zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối THCS năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Phòng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo “Đề thi học sinh giỏi môn Toán THCS năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Phòng” để giúp học sinh hệ thống kiến thức đã học cũng như có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kì thi sắp tới và giúp giáo viên trau dồi kinh nghiệm ra đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối THCS năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG CẤP THCS, NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 28/03/2023 Bài 1. (2,0 điểm)  a − a 2 − b 2 a + a 2 − b 2  4 a 4 − a 2b 2 a) Rút gọn biểu thức A  = − : (với a > b > 0 ).  a + a 2 − b2 a − a 2 − b2  b2   1 3 − 6 + 6 + 6 + ... + 6 5 b) Chứng minh rằng < < (trong đó biểu thức chứa căn có 6 27 3 − 6 + 6 + ... + 6 2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số). Bài 2. (2,0 điểm) ( ) a) Cho phương trình x 2 − 4m + 1 x + 4m 2 − 1 = (với m là tham số ). 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 thoả mãn điều kiện x 1 < 0 và x 1 < x 2 .   1  2 x  1 + =3   x +y  b) Giải hệ phương trình  . 2 y  1 − 1  =   1    x +y  Bài 3. (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để 4x 3 + 14x 2 + 9x − 6 là số chính phương. b) Cho x , y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ z . Chứng minh rằng xz y2 x + 2z 5 + + ≥ y + yz xz + yz x + z 2 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn không cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn O . Kẻ đường cao AH của ( ) ( ) ∆ABC H ∈ BC . Gọi P,Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các đường thẳng AB , AC . a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp. b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M , đường thẳng AM cắt đường tròn O tại ( ) điểm thứ hai là K ( K khác A ). Chứng minh rằng MH 2 = MK .MA. c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP . Chứng minh ba điểm I , H , K thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung. ---------Hết--------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ............................................... Số báo danh: ............................................... Cán bộ coi thi 1: ................................................. Cán bộ coi thi 2: ..........................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG CẤP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Ngày thi: 28/03/2023 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm 1a. (1,0 điểm)  a - a 2 - b 2 a  a 2 - b 2  4 a 4 - a 2b 2    : Với a > b > 0 ta có A   -     2 a  a - b 2  a - a 2 -b2  b2 ( ) ( ). 2 2 a − a 2 − b2 − a + a 2 − b2 b2 = (a − a2 − b )(a + 2 a 2 − b2 ) 4 a 4 − a 2b 2 0,25 −4a a 2 − b 2 b2 = . . 0,25 b2 4 a a −b 2 2 a = − 0,25 a − 1 khi a > 0  = 0,25  1 khi a < 0  1b. (1,0 điểm) Bài 1 (2 điểm) 3 − 6 + 6 + 6 + ... + 6 Đặt A = 3 − 6 + 6 + ... + 6 0,25 và a = 6 + 6 + ... + 6 (Với 2023 dấu căn). suy ra a 2 − 6 = 6 + 6 + ... + 6 (Với 2022 dấu căn) 3 −a 1 Và A = = (1 ) 0,25 ( 3 − a2 − 6 ) 3 +a Ta có a < 6 + 6 + ... + 6 + 3 (Với 2023 dấu căn) 1 1 ⇒ a
Bài Đáp án Điểm x < 0  x < 0 < x 2  x x < 0  Ta có  1 ⇔ 1 ⇔ 1 2  x1 < x 2  −x 2 < x 1 < x 2  x 1 + x 2 > 0   2 1 4m 2 − 1 < 0  m < 4  ⇔ ⇔ 4m + 1 > 0  m > − 1 0,25   4  1 1 − < m <  2 ⇔ 2 m > − 1   4 0,25 1 1 1 1 ⇔ − < m < . Vậy − < m < . 0,25 4 2 4 2 b. ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình   1  2 x  1 + =3  x +y     1  I () 2 y 1 − =1    x +y  ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ 0. () Với x = 0 , y = 0 không thoả mãn hệ phương trình I ⇒ x > 0, y > 0 0,25 Do đó:   1   1 3  3 1 2 x  1 + =+ 3 1 = =  2 +   x +y   x +y 2 x  2 x 2 y  ⇔ ⇒  2 y 1 − 1  1 1 2 3 1  = −x 1 1 =  = − 0,25   x +y    +y 2 y x + y 2 x 2 y   4 9 1 ⇒ = − x + y 4x 4y ( ⇒ x 2 + 8xy − 9y 2 =0 ⇔ x − y x + 9y =0 )( ) x = y ⇔ x = −9y  Vì x > 0, y > 0 nên x = −9y (không thoả mãn). 0,25 3 1 2 Với x = y ta có 2 = + ⇔2= ⇔ x =1 ⇒ y =1. 2 x 2 x x ( ) ( ) Ta thấy x ; y = 1;1 thoả mãn hệ phương trình I . () 0,25 ( ) ( ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x ; y = 1;1 . 3a. (1,0 điểm) Vì 4x 3 + 14x 2 + 9x − 6 là số chính phương, nên ta có Bài 3 (2 điểm) 4x 3 + 14x 2 + 9x − 6 =2 với k ∈ N * k 0,25 ( )( Ta có 4x 3 + 14x 2 + 9x − 6 = ... = x + 2 4x 2 + 6x − 3 ) -Trang 2-
Bài Đáp án Điểm ( )( Đặt x + 2 4x + 6x − 3 = k 2 ) 2 Gọi ( x + 2, 4x + 6x − 3 ) = d ∈  2 d với * Ta có ( x + 2, 4x + 6x − 3 ) = 2 d ⇒ x + 2 d ⇒ ( x + 2 )( 4x − 2 ) d ⇒ 4x 2 + 6x − 4 d 0,25 Ta lại có ( ) ( 4x 2 + 6x − 3 d ⇒ 4x 2 + 6x − 3 − 4x 2 + 6x − 4 d ⇒ 1d ⇒ d = 1. ) ( Vậy x + 2, 4x 2 + 6x − 3 ) = ( x + 2 ) ( 4x 1 mà 2 + 6x − 3 = nên ta có k2 ) x + 2 và 4x 2 + 6x − 3 là số chính phương Đặt x + 2 =2 và 4x 2 + 6x − 3 = với a, b ∈ N * . a b2 0,25 Vì x nguyên dương nên ta có ( ) ( ) 2 2 4x 2 < b 2 < 4x 2 + 12x + 9 ⇔ 2x < b 2 < 2x + 3 . (2x + 1) 2 Vì b lẻ nên b 2= ⇔ 4x 2 + 6x − 3= 4x 2 + 4x + 1 ⇔ x= 2. 0,25 Với x = 2 ta có 4x + 14x + 9x − 6= 100= 10 là số chính phương. 3 2 2 3b. (1,0 điểm) Với x > 0, y > 0, z > 0 ta có xz y2 x + 2z + + y 2 + yz xz + yz x + z xz y2 2z x y 2z 1+ 1+ yz yz x = y + z + x = 2 + + y xz z y x z +1 +1 1+ +1 +1 1+ yz yz x z y x a2 b2 1 + 2c 2 x 2 y z = 2 + 2 + trong đó a 2 = = = ;b ; c2 và b +1 a +1 1+c 2 y z x 0,25 a > 0, b > 0, c > 0, c ≤ 1 do x ≥ z . Ta có a2 b2 2ab + 2 − b + 1 a + 1 ab + 1 2 = ( )( ) ( )( a 2 a 2 + 1 ab + 1 + b 2 b 2 + 1 ab + 1 − 2ab a 2 + 1 b 2 + 1 ) ( )( ) (a 2 )( + 1 b 2 + 1 ab + 1 )( ) ( ) + (a − b ) (a ) ( ) 2 2 2 ab a 2 − b 2 2 + ab + b 2 + a − b ≥0 (a 2 )( + 1 b 2 + 1 ab + 1 )( ) 0,25 2 a2 b2 2ab 2 Do đó 2 + 2 ≥ b + 1 a + 1 ab + 1 1 = c = 1 +c (1 ) +1 0,25 c Đẳng thức xảy ra khi a = b. Khi đó -Trang 3-
Bài Đáp án Điểm 2 1 + 2c + 2 5 2.2 1 + c − = 2 ( ) + 2. (1 + c )(1 + 2c ) − 5 (1 + c )(1 + c ) 2 2 2 1 +c c +1 2 2 (1 + c )(1 + c ) 2 (1 − c ) ≥ 0 0 < c ≤ 1 ( 2 ) 3 1 − 3c + 3c − c 2 3 = = 2 (1 + c )(1 + c ) 2 (1 + c )(1 + c ) 2 ( 2 ) () () Từ 1 và 2 suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x= y= z 0,25 A J K O Q P B C M H I D 4a. (1,0 điểm) APH   + AQH = 900 + 900 = 1800 HP ⊥ AB, HQ ⊥ AC ( ) 0,25 ⇒ Tứ giác APHQ nội tiếp. 0,25      ⇒ PQA = PHA mà PHA = PBC (cùng phụ BAH ) 0,25 Bài 4   Do đó PQA = PBC ⇒ Tứ giác BPQC nội tiếp. 0,25 (3 điểm) 4b. (1,0 điểm) MP MB ∆MPB ∆MCQ (g.g) ⇒ = MC MQ ⇒ MP .MQ = MB.MC (1) 0,25 MK MB ∆MBK ∆MAC (g.g) ⇒ MC MA = ⇒ MK .MA = MB.MC (2 ) 0,25    Ta có BHP = BAH (cùng phụ AHP )    BAH = PQH (hai góc nội tiếp cùng chắn HP )   ⇒ BHP = PQH 0,25 MH MP ⇒ ∆MHP ∆MQH (g.g) ⇒ = MQ MH ⇒ MH 2 = MP .MQ ( 3) ()() () Từ 1 , 2 và 3 suy ra MH 2 = MK .MA. 0,25 4c. (1,0 điểm)  Vẽ đường kính AD của đường tròn O ⇒ ABD = 900. ( ) 0,25      Ta có DAC + AQP = DBC + ABC = ABD = 900 ⇒ AD ⊥ PQ . ∆MKH   ∆MHA (c.g.c) ⇒ MKH MHA 900. = = 0,25 -Trang 4-
Bài Đáp án Điểm ⇒ K thuộc đường tròn đường kính AH và HK ⊥ AM (4) Gọi J là trung điểm của AH . Ta có J là tâm của đường tròn đi qua 5 điểm A, K , P, H ,Q. () ( ) Có I và J cắt nhau tại P,Q ⇒ IJ ⊥ PQ (tính chất đường nối tâm ) mà AD ⊥ PQ ⇒ AD //IJ . 0,25 Ta có AO //IJ và AJ //OI ⇒ Tứ giác AJOI là hình bình hành ⇒ AJ JH OI mà AH //OI ⇒ Tứ giác JOIH là hình bình hành = = ⇒ IH //OJ . mà OJ ⊥ AK ( tính chất đường nối tâm ) ⇒ IH ⊥ AM (5) 0,25 ( )() Từ 4 , 5 ⇒ I , H , K thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm) Gọi độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài là x . Từ đây suy ra các tâm của 5 hình tròn này nằm trong hoặc trên cạnh của hình vuông MNPQ có cạnh bằng x − 2 (như hình vẽ) 0,25 Chia hình vuông MNPQ thành 4 hình vuông nhỏ có độ dài mỗi x −2 cạnh là . 2 Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai tâm hình tròn nằm trong hoặc trên cạnh của một hình vuông nhỏ. Giả sử hai tâm đó là I và J . 0,25 A x B M x-2 N I Bài 5 J (1 điểm) 1 Q P 1 D C Vì hai hình tròn này có không quá 1 điểm chung trong nên IJ không nhỏ hơn hai lần bán kính và không lớn hơn độ dài đường chéo của hình vuông 0,25 cạnh x −2 . Suy ra 2 ≤ IJ ≤ x −2 ( ) 2 2 2 ⇒ (x − 2 ) 2 ≥ 2 ⇒ x −2 ≥ 2 2 ⇒ x ≥ 2+2 2 2 Vậy độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông cần tìm là 2 + 2 2 . 0,25 Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa. - Tổng điểm bài thi: 10 điểm . --------------- Hết ------------------ -Trang 5-

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.