Đề thi học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Thị xã Vĩnh Châu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn “Đề thi học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Thị xã Vĩnh Châu” để ôn tập nắm vững kiến thức cũng như giúp các em được làm quen trước với các dạng câu hỏi đề thi giúp các em tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Thị xã Vĩnh Châu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ THỊ XÃ VĨNH CHÂU Năm học 2022-2023 Môn: Toán 9 Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (4 điểm)Cho biểu thức a) Tính giá trị của biểu thức M khi b) Tìm các giá trị của x để M là số tự nhiên chẵn Câu 2. (2 điểm) Chứng minh rằng: với mọi Câu3. (2 điểm)Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: . Câu 4. (2 điểm) Kỳ thi chọn học sinh giỏi các môn văn hóa lớp 8, 9 có hơn 200 thí sinh. Ban tổ chức dự định sắp xếp mỗi phòng thi 20 thí sinh thì thấy thừa 5 học sinh. Nếu tăng thêm 01 phòng thi thì tất cả thí sinh dự thi vừa đủ chia đều cho các phòng thi. Hỏi có tất cả bao nhiêu thí sinh dự thi. Biết rằng các thí sinh dự thi các môn khác nhau có thể ngồi cùng một phòng thi và mỗi phòng thi không được xếp quá 24 thí sinh. Câu 5. (2 điểm)Giải hệ phương trình Câu 6. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, P lần lượt là trung điểm AC và BC. a) Chứng minh 4 điểm B, F, H, D cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm O’ của đường tròn đó. b) Chứng minh FM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O’. c) Vẽ đường kính AI của (O), gọi diện tích tứ giác AEHF là S. Chứng minh: . Câu 7. (4,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nữa đường tròn (A không trùng với B, C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nữa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng hai nữa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh AE.AB = AF.AC. b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng 3 điểm I, A, K thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số không đổi d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. --- Hết --- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ THỊ XÃ VĨNH CHÂU NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN 9 HƯỚNG DẪN CHẤM Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi HSG môn Toán 9. Các Giám khảo thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. GV chấm có thể phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được thay đổi.
Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác. Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó. Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Câu Đáp án Điểm 1. Cho biểu thức 1,5 - ĐKXĐ: - Rút gọn: 1a) Tính giá trị của biểu thức M 1,0 khi == 1 Khi đó 1b) Tìm các giá trị của x để M là số tự nhiên chẵn 1,5 Ta có Vì nên M là số tự nhiên chẵn thì M = 4 hoặc M = 6. Khi đó: (thỏa điều kiện) Vậy khi hoặc thì M là số tự nhiên chẵn. 2. Chứng minh rằng: với mọi 2,0 Xét VT – VP Vậy (đpcm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 3. 2,0 Ta có: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: và Kỳ thi chọn học sinh giỏi các môn văn hóa lớp 8, 9 có hơn 200 thí sinh. Ban tổ chức dự định sắp xếp mỗi phòng thi 20 thí sinh thì thấy thừa 5 học sinh. Nếu tăng thêm 01 phòng thi thì tất cả thí sinh dự thi vừa đủ chia đều cho 4. 2,0 các phòng thi. Hỏi có tất cả bao nhiêu thí sinh dự thi. Biết rằng các thí sinh dự thi các môn khác nhau có thể ngồi cùng một phòng thi và mỗi phòng thi không được xếp quá 24 thí sinh. - Gọi số thí sinh tham gia dự thi là x (ĐK: x nguyên dương, x >200) - Gọi Số phòng thi lúc đầu là y ĐK: Vì có hơn 200 thí sinh và mỗi phòng thi không được xếp quá 24 thí sinh nên: y nguyên dương và Theo đề bài: Do đó Vì nên chỉ xét trường hợp Vậy số thí sinh tham gia dự thi là: (học sinh)
Câu Đáp án Điểm 5. Giải hệ phương trình 2,0 Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: (3) Thay (3) vào (1) ta được (4) Từ (3), (4) ta có hệ Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: Trường hợp 4: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, 6. BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, P lần lượt là trung điểm AC và BC. A E F M H O 0,5 O' B C D P I Chứng minh 4 điểm B, F, H, D cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm O’ a) 1,0 của đường tròn đó. Ta có: (gt) nên 3 diểm B, F, H cùng thuộc một đường tròn đường kính BH (1) Ta có: (gt) nên 3 diểm B, D, H cùng thuộc một đường tròn đường kính BH (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, F, H, D cùng thuộc một đường tròn đường kính BH. Tâm O’ là trung điểm của BH b) Chứng minh FM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O’. 1,0 Ta có: Tam giác FO’H cân tại O’ nên (1) Tam giác FMC cân tại M (vì FM = MC = ½ AC) nên (2) Mà (đối đỉnh) (3) (vuông tại E) (4) Từ (1), (2), (3), (4) Hay tại F Vậy FM là tiếp tuyến của đường tròn O’ tại F. Vẽ đường kính AI của (O), gọi diện tích tứ giác AEHF là S. Chứng minh: c) 1,0 2OP2> S. Dễ thấy OP là đường trung bình của tam giác AHI nên AH = 2OP Ta có: hay Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho AE2 và EH2. Ta được: Tương tự Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho AF2 và FH2. Ta được: Do đó, (định lý Py-ta-go) Dấu “=” xảy ra khi AE = EH và AF = HF, khi đó AEHF là hình vuông (trái với giả thiết tam giác ABC nhọn) Vậy (đpcm)
Câu Đáp án Điểm Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R cố định và một điểm A chuyển động trên nữa đường tròn (A không trùng với B, C). Hạ AH vuông góc với 7. BC (H thuộc BC). Trên nữa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng hai nữa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. K A 4 1 2 3 I F E 0,5 B C P H O Q a) Chứng minh AE.AB = AF.AC. 1,0 Trong tam giác vuông AHB, đường cao HE Ta có: (1) Trong tam giác vuông AHC, đường cao HF Ta có: (2) Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh b) 1,0 rằng 3 điểm I, A, K thẳng hàng Vì I đối xứng với H qua AB nên Tượng tự K đối xứng với H qua AC nên Vì A thuộc đường tròn đường kính BC (A khác B. C) nên Suy ra: Hay 3 điểm I, A, K thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số không đổi 1,0 Trong tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên Mặt khác: và Do đó Mà AB.AC = AH. BC hay (không đổi) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá d) 1,0 trị đó theo R. Vì PE và QF cùng vuông góc với EF nên tứ giác PEFQ là hình thang vuông. Mà Nên Vậy tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất là bằng (đvdt). Giá trị này đạt được khi EF = R Mà AH = EF (do AEHF là hình chữ nhật) Suy ra AH = R khi A là điểm chính giữa cung BC. --- Hết ---