Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Chia sẻ: Nguyễn Thu Thúy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

658
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh" nội dung bám sát chương trình học, cấu trúc đề trình bày khoa học và logic. Mời các em tham khảo để làm quen với cách thức ra đề cũng như ôn tập lại kiến thức và nâng cao tư duy Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Giải phương trình: 2 3 sin x. 1  cos x   4 cos x.sin 2 2sin x  1 x 3 2 0 b)Tính giới hạn sau L  lim x 0 2 x  1. 3 2.3x  1. 4 3.4 x  1...2013 2012.2013 x  1 x Câu 2. a) Cho khai triển: 1  x  x 2  x 3  ...  x10 11   a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  a110 x110 Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 10 11 C11a0  C11a1  C11a2  C11a3  ...  C11 a10  C11 a11  11 b) Tính tổng: n 1 3  1 nCnn Cn 2Cn2 3Cn S    ...  2.3 3.4 4.5  n  1 n  2  Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao BB '  5; CC '  2 và cos CBB '  2 . 5 Tính diện tích tam giác ABC. b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A  B  C   2 . Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất P  2 cos 4C  4cos 2C  cos 2 A  cos 2 B Câu 4. Cho hình chóp SABC có SC   ABC  và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB  a; AC  a 3 và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng  với sin   13 . 19 Tính độ dài SC theo a. www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 Câu 5. Cho dãy số  an  4  a1  3 thỏa mãn:  n  1, n   n  2  2 a  n 2 a   n  1 a a n n 1 n n 1  Tìm lim an . ----------------------------------------------------HẾT ---------------------------------------------------- www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 2 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 Câu 1a) Đáp án    x  6  k 1  Điều kiện: sin x    , k,l  2  x  5  l  6  Điểm 0,5 (*). Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 2 3 sin x. 1  cos x   4 cos x.sin 2 0,5 x 3  0 2  2 3 sin x  2 3 sin x.cos x  2 cos x 1  cos x   3  0 2       3 sin x  cos x  3sin 2 x  2 3 sin x.cos x  cos2 x  0 3 sin x  cos x   3 sin x  cos x  0 3 sin x  cos x  2  0    3 sin x  cos x  2   TH1: 3 sin x  cos x  0  cot x  3  x  3,0 điểm   TH2: 3 sin x  cos x  2  2  sin x cos  x  6   2  k 2  x   6  6 0,5  k , k   cos x sin      2  sin  x    1 6 6  1b) 0,5 7 2  k 2 , x   k 2 , k  6 3  L  lim  2x 1 1 3   lim x 0 3 1,0 2.3 x  1. 4 3.4 x  1...2013 2012.2013 x x2 x 0  2.3x  1  1 4 3.4 x  1...2013 2012.2013x x 0 n Chứng minh công thức: lim x 0 2013  ...  lim x 3,0 điểm 0,5 2  k 2 , k  3 Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm x 0,5 ax  1  1 a   a  0; n  x n www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 * 2012.2013x  1 x  (1). 1,0 Trang | 3 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 1,0 Áp dụng (1) ta thu được L  1  2  3  ...  2012  2a) 2011.2012  2011.1006  2023066 . 2 11 1,0 Xét x  1 từ khai triển trên nhân hai vế với  x  1 ta có: x 11 11 11 11    x  1  a 1 11 k k VT (2)   C11 x11k  1 0  a1 x  a2 x 2  ...  a110 x110  (2) 1  Hệ số của x11 trong vế trái bằng C11  11 0,5 k 0 2,5 điểm 1,0  11 k k  VP(2)    C11 x11 k  1   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a110 x110   k 0   Hệ số của x11 trong vế phải bằng 0 1 2 3 10 11 C11a0  C11a1  C11a2  C11a3  ...  C11 a10  C11 a11 Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh 2b) Ta có k Cn n! 1 C k 1  n  1!   .  n1 (3) k  1 k ! k  1 n  k  ! n  1  k  1 !  n  1   k  1  ! n  1   k k 0,5  1 kCnk   1 kCnk22 Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được:  k  1 k  2   n  1 n  2  0,5 Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có 0,5  n  1 n  2  S  Cn3 2  2Cn4 2  3Cn5 2  ...   1 n n 2 nCn  2 n 2 3 3 4 4 5 n    Cn 1  Cn 1   2  Cn 1  Cn 1   3  Cn 1  Cn 1   ...   1 nCn 11 n 2 3 4 n 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 Cn 1 2,0 điểm  0 1 0 1 2 3 4 5  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 1   n  1  1  1 Vậy S  n 1 n 1  n 1 Cn 1  0,5  n n .  n  1 n  2  www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 4 3a) CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 1 Xét hai trường hợp: +) B và C không tù. Khi đó A 2 2 1  sin C  , cos C  5 5 5 BB ' 5 BC   cos CBB ' 2 CC ' 4 3  , cos B  Suy ra sin B  BC 5 5 B’ cos CBB '  C’ H C B 2,5 điểm  sin A  sin B cos C  sin C cos B  2 BB ' 5 1 5  AB    S  AB.CC '  sin A 2 2 2 5 1,0 +) B hoặc C tù 0,5 Do BB '  CC ' nên B  C và C tù  sin C  4 5 Còn sin B  , cos B  S 3b) 2 1 , cos C   5 5 2 25 3 , AB  (giống trường hợp 1)  sin A  5 2 5 5 Suy ra 25 2 Ta có A  B  C   3 C   2  0  cos C  1 2 0,5 cos 2 A  cos 2 B  2cos  A  B  cos  A  B   2cocC cos  A  B   2 cos C (3) 0,5 ( Do cos C  0 và cos  A  B   1 ). Dấu bằng trong (3) xảy ra khi A  B hoặc C  2,5  2 2 điểm Từ đó P  4  2 cos2 C  1  2  2 cos 2 C  1  1  2 cos C      0,5  8 cos C  2 cos C  1  2 cos C 2 2 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 5