Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2)

Chia sẻ: Kiều Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các em có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi môn Toán. Mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2), để củng cố lại kiến thức môn học, rèn luyện kỹ năng giải đề và nâng cao tư duy Toán học. Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2)

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2 NĂM HỌC: 2020 - 2021 Số báo danh Môn thi: TOÁN - Lớp 10 THPT ……………………… Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu 10  x 1 Câu 1. Tìm tập xác địnhcủa hàm số y   5 x 2 Câu 2. Cho phương trình  x 2  ax  1  a  x 2  ax  1  1  0 1 với a là tham số. 2 a. Giải phương trình với a  2 b. Khi phương trình 1 có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng a  2 . Câu 3. Cho hàm số y  f  x   ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên. y Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2  x    m  2  f  x   m  3  0 có 6 nghiệm phân biệt 3 Câu 4. Giải phương trình O 1 2 3 x 3 3x  2  6 x  1  7 x  10  4 3x 2  5 x  2  0 -1 Câu 5. Giải bất phương trình x  2  2  2 x  5  x  1. 5 x y  4 xy  3 y  2( x  y )  0 2 2 3 Câu 6. Giải hệ phương trình:   x  y  2 2 2 Câu 7. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD , BC  a . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ     u  MA  2 MB  3MC , trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC . Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , G là trọng tâm tam giác ABC . Tính độ dài cạnh AB biết cạnh   AC  a , và góc giữa hai véc tơ GB và GC là nhỏ nhất. Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A , nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ADC . Chứng minh rằng OE  CD . 1  x (1  1  x ) 5 Câu 10. Với x   0;1 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   . x 1 x ---------------------Hết------------------ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 10 Có 06 trang Câu Nội dung Điểm 10  x 1 Tìm tập xác địnhcủa hàm số y   2,0 5 x 2 10  x 1 Hàm số xác định khi và chỉ khi  0 5 x 2 0,5 10  x 1 1   0 Hoặc  5  x 2  x  5  0 20  2 x  5  x 3(5  x )  5  x  5  x   0  0 0 . 0,5 2(5  x) 2(5  x)  x  5  0  5  x  5 0,5 Vậy tập xác định của hàm số là D  ( 5;5] . 0,5 Cho phương trình  x 2  ax  1  a  x 2  ax  1  1  0 1 với a là tham số. 2 a, Giải phương trình với a  2 2,0 b, Khi phương trình 1 có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng a  2 . a, với a  2 phương trình 1 thành x  2 x  1  2  x 2  2 x  1  1  0 2 2 0,5   x  1  2  x  1  1  0 4 2   x  1  1 2 2 x  0 0,5  x  2 b, Xét phương trình  x 2  ax  1  a  x 2  ax  1  1  0 1 2 Đặt t  x 2  ax  1, khi đó x 2  ax  1  t  0  2 và phương trình đã cho trở thành: t 2  at  1  0  3 . 0,5 Phương trình 1 có nghiệm khi a và t thỏa mãn: a 2  4  0 và a 2  4  4t  0 . a 2  4  0  a  2 hay a  2 .
Nếu a  2 thì  3 có nghiệm t  0, khi đó a 2  4  4t  0, suy ra  2  có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết 1 có nghiệm duy nhất. Nếu a  2 thì phương trình  3 có nghiệm t  1, khi đó điều kiện a 2  4  4t  0 không 0,5 được thỏa mãn. Vậy a  2 . 2,0 Ta có:  f  x   1 0,5 f 2  x    m  2 f  x   m  3  0   .  f  x   3  m Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy ra đồ thị hàm số y  f  x  như sau: y 3 0,5 3 x O 1 -1 + Phương trình f  x   1 có hai nghiệm phân biệt 0,25 Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f  x   3  m phải có 0,25 4 nghiệm phân biệt  1  3  m  3  0  m  4 . 0,25 Kết hợp m là số nguyên nên m  1; 2;3 . 0,25 Giải phương trình: 3 3x  2  6 x  1  7 x  10  4 3x 2  5 x  2  0 2,0 ĐKXĐ: x  1 Ta có: 3 3x  2  6 x  1  7 x  10  4 3x 2  5 x  2  0 0,5 4 3   3 x  2  2 x  1   3 x  2   2. 3 x  2.2 x  1  4  x  1  4  0     2  3x  2  2 x  1  3 3x  2  2 x  1  4  0  3x  2  2 x  1  1  0,5  3 x  2  2 x  1  4 (VN )
 3x  2  2 x  1  1 3  x  1   2 x 1  0 3x  2  1 0,5  3 x 1   x  1   2   0 1  3x  2  1  3 x 1 Vì  2  0  x  1 nên 1  x  1  0  x  1 (thỏa mãn). 3x  2  1 0,5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1 . Giải bất phương trình x  2  2  2 x  5  x  1. 2,0 5 Điều kiện xác định: x  . 2 0,5 Bất phương trình tương đương: x  2  x 1  2 x  5  2.  2 x 1  2 ( x  2)( x  1)  2 x 1  4 2 x  5. 0,5 5 x  6  x 2  9 x  18  0   . 0,5  x  3 x  6  x 2  9 x  18  0   .  x  3 0,5 5 Vậy nghiệm của bất phương trình là x  6 hoặc  x  3. 2 5 x y  4 xy  3 y  2( x  y )  0 2 2 3 Giải hệ phương trình:  2,0  x  y  2 2 2 5 x y  4 xy  3 y  ( x  y )( x  y )  0  2 3 2 2 Hệ đã cho   0,25  x  y  2 2 2 4 x  y  5 xy 2  2 y 3  x 3  0 (*)  2  x  y  2 2 6 0,25 y Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên từ PT (*) đặt: t  ta được PT: x t  1 2t  5t  4t  1  0   1 3 2 0,25 t   2 y  x  x  1  x  1 Khi t = 1 ta có:     0,5 x  y  2  y  1  y  1 2 2
 2 2  2 2  1 x  x   1 y  x  5  5 Khi t  ta có:  2     0,5 2 x  y  2 2 2 y  2 y   2    5 5  2 2 2   2 2  2  Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm  x; y  là 1;1 ;  1; 1 ;  ; ; ;  0,25  5 5  5 5  Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD , BC  a . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài     2,0 vectơ u  MA  2 MB  3MC , trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC . 0,5 7 AB  2 AD  2 BC  2a . AC  BD  0 (trung điểm của AC , BD ).           u  MA  2 MB  3MC  MA  MC  2 MB  2 MC      2MD  2MB  2MC  6MP (với P là trọng tâm OBC ). 0,5  u  6MPmin  PM  BC tại M . 0,5 min Vì OBC cân tại O , nên P thuộc trung tuyến OH và  1 0,5 min u  6 PH  6. OH  2Oh  2a (Khi M  H ). 3 Cho tam giác ABC vuông tại A , G là trọng tâm tam giác ABC . Tính độ dài cạnh AB   2,0 biết cạnh AC  a , và góc giữa hai véc tơ GB và GC là nhỏ nhất. B K α 8 G C A 0,5 D Gọi K , D lần lượt là trung điểm AB, AC .   Gọi  là góc giữa hai véc tơ GB và GC .        Ta có: cos   cos GB, GC  cos DB, KC 
         DB. KC BD.CK    BA  BC CA  CB   DB. KC BD.CK 4 BD.CK       2 0,5   BA.CA  BC. CA  BA  BC  BC 2 ( Do BA  CA ) 4 BD.CK 2 BD.CK 1   1       2 2 2 BD.CK  BD2  CK 2  BA  BC  CA  CB 4 4 1      AB2  AC 2  2 BC 2  2 BA. BC  2CA.CB 4  0,5 1   AB2  AC 2  2 BC 2  2 BA 2  2CA 2  (Theo công thức hình chiếu véc tơ) 4 5  BC 2 . 4 4 Suy ra cos    . Dấu bằng xảy ra khi BD  CK  AB  AC  a . 5 0,5 4 Ta có góc  nhỏ nhất khi cos  lớn nhất bằng  . Khi đó AB  a . 5 Cho tam giác ABC cân tại A , nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi D là trung điểm của AB 2,0 , E là trọng tâm tam giác ADC . Chứng minh rằng OE  CD A D E O B C 9  1   1    Ta có:  CD  CA  CB  OA  OB  2OC 2 2     1    1   1     1    0,5    OE  OA  OD  OC   OA  OA  OB  OC   3OA  OB  2OC 3 3 2  6    Do đó:   1       CD.OE  12   OA  OB  2OC . 3OA  OB  2OC  0,5        12CD.OE  3OA2  OB 2  4OC 2  4OA.OB  4OA.OC          12CD.OE  4.OA OB  OC  4.OA.CB  0  0,5 (Vì ABC cân tại A có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên OA  BC )   Do đó CD.OE  0  CD  OE (điều phải chứng minh) 0,5 10 Với x   0;1 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2,0
1  x (1  1  x ) 5 P  . x 1 x t 5 t 5 1  t  Đặt t  1  x , 0  t  1 ta được P     5 0,5 1 t t 1 t t t 5 1  t  Áp dụng BĐT Cô si, ta có P   5 2 5 5. 0,5 1 t t 5 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t  . 0,5 4 7  5 5 Vậy MinP  2 5  5 khi x  0,5  0;1 8 ---------------------Hết------------------