Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Bình

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2012- 2013<br /> MÔN THI: TOÁN - LỚP 11<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu 1:(3.0 điểm)<br /> <br /> 2 x<br /> <br /> x    10<br /> <br /> y y<br /> <br /> a) Giải hệ phương trình: <br />  x 2  1  2 x  12<br /> <br /> y2<br /> <br /> 2<br /> <br /> b) Giải phương trình:  cos 2 x  cos 4 x   6  2sin 3 x<br /> Câu 2:(2.5 điểm)<br /> <br /> a) Tính giới hạn dãy số: lim<br /> b) Cho dãy số  un <br /> <br /> <br /> <br /> n 4  n 2  1  3 n6  1<br /> <br /> <br /> <br /> u1  2013<br /> <br /> xác định như sau: <br /> 1<br /> n<br /> un1  n1 un <br /> 2013n<br /> <br /> <br /> (n  1)<br /> <br /> Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số  un  ?<br /> Câu 3:(2.5 điểm)<br /> Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a,<br /> AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD.<br /> Biết SD vuông góc với AC.<br /> a) Tính SD.<br /> b) Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với hai<br /> đường thẳng SD và AC.<br /> Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (  ). Biết MD = x. Tìm x<br /> để diện tích thiết diện lớn nhất.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x  ax  bx  cx  d  0<br /> a) Với d  2013 , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.<br /> b) Với d  1 , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a 2  b 2  c 2 <br /> <br /> 4<br /> 3<br /> <br /> --------------------HẾT----------------------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> Câu<br /> 1<br /> <br /> Nội dung<br /> a) ĐK: y  0 . Đặt a  x  1; b <br /> <br /> Điểm<br /> 1,5 điểm<br /> <br /> 1<br /> y<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta có hệ phương trình trở thành<br /> <br />  a  b  ab  11 a  b  5 a  b  7<br /> a  2 a  3<br /> <br /> <br /> (VN )  <br /> <br />  2<br /> 2<br /> ab  6<br /> ab  18<br /> b  3 b  2<br />  a  b  13<br /> a  2<br />  1<br /> TH1: <br />  ( x; y )  1; <br />  3<br /> b  3<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> a  3<br />  1<br />  ( x; y )   2; <br />  2<br /> b  2<br /> <br /> TH2: <br /> <br /> 1,5 điểm<br /> <br /> 2<br /> <br /> b)  cos 2 x  cos 4 x   6  2sin 3 x<br /> <br />  4sin 2 x sin 2 3x  6  2sin 3x<br /> 0,5<br /> <br />  4(1  sin 2 x sin 2 3x)  2(1  sin 3x)  0<br />  4 sin 2 x(1  sin 2 3x)  cos 2 x   2(1  sin 3x )  0<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  4(sin 2 x cos 2 3x  cos 2 x )  2(1  sin 3x)  0<br /> sin 3x  1<br /> sin3x  1<br /> <br /> <br />  sin 2 x cos 2 3x  0   2<br />  x   k 2 (k  Z )<br /> 2<br /> cos x  0<br /> cos 2 x  0<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> a) lim<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n 4  n 2  1  3 n6  1  lim<br /> <br /> <br /> <br /> n4  n2  1  n2  ( 3 n6  1  n2 )<br /> <br /> <br /> <br /> 1,0 điểm<br /> 0,25<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1 2<br /> <br />  1<br /> <br /> <br /> n 1<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> n<br /> <br /> <br /> lim n  n  1  n  lim <br />   lim<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  2<br />  n  n 1  n <br />  1 2  4 1<br /> n<br /> n<br /> <br /> <br /> 1<br /> lim( 3 n 6  1  n 2 )  lim<br /> 0<br /> 6<br /> 2<br /> 3<br /> ( n  1)  n 2 3 ( n6  1)  n 4<br /> 1<br /> Do đó lim n 4  n2  1  3 n6  1 <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b) un  0, n  N<br /> n 1<br /> n<br /> un 1  un <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> *<br /> <br /> 1,5 điểm<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> n 1<br /> n<br />  un 1  un <br /> n<br /> 2013<br /> 2013n<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 1<br /> 20131<br /> 1<br /> 3<br /> 2<br /> u3  u2 <br /> 20132<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> Do đó: u2  u1 <br /> <br /> ...<br /> n<br /> n 1<br /> un  un 1 <br /> <br /> n<br /> 1<br /> Suy ra: un  u1 <br /> <br /> 1<br /> 2013n 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  ... <br /> 1<br /> 2<br /> 2013 2013<br /> 2013n 1<br /> <br />  1 <br /> 1 <br /> <br /> n<br /> 2013 <br /> un  2013  <br /> 2012<br /> <br />  1 <br /> 1 <br /> 2013 <br /> <br />  <br /> 2012<br /> <br /> n 1<br /> <br /> n 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> n 1<br /> <br />  1 <br /> 1 <br /> <br /> n<br />  2013   n 2014  1  1  ...  1  2014  1  2013 (Cô si)<br /> 1  un  2013 <br /> 2012<br /> n<br /> n<br />  2013 <br /> Mặt khác lim 1 <br />   1 . Vậy lim un  1<br /> n <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2,5 điểm<br /> <br /> S<br /> K<br /> Q<br /> B<br /> <br /> C<br /> J<br /> <br /> T<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> P<br /> O<br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> N<br /> <br /> D<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.<br /> Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD.<br /> Ta có: DT=AC= a 3 .<br /> Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT  120 0  ST  a 7<br /> Xét tam giác vuông SDT có DT= a 3 , ST  a 7  SD  2a<br /> b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P.<br /> Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần lượt tại<br /> K, J, Q. Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.<br /> Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP.<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= ( NJ  MK ) MN  ( MK  PQ )MP<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br />  ( NJ  MK ). NP (do NJ=PQ).<br /> 2<br /> NP MD<br /> AC.MD x.a 3<br /> Ta có:<br /> <br />  NP <br /> <br />  3x<br /> a<br /> AC OD<br /> OD<br /> 3<br />  a<br /> <br /> 2a. <br />  x<br /> NJ AN OM<br /> SD.OM<br />  3<br />   2(a  x 3)<br /> <br /> <br />  NJ <br /> <br /> a<br /> SD AD OD<br /> OD<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> KM BM<br /> SD.BM 2a. a 3  x<br /> 2<br /> <br />  KM <br /> <br /> <br /> (a 3  x )<br /> SD<br /> BD<br /> BD<br /> a 3<br /> 3<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Suy ra: dt(NPQKJ)=  2(a  x 3) <br /> (a 3  x)  3x  2(3a  2 3 x) x<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 1 <br />  3 3 2<br /> (3a  2 3x )2 3x <br />  (3a  2 3x )  2 3x   4 a<br /> 3<br /> 4 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3 3 2<br /> 3<br /> a khi x <br /> a<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1.0 điểm<br /> a) d= -2013<br /> Đặt f ( x)  x 4  ax3  bx 2  cx  2013 liên tục trên R.<br /> Ta có: f  0   2013  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Mặt khác lim f ( x)   , nên tồn tại 2 số   0;   0 sao cho<br /> x <br /> <br /> f ( )  0; f ( )  0 . Do đó f (0). f ( )  0; f (0). f (  )  0 .<br /> <br /> Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( , 0)<br /> và (0,  )<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />