu c lân c n 1. Xét xn+2 − xn = 2 − (2 − x2 )2 − xn = (2 − xn − x2 )(x2 − xn − 1) n n n T i lân c n 1 thì x2 − xn − 1 < 0. Vì n u xn < 1 thì xn+1 > 1 (và ngư c l i n xn > 1 thì xn+1 < 1 - chúng ta đang xét trong lân c n đi m 1!) nên có th gi s xn > 1. Khi đó 2 − xn − x2 < 0 suy ra xn+2 > xn . Ti p t c như v y, suy ra n 1 < xn < xn+2 < · · · < xn+2k < · · · mâu thu n v i gi thi t b = 1. V y đi u gi s là 2, t c là dãy s ch có gi i h n khi t n t i n sao cho xn = −2 ho√ xn = 1. c −1 Sau khi thu đư c k t qu này, ta s d ng hàm ngư c f (x) = ± 2 − x đ xây d ng t t c các giá tr a th a mãn đi u ki n đ u bài. Trong ví d trên, ta đã s d ng gi thi t t n t i gi i h n đ thu g n mi n D, t đó m t hàm có bi n thiên ph c t p tr thành m t hàm đơn đi u. Dãy s d ng xn+1 = xn ± (xn )α và đ nh lý trung bình Cesaro Đây là trư ng h p đ c bi t c a dãy s d ng xn+1 = f (xn ). Tuy nhiên, v i dãy s d ng này v n đ h i t c a xn thư ng không đư c đ t ra (vì quá đơn gi n và gi i h n ch có th là 0 ho c ∞). đây, ta s có m t yêu c u cao hơn là tìm b c ti m c n c a xn , c th là tìm b sao cho xn = O(nβ ). V i các dãy s có d ng này, đ nh lý trung bình Cesaro s t ra r t h u hi u. Đ nh lý 1.8 (Trung bình Cesaro). N u dãy s {xn } có gi i h n h u h n là a thì dãy s các trung bình {x1 + x2 + · · · + xn )/n} cũng có gi i h n là a. Đ nh lý này có th phát bi u dư i d ng tương đương nhưư sau: N u lim n → ∞(xn+1 − xn ) = a thì limn→∞ xn /n = a. Ta ch ng minh đ nh lý cách phát bi u 2. Rõ ràng ch c n ch ng minh cho trư ng h p a = 0. Vì limn→∞ (xn+1 − xn ) = 0 nên v i m i > 0 t n t i, N0 sao cho v i m i n ≥ N0 ta có |xn+1 − xn | < . Khi đó, v i m i n > N0 |xn /n| ≤ [|xN0 | + |xN0 +1 − xN 0 | + · · · + |xn − xn−1 |]/n < |xN0 |/n + (n − N0) /n. Gi c đ nh N0, ta có th tìm đư c N1 > N0 sao cho |xN 0|/N1 < . Khi đó v i m i n > N1 ta s có |xn /n| < 2 . V y limn→∞ xn /n = 0. Đ nh lý trung bình Cesaro có nhi u ng d ng quan tr ng trong vi c tìm gi i h n dãy s và có th phát bi u cho các trung bình khác như trung bình nhân,
11 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s trung bình đi u hòa, trung bình lũy th a. Tuy nhiên, đây ta ch khai thác cách phát bi u 2 c a đ nh lý đ áp d ng cho các dãy s có d ng xn+1 = xn ± (xn )α . Đ tìm s β sao cho xn /nβ có gi i h n h u h n, theo đ nh lý trung bình Cesaro, ta ch c n tìm g sao cho xγ +1 − xγ có gi i h n h u h n a. Khi đó, limn→∞ xγ /n = a, n n n γ γ suy ra lim xn /n1 = a1 , t c là β = 1/γ . Ví d 1.5. Cho dãy s {xn } đư c xác đ nh b i x0 = 1/2, xn+1 = xn − x2 . Ch ng n minh r ng limn→∞ nxn = 1. Gi i. Trong bài này, β = −1 do đó ta s th v i γ = −1. D dàng ch ng minh đư c limn→∞ xn = 0. Ta có 1/xn+1 − 1/xn = (xn − xn+1 )/xn+1 xn = x2 /(xn − x2 )xn = 1/(1 − xn ) → 1. n n T đó áp d ng đ nh lý trung bình Cesaro, suy ra lim1/nxn = 1, suy ta lim nxn = 1. Ví d 1.6. Cho dãy s √{xn } đư c xác đ nh b i x0 = 1, xn+1 = sin(xn ). Ch ng √ minh r ng lim nxn = 3. Gi i. Dãy s đã cho không có d ng xn+1 = xn ± (xn )α (?) nhưng k t lu n c a bài toán g i cho chúng ta đ n đ nh lý trung bình Cesaro. Vì β = −1 nên ta s th v i γ = −2. D dàng ch ng minh đư c r ng lim xn = 0. Xét 1/x2 − 1/x2 = [x2 − sin2 (xn )]/x2 sin2 (xn ) → 1/3 n n n n (Dùng quy t c L’Hopitale) √ 2 √ T đó, theo đ nh lý trung bình Cesaro lim 1/nxn = 1/3, suy ra lim lim n.xn = 3. Như v y, ta có th tìm γ n u bi t β . Trong trư ng h p không bi t β thì ta ph i d đoán. Ví d 1.7 (Ch n đ i tuy n Vi t Nam, 1993). Dãy s {an } đư c xác đ nh b i √ a1 = 1 và an+1 = an + 1/ an . Hãy tìm t t c các s th c β đ dãy s (an )β /n có gi i h n h u h n khác 0. Gi i. Trư c h t ta ch ng minh an d n t i vô cùng khi n d n t i vô cùng. Th t √ v y, ta có a2 +1 = a2 + 2 an + 1/an > a2 + 2. Suy ra a2 +1 > 1 + 2n suy ra n n n n (đpcm). Tr l i bài toán, xét √ 3/2 an+1 − a3/2 = (an + 1/ an )3/2 − a3/2 = (1 + 1/a3/2)3/2/(1/a3/2) n n n n 3/2 3/2 3/ 2 Đ t x = 1/an thì x → 0 khi n → ∞. Do đó limn→∞ (an+1 − an ) = 3/ 2 limx→0(1 + x)3/2/x = 3/2 (Quy t c L’Hopitale) T đó suy ra lim an /n = 3/2.
12 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s V i β > 3/2 suy ra gi i h n b ng ∞, v i β < 3/2 suy ra gi i h n b ng 0. V y β = 3/2 là giá tr duy nh t tho mãn yêu c u bài toán. Câu h i: 1) Làm sao có th d đoán đư c gi á tr β ? 2) α và β có m i quan h gì? 1.3.2 Dãy s nguyên Dãy s nguyên là m t ph n quan tr ng trong lý thuy t dãy s . Ngoài các v n đ chung như tìm s h ng t ng quát c a dãy s , tìm công th c tính t ng n s h ng đ u tiên... các bài toán v dãy s nguyên còn quan tâm đ n tính ch t s h c c a dãy s như chia h t, đ ng dư, nguyên t , chính phương, nguyên t cùng nhau... Các bài toán v dãy s nguyên r t đa d ng. Trong nhi u trư ng h p, dãy s ch là cái b ngoài, còn b n ch t bài toán là m t bài toán s h c. Trong các ph n dư i đây, chúng ta s ít đ c p đ n nh ng bài toán như v y mà chuy n chúng vào ph n bài t p. Nguyên lý Dirichlet và dãy s nguyên Nguyên lý Dirichlet là m t nguyên lý h t s c đơn gi n nhưng l i vô cùng h u hi u trong các bài toán ch ng minh, đ c bi t là ch ng minh s t n t i c a m t đ i tư ng tho mãn m t đi u ki n nào đó. S d ng nguyên lý này, ngư i ta đã ch ng minh đư c nhi u k t qu r t m nh, ví d như đ nh lý Fermat-Euler v t ng hai bình phương, đ nh lý Weil v phân b đ u... đây ta nêu ra hai k t qu liên quan đ n dãy s : Đ nh lý 1.9 (Weil, v phân b đ u). N u α là s vô t thì dãy {nα}n=1 phân b đ u trên kho ng (0, 1). Đ nh lý 1.10 (V s tu n hoàn c a các s dư). Cho dãy s nguyên {xn } xác đ nh b i công th c truy h i xn+k = a1 xn+k−1 + · · · + ak xn và k s h ng đ u tiên nguyên. Khi đó, v i m i s nguyên dương N , dãy s dư c a xn khi chia cho N s tu n hoàn. Ti p theo ta xét m t vài ví d v vi c s d ng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán dãy s . Ví d 1.8. Ch ng minh r ng n u 1 ≤ a1 , a2, ..., an+1 ≤ 2n thì t n t i i < j sao cho ai | aj . Gi i. M i s ai có th vi t dư i d ng ai = 2si ri v i ri là s l . Các s ri ch có th nh n n giá tr t 1, 3, ..., 2n − 1. Vì có n + 1 s nên theo nguyên lý Dirichlet, t n t i i < j sao cho ri = rj và tương ng ta có ai | aj .
13 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s Ví d 1.9 (T p chi AMM). Xét n s nguyên dương a1 < a2 < · · · < an ≤ 2n sao cho [ai , aj ] > 2n v i m i i = j . Ch ng minh r ng a1 > 2n/3. Gi i. N u a1 ≤ 2n/3, ta xét n + 1 s 2a1 , 3a1, a2, . . ., an . Các s này đ u không l n hn 2n và không có s nào là b i c a s nào. Đi u này mâu thu n v i k t q a bài toán trên. Ví d 1.10. (Canada, 2000) Cho A = (a1, a2, ..., an) là dãy các s nguyên thu c đo n [−1000, 1000]. Gi s t ng các s h ng c a A b ng 1. Ch ng minh r ng t n t i m t dãy con (ch a ít nh t 1 ph n t ) c a A có t ng b ng 0. Gi i. Ta có th gi s trong A không có ph n t nào b ng 0, vì n u ngư c l i thì bài toán hi n nhiên. Ta s p x p dãy A thành dãy B = (b1, ..., b2000) b ng cách ch n d n t các s h ng c a dãy A theo quy t c sau: b1 > 0, b2 < 0. V i m i i ≥ 3 ch n bi là s có d u ngư c v i d u c a t ng si−1 = b1 + · · · + bi−1 (vì sao luôn th c hi n đư c?). B ng cách xây d ng như th , ta đư c 2000 s s1 , s2 , ..., s2000 n m trong đo n [−999, 1000]. N u trong s si có m t s b ng 0 thì bài toán đúng. Trong trư ng h p ngư c l i, theo nguyên lý Dirichlet t n t i i < j sao cho si = sj . Khi đó bi+1 + · · · + bj = 0. H đ m cơ s và dãy s nguyên H đ m cơ s có th dùng đ xây d ng nhi u dãy s có tính ch t r t thú v . Nhìn trên phương di n c a m t cơ s khác, có th r t khó nh n ra quy lu t, nhưng n u ch n đúng cơ s thì bài toán tr nên vô cùng đơn gi n. Xin nh c l i là v i b là m t s nguyên dương l n hơn hay b ng 2 thì m i s nguyên dương N đ u có th bi u di n m t cách duy nh t dư i d ng N = a1 ...ak (b) = a1 bk−1 + · · · + ak v i 1 ≤ a1 ≤ b − 1, 0 ≤ a2 , . . . , ak ≤ b − 1. Đó là đ nh nghĩa h đ m cơ s d ng cơ b n nh t. Tuy nhiên, có th l y m t dãy s nguyên b t kỳ (có tr tuy t đ i tăng nghiêm ng t) làm h đ m cơ s ví d h đ m cơ s (−2), h đ m cơ s Fibonacci (3 = 4 − 2 + 1, 17 = 13 + 3 + 1...) Các h đ m thư ng s d ng nh t là h đ m c s 2 và c s 3. Dư i đây ta xét m t vài vì d : Ví d 1.11 (IMO 1983). Ch ng minh ho c ph đ nh m nh đ sau: T t p h p 105 s nguyên dương đ u tiên luôn có th ch n ra m t t p con g m 1983 s sao cho không có ba s nào l p thành m t c p s c ng. Gi i. Ta ch ng minh m nh đ t ng quát: T 3n s t nhiên đ u tiên luôn có th ch n ra 2n s sao cho không có ba s nào l p thành m t c p s c ng. Th t v y, xét trong h đ m cơ s 3 t p h p t t c các s có ≤ n ch s . Ch n các s mà trong bi u di n tam phân c a nó ch ch a ch s 2 và ch s 0. Khi đó có 2n s như v y và không có ba s nào trong chúng l p thành m t c p s c ng.
14 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s Ví d 1.12 (Singapore 1995). Cho dãy s {fn } xác đ nh b i f1 = 1, f2n = fn và f2n+1 = f2n+1 . (i) Tính M = max{f1 , ..., f1994} (ii) Tìm t t c các gi á tr n, 1 ≤ n ≤ 1994 sao cho fn = M . Gi i. Kinh nghi m m t chút ta th y ngay fn chính là t ng các ch s c a n trong h đ m nh phân. T đây do 1994 < 2048 = 211 suy ra M = 10. Ví d 1.13. Dãy s {fn } đư c xác đ nh b i f1 = 1, f2n = 3fn , f2n+1 = f2n+1 . Hãy tính f100. Gi i. fn đư c xác đ nh như sau: Xét bi u di n nh phân c a n r i tính giá tr c a s nh phân này trong h tam phân. Vì 100 = 26 + 25 + 22 nên f100 = 36 + 35 + 32 = 981. Ví d 1.14. Dãy s {an } đư c xác đ nh b i 0 ≤ a0 < 1, an = 2an−1 n u 2an−1 < 1 và an = 2an−1 − 1 n u 2an−1 ≥ 1. H i có bao nhiêu giá tr a0 đ a5 = a0 . Gi i. Phân tích: Khi tính an theo an−1 ta có th l a ch n m t trong hai công th c. T t nhiên, v i a0 đã ch n r i thì t t c các bư c ti p theo đ u xác đ nh m t cách duy nh t. Tuy nhiên, ta có th ch n a0 như th nào đó đ sau đó các công th c tính theo đúng k ch b n đã cho. Có 25 = 32 k ch b n như v y. Ví d v i k ch b n (1, 1, 2, 1, 2) ta có x1 = 2x0, x2 = 2x1 = 4x0, x3 = 2x2 − 1 = 8x0 − 1, x4 = 2x3 = 16x0 − 2, x5 = 2x4 − 1 = 32x0 − 3. Gi i phương trình x0 = x5 ta đư c x0 = 3/31. T t nhiên, đ có đư c m t l i gi i hoàn ch nh, ta c n ph i l p lu n ch t ch đ th y r ng các x0 thu đư c là khác nhau và v i m i x0 thu đư c, dãy s s "đi" đúng như k ch b n đã đ nh. Tuy nhiên, phân tích này g i chúng ta hư ng đ n h nh phân. Và ta có l i gi i đ p m t sau: N u a0 = 0, d1d2d3 . . . là bi u di n nh phân c a a0 thì a1 = 0, d2d3 d4 . . . Th t v y, n u 2a0 < 1 thì d1 = 0 và a1 = 2a0 = 0, d2d3d4 . . . còn n u 2a0 ≥ 1 thì d1 = 1 và a1 = 2a0 − 1 = 0, d2d3d4 . . . Hoàn toàn tương t , a2 = 0, d3d4 d5 . . . , . . . , a5 = 0, d6d7d8 . . . Như v y a5 = a0 khi và ch khi a0 là phân s nh phân tu n hoàn chu kỳ 5. Có 25 = 32 chu kỳ tu n hoàn như v y, trong đó chu kỳ 11111 cho chúng ta a0 = 1 (lo i). V y t t c có 31 giá tr a0 th a mãn yêu c u đ bài. Đó là 0, (00000), 0, (00001), . . ., (0, 11110). Tính sang h th p phân đó là các giá tr 0, 1/31, 2/31, . . . , 30/31. S ph c và dãy s nguyên S ph c có nh ng ng d ng r t quan tr ng trong toán h c nói chung và trong lý thuy t dãy s nói chung. Nh s ph c, chúng ta có th th y đư c m i quan h gi a hàm lư ng giác và hàm mũ. Nh s ph c, m i đa th c b c n đ u có đ n
15 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s nghi m và vì v y đ nh lý Viét m i phát huy đư c tác d ng. Dư i đây ta xét m t s ví d v ng d ng c a s ph c trong các bài toán tính t ng và dãy truy h i. Ví d 1.15. V i s nguyên dương n, hãy tính A(n) = Cn + Cn + · · · + Cn n/3] . 0 3 3[ 1 4 2 5 Gi i. Có th đ t B (n) = Cn + Cn + · · · + C (n) = Cn + Cn + · · · r i s d ng các công th c A(n) + B (n) = B (n + 1), B (n) + C (n) = C (n + 1), C (n) + A(n) = A(n + 1) 0 2 2 đ tìm công th c tính A(n). Tuy nhiên d a theo cách tính Cn + Cn + · · · + Cn [n/2] b ng cách thay x = 1, y = 1 và x = 1, y = −1 vào công th c nh th c Newton, ta có cách gi i khác khá đ p như sau: G i là s th a mãn phưng trình 2 + + 1 = 0. Do 3 = 1 nên ta có (1 + 1)n = A(n) + B (n) + C (n) (1 + )n = A(n) + B (n) + 2 C (n) 2n 2 (1 + ) = A(n) + B (n) + C (n) T đây suy ra 3A(n) = 2n + (1 + )n + (1 + 2 )n . T đây, dùng công th c Moivre ta tìm đư c A(n) = [2n + 2 cos(np/3)]/3. 0 1 n Ví d 1.16. Tính t ng Sn (x) = Cn + Cn cos x + · · · + Cn cos nx. 1 n 0 Gi i. Đ t T n(x) = 0 + Cn sin x + · · · + Cn sin nx thì Sn (x) + iTn (x) = Cn + 1 (cos x+i sin x)+· · ·+C n (cos x+i sin x)n = (1+cos x+i sin x)n = 2[cos(x/2)[cos(x/2)+ Cn n i sin(x/2)]]n = 2n cosn (x/2)[cos(nx/2) + i sin(nx/2)]. T đó suy ra Sn (x) = 2n cosn (x/2) cos(nx/2). Ví d 1.17 (AMM). Cho dãy s {un } xác đ nh b i u0 = 3, u1 = 0, u2 = 2, un+3 = un+1 + un . Ch ng minh r ng up luôn chia h t cho p n u p là s nguyên t. Gi i. Phương trình đ c trưng c a dãy s có d ng x3 − x − 1 = 0. N u phương trình đ c trưng này có nghi m nguyên thì ta có th s d ng đ nh lý nh Fermat đ ch ng minh k t lu n c a bài toán. Tuy nhiên, các nghi m này không nguyên, th m chí phưng trình ch có 1 nghi m th c. Ta ph i c u c u đ n s tr giúp c a s ph c. G i u, v, w là ba nghi m c a phương trình thì u+v +w = 0, uv +vw +wu = −1, suy ra u2 + v 2 + w2 = (u + v + w)2 − 2(uv + vw + wu) = 2. T đó ta có th k t lu n u n = un + vn + wn
16 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s p− 1 V i p là s nguyên t l thì up = −(v + w)p = −v p − wp − i=1 Cp v iwp−i . i p − 1 i i p− i Tương t v p = −wp −up − i = 1p−1 Cp wi up−i , wp = −up −v p− i=1 Cp u v . i p − 1 i i p− i T đó suy ra 3(up + v p + wp ) = − i=1 Cp (v w + w i up − i + u i v p − i ) i chia h t cho p v i 1 ≤ i ≤ p − 1i (vì p là s nguyên t ) Bây gi , chú ý r ng Cp và (v iwp−i + wi up−i + ui v p−i ) là s nguyên (bi u th c đ i x ng đ i v i u, v, w) nên v ph i là m t s nguyên chia h t cho p. V y v i p nguyên t , p > 3 bài toán đã đư c ch ng minh. Cu i cùng chú ý u2 = 2, u3 = 3 ta có bài toán đúng v i m i p. Dãy s d ng [nα] Dãy s d ng xn = [nα] có nhi u tính ch t s h c thú v . N u a > 1 thì {[nα ]}n≥1 là dãy các s nguyên dương phân bi t, có s bi n thiên g n gi ng m t c p s c ng nhưng l i không ph i là m t c p s c ng. Dãy s này đ c bi t thú v khi a là s vô t b c hai. Ta có m t k t q a quen thu c sau đây Đ nh lý 1.11. N u a, b là các s vô t dưng tho mãn đi u ki n 1/a + 1/b = 1 thì hai dãy s xn = [nα], yn = [nβ ], n = 1, 2, 3, ... l p thành m t phân ho ch c a t p h p các s nguyên dương. Ch ng minh. Xét hai dãy s α, 2α, 3α, ...và β, 2β, 3β, ... Không m t s h ng nào trong các s h ng trên là s nguyên. V i m i s nguyên dương N , có [N/α] s h ng c a dãy th nh t n m bên trái N và [N/β ] s h ng c a dãy th hai. Nhưng N/α + N/β = N , vì α, β là các s vô t , ph n l c a các s N/α và N/β là các s dương có t ng b ng 1 (do đ ng th c trên). Suy ra có [N/α] + [N/β ] = N − 1 s h ng c a c hai dãy n m bên trái N . Vì bên trái N + 1 có N s h ng c a c hai dãy nên gi a N và N + 1 có đúng m t s h ng c a m t trong hai dãy, t đó suy ra đi u ph i ch ng minh. Câu h i: Có th phát bi u và ch ng minh đ nh lý đ o như th nào? Hai dãy s trên vét h t t p h p các s nguyên dương. Đi u này cho chúng ta m t hư ng suy nghĩ: n u hai dãy s vét h t t p h p các s nguyên dương thì có kh năng chúng s có d ng trên. Và nhi u bài toán đã đư c xây d ng theo hư ng này. Chúng ta xét m t ví d Ví d 1.18 (AMM). Gi s {fn } và {gn } là hai dãy s nguyên dương đư c xác đ nh như sau 1) f1 = 1 2) gn = na − 1 − fn , trong đó a là s nguyên l n hơn 4, 3) fn+1 là s nguyên dương nh nh t khác các s f1 , f2, ..., fn, g1, g2, ..., gn. Ch ng minh rông t n t i các h ng s α, β sao cho fn = [nα], gn = [nβ ] v i m i n = 1, 2, 3, ...
17 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s Gi i. Theo cách xây d ng {fn } và {gn } l p thành m t phân ho ch c a N ∗ . Gi s ta đã tìm đư c a, b th a mãn đi u ki n đ u bài, khi đó, ta ph i có 1/α+1/β = 1. Ngoài ra, khi n đ l n thì na − 1 = fn + gn ∼ nα + nβ , suy ra α + β = a. V y α, β ph i là nghi m c a phương trình x2 − ax + a = 0. Xét phương trình x2 − ax + a = 0 có hai nghi m α < β . Vì a > 4, α, β là các s vô t . Dãy s {fn } và {gn } đư c xác đ nh m t cách duy nh t, do đó đ ch ng minh kh ng đ nh c a bài toán, ta ch c n ch ng minh {[nα]} và {[nβ ]} th a mãn các đi u ki n 1), 2), 3). Rõ ràng [a] = 1, [nβ ] = [n(a − α)] = nα + [−nα)] = na − [nα] − 1 (do nα vô t ). Gi s [nα] = [mβ ] = k, đ t nα = k + r, mβ = k + s v i 0 < r, s < 1 thì n + m = k(1/α + 1/β ) + r/α + s/β = k + r/α + s/β, đi u này không th x y ra vì 0 < r/α + s/β < 1. Như v y v i m i m, n ta có [nα] = [mβ ]. Ti p theo, [(n + 1)α] ≥ [nα] + 1, [(n + 1)β ] ≥ [nβ ] + 2 > [nα] + 1. Cu i cùng gi s k là m t s nguyên b t kỳ và n = [(k + 1)/α]. N u n > k/α thì k < nα < α(k + 1)/α = k + 1 và [nα] = k. N u n < k/α thì (k − n)β > kβ − βk/α = βk(1 − 1/α) = k, (k − n)β < kβ − β ((k + 1)/α − 1) = k + 1, suy ra [(k − n)β ] = k. T các nh n xét trên ta suy ra m i s nguyên dương k có m t trong dãy s đúng m t l n và hai dãy s {[nα]} và {[nβ ]} th a mãn đi u ki n 3) (đpcm) Ghi chú: Trong l i gi i trên, ta đã không dùng đ n k t qu c a đ nh lý trên và đó cũng chính là m t cách ch ng minh khác cho đ nh lý. Các bài toán v dãy s d ng {[nα]} thư ng liên quan đ n phân ho ch và các dãy s g n tuy n tính (xm+n ∼ xm + xn ). Xin xem thêm m t s ví d trong ph n bài t p. 1.3.3 Dãy s và phương trình Dãy s có m i quan h r t ch t ch v i phương trình. Đi u này có th th y r t rõ qua hai ví d cơ b n: phương trình sai phân tuy n tính đư c gi i b ng vi c xét nghi m c a phương trình đ c trưng, gi i h n c a dãy s cũng thư ng đư c gi i ra t m t phương trình. V v n đ này, xin đ c thêm các m c tương ng trong bài này. Đây là m t trong nh ng n i dung quan tr ng nh t trong ph n dãy s.
18 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s 1.3.4 M t vài th thu t khác S p x p l i th t S p x p l i th t là m t th thu t thư ng đư c áp d ng trong các bài toán liên quan đ n b t đ ng th c trong dãy s . Vi c s p x p l i th t các s trên đư ng th ng d n đ n các tính ch t đ c bi t mà m t dãy s b t kỳ không có, ch ng h n n u a < b < c thì |c − a| = |c − b| + |b − a|. Cũng như các nguyên lý cơ b n khác, nguyên lý đơn gi n này t ra khá h u hi u trong nhi u trư ng h p. Ví d 1.19 (Vi t Nam 1998). T n t i hay không m t dãy s th c {xn } th a mãn đi u ki n 1) |xn | ≤ 0, 666 v i m i n = 1, 2, 3, ... 2) |xm − xn | ≥ 1/n(n + 1) + 1/m(m + 1) v i m i s nguyên dương m n. Gi i. Gi s t n t i dãy s như v y. V i m i s nguyên dương N , ta s p x p l i các s x1 , ..., xN theo th t tăng d n xi1 ≤ xi2 ≤ · · · ≤ xiN Khi đó |xiN −xi1 | = |xiN −xiN −1 |+· · ·+|xi2 −xi1 |1/iN (iN +1)+1/iN −1(iN −1 + 1)+ · · ·+1/i2(i2 +1)+1/i1(i1 +1) = 2 1/ik (ik +1) − 1/iN (iN +1) − 1/i1(i1 +1) = A(N ). Vì i1, i2, ..., iN ch là m t hoán v c a 1, 2, ..., N nên ta có A(N ) = 2 1/k(k + 1) − 1/iN (iN + 1) − 1/i1(i1 + 1) = 2(1 − 1/(N + 1)) − 1/iN (iN + 1) − 1/i1(i1 + 1) ≥ 2(1 − 1/(N + 1)) − 1/1.2 − 1/2.3 = 4/3 − 2/(N + 1) Bây gi chú ý r ng |xiN − xi1 | ≤ 2x0, 666 < 4/3. Ch n N đ l n sao cho 4/3 − 2/(N + 1) > 2x0, 666, ta suy ra mâu thu n. V y không t n t i dãy s th a mãn yêu c u đ bài. Ví d 1.20 (Liên Xô 1986). Gi s a1 , a2, ..., an là các s dương tuỳ ý. Ch ng minh b t đ ng th c 1/a1 + 2/(a1 + a2 ) + · · · + n/(a1 + · · · + an ) < 4(1/a1 + 1/a2 + · · · + 1/an ) Gi i. V ph i không thay đ i n u ta thay đ i th t c a ai do đó ta ch c n (và ph i) ch ng minh b t đ ng th c đúng cho trư ng h p t ng bên trái l n nh t. Đi u này x y ra khi ai đư c s p theo th t tăng d n. Th t v y, gi s 0 < b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn là các s ai đư c s p x p l i. Khi đó rõ ràng v i m i k ta có b1 + · · · + bk ≤ a1 + · · · + ak và 1/a1 +2/(a1 + a2 )+ · · ·+ n/(a1 + · · ·+ an ) ≤ 1/b1 +2/(b1 + b2 )+ · · ·+ n/(b1 + · · ·+ bn )
19 1.3. M t s phương pháp gi i bài toán v dãy s V i m i k, ghép các s h ng c a t ng bên ph i thành c p ta có đánh giá sau (2k −1)/(b1+· · ·+b2k−1 )+2k/(b1+· · ·+b2k−1) < (2k −1)/kbk +2k/(k +1)bk < 4/bk T đó suy ra b t đ ng th c c n ch ng minh. Phép th lư ng giác Nhi u dãy s đ i s v i công th c ph c t p có th tr thành các dãy s đơn gi n nh phép th lư ng giác. Th thu t này đ c bi t hi u quan trong các bài toán ch ng minh m t dãy s là tu n hoàn hay không tu n hoàn. Đ áp d ng đư c th thu t này, đi u c n thi t là bi t các công th c lư ng giác và m t chút nh y c m toán h c. Ví d 1.21 (Vi t Nam, 1990). Cho {xn } là dãy s th a mãn đi u ki n |x1| < 1, xn+1 = (−xn + 3 − 3x2 )/2 (n ≥ 1) n a) x1 ph i th a mãn đi u ki n gì đ t t c các s h ng c a dãy s đ u dương? b) Dãy s trên có tu n hoàn không? Đi u ki n |x1| < 1 và d ng c a hàm s g i ngay cho chúng ta phép đ t x1 = cos ϕ v i ϕ thu c (0, π ) khi đó x2 = (− cos ϕ + 3 sin ϕ)/2 = cos(ϕ − 2π/3). T đó suy ra xn+1 = cos(ϕ − 2nπ/3). T đây có th d dàng tr l i các câu h i c a đ bài. Ví d 1.22 (KVANT). Cho dãy s un xác đ nh b i: u1 = 2, un+1 = (2 + un )/(1 − 2un ). a) Ch ng minh r ng un = 0 v i m i n nguyên dương b) Ch ng minh dãy không tu n hoàn Gi i. Đ t ϕ = arctan 2, tan = 2. Khi đó n u un = tan x thì un+1 = tan(ϕ + x), suy ra un = tan(nϕ). S d ng công th c tan 2x = 2 tan x/(1 − tan2 x) suy ra u2 = 2un /(1 − u2 ). T đây n u u2 = 0 thì un = 0. N u t n t i n sao cho n n n un = 0 thì s d ng tính ch t này, ta suy ra t n t i s sao cho u2s + 1 = 0 hay (2 + u2s )/(1 − 2u2s ) = 0 hay u2s = −2, 2us /(1 − us2 ) = −2. Suy ra us vô t . Đi u này vô lý. Ph n b) là h qu c a câu a). Ví d 1.23. Tìm công th c t ng quát tính s h ng c a dãy s x0 = a, xn+1 = 2 − x2 . n Gi i. N u |a| ≤ 2 thì đ t a = −2 cos ϕ, ta đư c xn = −2 cos(2nϕ). N u |a| > 2, n n đ t a = −(a + 1/a) thì ta đư c xn = −(α2 + 1/α2 ). Ví d 1.24 (Th Nhĩ Kỳ 1997). Hai dãy {an }, {bn} đư c xác đ nh b i a1 = α, b1 = β, an+1 = αan − βbn , bn+1 = βan + αbn . Có bao nhiêu c p (a, b) th a mãn a1997 = b1, b1997 = a1 ?