Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng dành cho các bạn học sinh lớp 11 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán Lớp: 11 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình sau: x 2 + x + 2013 = 2013 Câu 2 (3,0 điểm). Cho phương trình (2sin x − 1)(2co s 2 x + 2sin x + m) = 1 − 2cos 2 x (Với m là tham số) a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [ 0; π ] . Câu 3 (5,0 điểm). x 2 + y 2 − 3x + 4 y = 1 a) Giải hệ phương trình: 3x 2 − 2 y 2 − 9 x − 8 y = 3 b) Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc phong bì thư đã để sẵn địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ. Câu 4 (4,0 điểm). Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. cos B + cosC a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu: sin A = sin B + sin C sin A + sin B + sin 2 C 2 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2 cos A + cos 2 B + cos 2C Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1): x 2 + y 2 = 13 , đường tròn (C2): ( x − 6) 2 + y 2 = 25 . a) Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2). b) Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x, K là hình chiếu của S trên DM. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................ Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Câu Đáp án Điểm Câu 1 x + x + 2013 = 2013 . ĐK x −2013 2 0,25 Đặt t = x + 2013 ( với t t �0) � t 2 = x + 2013 � t 2 − x = 2013 . Ta có hệ PT: 0,5 x 2 + t = 2013 � ( x + t )( x − t + 1) = 0 t 2 − x = 2013 0,5 1 − 8053 + Với x +t =0 ta được t = x � x + 2013 = − x . Giải ra ta được x = là 2 0,25 nghiệm. + Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t � x + 1 = x + 2013 . Giải ra ta được 0,25 −1 + 8049 x= là nghiệm 2 0,25 1 − 8053 −1 + 8049 Đáp số : x = , x = 2 2 Câu 2 (2sin x − 1)(2co s 2 x + 2sin x + m) = 1 − 2cos 2 x a , Với m =1 ta được phương trình : (2sin x − 1)(2co s 2 x + 2sin x + 1) = 1 − 2cos 2 x � (2sin x − 1).cos 2 x = 0 0,5 1 π 5π + sin x = � x = + k 2π �x = + k 2π 1,5 2 6 6 π π + co s 2 x = 0 � x = + k 0,5 4 2 b, Phương trình đã cho tương đương với : (2sin x − 1)(2co s 2 x + m − 1) = 0 0,25 1 π 5π Với sin x = � x = �x = �[ 0; π ] 2 6 6 0,25 Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc [ 0; π ] thì phương trình : 1− m π 5π 0,25 cos 2 x = vô nghiệm hoặc có hai nghiệm x = ; x = .Từ đó ta được m 3 v m =0 . 0,25 x 2 + y 2 − 3x + 4 y = 1 x 2 − 3x + y 2 + 4 y = 1 x 2 − 3x − 1 = 0 0,5 Câu 3 0,5 3x 2 − 2 y 2 − 9 x − 8 y = 3 3( x 2 − 3 x) − 2( y 2 + 4 y ) = 3 y2 + 4 y = 0 0,5 �3 − 13 ��3 − 13 ��3 + 13 ��3 + 13 � 0,5 Ta được nghiệm của hệ là : � � ;0 � ;� �� ;4� ;� �� ;0 � ;� �� ;4� ; � 0,5 � 2 �� 2 �� 2 �� 2 �
Câu 4 1 � n , Tìm hệ số của x 4 trong khai triển sau: � � nx + 3 5 �biết n là số nguyên thoả � x3 � mãn hệ thức 2C + C = n − 20 . 1 2 2 n n Từ hệ thức 2Cn + C n = n − 20 . Đk n �2, n �Z � n 2 − 3n − 40 = 0 � n = 8 �n = −5 1 2 2 Ta được n= 8 thoả mãn . 0,5 8 840 −14 k 0,5 �3 5 1 � � 3 5 1 � k =8 k 8− k Ta có : � 8 x + 3 �= �2 x + 3 �= C8 .2 .x 3 . Khai triển chứa x4m � x � � x � k =0 0,5 40 − 14k � = 4 � k = 2 . 3 0,5 Vậy hệ số của x là C8 .2 = 1792 4 2 6 0,5 Câu 5 cos B + cosC a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A = sin B + sin C A 0,5 sin Từ sin A = cos B + cosC A A � 2sin .cos = 2 � 2cos 2 A = 1 � cos A = 0 � Â là góc 0,5 sin B + sin C 2 2 cos A 2 0,5 2 vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A. 0,5 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C b, M = � M + 1 = +1 cos 2 A + cos 2 B + cos 2C cos 2 A + cos 2 B + cos 2C 0,5 3 3 M +1 = � cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = . Biến đổi về cos A + cos B + cos C 2 2 2 M +1 0,25 3 cos 2C − cos C.cos ( A − B ) + 1 − =0 M +1 0,25 � 3 � � 3 � � ∆ = cos 2 ( A − B ) − 4 � 1− ��0 � 4 � 1− ��cos ( A − B) �1 2 0,25 � M +1� � M +1� 3 1 �−1� M 3 0,25 M +1 4 0,25 cos ( A − B) = 1 2 M = 3 �� 1 A = B = C = 600 0,25 cos C = cos ( A − B ) 2 Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều. 0,25 (C1) có tâm O(0;0),bán kính R1 = 13 0,25
(C2) có tâm I(6;0),bán kính R2 = 5 . 0,25 Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;3).Với A có tung độ dương nên 1,0 A(2;3) Với A có tung độ dương nên A(2;3) 0,25 Đường thẳng d qua A có pt:a(x2)+b(y3)=0 hay ax+by2a3b=0 Gọi d1 = d (O, d ); d 2 = d ( I , d ) 0,25 Yêu cầu bài toán trở thành: R − d = R − d � d − d = 12 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 (4a − 3b) 2 (2 a + 3b) 2 b =0 0,25 − 2 = 12 � b 2 + 3ab = 0 � a +b 2 2 a +b 2 b = −3a *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x2=0 0,25 *b=3a ,chọ a=1,b=3,suy ra pt d là:x3y+7=0 S 0,25 a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên SA vuông góc với AB và AD. Vậy các tam giác SAB và SAD vuông tại A 0,25 Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB 0,25 Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC Vởy tam giác SBC vuông tại C. A 0,25 Tương tự tam giác SDC vuông tại D. b, Ta có BM =x nên CM = a x D 0,25 K ∆AKD : ∆DCM 0,25 ˆ = 900 , DAK ˆ = DCM (vì có AKD ˆ = CDM ˆ ) AK AD AD B M C 0,25 � = � AK = DC. DC DM DM 0,25 a2 = . Tam giác SAK vuông tại A nên 0,25 x 2 − 2ax + 2a 2 x 2 − 2ax + 3a 2 0,25 SK = SA2 + AK 2 = a . x 2 − 2ax + 2a 2 0,25 a 6 SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất � =K� O x 0 SK nhỏ nhất = 2 0,25 Hết Ghi chú: Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác