Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Trường THPT YJUT

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> TRƯỜNG THPT YJUT<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11<br /> <br /> TỔ TOÁN<br /> <br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> Thời gian làm bài 180 phút<br /> <br /> Bài 1(4đ): cho n số : a1 , a2 , a3 , a4 ,......an   0;1 Chứng minh rằng:<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) 2  4( a12  a2  a3  a4  .......  an )<br /> <br /> Bài 2(4đ):Giải phương trình :<br /> <br /> 3<br /> sin 2012 x  cos 2012 x  2(sin 2014 x  cos2014 x)  cos2 x<br /> 2<br /> Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1  x ) n có hai hệ số liên<br /> tiếp có tỉ số là<br /> <br /> 7<br /> 15<br /> <br /> Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên<br /> đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. CMR:<br /> a) AC  ( SHK ) .<br /> b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH).<br /> Bài 5(4đ)<br /> Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và B ' BA  B ' BC  ABC  600<br /> Chứng minh A’B’CD là hình vuông.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013.<br /> Bài<br /> Bài 1<br /> (4đ)<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Xét tam thức<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> f ( x)  x 2  (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) x  ( a12  a2  a3  a4  .......  an )<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> f (1)  12  1  a1  a2  a3  a4  ......  an  a12  a2  a3  a4  .......  an<br /> <br />  f (1)  a1 (a1  1)  a2 (a2  1)  a3 (a3  1)  a4 (a4  1)  .....  an (an  1)<br /> <br /> Mặt khác a1 , a2 , a3 , a4 ,......an   0;1 nên<br /> <br /> 0,5<br /> 0.5<br /> <br /> a1 (a1  1)  0<br /> <br /> a2 (a2  1)  0<br /> <br /> a3 (a3  1)  0  f (1)  0<br /> ...........<br /> <br /> an (an  1)  0<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Mà f (0)  a12  a2  a3  a4  .......  an  0  f (1). f (0)  0<br /> <br /> Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên  0;1 vậy<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />   (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) 2  4(a12  a2  a3  a4  .......  an )  0<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> 4<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> n<br /> <br />  (1  a1  a2  a3  a4  ......  an )  4(a  a  a  a  .......  a )<br /> <br /> 0.5<br /> Bài 2<br /> <br /> (4đ)<br /> <br /> 3<br /> sin 2012 x  cos 2012 x  2(sin 2014 x  cos 2014 x )  cos2 x<br /> 2<br /> 3<br />  cos 2012 x(2 cos 2 x  1)  sin 2012 x(1  2 sin 2 x )  cos2 x  0<br /> 2<br /> cos2 x  0(1)<br /> 3<br />  cos2 x (cos12 x   sin12 x)  0   2012<br /> 3<br /> cos x   sin 2012 x  0(2)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> *cos2 x  0  x <br /> *cos<br /> <br /> 2012<br /> <br /> x<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br />  sin<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 2012<br /> <br /> k<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> (k  Z )<br /> 0.5<br /> <br /> x0<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> cos2012 x  0x  R<br /> 3<br /> <br />  cos 2012 x   sin 2012 x  0x  R<br /> Ta nhận thấy *  3<br /> 2012<br /> 2<br /> x  0x  R<br />   sin<br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Vậy pt(2) vô nghiệm<br /> Phương trình có nghiệm là: x <br /> Bài 3<br /> (4đ)<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> k<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> (k  Z )<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> n<br /> k<br /> k<br /> (1  x ) n   Cnk x k  số hạng liên tiếp là Cn ; Cn 1 ta có<br /> <br /> k 0<br /> <br /> k<br /> n<br /> k 1<br /> n<br /> <br /> C<br /> C<br /> <br /> 7<br /> k 1 7<br /> k 1<br />  <br />   7 n  22k  15  n  3k  2 <br /> 15<br /> n  k 15<br /> 7<br /> <br /> k 1<br /> khi đó n  22t  1 đế n là số nguyên dương bé nhất<br /> 7<br /> thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì k  0 nên<br /> 1<br /> 7t  1  0  t   t  1 (vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy n  22.1  1  21<br /> 7<br /> <br /> Do n, k  ¥ đặt t <br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Bài 4:<br /> (4đ)<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> S<br /> <br /> A<br /> <br /> K<br /> <br /> D<br /> I<br /> <br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> 0.5<br /> a) Cm: AC  ( SHK )<br /> Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của<br /> tam giác ABD nên HK//BD mà AC  BD  HK  AC (1)<br /> Mặt khác SH  ( ABCD )  SH  AC (2) từ (1);(2) ta có AC  ( SHK )<br /> b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)<br /> ·<br /> ·<br /> Ta có CDK  DAH (c.g .c)  CKD  DHA mà<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> ·<br /> ·<br /> ·<br /> ·<br /> ·<br /> HDA  DHA  90 0  CKD  HDA  90 0  KID  90 0 (CK  DH  I ) hay<br /> <br /> CK  DH (1)mặt khác<br /> <br /> 0.5<br /> SH  ( ABCD )  SH  CK (2) từ (1); (2) ta có CK  ( SDH ) hay góc giữa CK<br /> <br /> và mặt phẳng (SDH) bằng 900<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> D'<br /> <br /> A'<br /> <br /> B'<br /> <br /> C'<br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi<br /> uuu uuu uuu uuu uur uuu uuu uuu uur<br /> r r<br /> r<br /> r<br /> r r<br /> r<br /> 1<br /> 1<br /> CB 'CD  ( BB '  BC ) BA  BB '.BA  BC.BA  a.a.  a.a.  0<br /> 2<br /> 2<br />  CB '  CD<br /> <br /> Hay A’B’CD là hình vuông<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Bài 5:<br /> <br /> 1<br /> <br /> (4đ)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />