Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 6 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao

Chia sẻ: Nguyễn Văn Tuấn | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

1.499
lượt xem 65
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các em cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 6 năm 2016-2017 để ôn tập và củng cố lại kiên thức môn học, rèn luyện kĩ năng giải đề. Chúc các em ôn tập tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 6 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao

PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán Lớp 6. Năm học 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm) Câu 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. A. 30 B. 40 C. 45 D. 55 Câu 2 Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta được tổng mới là 417. Khi đó số lớn là: A. 43 B. 54 C. 60 D. 67 Câu 3 Kết quả của phép tính 1 2 + 3 4 + 5 – 6 + … + 99 – 100 là: A. 50 B. – 50 C. – 100 D 0 Câu 4 Tập hợp các số nguyên n để (n + 3) M (n + 1) là: A. {0; 1; 2; 3} B. {0; 1} C. {2; 3} D. {1; 2; 1; 2} Câu 5 Cho 7 ô liên tiếp sau: 13 a 27 Biết rằng tổng ba ô liên tiếp bất kỳ luôn bằng 0. Khi đó giá trị của a là: A. – 13 B. – 27 C. 13 D. 27 Câu 6 Cho 4 6 9 7 7 5 3 11 A= + + + ; B= + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A 7 7 5 11 Tỷ số là: A. B. C. D. B 4 2 2 4 Câu 7 Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số của phân số đó 3 4 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số . Phân số lúc đầu là: 2 84 76 75 80 A. B. C. D. 52 60 61 56 Câu 8 Trên đường thẳng a lấy 3 điểm M, N, P sao cho: MN = 2cm, NP = 5cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng MP bằng: A. 3cm B. 7cm C. 3cm hoặc 7cm D. 3,5cm Câu 9 Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm vẽ một đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là: A. 200 B. 4950 C. 5680 D. 9900 ﾷ Câu 10 Cho xOy = 80 , tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho xOz 0 ﾷ = 300 . Số đo ﾷyOz là: A. 500 B. 1100 C. 500 hoặc 1100 D. 800 ﾷ Câu 11 Cho xOy ﾷ = 800 , Oz là tia phân giác của xOy ﾷ . Số đo của ﾷyOt là: , Ot là tia phân giác của xOz A. 200 B. 400 C. 500 D. 600 Câu 12 Có 9 miếng bánh chưng cần rán vàng cả hai mặt. Thời gian rán mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng một chiếc chảo mỗi lần chỉ rán được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để rán xong 9 miếng bánh chưng đó. A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1 (4 điểm) a) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b N). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13. b) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab − ba là số chính phương. Câu 2 (4 điểm) a) Cho M = (– a + b) – (b + c – a) + (c – a).Trong đó b, c Z còn a là một số nguyên âm Chứng minh rằng biểu thức M luôn luôn dương. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Câu 3 (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm
của OA, OB. a. Chứng tỏ rằng OA
Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m ﾷ 'Oz = 300 c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Câu 6: (2,0 điểm)a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 1 1 1 1 3 b) Cho A = + + + ... + Chứng minh A < 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 4 ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm). 1. a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} B = 1000 – 3.300 B = 1000 – 900 B = 100 9 �151515 17 � � 1500 1616 � � 15.10101 1 � � 15 16.101 � c) C = � + 10 �− � − � C = � + �− � − � �161616 17 � � 1600 1717 � � 16.10101 17 � � 16 17.101 � 15 1 15 16 � 15 15 � �1 16 � C = + − + C = � − �+ � + � C = 0 + 1 C = 1 16 17 16 17 � 16 16 � � 17 17 � �1 ��1 � �1 � �1 � �1− 4 � �1− 9 �� 1 − 16 � � 1 − 1000 � d) D = � 2 − 1� � 2 − 1� � 2 − 1� ..... � 2 − 1� D = � 2 � � 2 � � 2 � ..... � 2 � �2 ��3 � �4 � � 100 � �2 � �3 � � 4 � � 100 � −3 −8 −15 −9999 1.3 2.4 3.5 99.101 D = 2 . 2 . 2 ..... 2 D = − 2 . 2 . 2 ..... 2 3 4 100 2 3 4 1002 (1.2.3.....99)(3.4.5.....101) 1.101 101 D = − D = − D = − (2.3.4.....100).(2.3.4.....100) 100.2 200 Câu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 3 .7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 2 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63 25 – (3x + 2) = 32 3x + 2 = 25 – 32 3x + 2 = – 7 3x = – 9 x = – 3 x x x x x x x x x x 220 b) + + + + + + + + + = 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 �1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � 220 x � + + + + + + + + + �= �6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 � 39 �1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � 220 2x � + + + + + + + + + �= � 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 � 39 �1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � 220 2x � + + + + + + + + + �= �3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 � 39 �1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � 220 2x � − + − + − + − + − + − + − + − + − + − �= �3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 � 39 �1 1 � 220 10 220 220 10 2x � − �= 2x. = 2x = : 2x = 22 x = 11 �3 13 � 39 39 39 39 39 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 M 5 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 A = 121(3 + 36 + … + 386) A = 11.11(3 + 36 + … + 386) M 11 A M 11 A có 90 số hạng mà 90 M 3 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32)
A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 A = 13(3 + 34 + … + 388) M 11 A M 13 b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0 x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2 (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x + 1 1 – 3 y – 2 – 3 1 x 0 – 4 y – 1 3 Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a Σ� N,100 a 999 ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên: �a − 7M8 �a − 7 + 8M8 �a + 1M8 � a + 1 + 64M8 �a + 65M8 � �� a − 28M31 � a − 28 + 31M31 � a + 3M31 � a + 3 + 62M31 � a + 65M31 Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 M (8.31) hay a + 65 M 248 a = 248k – 65 (k N*). Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927. Vậy số cần tìm là 927 4n + 5 4n − 2 + 7 n(2n − 1) + 7 7 b) Ta có: = = =n+ 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1 4n + 5 7 Vì n nguyên nên để nguyên thì nguyên hay 2n – 1 Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n − 1 2n − 1 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4} 4n + 5 Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} thì có giá trị là một số nguyên 2n − 1 Câu 5: (5,0 điểm). a) Vì xOy ﾷﾷ kề bù với zOy ﾷ nên: xOy ﾷ + zOy = 180 0 n y ﾷﾷ 1ﾷ Vì tia Om là tia phân giác của xOy nên: mOy = xOy 2 ﾷﾷ 1ﾷ Vì tia On là tia phân giác của zOy nên: nOy = zOy m 2 ﾷ Vì xOy ﾷ kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của xOy ﾷﾷ và tia On là tia phân giác của zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó: z O x ﾷﾷ 1ﾷ 1ﾷ mOy + yOn ﾷ = mOn xOy + zOy ﾷ = mOn 2 2 2 ( 1 ﾷﾷ xOy + zOy ) ﾷ = mOn 1 2 .1800 = mOn ﾷ m' ﾷ mOn = 900 b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m ﾷ 'Oz kề bù với zOm ﾷﾷ 'Oz + zOm m ﾷﾷ = 1800 300 + zOm ﾷ = 1800 zOm = 1500 ﾷ Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm ﾷ kề bù với mOx ﾷ zOm ﾷ + mOx ﾷ = 1800 1500 + mOx = 1800 ﾷ mOx = 300 ﾷ Vì tia Om là tia phân giác của xOy ﾷ nên: mOy ﾷ = mOx = 300 ﾷ Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm ﾷ kề bù với yOm ' ﾷ yOm ﾷ + yOm ﾷ ' = 1800 300 + yOm ' = 1800 ﾷ yOm ' = 1500 c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là: ( n + 5) ( n + 6 ) góc Vì có 300 góc được tạo thành nên: ( n + 5) ( n + 6 ) = 300 2 2 (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 n + 5 = 24 n = 19
100a + 3b + 1 Câu 6: a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên cùng lẻ (2) 2a + 10a + b *) Với a = 0: (1) (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 3b + 1 = 25 Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 � b = 8 1+ b = 9 *) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) 3b + 1 lẻ b chẵn 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b �� Vậy: a = 0 ; b = 8 1 1 1 1 b) Ta có: A = + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 1 1 1 1 + + + ... + 2 2 2 2 A = (1 + 3).2 (1 + 5).3 (1 + 7).4 (1 + 2017).1009 A = + + + ... + 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2 2 2 2 1 1 1 1 1 �1 1 1 � A = + + + ... + A
a) Chứng minh rằng S là bội của 20. b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1. Bài 3: (5,0 điểm). a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42 b) Tìm a N để a + 1 là bội của a – 1 c) Cho K = 1028 + 8. Chứng minh rằng K chia hết cho 72 Bài 4: (4,0 điểm). Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho góc AOD = 450. a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao? b) Tính góc MOB và góc AOC ? c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng. Bài 5: (2,0 điểm). Trong mét cuéc thi cã 50 c©u hái. Mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®îc 20 ®iÓm, cßn tr¶ lêi sai bÞ trõ 15 ®iÓm. Mét häc sinh ®îc tÊt c¶ 650 ®iÓm. Hái b¹n ®ã tr¶ lêi ®îc mÊy c©u ®óng ? (Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi) Bài 1 (6,0 điểm) 32 32 32 32 3 3 3 3 A = ...... = 3.( ...... ) 2đ 1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 297 = 3.( ...... ) 3. 3. 1 4 4 7 7 97 100 1 100 100 100 b) B = (528) + (12) +(211)+ 540+2225 B = (528+(12)+540)+(211+211)+2014. Vậy B = 2014 2.0đ 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 32012 c) M = 1.0 đ 32014 − 3 Đặt A = 1+3+32+33 + ...+32012 Tính được A = 32013 – 1 Đặt B = 32014 – 3 0.5đ Tính được B = 3.(32013 – 1) 1 0.5đ Tính được M = 3 Bài 2 3 điểm Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm , mỗi nhóm có 4 số hạng : 1 đ S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399 = (1 – 3 + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) +...+(396 – 397 + 398 – 399) = ( 20 ) + 34( 20 ) +...+ 396( 20 ) M 20 Vậy S M 20 1 đ) b) S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399 0.5 đ 3S = 3 – 3 + 3 – 3 +...+3 – 3 2 3 4 99 100 Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được : 0.5đ 100 1 3 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = S là một số nguyên nên 1 – 3100 M 4 hay 3100 – 4 1 M 4 3100 chia cho 4 dư 1 Bài 3a) gọi a,b là hai số cần tìm a, b N*,a>b, a = 42a’, b =42b’ trong đó a’, b’ N* 0.5đ [a’,b’]=1 vì a>b nên a’>b’ a+b=504 suy ra a’+b’ = 12 có các cặp a’,b’ thỏa mãn là (11;1);(7;5) 0.5đ suy ra các cặp số thảo man bài toán là (462;42); (294;210)
n +1 n +1 2 2 đ b) Để a +1 là bội của a 1 nên thì là số nguyên = 1+ n −1 n −1 n −1 a 1 = {1,1,2} nên a ={0,2,3} B 2 đ C c) Lập luận được K chia hết cho 9 vì tổng các chữ số là 9 và chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng là 008. Vậy K chia hết cho 72 Bài 4 4 điểm a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có : 1.0đ A ﾷ MOC ﾷ + COB ﾷ = MOB O ﾷ MOB = 1850 > 1800 (vô lý) Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC. D M ﾷ b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên : MOB ﾷ + BOC ﾷ = MOC 0.5đ ﾷ MOB ﾷ OC − BOC = M ﾷ = 1150 700 = 450 0.5đ Hai góc ﾷAOC , COM ﾷﾷ là 2 góc kề bù nên : AOC ﾷ + COM = 1800 0.5đ ﾷ AOC ﾷ OM = 1800 − 1150 = 650 = 1800 − C ﾷ c) Hai góc AOB ﾷ và BOM là 2 góc kề bù ﾷ AOB ﾷ + BOM = 1800 0.5đ ﾷ AOB =1800 450 = 1350 ﾷ Hai góc DOA v ﾷ à AOB là góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB nằm 0.5đ trong 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AM nên : ﾷ DOA ﾷ + AOB = 450 + 1350 = 1800 OD, OB là 2 tia đối nhau. D, O, B thẳng hàng. Bµi 5. NÕu b¹n ®ã tr¶ lêi ®îc 50 c©u th× tæng sè ®iÓm lµ 50 x 20 = 1.000 2 (®iÓm) Nhng b¹n chØ ®îc 650 ®iÓm cßn thiÕu 1.000 – 650 = 350 (®iÓm). ThiÕu 350 ®iÓm v× trong sè 50 c©u b¹n ®· tr¶ lêi sai mét sè c©u. Gi÷a c©u tr¶ lêi ®óng vµ tr¶ lêi sai chªnh lÖch nhau 20 + 15 = 35(®iÓm). Do ®ã c©u tr¶ lêi sai cña b¹n lµ 350:35 =10 (c©u) VËy sè c©u b¹n ®· tr¶ lêi ®óng lµ 50 – 10 = 40 (c©u) Ubnd huyÖn vò th §Ò kh¶o s¸t chän häc sinh giái cÊp huyÖn phßng GI¸o Dôc & §µO T¹o N¨m häc 2015 - 2016 Bµi 1 (4 ®iÓm): TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 1) A = 1 2 + 3 + 4 5 6 + 7 + 8 9 10 + 11 + 12 ... 2013 2014 + 2015 + 2016 �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � 2) B = � − 1� : � − 1� : � − 1 � : � − 1 � : ... : � − 1 � : � − 1 � : � − 1� �2 � �3 � �4 � �5 � �98 � �99 � � 100 � Bµi 2 ( 4 ®iÓm): 1) Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ... + 42014 + 42015 + 42016 Chøng minh r»ng Cchia hết 21 và C chia hết 105 2) Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn kh¸c 0, cã sè lîng c¸c íc tự nhiên lµ mét sè lÎ th× sè tù nhiªn ®ã lµ mét sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3 ( 4 ®iÓm):1) T×m sè d trong phÐp chia khi chia mét sè tù nhiªn cho 91. BiÕt r»ng nÕu lÊy sè tù nhiªn ®ã chia cho 7 th× ®îc d lµ 5 vµ chia cho 13 th× ®îc d lµ 4.
x 1 2) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) biÕt: + 1 = 5 y 1 1 1 1 1 Bµi 4 (2 ®iÓm): Cho E = + + + ... + vµ 1.101 2.102 3.103 10.110 1 1 1 1 E F= + + + ... + TÝnh tØ sè: 1.11 2.12 3.13 100.110 F ﾷ Bµi 5 ( 4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã BAC ﾷ = 1200 . §iÓm E n»m gi÷a B vµ C sao cho BAE = 300 ﾷ . Trªn mÆt ph¼ng cã bê AC chøa ®iÓm B kÎ tia Ax sao cho CAx = 300 , tia Ax c¾t BC ë F. ﾷ a) Chøng minh F n»m gi÷a E vµ C. TÝnh sè ®o cña EAF . ﾷ b) Gäi AI lµ tia ph©n gi¸c cña BAC ﾷ . Chøng minh AI còng lµ tia ph©n gi¸c cña EAF . 2 2 2 2 2 Bµi 6 (2 ®iÓm): Cho biÓu thøc: D = ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) + + + + ... + 12 32 52 72 20152 So s¸nh D víi 6. BiÕt n! = 1.2.3.....n; n N Bµi ý Néi dung §iÓm Bµi 1 A = 1 2 + 3 + 4 5 6 + 7 + 8 9 10 + 11 + 12 ..... 2013 2014 + 2015 + 2016 2,0 (4 ®iÓm ®iÓm) A = ( 1 2 + 3 + 4)+( 5 6 + 7 + 8)+( 9 10 + 11 + 12)+ ..... +(2013 2014 + 2015 + 2016) 0,5 Ta cã tæng A cã 2016 sè h¹ng nªn cã 2016 : 4 = 504 nhãm 0,25 1 A = 4 + 4 + 4 + ….. + 4 (tæng cã 504 sè 4) 0,5 A = 4. 504 0,25 A = 2016 0,5 VËy A = 2016 �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � 2,0 B = � − 1� : � − 1 � : � − 1 � : � − 1� : ..... : � − 1 � : � − 1 � : � − 1 � ®iÓm �2 � �3 � �4 � �5 � �98 � �99 � � 100 � �1� � 2� � 3� � 4� � 97 � � 98 � � 99 � 0,5 B = �− � : � − � : �− � : �− � : ..... : �− � : �− � : �− � � 2� � 3� � 4� � 5� � 98 � � 99 � � 100 � �1� � 3� � 4� � 5� � 98 � � 99 � � 100 � 0,5 B = �− � . � − � . �− � . �− � . ..... . � − � . �− � . �− � � 2� � 2� � 3� � 4� � 97 � � 98 � � 99 � 2 Ta thÊy tÝch B cã 99 thõa sè ©m nªn tÝch mang dÊu ©m 0,5 1.3.4.5.6.....98.99.100 B = 2.2.3.4.5.....97.98.99 100 B = 2.2 B = - 25 0,5 VËy B = - 25 Bµi 2 1 Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016 2,0 (4®iÓ Chøng minh r»ng C M21 và C M105 ®iÓm m) Chøng minh C M21 0,75 Ta cã: 0,25
C = 4 + 4 2 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 4 2014 + 4 2015 + 42016 0,25 C = ( 4 + 4 2 + 43 ) + ( 4 4 + 45 + 46 ) +.....+ ( 4 2014 + 4 2015 + 4 2016 ) 0,25 C = 4. ( 1 + 4 + 4 2 ) + 4 4 . ( 1 + 4 + 4 2 ) + ..... + 4 2014. ( 1 + 4 + 4 2 ) C = 4.21 + 44 .21 + ..... + 4 2014 .21 C = 21.( 4 + 4 4 + ..... + 4 2014 ) Do ®ã: C M 21 Chøng minh C M105 1,25 ®iÓm Chøng minh C M5 0,75 C = 4 + 4 2 + 43 + 4 4 + 45 + 46 + ..... + 4 2014 + 4 2015 + 4 2016 C = ( 4 + 4 2 ) + ( 43 + 44 ) + ( 45 + 46 ) + ..... + ( 4 2013 + 4 2014 ) + ( 4 2015 + 4 2016 ) 0,25 C = 4. ( 1 + 4 ) + 43. ( 1 + 4 ) + 4 5. ( 1 + 4 ) + ..... + 4 2013. ( 1 + 4 ) + 4 2015. ( 1 + 4 ) C = 5. ( 4 + 43 + 45 + ..... + 4 2013 + 4 2015 ) 0,25 0,25 Do ®ã: C M 5 Ta cã C M 5 vµ C M 21 mµ (5 ; 21 ) = 1 0,5 Do ®ã C M 5.21 hay C M 105 2 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn kh¸c 0, cã sè lîng c¸c íc lµ mét sè lÎ 2,0 th× sè tù nhiªn ®ã lµ mét sè chÝnh ph¬ng. ®iÓm Gäi sè tù nhiªn ®ã lµ P (P ﾷ 0) 0,5 NÕu P = 1 ta cã 1 = 12 ﾷ P lµ sè chÝnh ph¬ng NÕu P > 1. Ph©n tÝch P ra thõa sè nguyªn tè ta cã P = a x .b y .....c z 0,25 (víi a, b, ... , c lµ c¸c sè nguyªn tè) Khi ®ã sè lîng c¸c íc cña P lµ (x + 1).(y + 1).....(z + 1) 0,25 Theo bµi ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) lµ sè lÎ ﾷ x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 ®Òu lµ c¸c sè lÎ 0,25 ﾷ x, y , ... , z ®Òu lµ c¸c sè ch½n Do ®ã x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t 0,25 2 ( Nªn P = a 2.m .b 2. n .....c 2.t = a m .b n .....c t ) ﾷ P lµ sè chÝnh ph¬ng 0,25 VËy chøng tá víi mäi sè tù nhiªn kh¸c 0, cã sè lîng c¸c íc lµ mét sè lÎ th× 0,25 sè tù nhiªn ®ã lµ mét sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3 1 T×m sè d trong phÐp chia khi chia mét sè tù nhiªn cho 91. BiÕt r»ng 2,0 (4®iÓ nÕu lÊy sè tù nhiªn ®ã chia cho 7 th× ®îc d lµ 5 vµ chia cho 13 th× ®îc ®iÓm m) d lµ 4. Gäi sè tù nhiªn ®ã lµ a Theo bµi ra ta cã: a = 7.p + 5 vµ a = 13.q + 4 (víi p, q ﾷ N ) 0,25 Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) M7 a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) M13 0,5 Ta cã a + 9 M7 vµ a+ 9 M13 mµ (7 ; 13) = 1 0,5 Do ®ã a + 9 M7. 13 hay a + 9 M91 VËy a + 9 = 91.k (víi k ﾷ N ) 0,5 ﾷ a = 91.k – 9 = 91.k – 91 + 82 = 91.(k-1) + 82 Nªn a chia cho 91 cã sè d lµ 82. 0,25
2 x 1 2,0 T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x; y) biÕt: + 1 = ®iÓm 5 y 1 x 1 x +5 1 0,5 Ta cã: + 1 = ﾷ = ﾷ ( x + 5) .( y - 1) = 5.1 5 y 1 5 y- 1 ﾷ ( x + 5) .( y - 1) = 5.1 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5) 0,25 Nªn ta cã b¶ng sau x+5 5 1 -5 -1 0,75 y-1 1 5 -1 -5 x 0 -4 -10 -6 y 2 6 0 -4 VËy c¸c cÆp sè nguyªn (x;y) lµ: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4) 0,5 Bµi 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2,0 2 ®iÓm Cho E = + + + ..... + vµ F = + + + ..... + ®iÓm 1.101 2.102 3.103 10.110 1.11 2.12 3.13 100.110 E TÝnh tØ sè: F 1 Ta cã 0,75 1 1 1 1 E = + + + ..... + 1.101 2.102 3.103 10.110 1 � 100 100 100 100 ﾷ� E= .ﾷﾷ + + + ..... + ﾷ 100 ﾷ� 1.101 2.102 3.103 10.110 ﾷ� 1 � 1 1 1 1 1 1 1 �ﾷﾷ E= .ﾷﾷ1 - + - + - + ..... + - 100 ﾷ � 101 2 102 3 103 10 110 ﾷ � 1 � � 1 1 �� ﾷﾷ1 + + + ..... + 1 ﾷﾷ - ﾷﾷ 1 + 1 + 1 + ..... + 1 ﾷﾷ� �� E= .� ﾷﾷ� ﾷ� 100 � � ﾷ� 2 3 10 � 101 102 103 110 �� 1 1 1 1 0,75 F= + + + ..... + 1.11 2.12 3.13 100.110 1 �10 10 10 10 ﾷ� F = .ﾷﾷ + + + ..... + ﾷ 10 ﾷ�1.11 2.12 3.13 100.110 ﾷ� 1 � 1 1 1 1 1 1 1 ﾷ� F = .ﾷﾷ1 - + - + - + ..... + - ﾷ 10 ﾷ� 11 2 12 3 13 100 110 ﾷ� 1 �� 1 1 � 1 � ﾷ �1 � 1 1 1 � ﾷ � F = .� �1 + + + ..... + ﾷ - � + + + ..... + ﾷ� 10 �� 2 3 � 100 ﾷ � � �11 12 13 110 ﾷ� ﾷ � � 1 �� 1 1 � 1� � �1 � 1 1 1 �� F = .� �1 + + + ..... + �- �� + + + ..... + � � � 10 �� 2 3 � 10 � �101 102 103 110 � � � �
2 Ta cã 0,5 1 E 100 1 10 1 = = . = F 1 100 1 10 10 E 1 VËy tØ sè = F 10 Bµi 5 Cho tam gi¸c ABC cã gãc BAC = 1200 . §iÓm E n»m gi÷a B vµ C sao 4 ®iÓm cho gãc BAE = 300 . Trªn mÆt ph¼ng cã bê AC chøa ®iÓm B kÎ tia Ax sao cho gãc CAx = 300, tia Ax c¾t BC ë F. a) Chøng minh F n»m gi÷a E vµ C. TÝnh sè ®o cña gãc EAF. c) Gäi AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC. Chøng minh AI còng lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF. C x F I E 300 300 A B 1 2,0 ®iÓm Theo bµi ra ta cã ®iÓm E n»m gi÷a hai ®iÓm B vµ C Nªn tia AE n»m gi÷a hai tia AB vµ AC Ta cã: gãc BAE + gãc EAC = gãc BAC ﾷ 300 + gãc EAC = 1200 ﾷ gãc EAC = 1200 – 300 = 900 0,75 XÐt nöa mÆt ph¼ng bê AC cã chøa ®iÓm B Ta cã: gãc CAF = 300 gãc CAE = 900 ﾷ gãc CAF < gãc CAE (v× 300 < 900) 0,5 Do ®ã tia AF n»m gi÷a hai tia AC vµ AE VËy ®iÓm F n»m gi÷a hai ®iÓm C vµ E 0,25 ﾷ gãc CAF + gãc FAE = gãc CAE ﾷ 300 + gãc FAE = 900 ﾷ gãc FAE = 600 0,5 2 2,0 ®iÓm Ta cã: AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC gócBAC 1200 Nªn gãc BAI = gãc CAI = = = 600 0,5 2 2 *) XÐt nöa mÆt ph¼ng bê AC cã chøa ®iÓm B Cã gãc CAF < gãc CAI (v× 300 < 600) Suy ra tia AF n»m gi÷a hai tia AC vµ AI ﾷ gãc CAF + gãc FAI = gãc CAI ﾷ 300 + gãc FAI = 600 0,5 ﾷ gãc FAI = 300 *) XÐt nöa mÆt ph¼ng bê AF cã chøa ®iÓm B Ta cã: gãc FAE = 600 vµ gãc FAI = 300 ﾷ gãc FAI < gãc FAE (v× 300 < 600)
ﾷ Tia AI n»m gi÷a hai tia AF vµ AE 0,5 1 0 600 H¬n n÷a gãc FAI = gãc FAE (v× 30 = ) 2 2 0,5 Do ®ã AI lµ ph©n gi¸c cña gãc FAE. Bµi 6 2 2 2 2 2 2,0 Cho biÓu thøc D = ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) 2 ®iÓm + + + + ..... + ®iÓm 12 32 52 72 20152 So s¸nh D víi 6. BiÕt n! = 1.2.3…..n Ta cã 2 2 2 2 2 ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) ( 2!) D= + 2 + 2 + 2 + ..... + 12 3 5 7 20152 22 22 22 22 22 D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... + 1 3 5 7 20152 �2 2 2 2 � ﾷﾷ 0,5 D = 4 + 2.ﾷﾷ 2 + 2 + 2 + ..... + ﾷﾷ�3 5 7 20152 � 2 2 2 1 Ta thÊy 2 = < = 1- 3 3.3 1.3 3 2 2 2 1 1 2 = < = - 5 5.5 3.5 3 5 2 2 2 1 1 2 = < = - 7 7.7 5.7 5 7 0,5 ………………………………… 2 2 2 1 1 = < = - 20152 2015.2015 2013.2015 2013 2015 Do ®ã 0,5 � 1 1 1 1 1 1 1 1 ﾷ� D < 4 + 2.ﾷﾷ - + - + - + ..... + - ﾷﾷ�1 3 3 5 5 7 2013 2015 ﾷ� � 1 ﾷ� D < 4 + 2.ﾷﾷ1 - ﾷ� 2015 ﾷﾷ� 2 0,5 D
12n 1 b) Phân số là phân số tối giản 30n 2 Bài 6: (2,5điểm) Cho góc xBy = 550.Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C (A B, C B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 90 . Tính số đo ABz. 0 Bài 7: (1,0điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x , y sao cho: (2x + 1)(y – 5) = 12 HẾT Bài 1: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a = 16(123+ 321 44):16 0,25 = 400 0,25 b =8.1253.{400[6738.50]} 0,25 = 10003.{400273} =619 0,25 Bài 2: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n1) (Với n N , n 0) 0,5 Tính số số hạng = (2n11): 2 + 1 = n Tính tổng = (2n1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2 0,5đ KL: M là số chính phương Bài 3: (1,5 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Ta có: 3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 0,25 a 19990 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19) = (192)495 = 361495 (có chữ số tận cùng bằng 1 0,25 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 0,5 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a N ) 0,25 b Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 Vì 4a M 4; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 0,25 Bài 4: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 17 17 18 1 17 18 1 17 18 1 16 17 17 1 17 17 1 Vì A = 19
Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (d N ) 12n 1Md ,30n 2Md * 0,25 b 5(12n 1) 2(30n 2) Md (60n+560n4) Md 1 M d mà d N* d = 1 0,5đ Vậy phân số đã cho tối giản 0,25 Bài 6: (2,5 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Vẽ hình đúng TH1 TH2 a 0,25 Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C: 0,25 AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm 0,25 Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 0,25 b Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC ABD =550 – 300 = 250 0,5 c Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB 0,25 nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD Tính được ABz = 900 ABD = 900 300 = 600 0,25 Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên 0,25 tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200 0,25 Bài 7: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm (2x+ 1); (y 5) là các ước của 12 0,25 Ư(12) = 1;2;3;4;6;12 0,25 Vì 2x + 1 là lẻ nên: 2x + 1= 1 x=0 , y =17 0,25 2x + 1= 3 x=1 , y=9 0,25 Vậy với x = 0 thì y = 17; Với x = 1 thì y = 9 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 2017 TIỀN HẢI m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút) 1 + 3 + 5 + ... + 19 Bài 1: (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A = 21 + 23 + 25 + ... + 39 x x +1 x + 2 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 18 ch 1000...0 1ữ2 số 03 : 218 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số? Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27. 2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147. Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho ﾷ AOB ﾷ = 1200 , AOC = 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC ﾷ . a) Tính AOM ﾷ . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON ﾷ . ﾷ 2 = 2xOx 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx ﾷ ; 1 ﾷ 3 = 3xOx xOx ﾷﾷ 4 = 4xOx ; xOx ﾷﾷ n = nxOx ; ...; xOx ﾷ . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là 1 1 1 tia phân giác chung của 2017 góc. Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản. 7 8 9 100 ; ; ;...; n + 9 n + 10 n + 11 n + 102 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TIỀN HẢI Bài 1 (4,0 điểm) 1 + 3 + 5 + ... + 19 1) Tính giá trị biểu thức: A = . 21 + 23 + 25 + ... + 39 x x +1 x + 2 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 1000...0 18 1 2 3 : 2 . 18c/sô0 Câu Nội dung Điểm Ta có : 1 + 3 + 5 + ... + 19 = (1 + 19) + (3 + 17) + (5 + 15) + (7 + 13) + (9 + 11) 0.5đ = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100 21 + 23 + 25 + ... + 39 = (21 + 39) + (23 + 37) + (25 + 35) + (27 + 33) + (29 + 31) a) 0.5đ = 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300 2.0đ 100 Suy ra A = 0.5đ 300 1 Rút gọn A = 0.5đ 3 x x +1 x + 2 5 .5 .5 = 1000...0 18 123 :2 18c/sô0 5 x + x +1+ x + 2 = 10 : 218 18 0.5đ b) 18 18 10 �10 10 10 � 2.0đ 53x +3 = 18 = � . ... � = 518 0.5đ 2 �2 2 2 � Suy ra: 3x + 3 = 18 0.5đ Giải ra x = 5 0.5đ Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số? Câu Nội dung Điểm a) Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) 0.5đ 2.0đ Suy ra: 21n + 4Md và 14n + 3Md � 2.(21n + 4)Md và 3.(14n + 3)Md 0.5đ � 3.(14n + 3) − 2.(21n + 4) Md 0.5đ 1Md 0.5đ
� d =1 Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 + Vì p là số nguyên tố, p > 3 0.5đ 4p không chia hết cho 3 Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1) Theo bài ra p > 3 2p + 1> 7 và là số nguyên tố 2p + 1 không chia hết 0.5đ b) cho 3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3 2.0đ Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết 0.5đ cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3. Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. 0.5đ Suy ra 4p + 1 là hợp số. Bài 3 (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27. 2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147. Câu Nội dung Điểm Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 14 2 43 = 11...1x1000...01000...01 0.5đ Thật vậy: 111...11 { 1 2 3 1 2 3 27c/sô 1 9c/sô 1 8c/sô 0 8c/sô 0 { M9 và 1000...01000...01 Mà 11...1 1 2 3 1 2 3 M3 0.5đ 9c/sô 1 8c/sô 0 8c/sô 0 a) 111...1 1 2 3 M27 0.5đ 27c/sô1 2.0đ Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. 111...1 1 2 3 nên số 27c/sô1 0.5đ đó chia hết cho 27. Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999 Theo bài ra n là bội của 147 nên n = 147.k = 72.3k 0.5đ Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra k M3 � k = 3m � n = 7 2.32.m = 441m b) � 1000 441m 9999 0.5đ 2.0đ � 2 < m < 22 Để n là số chính phương thì m là số chính phương � m = 4;9;16 0.5đ Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056. 0.5đ Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB,OC sao cho ﾷ AOB ﾷ = 1200 , AOC ﾷ = 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC . a) Tính AOMﾷ . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh r Mằng OA là tia phân giác c C ﾷ ủa CON . B 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx ﾷ 2 = 2xOx ﾷ ; 1 ﾷ 3 = 3xOx xOx ﾷﾷ 4 = 4xOx ; xOx ﾷﾷ n = nxOx ; ...; xOx ﾷ . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là 1 1 1 tia phân giác chung của 2017 góc. Câu Nội dung Điểm Vẽ hình ˆˆ 0.5đ O A N
ﾷ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC ﾷ < AOB (800
1 1 1 1 Câu 1. a. So sánh 22013 và 31344 b. Tính A = + + + ... + 4.9 9.14 14.19 64.69 Câu 2. a. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3. b. Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLL và BCNN của chúng bằng 23 c. Tìm số tự nhiên x; y biết 32 x1y chia hết cho 45 −n + 2 Câu 3. a. Tìm x N biết: 2 + 4 + 6 + … + 2x = 156 b. Tìm số nguyên n để P = là số n −1 nguyên 6n − 3 c. Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Câu 4 . Cho đường thẳng xy. Trên xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung điểm của AB. a,Tính IC ? b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 20132014 MÔN THI: TOÁN 6 Câu Ý Nội dung Điểm a 2 = (2 ) = 8 ; 3 = (3 ) = 9 2013 3 671 671 1344 2 672 672 0.5 Ta có 8
b −n + 2 −n + 1 + 1 1 0, 5 P = = = −1 + n −1 n −1 n −1 0,25 Để P Z thì n 1 là ước của 1 nghĩa là n 1 = 1 hoặc n 1 = 1 nên n = 2 hoặc n = 0 c 6n − 3 3(2n − 3) + 6 3 6 0.5 M = = = + 4n − 6 2(2n − 3) 2 2(2n − 3) 3 *) Nếu n 1 thì M 1 thì M > . Khi đó để M đạt giá trị lớn nhất thì 2(2n – 3) đạt giá trị 2 3 9 dương nhỏ nhất khi đó n = 2 . GTLN của M = + 3 = khi n = 2 2 2 TH1. B ; C nằm cùng phía với nhau so với điểm A 0.75 A I B C a HS tính được IC = b 2 TH2. B; C nằm khác phía so với điểm A. C A I B 0.75 a HS tính được IC = b + Câu 4 2 *) TH 1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì 0.5 đường thẳng xy không cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. *) TH 2: Nếu có 3 điểm (giả sử M ; N ; P) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy 0.5 b cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ. *) TH 3: Nếu có 2 điểm ( giả sử M ; N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm (P ; Q) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 0,5 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM HỌC 20142015 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút Câu 1. (4 điểm)a) Thực hiện phép tính: � 12 12 12 5 5 5 � �12 − − − 5+ + + � A = 81. � 7 289 85 : 13 169 91 . 158158158 4 4 4 6 6 6� �4 − − − 6+ + + �711711711 � 7 289 85 13 169 91 � 2 1 1 1 1 1 1 b) Tìm x biết: 1) ( x − ) = (2 x − 1) 2) .2 x + .2 x+1 = .27 + .28 3 4 3 5 3 5 3 c. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tæng BCNN vµ ¦CLN cña chóng lµ 15 d. Tìm x nguyên thỏa mãn: x + 1 + x − 2 + x + 7 = 5 x − 10
5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 Câu 2. (4 điểm) a. Thực hiện phép tính: A = 5.228.318 − 7.229.318 b. Tìm các số nguyên n sao cho: n2 + 5n + 9 là bội của n + 3 c. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1 d. Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0 Câu 3. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. 6 9 9 2 b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và số thứ 2 bằng số thứ 3. 7 11 11 3 a 15 b 9 c 9 c. Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: = ; = ; = b 21 c 12 d 11 d. Tìm hai số biết tỉ số của chúng bằng 5 : 8 và tích của chúng bằng 360. Câu 4. (5 điểm)1. a) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tính IK. b) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. 2. Trªn n÷a mÆt ph¼ng cho tríc cã bê Ox vÏ hai tia Oy vµ Oz sao cho sè ®o xOy = 700 vµ sè ®o yOz = 300. a) X¸c ®Þnh sè ®o cña xOz b) Trªn tia Ox lÊy 2 ®iÓm A vµ B (§iÓm A kh«ng trïng víi ®iÓm O vµ ®é dµi OB lín h¬n ®é dµi OA). Gäi M lµ trung ®iÓm cña OA. H·y so s¸nh ®é dµi MB víi trung b×nh céng ®é dµi OB vµ AB. Câu 5. ( 3 điểm) a, Chứng minh rằng: 32 + 33+ 34 +……+ 3101 chia hết cho 120. a a b. Cho hai số a và b thỏa mãn: a – b = 2(a + b) = Chứng minh a = 3b ; Tính ; Tìm a và b b b c. Tìm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : Toán Câu Phần Nội dung Điểm a � 12 12 12 5 5 5 � 2đ �12 − − − 5+ + + � Ta có: . A = 81. � 7 289 85 : 13 169 91 . 158158158 Câu 1 4 4 4 6 6 6� �4 − − − 6+ + + �711711711 (4 điểm) � 7 289 85 13 169 91 � � � 1 1 1 � � 1 1 1 �� 12 �1− − − �5� 1+ + + �� 1 � 7 289 85 �: � 13 169 91 �� 158.1001001 = 81. � . �4 � 1 1 1 � � 1 1 1� �711.1001001 0,5 �1− − − � 6� 1+ + + � � � � 7 289 85 � � 13 169 91 � � � �12 5 �158 18 2 324 0,5 = 81. � : � . = 81. . = �4 6 �711 5 9 5 b (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 0.5 2đ => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 0.5 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 0.5 101 . 50 + 100 x = 5750 0.5 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7